30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định có đáp án

Câu 1:

Tính giới hạn $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{4} + 7}{x^{4} + 1}$ .

Hướng dẫn giải

Cách 1: Chia cả từ và mẫu cho $x^{4}$ .

$\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{4} + 7}{x^{4} + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1 + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{1}{x^{4}}} = 1$ .

Cách 2: Bấm máy tính như sau

\frac{x^{4} + 7}{x^{4} + 1}

; CACL;

x = 10^{9}

và nhận được đáp án.

Câu 2:

Tìm giới hạn $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x - \sqrt{3 x^{2} + 2}}{5 x + \sqrt{x^{2} + 2}}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x - \sqrt{3 x^{2} + 2}}{5 x + \sqrt{x^{2} + 2}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 - \sqrt{3 + \frac{2}{x^{2}}}}{5 + \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{6}$ .

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{2 x^{4} + x^{2} - 3}}$ , tìm giới hạn $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

\lim_{x \to + \infty} \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{2 x^{4} + x^{2} - 3}} = \lim_{x \to + \infty} \sqrt{\frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}}}} = 0

Câu 4:

Tìm giới hạn $\lim_{x \to - \infty} = \frac{1 + 3 x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

\lim_{x \to - \infty} \frac{1 + 3 x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} + 3}{- \sqrt{2 + \frac{3}{x}}} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}

Câu 5:

Tìm giới hạn $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{1 + x^{4} + x^{6}}}{\sqrt{1 + x^{3} + x^{4}}}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{1 + x^{4} + x^{6}}}{\sqrt{1 + x^{3} + x^{4}}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} \sqrt[3]{\frac{1}{x^{6}} + \frac{1}{x^{2}} + 1}}{x^{2} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 1}} = 1

.

Câu 6:

Cho hàm số $f (x) = (2 + x) \sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + x^{2} + 1}}$ , tìm giới hạn $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to + \infty} (2 + x) \sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + x^{2} + 1}} = \lim_{x \to + \infty} \sqrt{\frac{(x - 1) {(2 + x)}^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}} = \lim_{x \to + \infty} \sqrt{\frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{4}}}{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}} = 0$ .

Câu 7:

Cho hàm số $f (x) = (2 + x) \sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + x^{2} + 1}}$ , tìm giới hạn $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to + \infty} (2 + x) \sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + x^{2} + 1}} = \lim_{x \to + \infty} \sqrt{\frac{(x - 1) {(2 + x)}^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}} = \lim_{x \to + \infty} \sqrt{\frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{4}}}{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}} = 0$ .

Câu 8:

Tính giới hạn $\lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2} - x^{5}}{x^{4} + 6 x + 5}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

\lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2} - x^{5}}{x^{4} + 6 x + 5} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x (- 1 + \frac{3}{x^{3}})}{(1 + \frac{6}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}})} = - \infty

Câu 9:

Tính giới hạn $\lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 x^{5} + x^{4} - 3}{3 x^{2} - 7}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

\lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 x^{5} + x^{4} - 3}{3 x^{2} - 7} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} (- 2 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{5}})}{(3 - \frac{7}{x^{5}})} = + \infty

Câu 10:

Tính giới hạn

A = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{3 x^{3} + 1} - \sqrt{2 x^{2} + x + 1}}{\sqrt[4]{4 x^{4} + 2}}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$A = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{3 x^{3} + 1} - \sqrt{2 x^{2} + x + 1}}{\sqrt[4]{4 x^{4} + 2}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt[3]{3 + \frac{1}{x^{3}}} + x \sqrt{2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}{x \sqrt[4]{4 + \frac{2}{x^{4}}}} = - \frac{\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Câu 11:

Tìm giới hạn

A = \lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} - 2 x + 1}{\sqrt[3]{2 x^{3} - 2} + 1}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$A = \lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} - 2 x + 1}{\sqrt[3]{2 x^{3} - 2} + 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} (- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x (\sqrt[3]{2 - \frac{2}{x^{3}}} + \frac{1}{x})} = + \infty$

Câu 12:

Giả sử $\lim_{x \to + \infty} f (x) = a$ và $\lim_{x \to + \infty} g (x) = b$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\lim_{x \to + \infty} f (x) . g (x) = a . b$

B. $\lim_{x \to + \infty} [f (x) - g (x)] = a - b$

C. $\lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{a}{b}$

D. $\lim_{x \to + \infty} [f (x) + g (x)] = a + b$

Xem đáp án

Theo tính chất thì C sai khi b=0 hay

g (x) = 0

Câu 13:

Tìm giới hạn

B = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + x} + \sqrt[6]{64 x^{6} + x - 1}}{\sqrt[4]{x^{4} + 3}}

được kết quả là

A. -4

B. $\frac{- 4}{3}$

C. 4

D. $\frac{- 4}{3}$

Xem đáp án

Ta có: $B = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + x} + \sqrt[6]{64 x^{6} + x - 1}}{\sqrt[4]{x^{4} + 3}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{4 + \frac{1}{x}} - \sqrt[6]{64 + \frac{1}{x^{5}} - \frac{1}{x^{6}}}}{- \sqrt[4]{1 + \frac{3}{x^{4}}}} = 4$

Câu 14:

Giá trị đúng của $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{14} + 7}{x^{14} - 1}$ là

A. -1

B. 1

C. 7

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{14} + 7}{x^{14} - 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1 + \frac{7}{x^{14}}}{1 - \frac{1}{x^{14}}} = 1$

Câu 15:

Tìm giới hạn $C = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - \sqrt{9 x^{2} + 2}}{5 x + \sqrt{x^{2} + 1}}$ được kết quả là

Xem đáp án

Ta có: $C = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - \sqrt{9 x^{2} + 2}}{5 x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \sqrt{9 + \frac{2}{x^{2}}}}{5 - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{5}{4}$

Câu 16:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} + 2020}{2 x^{2019} + x^{2}}}$ . Kết quả đúng của $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ là

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} \sqrt{\frac{\frac{1}{x^{2017}} + \frac{2020}{x^{2019}}}{2 + \frac{1}{x^{2017}}}} = 0$

Câu 17:

Tìm giới hạn $\lim_{x \to - \infty} \frac{1 + 3 x}{\sqrt[5]{2 x^{5} + 3}}$ được kết quả

A. $\frac{3}{\sqrt[5]{2}}$

B. 0

C. $- \frac{3}{\sqrt[5]{2}}$

D. $- \infty$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to - \infty} \frac{1 + 3 x}{\sqrt[5]{2 x^{5} + 3}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x (\frac{1}{x} + 3)}{x \sqrt[5]{2 + \frac{3}{x^{5}}}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{(\frac{1}{x} + 3)}{\sqrt[5]{2 + \frac{3}{x^{5}}}} = \frac{3}{\sqrt[5]{2}}$

Câu 18:

Tìm giới hạn $D = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + \sqrt[3]{1 + x^{4} + x^{6}}}{\sqrt{1 + x^{3} + x^{4}} + x - 1}$ được kết quả

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{3}{2}$

D. 1

Xem đáp án

Ta có: $D = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + \sqrt[3]{1 + x^{4} + x^{6}}}{\sqrt{1 + x^{3} + x^{4}} + x - 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} (\frac{2}{x} + \sqrt[3]{\frac{1}{x^{6}} + \frac{1}{x^{2}} + 1})}{x^{2} (\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x} + 1} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}})} = \lim_{x \to - \infty} \frac{(\frac{2}{x} + \sqrt[3]{\frac{1}{x^{6}} + \frac{1}{x^{2}} + 1})}{(\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x} + 1} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}})} = 1$

Câu 19:

Tìm giới hạn $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 3}}{2 |x| \sqrt{4 x^{2} + 5}}$ được kết quả

A. 3

B. $\frac{1}{4}$

C. 1

D. $\frac{- 1}{4}$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 3}}{2 |x| \sqrt{4 x^{2} + 5}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{4}}}}{2 x^{2} \sqrt{4 + \frac{5}{x^{2}}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{4}}}}{2 \sqrt{4 + \frac{5}{x^{2}}}} = \frac{1}{4}$

Câu 20:

Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của $\lim_{x \to - \infty} \frac{x^{4} + 8 x \sqrt{x + 2} + 1}{x^{3} + 2 x^{2} + x + 2}$

A. 0

B. $+ \infty$

C. $- \infty$

D. 1

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{4} + 8 x \sqrt{x + 2} + 1}{x^{3} + 2 x^{2} + x + 2} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{4} (1 + \frac{8}{x^{2} \sqrt{x}} \sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \frac{1}{x^{4}})}{x^{3} (1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}})} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x (1 + \frac{8}{x^{2} \sqrt{x}} \sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \frac{1}{x^{4}})}{(1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}})} = + \infty$

Vì $\lim_{x \to + \infty} \frac{(1 + \frac{8}{x^{2} \sqrt{x}} \sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \frac{1}{x^{4}})}{(1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}})} = 1 > 0$ và $\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$

Câu 21:

Tìm giới hạn được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. -1

D. 0

Xem đáp án

Ta có: $E = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - x + 1} - 2 x}{x + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 2}{1 + \frac{1}{x}} = - 1$

Câu 22:

Tìm giới hạn $F = \lim_{x \to - \infty} \frac{x (\sqrt{4 x^{2} + 1} + x)}{\sqrt[3]{4 x^{3} + 1} + 2 x}$ được kết quả là

A. $\frac{- 1}{4}$

B. $+ \infty$

C. $\frac{1}{4}$

D. 0

Xem đáp án

Ta có: $F = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} (- \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}} + 1)}{x (\sqrt[3]{4 + \frac{1}{x^{3}}} + 2)} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x (- \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}} + 1)}{\sqrt[3]{4 + \frac{1}{x^{3}}} + 2} = + \infty$

Vì $\lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}} + 1}{\sqrt[3]{4 + \frac{1}{x^{3}}} + 2} = \frac{- 1}{\sqrt[3]{4} + 2} < 0$ và $\lim_{x \to - \infty} x = - \infty$

Câu 23:

Kết quả đúng của $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{3} - 3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x}}$ là

A. 3

B. 2

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{3} - 3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} (\sqrt{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{4}}} + 2)}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{4}}}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{4}}} + 2}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{4}}}} = 2$

Câu 24:

Tìm giới hạn $M = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 1} - 2 \sqrt{x^{2} - x + 1}}{x + 1}$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. 1

D. -1

Xem đáp án

Ta có: $M = \lim_{x \to - \infty} \frac{x (- \sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 2 \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}})}{x (1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 2 \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}{1 + \frac{1}{x}} = 1$

Câu 25:

Tìm giới hạn $N = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{2} + 3}{\sqrt[3]{{(8 x^{3} + 2 x)}^{2}} + 2 x \sqrt[3]{8 x^{3} + 2 x} + 4 x^{2} + 2}$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{12}$

Xem đáp án

Ta có: $N = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} (2 + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} (\sqrt[3]{{(8 + \frac{2}{x^{2}})}^{2}} + 2 \sqrt[3]{8 + \frac{2}{x^{2}}} + 4 + \frac{2}{x^{2}})} = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 + \frac{3}{x^{2}}}{\sqrt[3]{{(8 + \frac{2}{x^{2}})}^{2}} + 2 \sqrt[3]{8 + \frac{2}{x^{2}}} + 4 + \frac{2}{x^{2}}} = \frac{1}{6}$

Câu 26:

Tìm giới hạn $H = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[4]{16 x^{4} + 3 x + 1} + \sqrt{4 x^{2} + 2}}{3 x + 1}$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{4}{3}$

D. $\frac{- 4}{3}$

Xem đáp án

Ta có: $H = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[4]{16 x^{4} + 3 x + 1} + \sqrt{4 x^{2} + 2}}{3 x + 1} = \lim_{x \to - \infty} - \frac{x (\sqrt[4]{16 + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}} + \sqrt{4 + \frac{2}{x^{2}}})}{3 x + 1}$

$= \lim_{x \to - \infty} - \frac{\sqrt[4]{16 + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}} + \sqrt{4 + \frac{2}{x^{2}}}}{3 + \frac{1}{x}} = - \frac{4}{3}$

Câu 27:

Tìm giới hạn $A = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{3 x^{3} + 1} - \sqrt{2 x^{2} + x + 1}}{\sqrt[4]{4 x^{4} + 2}}$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $- \frac{\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

D. 0

Xem đáp án

Ta có: $A = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{3 x^{3} + 1} - \sqrt{2 x^{2} + x + 1}}{\sqrt[4]{4 x^{4} + 2}} = \lim_{x \to - \infty} - \frac{x (\sqrt[3]{3 + \frac{1}{x^{3}}} + \sqrt{2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}})}{x \sqrt[4]{4 + \frac{2}{x^{4}}}}$

$= \lim_{x \to - \infty} - \frac{\sqrt[3]{3 + \frac{1}{x^{3}}} + \sqrt{2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}{\sqrt[4]{4 + \frac{2}{x^{3}}}} = - \frac{\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Câu 28:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to + \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} - 2 x + 1}{\sqrt[3]{2 x^{3} - 2} + 1}$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{4}{3}$

D. 0

Xem đáp án

Ta có: $B = \lim_{x \to + \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} - 2 x + 1}{\sqrt[3]{2 x^{3} - 2} + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} (\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x})}{x (\sqrt[3]{2 - \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x}})} = \lim_{x \to - \infty} x (\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt[3]{2 - \frac{2}{x^{3}}} + \frac{1}{x}}) = + \infty$

Câu 29:

Tìm giới hạn $A = \lim_{x \to + \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2020}}{(3 - 2 x^{4}) {(1 - x)}^{2019}}$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. 4

D. 0

Xem đáp án

Ta có: $A = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2023} {(2 + \frac{1}{x})}^{3} {(1 + \frac{2}{x})}^{2020}}{x^{2023} (\frac{3}{x^{4}} - 2) {(\frac{1}{x} - 1)}^{2019}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{{(2 + \frac{1}{x})}^{3} {(1 + \frac{2}{x})}^{2020}}{(\frac{3}{x^{4}} - 2) {(\frac{1}{x} - 1)}^{2019}} = 4$

Câu 30:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 3 x + 4} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Ta có: $B = \lim_{x \to - \infty} \frac{- x (\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}} + 2)}{- x (\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1)} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}} + 2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1} = 2$