23 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi Toán 11 Học kì 2 có đáp án (Đề 6)

Câu 1:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 5x + 1}}{{1 + 3x - {x^2}}}$ bằng:

A. +¥

B. 2

C. −2

D. 1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 5x + 1}}{{1 + 3x - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}\left( {2 - \frac{5}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^2}\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{3}{x} - 1} \right)}} = - 2.$

Câu 2:

Đạo hàm của hàm số y = cosx là:

A. y' = sinx

B. y' = −cotx

C. y' = −sinx

D. y' = tanx

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có y' = (cosx)' = −sinx.

Câu 3:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( { - 3{x^2} + 6x + 1} \right)$ bằng:

A. −¥

B. 1

C. −3

D. 3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( { - 3{x^2} + 6x + 1} \right) = - {3.2^2} + 6.2 + 1 = 1.$

Câu 4:

Cho hàm số f(x) = 2x³ – 8. Giá trị f '(−2) bằng:

A. 24

B. 16

C. −24

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có f '(x) = 6x² Þ f '(−2) = 24.

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng:

A. 90°

B. 60°

C. 30°

D. 45°

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có SA ^ (ABC) Þ AC là hình chiếu của SC lên (ABC)

Þ [SC,(ABC)] = $\widehat {SCA}.$

Tan$\widehat {SCA}$= $\frac{{SA}}{{AC}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ $.

Câu 6:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4} + 5{x^2} - 3} \right)$ bằng

A. +¥

B. −¥

C. −1

D. 1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4} + 5{x^2} - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}\left( { - 1 + \frac{5}{{{x^2}}} - \frac{3}{{{x^4}}}} \right) = - \infty .$

Câu 7:

Hàm số y = $\frac{{3x - 1}}{{x + 1}}$ có đạo hàm là y' = $\frac{m}{{{{(x + 1)}^2}}}$, giá trị của P = 2m – 1 là:

A. 7

B. 4

C. −9

D. 3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có y = $\frac{{3x - 1}}{{x + 1}}$ Þ y' = $\frac{4}{{{{(x + 1)}^2}}}$Þ m = 4

Þ P = 2.4 – 1 = 7.

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. SA ^ (ABC)

B. BC ^ (SAB)

C. BD ^ (SAC)

D. CD ^ (SBC)

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

∙ SA ^ AB, SA ^ AC Þ SA ^ (ABC);

∙ BC ^ AB, BC ^ SA Þ BC ^ (SAB);

∙ BD ^ AC, BD ^ SA Þ BC ^ (SAC).

Vậy đáp án D sai.

Câu 9:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x⁴ – 3x² + 1 tại điểm M(1;−1) là:

A. y = 2x – 3

B. y = -x + 1

C. y = -2x + 1

D. y = -2x + 3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có y = x⁴ – 3x² + 1 Þ y' = 4x³ – 6x Þ y'(1) = −2.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1;−1) là:

y = −2(x – 1) – 1 = −2x + 1.

Câu 10:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} \frac{{5 - 3x}}{{x + 2}}$ bằng:

A. +¥

B. 11

C. 5

D. −¥

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} \frac{{5 - 3x}}{{x + 2}} = \frac{{5 - 3.( - 2)}}{{ - 2 + 2}} = \frac{{11}}{{{0^ - }}} = + \infty $

Câu 11:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. (sin3x)' = 3.cos3x

B. (sin3x)' = −3.cos3x

C. (sin3x)' = 3.sin3x

D. (sin3x)' = cos3x

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có (sin3x)' = (3x)'.cos3x = 3.cos3x

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và có SA = SC, SB = SD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. SA ^ (ABCD)

B. SO ^ (ABCD)

C. SC ^ (ABCD)

D. SB ^ (ABCD)

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có

∙ SA = SC Þ Tam giác SAC cân tại S

Þ SO là đường cao tam giác SAC Þ SO ^ AC (1)

∙ SB = SD Þ Tam giác SBD cân tại S

Þ SO là đường cao tam giác SBD Þ SO ^ BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra SO ^ (ABCD).

Câu 13:

Cho hàm số $f (x) = {\begin{matrix} \frac{3 - \sqrt{4 x + 1}}{x - 2} k h i x \neq 2 \\ a k h i x = 2 \end{matrix}$ . Hàm số đã cho liên tục tại x = 2 khi a bằng:

A. $ - \frac{2}{3}$

B. 2

C. $ - \frac{4}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: f(2) = m

\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3 - \sqrt {4x + 1} }}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{9 - (4x + 1)}}{{(x - 2)\left( {3 + \sqrt {4x + 1} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - 4(x - 2)}}{{(x - 2)\left( {3 + \sqrt {4x + 1} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - 4}}{{\left( {3 + \sqrt {4x + 1} } \right)}} = \frac{{ - 2}}{3}\end{array}\]

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì f(2) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)$ Û m = $ - \frac{2}{3}$.

Câu 14:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 4x + 7} - 2x} \right)$ bằng:

A. −¥

B. 2

C. −1

D. +¥

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 4x + 7} - 2x} \right)$

= $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 4x + 7} } \right) - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x$

= $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {4 - \frac{4}{x} + \frac{7}{{{x^2}}}} } \right) - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } $= +¥ − 2¥ = −1.

Câu 15:

Đường thẳng y = ax + b tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x³ – 3x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2, giá trị của a + b bằng:

A. 26

B. −8

C. −9

D. 10

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có y' = 3x² – 3 Þ y'(2) = 9 và y = 1

Phương trình tiếp tuyến tại x = 2 là: y = 9(x – 2) + 1 = 9x – 17.

Þ a = 9, b = −17 Þ a + b = −8.

Câu 16:

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = 2t⁴ – 9t² + 3, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 (giây) là:

A. 64 (m/s)

B. 12 (m/s)

C. 100 (m/s)

D. 28 (m/s)

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có v = S' = 8t³ – 18t Þ v(2) = 28 (m/s).

Câu 17:

Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2{x^2} - x - 6}}{{x - 2}}\,\,khi\,x \ne 2}\\{5x - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 2}\end{array}} \right.$ tại x₀ = 2.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Tại x₀ = 2, ta có: f(2) = 5.2 – 3 = 7.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - x - 6}}{{x - 2}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2(x - 2)\left( {x + \frac{3}{2}} \right)}}{{x - 2}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (2x + 3) = 7$

Vì f(2) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)$= 7 nên hàm số đã cho liên tục tại x₀ = 2.

Câu 18:

Chứng minh rằng phương trình 2x⁴ – 3x³ – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt f(x) = 2x⁴ – 3x³ – 5, f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ.

Do đó f(x) liên tục trên đoạn [1;2]

f(1) = −6, f(2) = 3 Þ f(1).f(2) = −18 < 0

Þ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng [1; 2].

Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm.

Câu 19:

Cho hàm số y = f(x) = $\frac{1}{3}$x³ + 2x² – $\frac{2}{3}$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = −4x + 2022.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có y = $\frac{1}{3}$x³ + 2x² – $\frac{2}{3}$ Þ y' = x² + 4x

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = −4x + 2022 nên y'(x₀) = −4

Ta có x₀² + 4x₀ = −4 Û x₀² + 4x₀+ 4 = 0 Û x₀ = -2 Þ y₀ = $\frac{{14}}{3}$.

y'(−2) = −4

Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = y'(x₀)(x – x₀) + y₀

Þ Phương trình tiếp tuyến y = −4(x + 2) + $\frac{{14}}{3}$ = −4x − $\frac{{10}}{3}$.

Câu 20:

Giải bất phương trình f'(x) > −1, biết rằng f(x) = (x² – 2x)(x – 3).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

f '(x) = (x² – 2x)'. (x – 3) + (x – 3)'. (x² – 2x)

= (2x – 2).(x – 3) + (x² – 2x) = 3x² – 10x + 6

f '(x) > −1 Û 3x² – 10x + 6 > −1 Û 3x² – 10x + 7 > 0

Tập nghiệm của bất phương trình là : S = (−¥;1) È $\left( {\frac{7}{3}; + \infty } \right)$.

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với cạnh AB = $a\sqrt 2 $, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a.

Chứng minh CD ^ (SAD).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có SA ^ (ABCD) mà CD Ì (ABCD) Þ SA ^ CD (1)

ABCD là hình vuông Þ CD ^ AD (2)

Từ (1) và (2) Þ CD ^ (SAD)

Câu 22:

Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD) Þ $\widehat {SCA}$ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)

Ta có AC = 2a (đường chéo hình vuông ABCD)

Tan $\widehat {SCA}$= $\frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{2a}} = \frac{3}{2}$ Þ $\widehat {SCA}$= 56°18’

Câu 23:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh AH ^ BD và tính độ dài đoạn AH.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{BD \bot AC}\\{BD \bot SA}\end{array}} \right\}$Þ BD ^ (SAC) mà AH Ì (SAC) Þ AH ^ BD.

Ta lại có: ∆SAC vuông tại A Þ AH = $\frac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{6a\sqrt {13} }}{{13}}$.