41 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2 : Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định có đáp án

Câu 1:

Tính giới hạn $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x + 2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta thấy khi thay $x_{0} = - 1$ thì bài toán có dạng $\frac{0}{0}$ , như vậy ta nhóm nhân tử chung $(x + 1)$ của cả tử và mẫu để triệt tiêu sau đó đưa về dạng bài toán 1 để tìm kết quả.

Cách 1: $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x + 2} = \lim_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)}^{2}}{2 (x + 1)}$

$= \lim_{x \to - 1} \frac{x + 1}{2} = 0$ .

Cách 2: Bấm máy tính như sau: $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x + 2}$ CACL

$x = - 1 + 10^{- 9}$ và nhận được đáp án.

Cách 3: Dùng chức năng lim của máy Vinacal 570ES Plus: ${\lim \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x + 2}|}_{x \to - 1 + 10^{- 9}}$

Câu 2:

Tìm giới hạn

L = \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt[3]{4 x - 1} - \sqrt{x + 2}}{\sqrt[4]{2 x + 2} - 2}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$L = \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt[3]{4 x - 1} - \sqrt{x + 2}}{\sqrt[4]{2 x + 2} - 2}$ .

$= \lim_{x \to 7} [\frac{\sqrt[3]{4 x - 1} - 3}{\sqrt[4]{2 x + 2} - 2} - \frac{\sqrt{x + 2} - 3}{\sqrt[4]{2 x + 2} - 2}] = \lim_{x \to 7} (A - B)$

Ta có

$A = \frac{\sqrt[3]{4 x - 1} - 3}{\sqrt[4]{2 x + 2} - 2}$ .

$= \frac{2 (\sqrt[4]{2 x + 2} + 2) (\sqrt[4]{{(2 x + 2)}^{2}} + 4)}{(\sqrt[3]{{(4 x - 1)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{4 x - 1} + 9)} = \frac{64}{27}$ .

B = \frac{\sqrt{x + 2} - 3}{\sqrt[4]{2 x + 2} - 2}

.

= \frac{(\sqrt[4]{2 x + 2} + 2) (\sqrt[4]{{(2 x + 2)}^{2}} + 4)}{2 (\sqrt{x + 2} + 3)} = \frac{8}{3}

L = \lim_{x \to 7} (A - B) = \frac{64}{27} - \frac{8}{3} = \frac{- 8}{27}

Câu 3:

Tìm giới hạn $A = \lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 2}{x^{2} - 4 x + 3}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $A = \lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 2}{x^{2} - 4 x + 3} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x^{2} - 2 x - 2)}{(x - 1) (x - 3)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x - 2}{x - 3} = \frac{3}{2}$

Câu 4:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to 2} \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{3} - 8}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $B = \lim_{x \to 2} \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{3} - 8} = \lim_{x \to 2} \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 4)}{x^{3} - 2^{3}}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{(x^{2} - 1) (x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x^{2} - 1) (x + 2)}{x^{2} + 2 x + 4} = 1$

Câu 5:

Tìm giới hạn

C = \lim_{x \to 0} \frac{{(1 + 5 x)}^{3} - {(1 - 6 x)}^{4}}{x}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $C = \lim_{x \to 0} \frac{{(1 + 5 x)}^{3} - {(1 - 6 x)}^{4}}{x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{{(1 + 5 x)}^{3} - 1}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 6 x)}^{4} - 1}{x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{5 x [{(1 + 5 x)}^{2} + (1 + 5 x) + 1]}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{12 x (3 x - 1) [{(1 - 6 x)}^{2} + 1]}{x}$

$= \lim_{x \to 0} 5 [{(1 + 5 x)}^{2} + (1 + 5 x) + 1] - \lim_{x \to 0} 12 (3 x - 1) [{(1 - 6 x)}^{2} + 1] = 39$

.

Câu 6:

Tìm giới hạn $D = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) (1 + 2 x) (1 + 3 x) - 1}{x}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $D = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) (1 + 2 x) (1 + 3 x) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{6 x^{3} + 11 x^{2} + 6 x}{x} = 6$ .

Câu 7:

Tìm giới hạn $A = \lim_{x \to 1} \frac{x^{n} - 1}{x^{m} - 1} (m, n \in ℕ^{*})$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

$A = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... + x + 1)}{(x - 1) (x^{m - 1} + x^{m - 2} + ... + x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... + x + 1}{x^{m - 1} + x^{m - 2} + ... + x + 1} = \frac{n}{m}$ .

Sau đây chúng ta sẽ tìm một số giới hạn liên quan đến biểu thức chứa dấu căn. Nguyên tắc cơ bản của dạng bài tập này là nhân lượng liên hợp để đưa về đa thức. Ngoài cách đó chúng ta có thể chuyển về đa thức khi thực hiện đặt ẩn phụ tùy bài cụ thể:

Câu 8:

Tìm giới hạn $I = \lim_{x \to 0} \frac{2 (\sqrt{3 x + 1} - 1)}{x}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

I = \lim_{x \to 0} \frac{2 (\sqrt{3 x + 1} - 1)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{6 x}{(\sqrt{3 x + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{6}{\sqrt{3 x + 1} + 1} = 3

.

Câu 9:

Tìm giới hạn

K = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 3 x}{\sqrt{4 x + 1} - 1}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

K = \lim_{x \to 0} \frac{(x - 3) (\sqrt{4 x + 1} + 1)}{4} = - \frac{3}{2}

.

Câu 10:

Giới hạn $\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{3 x + 1} - 4}{3 - \sqrt{x + 4}}$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{3 x + 1} - 4}{3 - \sqrt{x + 4}} = \lim_{x \to 5} \frac{[(3 x + 1) - 16] (3 + \sqrt{x + 4})}{[9 - (x + 4)] (\sqrt{3 x + 1} + 4)}$ .

$= \lim_{x \to 5} \frac{- 3 (3 + \sqrt{x + 4})}{\sqrt{3 x + 1} + 4} = \frac{- 18}{8} = - \frac{9}{4}$

Câu 11:

Tìm giới hạn $M = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 4 x} - \sqrt[3]{1 + 6 x}}{x^{2}}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $M = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x + 1} - (2 x + 1)}{x^{2}} - \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 6 x} - (2 x + 1)}{x^{2}}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{- 4}{\sqrt{4 x + 1} + 2 x + 1} - \lim_{x \to 0} \frac{- 8 x - 12}{\sqrt[3]{{(1 + 6 x)}^{2}} + (2 x + 1) \sqrt[3]{1 + 6 x} + {(2 x + 1)}^{2}}$

$= - 2 + 4 = 2$

Câu 12:

Cho biết $\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + a x^{2}} - b x - 2}{4 x^{3} - 3 x + 1} = c$ , với c là một số nguyên và $a, b \in ℝ$ . Phương trình $a x^{4} - 2 b x^{2} + c - 1 = 0$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trên R?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $4 x^{3} - 3 x + 1 = {(2 x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

Suy ra phương trình $\Rightarrow 1 + a x^{2} - {(b x + 2)}^{2} = 0$ phải có nghiệm kép là $x = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow (a - b^{2}) x^{2} - 4 b x - 3 = 0$ có nghiệm kép $x = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a - b^{2} = 0 \\ Δ = 16 b^{2} + 4 (a - b^{2}) .3 = 0 \\ (a - b^{2}) {(\frac{1}{2})}^{2} - 4. b . \frac{1}{2} - 3 = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a - b^{2} \neq 0 \\ a - b^{2} = - \frac{4}{3} b^{2} \\ - \frac{4}{3} b^{2} . {(\frac{1}{2})}^{2} - 4. b . \frac{1}{2} - 3 = 0 \end{cases} \Rightarrow a = b = - 3$

Thử lại đúng. Vậy $a = b = - 3$

Khi đó $\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 3 x^{2}} + 3 x - 2}{4 x^{3} - 3 x + 1} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{- 3 {(2 x - 1)}^{2}}{\sqrt{1 - 3 x^{2}} - (3 x - 2)}}{{(2 x - 1)}^{2} (x + 1)}$

$= \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 3}{(\sqrt{1 - 3 x^{2}} - 3 x + 2) (x + 1)} = - 2$ .

Suy ra $c = - 2$

Vậy ta có phương trình $- 3 x^{4} + 6 x^{2} - 3 = 0$ có nghiệm $x = \pm 1$ .

Câu 13:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1 + a x} - 1}{x} (n \in ℕ^{*}, a \neq 0)$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Cách 1: Nhân liên hợp

Ta có $B = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt[n]{1 + a x} - 1) (\sqrt[n]{{(1 + a x)}^{n - 1}} + \sqrt[n]{{(1 + a x)}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{1 + a x} + 1)}{x (\sqrt[n]{{(1 + a x)}^{n - 1}} + \sqrt[n]{{(1 + a x)}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{1 + a x} + 1)}$

$B = \lim_{x \to 0} \frac{a}{\sqrt[n]{{(1 + a x)}^{n - 1}} + \sqrt[n]{{(1 + a x)}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{1 + a x} + 1} = \frac{a}{n}$ .

Câu 14:

Tìm giới hạn $N = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[m]{1 + a x} - \sqrt[n]{1 + b x}}{x}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $N = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[m]{1 + a x} - 1}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1 + b x} - 1}{x} = \frac{a}{m} - \frac{b}{n}$ .

Câu 15:

Tìm giới hạn $A = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1 + a x} - 1}{\sqrt[m]{1 + b x} - 1}$ với $a b \neq 0$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Áp dụng bài toán trên ta có $A = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1 + a x} - 1}{x} . \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt[m]{1 + b x} - 1} = \frac{a}{n} . \frac{m}{b} = \frac{a m}{b n}$ .

Câu 16:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + a x} \sqrt[3]{1 + b x} - 1}{x}$ với $a b \neq 0$ .

Xem đáp án

Ta có

. $\sqrt{1 + a x} \sqrt[3]{1 + b x} - 1 = \sqrt{1 + a x} (\sqrt[3]{1 + b x} - 1) + (\sqrt{1 + a x} - 1)$

$B = \lim_{x \to 0} \sqrt{1 + a x} \frac{\sqrt[3]{1 + b x} - 1}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + a x} - 1}{x} \Rightarrow B = \frac{a}{2} + \frac{b}{3}$

Câu 17:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + a x} \sqrt[3]{1 + b x} \sqrt[4]{1 + c x} - 1}{x} \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ với $a b \neq 0$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\sqrt{1 + a x} \sqrt[3]{1 + b x} \sqrt[4]{1 + c x} - 1$ .

$= \sqrt{1 + a x} \sqrt[3]{1 + b x} (\sqrt[4]{1 + c x} - 1) + \sqrt{1 + a x} (\sqrt[3]{1 + b x} - 1) + (\sqrt{1 + a x} - 1)$

$B = \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + a x} \sqrt[3]{1 + b x}) \frac{\sqrt[4]{1 + c x} - 1}{x} + \lim_{x \to 0} \sqrt{1 + a x} \frac{\sqrt[3]{1 + b x} - 1}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + a x} - 1}{x}$

$\Rightarrow B = \frac{c}{4} + \frac{b}{3} + \frac{a}{2}$

Câu 18:

Tìm giới hạn $L = \lim_{x \to 0} \frac{{(1 + m x)}^{n} - {(1 + n x)}^{m}}{x^{2}}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $L = \lim_{x \to 0} \frac{{(1 + n x)}^{m} - (1 + m n x)}{x^{2}} - \lim_{x \to 0} \frac{{(1 + m x)}^{n} - (1 + m n x)}{x^{2}} = \frac{m n (n - m)}{2}$ .

Câu 19:

Tìm giới hạn

K = \lim_{x \to 1} \frac{(1 - \sqrt{x}) (1 - \sqrt[3]{x}) ... (1 - \sqrt[n]{x})}{{(1 - x)}^{n - 1}}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

K = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(1 + \sqrt{x}) (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x + 1}) ... (\sqrt[n]{x^{n - 1}} + ... + 1)} = \frac{1}{n!}

Câu 20:

Tìm giới hạn

F = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{(2 x + 1) (3 x + 1) (4 x + 1)} - 1}{x}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt $y = \sqrt[n]{(2 x + 1) (3 x + 1) (4 x + 1)} \Rightarrow x \to 0$ thì $y \to 1$ .

Ta có $\sqrt[n]{(2 x + 1) (3 x + 1) (4 x + 1)} - 1 = y - 1$ .

Lại có $\lim_{x \to 0} \frac{y^{n} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(2 x + 1) (3 x + 1) (4 x + 1) - 1}{x} = 9$ .

Do đó $F = \lim_{x \to 0} \frac{y - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{y^{n} - 1}{x (y^{n - 1} + y^{n - 2} + ... + y + 1)} = \frac{9}{n}$

Để tiếp tục ta xét một số bài toán tìm giới hạn của hàm ẩn và giới hạn có tham số sau.

Câu 21:

Cho

\lim_{x \to 1} \frac{f (x) + 1}{x - 1} = - 1

. Tính

I = \lim_{x \to 1} \frac{(x^{2} + x) f (x) + 2}{x - 1}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 1} \frac{(x^{2} + x) f (x) + 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x^{2} + x) (f (x) + 1) - x^{2} - x + 2}{x - 1}$

$= \lim_{x \to 1} (\frac{(x^{2} + x) (f (x) + 1)}{x - 1} - x - 2) = - 5$ .

Câu 22:

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a+b = 2020 và

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + a x + 1} - \sqrt{b x + 1}}{x} = 1010$ . Tìm a, b.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + a x + 1} - \sqrt{b x + 1}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(x^{2} + a x + 1) - (b x + 1)}{x (\sqrt{x^{2} + a x + 1} + \sqrt{b x + 1})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + (a - b) x}{x (\sqrt{x^{2} + a x + 1} + \sqrt{b x + 1})} = \lim_{x \to 0} \frac{x + (a - b)}{\sqrt{x^{2} + a x + 1} + \sqrt{b x + 1}} = \frac{a - b}{2}$ .

Lại có $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + a x + 1} - \sqrt{b x + 1}}{x} = 1010 \Leftrightarrow \frac{a - b}{2} = 1010 \Leftrightarrow a - b = 2020$ .

Từ đó ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} a + b = 2020 \\ a - b = 2020 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2020 \\ b = 0 \end{cases}$ .

Câu 23:

Cho m, n là các số thực khác 0. Nếu giới hạn $\lim_{x \to - 5} \frac{x^{2} + m x + n}{x + 5} = 3$ , hãy tìm mn?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Vì $\lim_{x \to - 5} \frac{x^{2} + m x + n}{x - 5} = 3$ nên x=-5 là nghiệm của phương trình

$x^{2} + m x + n = 0$ .

$\Rightarrow - 5 m + n + 25 = 0 \Leftrightarrow n = - 25 + 5 m$

Khi đó $\lim_{x \to - 5} \frac{x^{2} + m x + n}{x - 1} = \lim_{x \to - 5} \frac{x^{2} + m x + 5 m - 25}{x + 5} = \lim_{x \to - 5} (x - 5 + m) = m - 10$

$\Leftrightarrow m = 13 \Rightarrow n = 40 \Rightarrow m n = 520$ .

Câu 24:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên R thỏa mãn $\lim_{x \to 2} \frac{f (x) - 16}{x - 2} = 12$ . Tính giới hạn $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{5 f (x) - 16} - 4}{x^{2} + 2 x - 8}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết có $\lim_{x \to 2} (f (x) - 16) = 0 \Leftrightarrow \lim_{x \to 2} f (x) = 16$ .

Ta có $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{5 f (x) - 16} - 4}{x^{2} + 2 x - 8}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{(5 f (x) - 16) - 64}{(x - 2) (x + 4) [{(\sqrt[3]{5 f (x) - 16})}^{2} + 4 \sqrt[3]{5 f (x) - 16} + 4^{2}]}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{5 (f (x) - 16)}{(x - 2) (x + 4) [{(\sqrt[3]{5 f (x) - 16})}^{2} + 4 \sqrt[3]{5 f (x) - 16} + 4^{2}]}$

$= \lim_{x \to 2} [\frac{f (x) - 16}{x - 2} . \frac{5}{(x + 4) ({(\sqrt[3]{5 f (x) - 16})}^{2} + 4 \sqrt[3]{5 f (x) - 16} + 4^{2})}]$

$= 12. \frac{5}{6 [{(\sqrt[3]{5.16 - 16})}^{2} + 4 \sqrt[3]{5.16 - 16} + 16]} = \frac{5}{24}$

Câu 25:

Kết quả đúng của giới hạn

\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 4} - 2}{x^{2} - 4}

bằng

A. $- \frac{1}{12}$

B. $\frac{5}{12}$

C. $\frac{- 5}{12}$

D. $\frac{1}{12}$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 4} - 2}{x^{2} - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{(\sqrt[3]{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{x^{2} + 4} + 4) (x^{2} - 4)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{1}{(\sqrt[3]{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{x^{2} + 4} + 4)} = \frac{1}{12}$

Câu 26:

Kết quả đúng của giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - x} - 1}{x}$ bằng

A. 0

B. $+ \infty$

C. $\frac{- 1}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{- x}{x (\sqrt{1 - x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(\sqrt{1 - x} + 1)} = \frac{- 1}{2}$

Câu 27:

Kết quả đúng của giới hạn

\lim_{x \to 3} \frac{x^{4} - 27 x}{2 x^{2} - 3 x - 9}

bằng

A. 7

B. 5

C. 9

D. 3

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to 3} \frac{x^{4} - 27 x}{2 x^{2} - 3 x - 9} = \lim_{x \to 3} \frac{x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{(2 x + 3) (x - 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x (x^{2} + 3 x + 9)}{(2 x + 3)} = 9$

Câu 28:

Tính giới hạn $\lim_{x \to 1} \frac{2 x - \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 1}$ , ta được kết quả là

A. 0

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{5}{8}$

D. 2

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to 1} \frac{2 x - \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{4 x^{2} - 3 x - 1}{(x^{2} - 1) (2 x + \sqrt{3 x + 1})} = \lim_{x \to 1} \frac{4 x + 1}{(x + 1) (2 x + \sqrt{3 x + 1})} = \frac{5}{8}$

Câu 29:

Kết quả đúng của $\lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt[3]{x} + 1}{\sqrt{x^{2} + 3} - 2}$ bằng

A. $- \frac{2}{3}$

B. $\frac{- 1}{\sqrt[3]{4} - 2}$

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt[3]{x} + 1}{\sqrt{x^{2} + 3} - 2} = \lim_{x \to - 1} \frac{(x + 1) (\sqrt{x^{2} + 3} + 2)}{(\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x} + 1) (x^{2} - 1)} = \lim_{x \to - 1} \frac{(\sqrt{x^{2} + 3} + 2)}{(\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x} + 1) (x - 1)} = \frac{4}{- 6} = \frac{- 2}{3}$

Câu 30:

Kết quả đúng của giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{{(x + a)}^{3} - a^{3}}{x}$ bằng

A. $a^{2}$

B. $2 a^{2}$

C. 0

D. $3 a^{2}$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to 0} \frac{{(x + a)}^{3} - a^{3}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 3 x^{2} a + 3 x a^{2}}{x} = \lim_{x \to 0} (x^{2} + 3 x a + 3 a^{2}) = 3 a^{2}$

Câu 31:

Kết quả đúng của giới hạn $\lim_{x \to - 2} \frac{x^{4} - 16}{x^{2} + 6 x + 8}$ bằng

A. $- 14$

B. -16

C. -18

D. -12

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to - 2} \frac{x^{4} - 16}{x^{2} + 6 x + 8} = \lim_{x \to - 2} \frac{(x^{2} + 4) (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 4)} = \lim_{x \to - 2} \frac{(x^{2} + 4) (x - 2)}{(x + 4)} = - 16$

Câu 32:

Kết quả đúng của

\lim_{x \to - 2} \frac{x^{4} + 8 x}{x^{3} + 2 x^{2} + x + 2}

bằng

A. $- \frac{21}{5}$

B. $\frac{21}{5}$

C. $\frac{24}{5}$

D. $\frac{- 24}{5}$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to - 2} \frac{x^{4} + 8 x}{x^{3} + 2 x^{2} + x + 2} = \lim_{x \to - 2} \frac{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{(x + 2) (x^{2} + 1)} = \lim_{x \to - 2} \frac{x (x^{2} - 2 x + 4)}{(x^{2} + 1)} = \frac{- 24}{5}$

Câu 33:

Kết quả đúng của $\lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt{x^{2} + 8} - 3}{\sqrt{1 - x} - \sqrt{2}}$ bằng

A. $- \infty$

B. $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{- 2 \sqrt{2}}{3}$

D. -2

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt{x^{2} + 8} - 3}{\sqrt{1 - x} - \sqrt{2}} = \lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} - 1) (\sqrt{1 - x} + \sqrt{2})}{(\sqrt{x^{2} + 8} + 3) (- x - 1)} = \lim_{x \to - 1} \frac{(x - 1) (\sqrt{1 - x} + \sqrt{2})}{- (\sqrt{x^{2} + 8} + 3)} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 34:

Kết quả đúng của $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1} - 1}{3 x}$ bằng

A. $+ \infty$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{6}$

D. 1

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1} - 1}{3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{3 x (\sqrt{x^{2} + x + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{3 (\sqrt{x^{2} + x + 1} + 1)} = \frac{1}{6}$

Câu 35:

Kết quả đúng của $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{4 - \sqrt{x^{2} + 16}}$ bằng

A. $+ \infty$

B. -1

C. $- 4$

D. 4

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{4 - \sqrt{x^{2} + 16}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (4 + \sqrt{x^{2} + 16})}{- x^{2} (\sqrt{x^{2} + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{(4 + \sqrt{x^{2} + 16})}{- (\sqrt{x^{2} + 1} + 1)} = - 4$

Câu 36:

Tính giới hạn $\lim_{x \to 1} \frac{x^{m} - x^{n}}{x - 1}$ ; $m, n \in ℕ$ ta được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $m - n$

C. m

D. mn

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to 1} \frac{x^{m} - x^{n}}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x^{m} - 1) - (x^{n} - 1)}{x - 1}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x^{m - 1} + x^{m - 2} + ... + 1) - (x - 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... + 1)}{x - 1}$

$= \lim_{x \to 1} [(x^{m - 1} + x^{m - 2} + ... + 1) - (x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... + 1)] = m - n$

Câu 37:

Giới hạn $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 x - 1} - \sqrt[3]{3 x - 2}}{x - 1}$ bằng

A. 1

B. 0

C. $+ \infty$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 x - 1} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{2}{\sqrt{2 x - 1} + 1} = 1$ và $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{3 x - 2} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{3}{(\sqrt[3]{{(3 x - 2)}^{2}} + \sqrt[3]{3 x - 2} + 1)} = 1$

Do đó $L = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 x - 1} - \sqrt[3]{3 x - 2}}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 x - 1} - 1}{x - 1} - \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{3 x - 2} - 1}{x - 1} = 1 - 1 = 0$ Vậy L=0

Câu 38:

Biết

\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt[3]{x + 19}}{\sqrt[4]{x + 8} - 2} = \frac{a}{b}

, trong đó

\frac{a}{b}

là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương. Tổng a+b bằng

A. 137

B. 138

C. 139

D. 140

Xem đáp án

Đặt $\sqrt[4]{x + 8} = t \Rightarrow \{\begin{cases} t^{4} - 8 = x \\ x \to 8 \Rightarrow t \to 2 \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt[3]{x + 19}}{\sqrt[4]{x + 8} - 2} = \lim_{t \to 2} \frac{\sqrt{t^{4} - 7} - \sqrt[3]{t^{4} + 11}}{t - 2}$

$\lim_{t \to 2} \frac{\sqrt{t^{4} - 7} - 3}{t - 2} = \lim_{t \to 2} \frac{(t^{2} + 4) (t + 2)}{\sqrt{t^{4} - 7} + 3} = \frac{16}{3}$ và $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{t^{4} + 11} - 3}{t - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(t^{4} + 4) (t + 2)}{(\sqrt[3]{{(t^{4} + 11)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{t^{4} + 11} + 9)} = \frac{32}{27}$

Ta có: $\frac{a}{b} = \lim_{t \to 2} \frac{\sqrt{t^{4} - 7} - \sqrt[3]{t^{4} + 11}}{t - 2} = \lim_{t \to 2} \frac{\sqrt{t^{4} - 7} - 3}{t - 2} - \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{t^{4} + 11} - 3}{t - 2} = \frac{16}{3} - \frac{32}{27}$

Suy ra $\frac{a}{b} = \frac{112}{27} \Rightarrow a + b = 139$

Câu 39:

Biết $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{8 x + 11} - \sqrt{x + 7}}{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{a}{b}$ trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương. Tổng 2a+b bằng

A. 68

B. 69

C. 70

D. 71

Xem đáp án

Vì $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{8 x + 11} - 3}{x^{2} - 3 x + 2} = \lim_{x \to 2} \frac{8}{(x - 1) (\sqrt[3]{{(8 x + 11)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{8 x + 11} + 9)} = \frac{8}{27}$

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x^{2} - 3 x + 2} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{(x - 1) (\sqrt{x + 7} + 3)} = \frac{1}{6}$

Vì $\frac{a}{b} = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{8 x + 11} - 3}{x^{2} - 3 x + 2} - \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{8}{27} - \frac{1}{6} = \frac{7}{54}$

$\frac{a}{b} = \frac{7}{54} \Rightarrow 2 a + b = 14 + 54 = 68$

Câu 40:

Biết $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{6 x + 9} - \sqrt[3]{27 x - 54}}{(x - 3) (x^{2} + 3 x - 18)} = \frac{a}{b}$ trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương. Tổng 3x + b bằng

A. 57

B. 58

C. 56

D. 55

Xem đáp án

Vì $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{6 x - 9} - x}{{(x - 3)}^{2} (x + 6)} = \lim_{x \to 3} \frac{- 1}{(x + 6) (\sqrt{6 x - 9} + x)} = \frac{- 1}{54}$

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt[3]{27 x - 54} - x}{{(x - 3)}^{2} (x + 6)} = \lim_{x \to 3} \frac{- 1}{(\sqrt[3]{{(27 x - 54)}^{2}} + x \sqrt[3]{27 x - 54} + x^{2})} = \frac{- 1}{27}$

Suy ra $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{6 x - 9} - \sqrt[3]{27 x - 54}}{(x - 3) (x^{2} + 3 x - 18)} = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{6 x - 9} - x}{{(x - 3)}^{2} (x + 6)} - \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt[3]{27 x - 54} - x}{{(x - 3)}^{2} (x + 6)} = \frac{- 1}{54} + \frac{1}{27} = \frac{1}{54}$

Vậy $\frac{a}{b} = \frac{1}{54} \Rightarrow 3 a + b = 57$

Câu 41:

Cho a là một số thực khác 0. Kết quả của $\lim_{x \to a} \frac{x^{4} - a^{4}}{x - a}$ bằng

A. 3a

B. $2 a^{2}$

C. $a^{3}$

D. $4 a^{3}$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to a} \frac{x^{4} - a^{4}}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{(x^{2} + a^{2}) (x + a) (x - a)}{x - a} = \lim_{x \to a} [(x^{2} + a^{2}) (x + a)] = 4 a^{3}$