26 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 6: Tìm giới hạn hàm lượng giác có đáp án

Câu 1:

A = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2 x - \sin 3 x}{x}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $A = \lim_{x \to 0} (\frac{\tan 2 x}{x} - \frac{\sin 3 x}{x}) = 2 - 3 = - 1$ .

Câu 2:

Tìm giới hạn $A = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2 x}{x^{2}}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $A = \lim_{x \to 0} 2. {(\frac{\sin x}{x})}^{2} = 2$

Câu 3:

Tìm giới hạn

A = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos a x}{x^{2}}

, với

a \neq 0

Xem đáp án

Ta có $A = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2} \frac{a x}{2}}{x^{2}} = \frac{a^{2}}{2} \lim_{x \to 0} {(\frac{\sin \frac{a x}{2}}{\frac{a x}{2}})}^{2} = \frac{a^{2}}{2}$

Câu 4:

Tìm giới hạn .

B = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x . \cos 2 x . \cos 3 x}{x^{2}}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{1 - \cos x . \cos 2 x . \cos 3 x}{x^{2}}$

$= \frac{1 - \cos x + \cos x \cos 2 x (1 - \cos 3 x) + \cos x (1 - \cos 2 x)}{x^{2}}$

$= \frac{1 - \cos x}{x^{2}} + \cos x . \cos 2 x \frac{1 - \cos 3 x}{x^{2}} + \cos \frac{1 - \cos 2 x}{x^{2}}$

$B = \lim_{x \to 0} (\frac{1 - \cos x}{x^{2}} + \cos x . \cos 2 x \frac{1 - \cos 3 x}{x^{2}} + \cos x \frac{1 - \cos 2 x}{x^{2}}) = 7$

Câu 5:

Tìm giới hạn

A = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \sin x - \cos x}{1 + \sin 2 x - \cos 2 x}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{1 + \sin x - \cos x}{1 + \sin 2 x - \cos 2 x} = \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x}$

$\Rightarrow A = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} . \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} . \frac{x}{\sin x} . \frac{\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{2}$

Câu 6:

Tìm giới hạn $A = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \sin m x - \cos m x}{1 + \sin n x - \cos n x}$ , với $m . n \neq 0$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{1 + \sin m x - \cos m x}{1 + \sin n x - \cos n x} = \frac{2 \sin^{2} \frac{m x}{2} + 2 \sin \frac{m x}{2} \cos \frac{m x}{2}}{2 \sin^{2} \frac{n x}{2} + 2 \sin \frac{n x}{2} \cos \frac{n x}{2}}$

$= \frac{m}{n} . \frac{\sin \frac{m x}{2}}{\frac{m x}{2}} . \frac{\frac{n x}{2}}{\sin \frac{n x}{2}} . \frac{\sin \frac{m x}{2} + \cos \frac{m x}{2}}{\sin \frac{n x}{2} + \cos \frac{n x}{2}}$ .

Suy ra $A = \frac{m}{n} \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{m x}{2}}{\frac{m x}{2}} . \lim_{x \to 0} \frac{\frac{n x}{2}}{\sin \frac{n x}{2}} . \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{m x}{2} + \cos \frac{m x}{2}}{\sin \frac{n x}{2} + \cos \frac{n x}{2}} = \frac{m}{n}$ .

Câu 7:

Tìm giới hạn . $A = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2 x}{2 \sin \frac{3 x}{2}}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $A = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} x}{\sin \frac{3 x}{2}} = \lim_{x \to 0} x {(\frac{\sin x}{x})}^{2} . \frac{3}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{3 x}{2}}{\frac{3 x}{2}} = 0$

Câu 8:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2 x - \cos 3 x}{(\sin 3 x - \sin 4 x)}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$B = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin \frac{5 x}{2} \sin \frac{x}{2}}{- 2 x \cos \frac{7 x}{2} \sin \frac{x}{2}} = \lim_{x \to 0} (\frac{5}{2} . \frac{\sin \frac{5 x}{2}}{\frac{5 x}{2}}) . \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos \frac{7 x}{2}} = \frac{5}{2}$

Câu 9:

Tìm giới hạn

C = \lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} 2 x}{1 - \sqrt[3]{\cos 2 x}}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

.

$C = \lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} 2 x}{1 - \sqrt[3]{\cos 2 x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} 2 x (1 + \sqrt[3]{\cos 2 x} + \sqrt[3]{\cos^{2} 2 x})}{1 - \cos 2 x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} 2 x (1 + \sqrt[3]{\cos 2 x} + \sqrt[3]{\cos^{2} 2 x})}{2 \sin^{2} x}$

$= 2 \lim_{x \to 0} {(\frac{\tan 2 x}{2 x})}^{2} . {(\frac{x}{\sin x})}^{2} . (1 + \sqrt[3]{\cos 2 x} + \sqrt[3]{\cos^{2} 2 x})$

$\Rightarrow C = 6$

Câu 10:

Tìm giới hạn $D = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x \sin 3 x - \cos 2 x}}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

D = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x \sin 3 x - \cos 2 x}}{x^{2}}}

mà $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x \sin 3 x} - \cos 2 x}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x \sin 3 x} - 1}{x^{2}} + \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2 x}{x^{2}}$

$= 3 \lim_{x \to 0} (\frac{\sin 3 x}{3 x} . \frac{1}{\sqrt{1 + x \sin 3 x} + 1}) + 2 = \frac{7}{2}$ .

Câu 11:

Tìm giới hạn $A = \lim_{x \to 1} \frac{\sin (π x^{m})}{\sin (π x^{n})}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$A = \lim_{x \to 1} \frac{\sin π (1 - x^{m})}{\sin π (1 - x^{n})} = \lim_{x \to 1} \frac{\sin π (1 - x^{m})}{π (1 - x^{m})} . \lim_{x \to 1} \frac{π (1 - x^{n})}{\sin π (1 - x^{n})} . \lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{n}}{1 - x^{m}}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{n}}{1 - x^{m}} = \lim_{x \to 1} \frac{(1 - x) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... + 1)}{(1 - x) (x^{m - 1} + x^{m - 2} + ... + 1)} = \frac{n}{m}$

Câu 12:

Tìm giới hạn . $F = \lim_{x \to + \infty} \frac{3 \sin x + 2 \cos x}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $- \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} \leq \frac{3 \sin x + 2 \cos x}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} \leq \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}$ .

Lại có $\lim_{x \to + \infty} \frac{\pm \sqrt{13}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = 0$ .

Vậy

F = \lim_{x \to + \infty} \frac{3 \sin x + 2 \cos}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = 0

.

Câu 13:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to 1} \frac{\tan (x - 1)}{x - 1}$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. 0

C. $\frac{5}{2}$

D. 1

Xem đáp án

Ta có: $B = \lim_{x \to 1} \frac{\tan (x - 1)}{x - 1} = 1$

Câu 14:

Tìm giới hạn $C = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2 x . \sin 5 x}{x^{2}}$ được kết quả là

A. 10

B. 7

C. $\frac{5}{2}$

D. 3

Xem đáp án

Ta có: $C = \lim_{x \to 0} \frac{2 \tan 2 x}{2 x} . \frac{5 \sin 5 x}{5 x} = 10$

Câu 15:

Tìm giới hạn $D = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^{3}}$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $\frac{- 1}{2}$

C. $\frac{5}{2}$

D. 0

Xem đáp án

Ta có $D = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (\cos x - 1)}{x^{3} \cos x} = - \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x . \sin^{2} \frac{x}{2}}{x^{3} \cos x} = - \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} {(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})}^{2} = - \frac{1}{2}$

Câu 16:

Tìm giới hạn $A = \lim_{x \to 0} \frac{\cos 3 x - \cos 4 x}{\cos 5 x - \cos 6 x}$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{7}{11}$

D. 0

Xem đáp án

Ta có $A = \lim_{x \to 0} \frac{\cos 3 x - \cos 4 x}{\cos 5 x - \cos 6 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{7 x}{2} . \sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{11 x}{2} . \sin \frac{x}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{7 x}{2}}{\sin \frac{11 x}{2}} = \frac{7}{11}$

Câu 17:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt[3]{1 + 2 \sin 2 x}}{\sin 3 x}$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{- 4}{9}$

D. 0

Xem đáp án

Ta có $B = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt[3]{1 + 2 \sin 2 x}}{\sin 3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin 2 x}{\sin 3 x (1 + \sqrt[3]{1 + 2 \sin 2 x} + \sqrt[3]{{(1 + 2 \sin 2 x)}^{2}})} = - \frac{4}{9}$

Câu 18:

Tìm giới hạn $C = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} 2 x}{\sqrt[3]{\cos x} - \sqrt[4]{\cos x}}$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. -96

D. 0

Xem đáp án

Ta có $C = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} 2 x}{\sqrt[3]{\cos x} - \sqrt[4]{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin^{2} 2 x}{x^{2}}}{\frac{\sqrt[3]{\cos x} - 1}{x^{2}} + \frac{1 - \sqrt[4]{\cos x}}{x^{2}}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt[3]{\cos x}}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2} (1 + \sqrt[3]{\cos 2 x} + \sqrt[3]{\cos^{2} 2 x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{x^{2} (1 + \sqrt[3]{\cos 2 x} + \sqrt[3]{\cos^{2} 2 x})} = \frac{1}{6}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt[4]{\cos x}}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)}{x^{2} (1 + \sqrt[4]{\cos x}) (1 + \sqrt{\cos x})} = \frac{1}{8}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} 2 x}{x^{2}} = 4$

Vậy $C = \frac{4}{- \frac{1}{6} + \frac{1}{8}} = - 96$

Câu 19:

Tìm giới hạn $D = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{4} 2 x}{\sin^{4} 3 x}$ được kết quả chính xác là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{16}{81}$

D. 0

Xem đáp án

Ta có $D = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{4} 2 x}{\sin^{4} 3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin^{4} 2 x}{x^{4}}}{\frac{\sin^{4} 3 x}{x^{2}}} = \frac{16}{81}$

Câu 20:

Tìm giới hạn $E = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (\frac{π}{2} \cos x)}{\sin (\tan x)}$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{5}{2}$

D. 0

Xem đáp án

Ta có $E = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \sin (\frac{π}{2} \cos x)}{\tan x}}{\frac{\sin (\tan x)}{\tan x}}$ mà $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (\tan x)}{\tan x} = 1$

Lại có $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (\frac{π}{2} \cos x)}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos [\frac{π}{2} (1 - \cos x)]}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2} (\frac{π \sin^{2} \frac{x}{2}}{2})}{\tan x}$

$= \frac{π}{4} \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (\frac{π \sin^{2} \frac{x}{2}}{2})}{\frac{π \sin^{2} \frac{x}{2}}{2}} . \frac{\sin^{2} \frac{x}{2}}{{(\frac{x}{2})}^{2}} . x . \frac{x}{\tan x} = 0$

Do đó E= 0

Câu 21:

Kết quả đúng của $\lim_{x \to 0} x^{2} \cos \frac{2}{n x}$ là

A. không tồn tại

B. 0

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Ta có $0 \leq |\cos \frac{2}{n x}| \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq |x^{2} \cos \frac{2}{n x}| \leq x^{2}$ mà $\lim_{x \to 0} x^{2} = 0$ nên $\lim_{x \to 0} x^{2} \cos \frac{2}{n x} = 0$

Câu 22:

Tìm giới hạn $L = \lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos x}{x - \frac{π}{2}}$ kết quả là

A. L= 1

B. L= -1

C. L=0

D. L= $\frac{π}{2}$

Xem đáp án

Ta có $L = \lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos x}{x - \frac{π}{2}} = \lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (\frac{π}{2} - x)}{x - \frac{π}{2}} = - 1$

Câu 23:

Tìm giới hạn $H = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[m]{\cos a x} - \sqrt[m]{\cos b x}}{\sin^{2} x}$ có kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{b}{2 n} - \frac{2}{2 m}$

D. 0

Xem đáp án

$H = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[m]{\cos a x} - \sqrt[m]{\cos b x}}{\sin^{2} x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[m]{\cos a x} - 1 + 1 - \sqrt[m]{\cos b x}}{\sin^{2} x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\cos a x - 1}{[{(\sqrt[m]{\cos a x})}^{m - 1} + {(\sqrt[m]{\cos a x})}^{m - 2} + ... + 1] \sin^{2} x} - \lim_{x \to 0} \frac{\cos b x - 1}{[{(\sqrt[m]{\cos b x})}^{m - 1} + {(\sqrt[m]{\cos b x})}^{m - 2} + ... + 1] \sin^{2} x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2} \frac{b x}{2}}{[{(\sqrt[m]{\cos b x})}^{m - 1} + {(\sqrt[m]{\cos b x})}^{m - 2} + ... + 1] \sin^{2} x} - \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2} \frac{a x}{2}}{[{(\sqrt[m]{\cos a x})}^{m - 1} + {(\sqrt[m]{\cos a x})}^{m - 2} + ... + 1] \sin^{2} x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{b^{2}}{2} . \frac{\sin^{2} \frac{b x}{2}}{\frac{b^{2} x^{2}}{4}}}{[{(\sqrt[m]{\cos b x})}^{m - 1} + {(\sqrt[m]{\cos b x})}^{m - 2} + ... + 1] \frac{\sin^{2} x}{x^{2}}} - \lim_{x \to 0} \frac{\frac{a^{2}}{2} . \frac{\sin^{2} \frac{a x}{2}}{\frac{a^{2} x^{2}}{4}}}{[{(\sqrt[m]{\cos a x})}^{m - 1} + {(\sqrt[m]{\cos a x})}^{m - 2} + ... + 1] \frac{\sin^{2} x}{x^{2}}}$

$= \frac{b^{2} - a^{2}}{2 m}$

Câu 24:

Tìm giới hạn $M = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt[n]{\cos a x}}{x^{2}}$ có kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{a}{2 n}$

D. 0

Xem đáp án

Ta có $M = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt[n]{\cos a x}}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos a x}{[{(\sqrt[n]{\cos a x})}^{n - 1} + {(\sqrt[n]{\cos a x})}^{n - 2} + ... + 1] x^{2}}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{a^{2}}{2} \sin^{2} \frac{a x}{2}}{[{(\sqrt[n]{\cos a x})}^{n - 1} + {(\sqrt[n]{\cos a x})}^{n - 2} + ... + 1] \frac{a^{2} x^{2}}{4}} = \frac{a^{2}}{2 n}$

Câu 25:

Kết quả giới hạn $M = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 3 x} - \sqrt{1 + 2 x}}{1 - \cos 2 x} = - \frac{a}{b}$ trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $a; b > 0$ . Tổng a+b bằng

A. 3

B. 2

C. 6

D. 5

Xem đáp án

Ta có $M = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sqrt[3]{3 x + 1} - \sqrt{2 x + 1}}{x^{2}}}{\frac{1 - \cos 2 x}{x^{2}}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sqrt[3]{3 x + 1} - (x + 1) + (x + 1) - \sqrt{2 x + 1}}{x^{2}}}{\frac{2 \sin^{2} x}{x^{2}}}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sqrt[3]{3 x + 1} - x - 1}{x^{2}}}{\frac{2 \sin^{2} x}{x^{2}}} + \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 1 - \sqrt{2 x + 1}}{x^{2}}}{\frac{2 \sin^{2} x}{x^{2}}}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 3 x^{2}}{x^{2} ({(\sqrt[3]{3 x + 1})}^{2} + (x + 1) \sqrt[3]{3 x + 1} + {(x + 1)}^{2})}}{\frac{2 \sin^{2} x}{x^{2}}} + \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} (x + 1 + \sqrt{2 x + 1})}}{\frac{2 \sin^{2} x}{x^{2}}}$

$= \frac{- 1}{2} + \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} \Rightarrow a = 1; b = 4 \Rightarrow a + b = 5$

Câu 26:

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 \sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{\sin 3 x}$ . Kết quả giới hạn $\lim_{x \to 0} f (x) = \frac{a}{b}$ , trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $a; b > 0$ . Tổng a+b bằng

A. 49

B. 48

C. 21

D. 35

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{\sin 3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{1 + x} - 2 + 2 - \sqrt[3]{8 - x}}{\sin 3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{1 + x} - 2}{\sin 3 x} + \lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{\sin 3 x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{1 + \sqrt{1 + x}}}{3 x \frac{\sin 3 x}{3 x}} + \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{4 + 2 \sqrt[3]{8 - x} + {(\sqrt[3]{8 - x})}^{2}}}{3 x \frac{\sin 3 x}{3 x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + \sqrt{1 + x}}}{3 \frac{\sin 3 x}{3 x}} + \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + 2 \sqrt[3]{8 - x} + {(\sqrt[3]{8 - x})}^{2}}}{3 \frac{\sin 3 x}{3 x}}$

$= \frac{1}{3} + \frac{1}{36} = \frac{13}{36} = \frac{a}{b} \Rightarrow a + b = 49$