31 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5: Tìm giới hạn một bên và giới hạn vô cùng có đáp án

Câu 1:

Tìm giới hạn $\lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{5 x - 1}$ .

Hướng dẫn giải

Do $x \to 3^{-} \Rightarrow x < 3$ , như vậy $|x - 3| = - x + 3$ .

Ta có $\lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{5 x - 1} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{- x + 3}{5 x - 15} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{- 1}{5} = \frac{- 1}{5}$ .

Câu 2:

Cho hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} 5 x^{4} - 6 x^{2} - x khi x \geq 1 \\ - x^{3} + 3 x khi x < 1 \end{cases}$ Tính giới hạn

$K = \lim_{x \to 1} f (x)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (- x^{3} + 3 x) = - 1 + 3 = 2$ ;

$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (5 x^{4} - 6 x^{2} - x) = - 2$

Do $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ nên không tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$

Câu 3:

Tính giới hạn $\lim_{x \to 2} \frac{|x^{2} - 3 x + 2|}{x - 2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{(x - 2) (x - 1)}{x - 2}$

$= \lim_{x \to 2^{+}} (x - 1) = 1$ .

$\lim_{x \to 2^{+}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{- (x - 2) (x - 1)}{x - 2}$ .

$= \lim_{x \to 2^{+}} (1 - x) = - 1$

$\Rightarrow \lim_{x \to 2^{-}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2} \neq \lim_{x \to 2^{+}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2}$

Vậy không tồn tại $\lim_{x \to 2} \frac{|x^{2} - 3 x + 2|}{x - 2}$ .

Câu 4:

Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1}{- 1} = - 1$

Câu 5:

Tìm giới hạn

\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{\sqrt{x^{3} + x^{2}}}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{\sqrt{x^{3} + x^{2}}} = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{(x + 1) (x + 3)}{\sqrt{x^{2} (x + 1)}} = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{\sqrt{x + 1} (x + 3)}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{0}{1} = 0$ .

Một bài toán về định lí tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = \lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = L$ .

Câu 6:

Tìm

\lim_{x \to 1} f (x)

với

f (x) = \{\begin{cases} x - 3 khi x \leq 1 \\ 1 - \sqrt{7 x^{2} + 2} khi x > 1 \end{cases}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x - 3) = - 2 \\ \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (1 - \sqrt{7 x^{2} + 2}) = - 2 \end{cases}$ .

Do $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = - 2$ nên $\lim_{x \to 1} f (x) = - 2$ .

Sau đây ta sẽ xét một số bài tập về kết quả giới hạn một phía bằng vô cùng.

Câu 7:

Tìm giới hạn $L = \lim_{x \to 2^{-}} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4})$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$L = \lim_{x \to 2^{-}} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4}) = \lim_{x \to 2^{-}} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{(x - 2) (x + 2)})$ .

$= \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 2 - 1}{(x - 2) (x + 2)} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{(x - 2) (x + 2)}$

Ta có $\lim_{x \to 2^{-}} (x - 2) = 0$ và $x \to 2^{-} \Rightarrow x < 2 \Rightarrow x - 2 < 0$

Mặt khác $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{3}{4} > 0$ .

Kết luận $L = - \infty$ .

Câu 8:

Tìm $\lim_{x \to - 3^{+}} \frac{x + \sqrt{x + 12}}{{(x + 3)}^{2}}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$L = \lim_{x \to - 3^{+}} \frac{x + \sqrt{x + 12}}{{(x + 3)}^{2}} = \lim_{x \to - 3^{+}} \frac{x^{2} - x - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - \sqrt{x + 12})} = \lim_{x \to - 3^{+}} \frac{(x - 4)}{(x + 3) (x - \sqrt{x + 12})}$

Ta có $\lim_{x \to - 3^{+}} \frac{(x - 4)}{(x - \sqrt{x + 12})} = \frac{7}{6}$ .

Mặt khác $\lim_{x \to - 3^{+}} (x + 3) = 0$ và $x \to - 3^{+} \Rightarrow x > - 3 \Rightarrow x + 3 > 0$ .

Kết luận $L = + \infty$

Câu 9:

Tìm $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} + 1} + x)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} + 1} + x) = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} (2 + \frac{1}{x^{2}})} + x) = \lim_{x \to - \infty} x (- \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}} + 1) = + \infty$ .

Vì

\{\begin{cases} \lim_{x \to - \infty} x = - \infty \\ \lim_{x \to - \infty} (- \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}} + 1) = 1 - \sqrt{2} < 0 \end{cases}

.

Câu 10:

Tìm $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt[3]{x^{2} - 4 x} - x)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt[3]{x^{2} - 4 x} - x) = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt[3]{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}}} - 1) = - \infty$ .

Sau đây chúng ta xét các bài tập về tìm điều kiện để tồn tại giới hạn.

Câu 11:

Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x + m khi x < 0 \\ x^{2} + 1 khi x \geq 0 \end{cases}$ có giới hạn tại x=0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (x + m) = m; \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (x^{2} + 1) = 1$ .

Hàm số có giới hạn tại x=0 khi $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) \Leftrightarrow m = 1$ .

Câu 12:

Biết hàm số $y = f (x) = \{\begin{cases} 3 x + b, khi x \geq - 1 \\ x + a, khi x > - 1 \end{cases}$ cơ giới hạn tại $x = - 1$ . Tính giá trị của a-b ?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Tại điểm x=-1 ta có $\lim_{x \to {(- 1)}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} (3 x + b) = - 3 + b = f (- 1)$

và $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} (x + a) = - 1 + a$

Hàm số có giới hạn tại x=-1 khi và $\lim_{x \to {(- 1)}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} f (x)$ chỉ khi .

Điều này tương đương với

- 3 + b = - 1 + a \Rightarrow a - b = - 2

.

Câu 13:

Kết quả $\lim_{x \to 0^{-}} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}})$ là

A. $- \infty$

B. 0

C. $+ \infty$

D . không tồn tại

Xem đáp án

ta có: $\lim_{x \to 0^{-}} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x^{2}} - \lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{x^{3}} = + \infty$

Câu 14:

Kết quả $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x}$ là

A. -1

B. 0

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x}{1 - \sqrt{x - 1}} = 1$ .

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f (x) = \frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x}$ .

Vì $x \to 1^{+}$ nên nhập $C A L C x = 1 + \frac{1}{10^{11}}$ .

Câu 15:

Kết quả đúng của

\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - 1}

bằng

A. $- \infty$

B. -1

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - 1} = + \infty$ .

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - 1}$ .

Vì

x \to 1^{+}

nên nhập

C A L C x = 1 + \frac{1}{10^{11}}

.

Câu 16:

Giá trị đúng của $\lim_{x \to 3} \frac{|x - 3|}{x - 3}$ bằng

A. Không tồn tại

B. 0

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có $\lim_{x \to 3^{+}} \frac{|x - 3|}{x - 3} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 3}{x - 3} = 1$ .

Mặt khác $\lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{x - 3} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{3 - x}{x - 3} = - 1$ .

Do $\lim_{x \to 3^{+}} \frac{|x - 3|}{x - 3} \neq \lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{x - 3}$ . Nên không tồn tại giới hạn.

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f (x) = \frac{|x - 3|}{x - 3}$ .

Vì $x \to 3^{+}$ nên nhập $C A L C x = 3 + \frac{1}{10^{11}}$ .

Vì $x \to 3^{-}$ nên nhập $C A L C x = 3 - \frac{1}{10^{11}}$ .

Hai giá trị không gần nhau nên không tồn tại giới hạn.

Câu 17:

Giới hạn $A = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} - x + 1} - 2 x)$ kết quả bằng

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{- 1}{2}$

D. 0

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} - x + 1} - 2 x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 3 x^{2} - x + 1}{\sqrt{x^{2} - x + 1} + 2 x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}} + \frac{2}{x}} = - \infty$ .

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f (x) = (\sqrt{x^{2} - x + 1} - 2 x)$ .

Vì $x \to + \infty$ nên nhập $C A L C x = 10^{10}$ .

Câu 18:

Giới hạn $B = \lim_{x \to - \infty} (2 x + \sqrt{4 x^{4} - x + 1})$ có kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{1}{4}$

D. 0

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có $B = \lim_{x \to - \infty} (2 x + \sqrt{4 x^{4} - x + 1}) = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 4 x^{4} + 4 x^{2} + x - 1}{2 x - \sqrt{4 x^{4} - x + 1}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 4 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2}{x^{3}} - \sqrt{\frac{4}{x^{4}} - \frac{1}{x^{7}} + \frac{1}{x^{8}}}} = + \infty$ .

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f (x) = (2 x + \sqrt{4 x^{4} - x + 1})$ .

Vì $x \to - \infty$ nên nhập $C A L C x = - 10^{10}$ .

Câu 19:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x - 1}$ . Tìm $\lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ .

A. $- \infty$

B. $\frac{- 2}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có $\lim_{x \to 1^{+}} (\frac{1}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x - 1}) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{x - 1} (\frac{1}{x^{2} + x + 1} - 1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{- 2}{3 (x - 1)} = - \infty$ .

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x - 1}$ .

Vì $x \to 1^{+}$ nên nhập $C A L C x = 1 + \frac{1}{10^{10}}$ .

Câu 20:

Giới hạn $B = \lim_{x \to - \infty} x (\sqrt{4 x^{2} + 1} - x)$ bằng

A. $+ \infty$

B. $+ \infty$

C. $\frac{1}{4}$

D. 0

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có $B = \lim_{x \to - \infty} x (\sqrt{4 x^{2} + 1} - x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 x^{2} + 1)}{\sqrt{4 x^{2} + 1} + x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{3 + \frac{1}{x^{2}}}{- \sqrt{\frac{4}{x^{4}} + \frac{1}{x^{6}}} + \frac{1}{x^{2}}} = - \infty$ .

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f (x) = x (\sqrt{4 x^{2} + 1} - x)$ .

Vì $x \to - \infty$ nên nhập $C A L C x = - 10^{10}$ .

Câu 21:

Tìm

\lim_{x \to {(- 2)}^{-}} f (x)

với

f (x) = \{\begin{cases} 2 x^{2} - 3, khi |x| < 2 \\ 5, khi |x| = 2 \\ 3 x - 1, khi |x| > 2 \end{cases}

A. không tồn tại

B. $- \infty$

C. 2

D. -7

Xem đáp án

Với $f (x) = \{\begin{cases} 2 x^{2} - 3, khi |x| < 2 \\ 5, khi |x| = 2 \\ 3 x - 1, khi |x| > 2 \end{cases}$ Ta có $\lim_{x \to {(- 2)}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(- 2)}^{-}} (3 x - 1) = - 7$

Câu 22:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} + 1}{1 - x}, khi x < 1 \\ \sqrt{2 x - 2}, khi x \geq 1 \end{cases}$ . Khi đó $\lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ bằng

A. 0

B. 2

C. $- \infty$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Với hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} + 1}{1 - x}, khi x < 1 \\ \sqrt{2 x - 2}, khi x \geq 1 \end{cases}$ Khi đó $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty$

Câu 23:

Cho $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{4 - x^{2}}, khi - 2 \leq x \leq 2 \\ \frac{x^{2} - 4}{x - 2}, khi x > 2 \end{cases}$ . Giá trị của $\lim_{x \to - 2^{+}} f (x)$ là

A. 0

B. 4

C. $+ \infty$

D. không tồn tại

Xem đáp án

Với hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{4 - x^{2}}, khi - 2 \leq x \leq 2 \\ \frac{x^{2} - 4}{x - 2}, khi x > 2 \end{cases}$ . Khi đó $\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 2^{+}} \sqrt{4 - x^{2}} = 0$ .

Câu 24:

Giá trị thực của tham số a để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{x - 2} + 3, khi x \geq 2 \\ a x - 1, khi x < 2 \end{cases}$ tồn tại $\lim_{x \to 2} f (x)$ là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} (\sqrt{x - 2} + 3) = 3 \\ \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (a x - 1) = 2 a - 1 \end{cases}$

Vậy để tồn tại $\lim_{x \to 2} f (x)$ thì $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} f (x)$

$\Leftrightarrow 3 = 2 a - 1$

$\Leftrightarrow a = 2$ .

Câu 25:

Giá trị thực của tham số m để hàm số

f (x) = \{\begin{cases} m - 3 khi x < 1 \\ 2 m - 13 khi x = 1 \\ 1 - \sqrt{7 x^{2} + 2} khi x > 1 \end{cases}

tồn tại

\lim_{x \to 1} f (x)

là

A. không tồn tại

B. m =1

C. m=5

D. m = $\frac{11}{2}$

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (1 - \sqrt{7 x^{2} + 2}) = - 2 \\ \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (m - 3) = m - 3 \\ f (1) = 2 m - 13 \end{cases}$

Để tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$ thì $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) \Leftrightarrow - 2 = m - 3 = 2 m - 13$ .

Vậy không tồn tại m.

Câu 26:

Tìm các giá trị thực của tham số b để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - x + 6}}, khi x > 3 \\ b + \sqrt{3}, khi x \leq 3 \end{cases}$ có giới hạn tại x=3.

A. $\sqrt{3}$

B. $- \sqrt{3}$

C. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

D. $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - x + 6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} \\ \lim_{x \to 3^{-}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} (b + \sqrt{3}) = b + \sqrt{3} \end{cases}$

Vậy để tồn tại $\lim_{x \to 3} f (x)$ thì $\lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} f (x) \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{3}} = b + \sqrt{3} \Leftrightarrow b = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 27:

Các giá trị thực của tham số m để hàm số $h (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3} + 1}{x + 1}, khi x < - 1 \\ m x^{2} - x + m^{2}, khi x \geq - 1 \end{cases}$ có giới hạn tại $x = - 1$ là

A. $m = - 1; m = 2$

B. $m = - 1; m = - 2$

C. $m = 1; m = - 2$

D. $m = 1; m = 2$

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} (m x^{2} - x + m^{2}) = m^{2} + m + 1 \\ \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} (\frac{x^{3} + 1}{x + 1}) = \lim_{x \to - 1^{-}} (x^{2} - x + 1) = 3 \end{cases}$

Vậy để tồn tại $\lim_{x \to - 1} f (x)$ thì $\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} f (x)$

$\Leftrightarrow m^{2} + m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 1; m = - 2$ .

Câu 28:

Giá trị thực của tham số m để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2}, khi x > 3 \\ m khi x \leq 3 \end{cases}$ có giới hạn $\lim_{x \to 3} f (x)$ là bao nhiêu?

A. m=-1

B. m= 4

C. m=-4

D. m=1

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{(3 - x) (\sqrt{x + 1} + 2)}{x - 3} = - 4 \\ \lim_{x \to 3^{-}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} m = m \end{cases}$

Vậy để tồn tại $\lim_{x \to 3} f (x)$ thì $\lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} f (x) \Leftrightarrow m = - 4$ .

Câu 29:

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số a để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} a^{2} x^{2} khi x \leq \sqrt{2} \\ (2 - a) x^{2} khi x > \sqrt{2} \end{cases}$ có giới hạn tại $x = \sqrt{2}$ . Tổng các giá trị của S là

A. 3

B. 0

C. 1

D. -1

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt[3]{3 x + 2} - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{3 (x - 2)}{(x - 2) (\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{3 x + 2} + 4)} = \frac{1}{4} \\ \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (a x + \frac{1}{4}) = 2 a + \frac{1}{4} \end{cases}$

Vậy để tồn tại $\lim_{x \to 2} f (x)$ thì $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} f (x)$

$\Leftrightarrow 2 a + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = 0$ .

Câu 30:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x - 2 khi x \leq 2 \\ a x + b khi 2 < x < 6 \\ x + 4 khi x \geq 6 \end{cases}$ . Biết hàm số $f (x)$ có giới hạn tại x=2 và x=6. Hệ thức nào sau đây đúng?

A. $2 a - b = 0$

B. $2 a + b = 0$

C. $a - 2 b = 0$

D. $a + 2 b = 0$

Xem đáp án

Vì hàm số có giới hạn tại x=2 và x=6 nên ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} f (x) \\ \lim_{x \to 6^{+}} f (x) = \lim_{x \to 6^{-}} f (x) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a + b = 0 \\ 6 a + b = 10 \end{cases}$ .

Câu 31:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{2 \sqrt{x + 1} - \sqrt[3]{8 - x}}{x} khi x \geq 0 \\ a x + b - 1 khi - 2 < x < 0 \\ \frac{x^{2} - 4}{x + 2} khi x \leq - 2 \end{cases}$ . Tìm a, b để hàm số cùng có giới hạn tại x=-2 và x=0 .

A. $a = \frac{61}{24}, b = \frac{25}{12}$

B. $a = \frac{37}{24}, b = \frac{1}{12}$

C. $a = \frac{61}{24}, b = \frac{1}{12}$

D. $a = \frac{85}{24}, b = \frac{25}{12}$

Xem đáp án

Để hàm số có giới hạn tại x=-2 và x=0 thì

$\{\begin{cases} \lim_{x \to - 2^{+}} (a x + b - 1) = \lim_{x \to - 2^{-}} \frac{x^{2} - 4}{x + 2} \Leftrightarrow - 2 a + b - 1 = - 4 (1) \\ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sqrt{x + 1} - \sqrt[3]{8 - x}}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} (a x + b - 1) \Leftrightarrow b - 1 = \frac{13}{12} (2) \end{cases}$ Từ (1) và (2) ta có $\{\begin{cases} - 2 a + b = - 3 \\ b - 1 = \frac{13}{12} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{61}{24} \\ b = \frac{25}{12} \end{cases}$ .