25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số

$2 n + 3 \geq 5, \forall n \in ℕ^{*} \Rightarrow 0 < \frac{1}{2 n + 3} \leq \frac{1}{5}, \forall n \in ℕ^{*} \Rightarrow - \frac{1}{5} \leq \frac{- 1}{2 n + 3} < 0, \forall n \in ℕ^{*}$

$\Rightarrow - \frac{1}{5} \leq u_{n} < 0.$ Suy ra dãy số $(u_{n})$ bị chặn.

Câu 6:

Cho dãy số

(u_{n})

biết

u_{n} = \frac{4 n + 5}{n + 1} .

Xét tính bị chặn dãy số

(u_{n})

Xem đáp án

Câu 7:

Cho dãy số

(u_{n})

biết

u_{n} = \frac{1.3.5... (2 n - 1)}{2.4.6.2 n}

. Xét tính bị chặn dãy số

(u_{n})

.

Xem đáp án

Xét $\frac{2 k - 1}{2 k} < \frac{2 k - 1}{\sqrt{4 k^{2} - 1}} = \frac{\sqrt{{(2 k - 1)}^{2}}}{\sqrt{(2 k - 1) (2 k + 1)}} = \frac{\sqrt{2 k - 1}}{\sqrt{2 k + 1}}, \forall k \geq 1.$

$\Rightarrow u_{n} < \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} . \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} ... \frac{\sqrt{2 - 1}}{\sqrt{2 n + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2 n + 1}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}, \forall n \in ℕ^{*} \Rightarrow 0 < u_{n} < \frac{1}{\sqrt{3}}, \forall n \in ℕ^{*}$

Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn.

Câu 8:

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số

(u_{n})

, biết

u_{n} = \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1}

Xem đáp án

Ta có $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{{(n + 1)}^{2} + 3 (n + 1) + 1}{n + 2} - \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1} = \frac{n^{2} + 5 n + 5}{n + 2} - \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n 1} \begin{array}{l} = \frac{(n^{2} + 5 n + 5) (n + 1) - (n^{2} + 3 n + 1) (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)} \\ = \frac{n^{2} + 3 n + 3}{(n + 1) (n + 2)} > 0, \forall n \geq 1 \end{array}$

$\Rightarrow u_{n + 1} > u_{n}, \forall n \geq 1 \Rightarrow$ dãy $(U_{n})$ là dãy số tăng.

Lại có

u_{n} > \frac{n^{2} + 2 n + 1}{n + 1} = n + 1 \geq 2

=> dãy

(U_{n})

bị chặn dưới. Dãy

(U_{n})

không bị chặn trên nên nó không bị chặn.

Câu 9:

Cho dãy số

(u_{n})

biết

u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số $(u_{n})$ tăng.

B. Dãy $(u_{n})$ giảm.

C. Dãy

(u_{n})

không tăng, không giảm.

D. Dãy số

(u_{n})

là dãy hữu hạn.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

$u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0, \forall n \in ℕ^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{{(n + 1)}^{2}}$

Xét tỉ số

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{{(n + 1)}^{2}} . \frac{n^{2}}{5^{n}} = \frac{5 n^{2}}{n^{2} + 2 n + 1} = \frac{n^{2} + 2 n + 1 + 4 n^{2} - 2 n - 1}{n^{2} + 2 n + 1} = 1 + \frac{2 n (n - 1) + 2 n^{2} - 1}{n^{2} + 2 n + 1} > 1, \forall n \in ℕ^{*}$

Vậy $(u_{n})$ là dãy số tăng.

Câu 10:

Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?

A. $u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1} .$

B. $u_{n} = \frac{n}{2} .$

C. $u_{n} = \frac{2}{n^{2}} .$

D. $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{3^{n}} .$

Xem đáp án

Câu 11:

Trong các dãy

(u_{n})

sau đây, dãy nào là dãy số bị chặn?

A. $u_{n} = \frac{n^{2} - n + 1}{n^{2} + 2 n + 2} .$

B. $u_{n} = \frac{3 n^{2} - 1}{n - 5} .$

C. $u_{n} = - n^{2} - n + 1.$

D. $u_{n} = n^{3} .$

Xem đáp án

Chọn A

$n^{2} - n + 1 < n^{2} + 2 n + 2 (d o n > 0)$

Suy ra

u_{n} = \frac{n^{2} - n + 1}{n^{2} + 2 n + 2} < 1,

với mọi n.

Câu 12:

Cho dãy số

(u_{n})

biết

u_{n} = 3 n + 6

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số $(u_{n})$ tăng.

B. Dãy số $(u_{n})$ giảm.

C. Dãy số

(u_{n})

không tăng, không giảm.

D. Cả A, B, C đều sai.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $u_{n} = 3 n + 6 \Rightarrow u_{n + 1} = 3 (n + 1) + 6 = 3 n + 9$

Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n} = (3 n + 9) - (3 n + 6) = 3 > 0, \forall n \in N^{*}$

Vậy

(u_{n})

là dãy số tăng.

Câu 13:

Xét tính tăng, giảm của dãy số

u_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2^{n}}

ta được kết quả

A. Dãy số $(u_{n})$ tăng.

B. Dãy số $(u_{n})$ giảm.

C. Dãy số

(u_{n})

không tăng, không giảm.

D. Dãy số

(u_{n})

khi tăng khi giảm.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{3^{n + 1} - 1}{2^{n + 1}} - \frac{3^{n} - 1}{2^{n}} = \frac{3^{n + 1} - 1 - {2.3}^{n} + 2}{2^{n + 1}} = \frac{3^{n} + 1}{2^{n + 1}} > 0 \Rightarrow$ dãy $(u_{n})$ là dãy số tăng.

Câu 14:

Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{n} = {(- 1)}^{n} \sqrt{n}

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số $(u_{n})$ là dãy số bị chặn.

B. Dãy số $(u_{n})$ là dãy số giảm.

C. Dãy số

(u_{n})

là dãy số tăng.

D. Dãy số

(u_{n})

là dãy số không bị chặn.

Xem đáp án

Chọn D

Dãy số $u_{n} = {(- 1)}^{n} \sqrt{n}$ là dãy số không bị chặn vì $\lim |u_{n}| = \lim \sqrt{n} = + \infty$

Câu 15:

Cho dãy số

(a_{n})

được xác định bởi

\{\begin{cases} a_{1} = 1; a_{2} = 2 \\ a_{n + 2} - a_{n + 1} - a_{n} = 0 \end{cases}

. Phát biểu nào dưới đây về dãy số

(a_{n})

là đúng?

A. Dãy số $(a_{n})$ không tăng, không giảm.

B. Dãy số $(a_{n})$ là một dãy giảm.

C. Dãy số

(a_{n})

là một dãy tăng.

D. Dãy số

(a_{n})

là một dãy không tăng.

Xem đáp án

Chọn C

Nhận xét: Mỗi số hạng thứ ba trở đi luôn bằng tổng của hai số đứng ngay trước nó. Đồng thời số hạng đầu tiên và số hạng thứ hai của dãy là các số dương nên dễ thấy dãy số là một dãy tăng.

Câu 16:

Cho dãy số

(u_{n})

biết

\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = a u_{n} + 1, \forall n \in ℕ^{*} \end{cases}

. Tất cả các giá trị của a để

(u_{n})

là dãy số tăng là

A. a < 0

B. $a \leq 0$

C. a > 0

D. a > 1

Xem đáp án

Chọn C

Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n} = (a u_{n} + 1) - (a u_{n - 1} + 1) = a (u_{n} - u_{n - 1})$

Áp dụng, ta có

$u_{2} = a u_{1} + 1 = a + 1 \Rightarrow u_{2} - 1 = a \Rightarrow u_{2} - u_{1} = a \begin{array}{l} \Rightarrow u_{3} - u_{2} = a (u_{2} - u_{1}) = a^{2}; \\ \Rightarrow u_{4} - u_{3} = a (u_{3} - u_{2}) = a^{3}; \\ ... \\ \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = a^{n} > 0 \end{array}$

Để dãy số $(u_{n})$ tăng thì $u_{n} > u_{n - 1} > ... > u_{2} > u_{1} \Rightarrow a > 0$

Câu 17:

Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số tăng?

A. $u_{n} = \sin n .$

B. $v_{n} = \frac{n - 1}{n + 1} .$

C. $I_{n} = {(- 1)}^{n} . n .$

D. $h_{n} = \sqrt{n} - \sqrt{n - 1} .$

Xem đáp án

Chọn B

Đáp án A, C dãy không tăng, không giảm.

Xét đáp án B, ta có $v_{n} = 1 - \frac{2}{n + 1} \Rightarrow v_{n + 1} - v_{n} = \frac{2}{n + 1} - \frac{2}{n + 2} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ nên $(v_{n})$ là dãy số tăng.

Câu 18:

Cho dãy số $(u_{n})$ , biết $u_{n} = n . \cos n$ . Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1). $(u_{n})$ là dãy số tăng.

(2). $(u_{n})$ là dãy số bị chặn dưới.

(3).

\forall n \in ℕ^{*} : u_{n} \leq n .

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Vì $\cos n \leq 1 n ê n u_{n} \leq n$ .Phát biểu (3) đúng.

Dãy không tăng, không giảm và không bị chặn dưới.

Vậy có 1 phát biểu đúng trong 3 phát biểu đã cho.

Câu 19:

Cho dãy số

(u_{n})

có

u_{1} = 1

và

u_{n + 1} = u_{n} = \frac{1}{{(1 + n)}^{2}}, \forall n \in ℕ^{*}

. Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1). $(u_{n})$ là dãy số tăng.

(2). $(u_{n})$ là dãy số bị chặn dưới.

(3). $(u_{n})$ là dãy số bị chặn trên.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\forall n \in ℕ^{*}, u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{{(1 + n)}^{2} > 0}$ nên dãy số tăng. Phát biểu (1) đúng.

Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u1. Phát biểu (2) đúng.

Ta lại có $u_{1} = 1; u_{2} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}}; u_{3} = u_{2} + \frac{1}{3^{2}}; u_{n} = u_{n - 1} + \frac{1}{n^{2}}$

Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được $u_{n} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{n^{2}} (*)$

Mặt khác

$\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n (n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \Rightarrow (*) \Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{n} < 2, \forall n \in ℕ^{*}$

Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.

Câu 20:

Cho dãy số

(u_{n})

có

u_{n} = \frac{a n + b}{c n + d}

và c>d>0. Dãy số

(u_{n})

là dãy số tăng với điều kiện.

A. a<0, b<0

B. b>a>0

C. a>0, b<0

D. a<0, b>0

Xem đáp án

Chọn C

Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{a d - b c}{[c (n + 1) + d (c n + d)]}$ . Dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng khi ad-bc>0

Mà c>d>0 nên chỉ có điều kiện ở đáp án C để ad-bc>0.

Câu 21:

Phát biểu nào dưới đây về dãy số

(a_{n})

được cho bởi

a_{n} = 2^{n} + n

là đúng?

A. Dãy số $(a_{n})$ là dãy số giảm.

B. Dãy số $(a_{n})$ là dãy số tăng.

C. Dãy số

(a_{n})

là dãy không tăng.

D. Dãy số

(a_{n})

là dãy không tăng và không giảm.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $a_{n + 1} - a_{n} = 2^{n + 1} + n + 1 - 2^{n} - n = {2.2}^{n} - 2^{n} + 1 = 2^{n} + 1 > 0, \forall n \in ℕ^{*}$

Vậy $(a_{n})$ là dãy số tăng.

Câu 22:

Trong các phát biẻu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1) Dãy số được xác định bởi $a_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ là một dãy bị chặn.

(2) Dãy số được xác định bởi $a_{n} = n^{2}$ là một dãy giảm.

(3) Dãy số được xác định bởi $a_{n} = 1 - n^{2}$ là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.

(4) Dãy số được xác định bởi

a_{n} = {(- 1)}^{n} n^{2}

là một dãy không tăng, không giảm.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn C

$0 < 1 + \frac{1}{n} < 2, \forall n \in ℕ^{*}$ nên dãy số xác định bởi $a_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ là một dãy bị chặn.

$a_{n + 1} - a_{n} = {(n + 1)}^{2} - n^{2} = 2 n + 1 > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ nên dãy số xác định bởi $a_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ là dãy tăng.

$a_{n + 1} - a_{n} = {(n + 1)}^{2} - n^{2} = 2 n + 1 > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ nên dãy số xác định bởi $a_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ là dãy số giảm và không bị chặn dưới.

$a_{n + 1} - a_{n} = (1 - {(n + 1)}^{2}) - (1 - n^{2}) = 2 n - 1 > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ nên dãy số xác định bởi $a_{n} = 1 - n^{2}$ là dãy không tăng không giảm.

Câu 23:

Cho dãy số

(u_{n})

biết

\{\begin{cases} u_{1} = 1; u_{2} = 2 \\ u_{n + 2} = a u_{n + 1} + (1 - a) u_{n}, \forall n \in ℕ^{*} \end{cases}

. Các giá trị của a để dãy số

(u_{n})

tăng là

A. a>0

B. 0<a<1

C. a<1

D. a>1

Xem đáp án

Chọn D

Xét hiệu

$u_{n + 2} - u_{n + 1} = a u_{n + 1} + (1 - a) u_{n} - u_{n + 1} = (a - 1) (u_{n + 1} - u_{n}) \begin{array}{l} \Rightarrow u_{3} - u_{2} = (a - 1) (u_{2} - u_{1}) = (a - 1); \\ \Rightarrow u_{4} - u_{3} = (a - 1) (u_{3} - u_{2}) = {(a - 1)}^{2}; \\ ... \\ u_{n + 1} - u_{n} = {(a - 1)}^{n - 1} > 0 \end{array}$

Để dãy số

(u_{n})

tăng suy ra a-1>0 => a>1

Câu 24:

Cho dãy số

(u_{n})

có

u_{1} = \frac{1}{5}

và

u_{n + 1} = \frac{n + 1}{5 n} u_{n}, \forall n \geq 1

. Tất cả các giá trị n để

S = \sum_{k = 1}^{n} \frac{u_{k}}{k} < \frac{5^{2018} - 1}{{4.5}^{2018}}

là

A. n > 2019

B. n < 2018

C. n < 2020

D. n > 2017

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $u_{n + 1} = \frac{n + 1}{5 n} u_{n} \Leftrightarrow \frac{u_{n + 1}}{n + 1} = \frac{1}{5} . \frac{u_{n}}{n}$

Đặt $v_{n} = \frac{u_{n}}{n}, \forall n \geq 1.$ Suy ra $(v_{n})$ là cấp số nhận có công bội $q = \frac{1}{5} và v = \frac{1}{5}$

Ta có

$S = \sum_{k = 1}^{n} \frac{u_{k}}{k} = \sum_{k = 1}^{n} v_{k} = v_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = \frac{1}{5} . \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{n}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{4} . \frac{5^{n} - 1}{5^{n}} = T_{n}$

Do $v_{n} > 0, \forall n \geq 1$ nên (Tn) là dãy tăng. Suy ra $T_{n} < \frac{5^{2018} - 1}{{4.5}^{2018}} = T_{2018} \Leftrightarrow n < 2018$

Câu 25:

Xét tính tăng giảm của dãy số

u_{n} = n - \sqrt{n^{2} - 1}

, ta thu được kết quả

A. Dãy số $(u_{n})$ tăng.

B. Dãy số $(u_{n})$ giảm.

C. Dãy số

(u_{n})

không tăng, không giảm.

D. Dãy số

(u_{n})

khi tăng, khi giảm.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(n + 1) + \sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1}} - \frac{1}{n + \sqrt{n^{2} - 1}} < 0$

Vậy dãy $(u_{n})$ là dãy số giảm.