41 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) (Đề 17)

Cho hai dãy $(u_{n}); (v_{n})$ biết $u_{n} = 4^{n}, \forall n \in ℕ^{*}$ , $v_{n} = {2.3}^{n} + 4^{n}, \forall n \in ℕ^{*}$ . Giới hạn $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}$ bằng

A. 1

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{4}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Ta có $l i m \frac{u_{n}}{v_{n}} = \lim \frac{4^{n}}{{2.3}^{n} + 4^{n}}$ $= \lim \frac{1}{2. {(\frac{3}{4})}^{n} + 1} = 1$

Câu 8:

Giới hạn $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x^{3} + 2}$ bằng

A. $- \infty$

B. 0

C. $\frac{1}{2}$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x^{3} + 2}$ $= \lim_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)}^{2}}{2 (x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ $= \lim_{x \to - 1} \frac{x + 1}{2 (x^{2} - x + 1)} = 0$

Câu 9:

Giới hạn $\lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{5 x - 15}$ bằng

A. $\frac{1}{5}$

B. $\frac{- 1}{5}$

C. 0

D. $- \infty$

Xem đáp án

Với x<3 thì $|x - 3| = 3 - x$ .

Ta có: $\lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{5 x - 15} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{- x + 3}{5 x - 15} = \frac{- 1}{5}$ .

Câu 10:

Giới hạn

\lim_{x \to - 2} (x^{2} + 3 x - 4)

bằng

A. 6

B. -12

C. -14

D. -6

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to - 2} (x^{2} + 3 x - 4) = 4 - 6 - 4 = - 6$

Câu 11:

Giới hạn

\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - 1}

bằng

A. $- \infty$

B. -1

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Vì $\lim_{x \to 1^{+}} (x^{2} - x + 1) = 1 > 0$ và $\lim_{x \to 1^{+}} (x^{2} - 1) = 0$ $x^{2} - 1 > 0, \forall x > 1$

nên $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - 1} = + \infty$

Câu 12:

Giới hạn $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3} - x}{2 x - 1}$ bằng

A. -1

B. 0

C. $- \infty$

D. $\frac{- 1}{2}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3} - x}{2 x - 1}$ $= \lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}} - 1}{2 - \frac{1}{x}}$ =-1

Câu 13:

Cho $\lim_{x \to 1} f (x) = - 2, \lim_{x \to 1} g (x) = 3$ . Tính $\lim_{x \to 1} [f (x) + 2 g (x)]$ .

A. 4

B. 8

C. 1

D. 5

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 1} [f (x) + 2 g (x)] = \lim_{x \to 1} f (x) + 2 \lim_{x \to 1} g (x) = - 2 + 2.3 = 4$

Câu 14:

Hàm số nào dưới đây liên tục tại x=1?

A. $y = \frac{x - 2}{x - 1}$

B. $y = \frac{x - 2}{x + 1}$

C. $y = \sqrt{x - 2}$

D. $y = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}$

Xem đáp án

Hàm số $y = \frac{x - 2}{x - 1}$ và $y = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ có tập xác định là $ℝ \ \{1\}$ nên loại đáp án A, D.

Hàm số $y = \sqrt{x - 2}$ có tập xác định là $[2; + \infty)$ mà $1 \notin [2; + \infty)$ . Loại đáp án C.

Hàm phân thức liên tục trên tập xác định của nó. Hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ có tập xác định là $ℝ \ \{- 1\}$ nên liên tục trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ do đó hàm số liên tục tại x=1.

Câu 15:

Số điểm gián đoạn của hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3 x^{2} + 2}$ là

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Ta có $x^{4} - 3 x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm 1 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{array}$ .

Khi đó hàm số xác định trên $ℝ \ \{\pm 1; \pm \sqrt{2}\}$ .

Vậy hàm số có bốn điểm gián đoạn.

Câu 16:

Cho hình lăng trụ tứ giác $A B C D . A' B' C' D'$ . Gọi M là trung điểm của BB' Ảnh của đoạn thẳng A'M qua phép chiếu song song theo phương chiếu AA' lên mặt phẳng (ABCD) là đoạn thẳng

Cho hình lăng trụ tứ giác ABCDA'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của BB' (ảnh 1)

A. AM

B. AB

C. A'B

D. A'B'

Xem đáp án

Ảnh của điểm A' qua phép chiếu song song theo phương chiếu A'A lên mặt phẳng (ABCD) là điểm A.

Ta có $M B // A' A$ và $M B \cap (A B C D) = \{B\}$ nên ảnh của điểm M qua phép chiếu song song theo phương chiếu AA' lên mặt phẳng (ABCD) là điểm A.

Vậy ảnh của đoạn thẳng A'M qua phép chiếu song song theo phương chiếu A'A lên mặt phẳng (ABCD) là đoạn thẳng B.

Câu 17:

Cho hình hộp

A B C D . A' B' C' D'

. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'} = \vec{A C'}$

B. $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'} = \vec{0}$

C. $\vec{A C'} = \vec{A' C}$

D. $\vec{A D} + \vec{D C} + \vec{D D'} = \vec{D B'}$

Xem đáp án

Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' . Đẳng thức nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'} = \vec{A C'}$ .

Câu 18:

Trong không gian cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ đều khác vectơ – không. Tìm mệnh đề đúng.

A. $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u} . \vec{v} . c o s (\vec{u}, \vec{v})$

B. $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}|$

C. $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c o s (\vec{u}, \vec{v})$

D. $\vec{u} . \vec{v} = c o s (\vec{u}, \vec{v})$

Xem đáp án

Ta có $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c o s (\vec{u}, \vec{v})$

Câu 19:

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Tìm mệnh đề đúng.

A. $(\vec{A A'}, \vec{B C}) = (\vec{B D}, \vec{B C})$

B. $(\vec{A A'}, \vec{B C}) = (\vec{A C}, \vec{B C})$

C. $(\vec{A A'}, \vec{B C}) = (\vec{A B}, \vec{B C})$

D. $(\vec{A A'}, \vec{B C}) = (\vec{B B'}, \vec{B C})$

Xem đáp án

Do $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình hộp $\Rightarrow$ $A B A' B'$ là hình bình hành $\Rightarrow A A' / / B B'$

$\Rightarrow (\vec{A A'}, \vec{B C}) = (\vec{B B'}, \vec{B C})$

Câu 20:

Cho hình hộp

A B C D . A' B' C' D'

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Ba vectơ $\vec{A D}, \vec{A' C'}, \vec{D D'}$ đồng phẳng.

B. Ba vectơ $\vec{A B}, \vec{B C}, \vec{D D'}$ đồng phẳng.

C. Ba vectơ $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A A'}$ đồng phẳng.

D. Ba vectơ $\vec{B' C'}, \vec{A D}, \vec{D C}$ đồng phẳng.

Xem đáp án

Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A (ảnh 1)

Ta có $B' C' // B C \Rightarrow B' C' // (A B C D)$ .

Vậy mặt phẳng (ABCD) chứa hai vectơ $\vec{A D}, \vec{D C}$ và song song với vectơ $\vec{B' C'}$ nên ba vectơ $\vec{B' C'}, \vec{A D}, \vec{D C}$ đồng phẳng.

Câu 21:

Tính giới hạn $\lim \frac{4 n + 2021}{2 n + 1}$ .

A. 1

B. 2

C. $\frac{1}{2}$

D. 2021

Xem đáp án

Ta có $\lim \frac{4 n + 2021}{2 n + 1} = \lim \frac{4 + \frac{2021}{n}}{2 + \frac{1}{n}} = 2$

Câu 22:

Tính tổng

S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + ... + \frac{2^{n}}{3^{n}} + ...

A. S= 3

B. S= 4

C. S= 6

D. S=5

Xem đáp án

Ta có S là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có $u_{1} = 1, q = \frac{2}{3}$ .

\Rightarrow S = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 3

Câu 23:

Cho $\lim \frac{3^{n} - 1}{2^{n} - {2.3}^{n} + 1} = \frac{a}{b}$ ( $a, b \in Z$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính giá trị của $2 a + b$

A. 1

B. -1

C. -1

D. 0

Xem đáp án

Ta có $\lim \frac{3^{n} - 1}{2^{n} - {2.3}^{n} + 1} = \lim \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{n}}{{(\frac{2}{3})}^{n} - 2 + {(\frac{1}{3})}^{n}} = \frac{- 1}{2}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow 2 a + b = 0$

Câu 24:

Giá trị của giới hạn

\lim_{x - > - \infty} (x - x^{3} + 1)

là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x - > - \infty} (x - x^{3} + 1) = \lim_{x - > - \infty} [x^{3} (- 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})]$

Vì $\lim_{x - > - \infty} x^{3} = - \infty$ và $\lim_{x - > - \infty} (- 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = - 1 < 0$ nên $\lim_{x - > - \infty} (x - x^{3} + 1) = + \infty$

Câu 25:

Tìm giới hạn

A = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x + 1}{x + 1}

.

A. $+ \infty$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. $- \infty$

Xem đáp án

Ta có $A = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x + 1}{x + 1} = \frac{1 - 1 + 1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

Câu 26:

Tính giới hạn

K = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 1}{x^{2} - 3 x}

.

A. K=0

B. K= $\frac{- 2}{3}$

C. $K = \frac{2}{3}$

D. $K = \frac{4}{3}$

Xem đáp án

Ta có $K = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 1}{x^{2} - 3 x}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{4 x}{x (x - 3) (\sqrt{4 x + 1} + 1)}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{4}{(x - 3) (\sqrt{4 x + 1} + 1)}$ $= \frac{- 2}{3}$

Câu 27:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5 x + 6}$ .Khi đó hàm số $y = f (x)$ liên tục trên khoảng nào sau đây?

A. $(- \infty; 3)$

B. $(- 4; 7)$

C. $(- 3; 2)$

D. $(- 2; + \infty)$

Xem đáp án

Hàm số có nghĩa khi $x^{2} + 5 x + 6 \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - 3 \\ x \neq - 2 \end{cases}$ .

Vậy theo định lí ta có hàm số $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5 x + 6}$ liên tục trên khoảng $(- \infty; - 3)$ ; $(- 3; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$ .

Câu 28:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{x - 1} - 2}{x - 5} khi x \neq 5 \\ a - 1 khi x = 5 \end{cases}$ .Để hàm số f(x) liên tục tại x=5 thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(1; \frac{3}{2})$

B. $(0; \frac{1}{2})$

C. $(\frac{1}{2}; 1)$

D. $(\frac{3}{2}; 2)$

Xem đáp án

Tập xác định D= R.

Ta có: $\lim_{x \to 5} f (x) = \lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x - 1} - 2}{x - 5} = \lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{(x - 5) (\sqrt{x - 1} + 2)} = \lim_{x \to 5} \frac{1}{\sqrt{x - 1} + 2} = \frac{1}{4}$ , $f (5) = a - 1$ .

Để hàm số liên tục tại x=5 thì $\lim_{x \to 5} f (x) = f (5)$ $\Rightarrow \frac{1}{4} = a - 1 \Leftrightarrow a = \frac{5}{4}$ .

Vậy với $a = \frac{5}{4} \in (1; \frac{3}{2})$ thì hàm số liên tục tại x=5.

Câu 29:

Cho hàm số

f (x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x^{2} - x - 6}

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. Hàm số liên tục trên $(- \infty; - 2)$ , $(- 2; 3)$ và $(3; + \infty)$ .

B. Hàm số liên tục trên $(- \infty; - 3)$ , $(- 3; 2)$ và $(2; + \infty)$ .

C. Hàm số liên tục trên

[- 4; - 3)

,

(- 3; 2)

và

(2; + \infty)

.

D. Hàm số liên tục trên

[- 4; - 2)

,

(- 2; 3)

và

(3; + \infty)

.

Xem đáp án

Tập xác định của hàm số $D = [- 4; + \infty) \ \{- 2; 3\}$ .

Hàm số liên tục trên $[- 4; - 2)$ , $(- 2; 3)$ và $(3; + \infty)$ .

Câu 30:

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên R?

A. $y = \sin x - 2 \tan x$

B. $y = \frac{3}{\cos x - 1}$

C. $y = \frac{2 x - 5}{x^{2} - x + 1}$

D. $y = \sqrt{9 - x^{2}}$

Xem đáp án

Hàm số $y = \sin x - 2 \tan x$ có tập xác định là $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

Hàm số $y = \frac{3}{\cos x - 1}$ có tập xác định là $ℝ \ \{k 2 π, k \in ℤ\}$ .

Hàm số $y = \sqrt{9 - x^{2}}$ có tập xác định là $[- 3; 3]$ .

Hàm số $y = \frac{2 x - 5}{x^{2} - x + 1}$ có tập xác định là R.

Do đó hàm $y = \frac{2 x - 5}{x^{2} - x + 1}$ liên tục trên R.

Câu 31:

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\vec{ A B}, \vec{D D'}$ ?

A. $45 °$

B. $60 °$

C. $120 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB, DD'? (ảnh 1)

Ta có $(\vec{A B}; \vec{D D'}) = (\vec{D C}; \vec{D D'}) = 90^{0}$

Câu 32:

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ, CD) bằng

A. 30 $°$

B. 45 $°$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và SB . Số đo của góc (ảnh 1)

Từ giả thiết ta có: $I J // S B$ (do IJ là đường trung bình của $Δ S B C$ ).

Lại có $A B / / C D$ (do ABCD là hình thoi)

$\Rightarrow (I J, C D) = (S B, A B)$ .

Mặt khác, ta lại có $∆ S A B$ đều, do đó $\hat{S B A} = 60 ° \Rightarrow (S B, A B) = \hat{S B A} = 60 ° \Rightarrow (I J, C D) = 60 °$ .

Câu 33:

Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' , có cạnh a . Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. $\vec{A D'} . \vec{C C'} = - a^{2}$

B. $\vec{A D'} . \vec{A B'} = a^{2}$

C. $\vec{A B'} . \vec{C D'} = 0$

D. $|\vec{A C'}| = a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' , có cạnh a . Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: (ảnh 1)

Ta có $\vec{A D'} . \vec{C C'} = \vec{A D'} . \vec{AA'} = |\vec{A D'}| . |\vec{AA'}| {cos45}^{0} = a^{2}$

$\vec{A D'} . \vec{A B'} = |\vec{A D'}| . |\vec{AB'}| {cos60}^{0} = a^{2}$

$\vec{A B'} . \vec{C D'} = \vec{A B'} . \vec{BA'} = 0$

$|\vec{A C'}| = A C' = \sqrt{A C^{2} + C C'^{2}} = \sqrt{A B^{2} + B C^{2} + C C'^{2}} = a \sqrt{3}$

Câu 34:

Cho lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có $\vec{A A^{'}} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}$ . Hãy phân tích (biểu diễn) véc tơ $\vec{B C^{'}}$ qua các véc tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ .

A. $\vec{B C^{'}} = - \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

B. $\vec{B C^{'}} = - \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

C. $\vec{B C^{'}} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

D. $\vec{B C^{'}} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

Xem đáp án

Cho lăng trụ tam giác ABCDA'B'C'D' có vetơ AA' =a, vectơ AB=b, vectơ AC=c. Hãy phân tích (biểu diễn) véc tơ BC qua các véc tơ a,b,c . (ảnh 1)

Vì mặt bên $(B C C^{'} B^{'})$ là hình bình hành nên $\vec{B C^{'}} = \vec{B B^{'}} + \vec{B C}$ $= \vec{A A^{'}} + \vec{A C} - \vec{A B}$ $= \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ nên $\vec{B C^{'}} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ .

Câu 35:

Cho tứ diện ABCD , gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Biết luôn tồn tại số thực k thỏa mãn đẳng thức vecto $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = k . \vec{A G}$ . Hỏi số thực đó bằng bao nhiêu?

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Cho tứ diện ABCD , gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Biết luôn tồn tại số thực k thỏa mãn đẳng thức vecto (ảnh 1)

Vì G là trọng tâm $∆ B C D$ nên $\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ .

Ta có $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 3 \vec{A G} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = 3 \vec{A G}$ .

Vậy k=3.

Câu 36:

Tính giới hạn của các dãy số sau:

a. $u_{n} = \sqrt{n} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})$

Xem đáp án

a, Ta có $\lim u_{n} = \lim \sqrt{n} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) = \lim \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \lim \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1)} = \lim \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{1}{2}$

Câu 37:

Tính giới hạn của các dãy số sau:

b, $u_{n} = \frac{\sqrt{4 n^{2} - n + 1} - n}{\sqrt{9 n^{2} + 3 n}}$

Xem đáp án

b, Ta có $\lim u_{n} = \lim \frac{\sqrt{4 n^{2} - n + 1} - n}{\sqrt{9 n^{2} + 3 n}} = \lim \frac{n (\sqrt{4 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} - 1)}{n \sqrt{9 + \frac{3}{n}}} = \lim \frac{\sqrt{4 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} - 1}{\sqrt{9 + \frac{3}{n}}} = \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3}$

Câu 38:

Cho hình lập phương

A B C D . A' B' C' D'

. Gọi M,Nlần lượt là trung điểm cạnh A'B' và BC.
a) Chứng minh rằng

M N ⊥ A C'

.

Xem đáp án

Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D'. Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh A'B' và BC. a) Chứng minh rằng MN vuông góc AC' . (ảnh 1)

a) Chứng minh rằng $M N ⊥ A C'$ .

Ta có $\vec{A C'} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'}$ .

$\vec{M N} = \vec{M B'} + \vec{B' B} + \vec{B N} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \vec{A A'} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ .

$\vec{A C'} . \vec{M N} = (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'}) (\frac{1}{2} \vec{A B} - \vec{A A'} + \frac{1}{2} \vec{A D})$

$= \frac{1}{2} A B^{2} - \vec{A B} . \vec{A A'} + \vec{A B} . \vec{A D} - \vec{A D} . \vec{A A'} + \frac{1}{2} A D^{2} + \frac{1}{2} \vec{A B} . \vec{A A'} - A A'^{2} + \frac{1}{2} \vec{A A'} . \vec{A D}$

Vì $\vec{A B} . \vec{A A'} = \vec{A B} . \vec{A D} = \vec{A D} . \vec{A A'} = \vec{A B} . \vec{A A'} = \vec{A A'} . \vec{A D} = 0$ và $\frac{1}{2} A B^{2} + \frac{1}{2} A D^{2} - A A'^{2} = 0$ .

Suy ra $\vec{A C'} . \vec{M N} = 0$ .

Vậy $M N ⊥ A C'$ .

Câu 39:

b) Chứng minh rằng $A C' ⊥ (A' B D)$ .

Xem đáp án

b) Chứng minh rằng $A C' ⊥ (A' B D)$ .

Ta có $\{\begin{cases} A' B ⊥ A B' \\ A' B ⊥ B' C' \\ A B', B' C' \subset (A B' C') \\ A B' \cap B' C' = B' \end{cases} \Rightarrow A' B ⊥ (A B' C') \Rightarrow A' B ⊥ A C'$ (1).

Chứng minh tương tự ta được $B D ⊥ A C'$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $A C' ⊥ (A' B D)$ .

Câu 40:

Tìm a, b, $c \in R$ để $\lim_{x \to 1} \frac{2 \sqrt{1 + a x^{2}} - b x - 1}{x^{3} - 3 x + 2} = c$ .

Xem đáp án

Ta có: $x^{3} - 3 x + 2 = {(x - 1)}^{2} (x + 2)$ .

Do đó phương trình $2 \sqrt{1 + a x^{2}} - b x - 1 = 0$ $\Rightarrow 4 (1 + a x^{2}) - {(b x + 1)}^{2} = 0$ phải có nghiệm kép x=1

$\Leftrightarrow (4 a - b^{2}) x^{2} - 2 b x + 3 = 0$ có nghiệm kép x=1

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 a - b^{2} \neq 0 \\ Δ^{'} = b^{2} - 3 (4 a - b^{2}) = 0 \\ (4 a - b^{2}) . {(1)}^{2} - 2. b .1 + 3 = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 a - b^{2} \neq 0 \\ a = \frac{1}{3} b^{2} \\ \frac{1}{3} b^{2} - 2 b + 3 = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow a = b = 3$ .

Khi đó $\lim_{x \to 1} \frac{2 \sqrt{1 + 3 x^{2}} - 3 x - 1}{x^{3} - 3 x + 2}$ $= \lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{2 \sqrt{1 + 3 x^{2}} + 3 x + 1}}{{(x - 1)}^{2} (x + 2)}$ $= \lim_{x \to 1} \frac{3}{(2 \sqrt{1 + 3 x^{2}} + 3 x + 1) (x + 2)} = \frac{1}{8}$

Suy ra c= $\frac{1}{8}$ .

Vậy $a = b = 3$ , $c = \frac{1}{8}$ .

Câu 41:

Cho hàm số

f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3} + 8 x + m}{x - 1} k h i x \neq 1 \\ n k h i x = 1 \end{cases}

, với m,n,

là các tham số thực. Biết rằng hàm số f(x) liên tục tại x=1, khi đó hãy tính giá trị của biểu thức p= m+n ?

Xem đáp án

Tập xác định D=R.

Với $x \neq 1$ ta có $f (x) = \frac{x^{3} + 8 x + m}{x - 1} = x^{2} + x + 9 + \frac{m + 9}{x - 1}$ .

f(x) liên tục tại x=1 khi và chỉ khi $\lim_{x \to 1} f (x) = f (1) (1)$

Nếu $m + 9 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq - 9$ thì không tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$ vì $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ .

Do đó $m + 9 = 0$ $\Leftrightarrow m = - 9$ . Suy ra $\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} (x^{2} + x + 9) = 11$ .

Vậy $(1) \Leftrightarrow n = 11$ suy ra $P = m + n = - 9 + 11 = 2$ .