7 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho $Δ A B C$ . Trên tia đối của tia BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. AG cắt BC tại M. Lấy H là trung điểm AG. Nối EG cắt AF tại N. Lấy I là trung điểm EG

1: Chọn câu đúng

A. Hai tam giác ABC và AEF có cùng trọng tâm

B. Hai tam giác ABC và AEC có cùng trọng tâm

C. Hai tam giác ABC và ABF có cùng trọng tâm

D. Hai tam giác AEM và AMF có cùng trọng tâm

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $M B = M C$ (vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của $Δ A B C$ ); $B E = C F (g t)$

Mà $M E = M B + B E; M F = M C + C F$

Suy ra $M E = M F$

Do đó AM là đường trung tuyến ứng với cạnh EF của $Δ A E F$

Mặt khác $A G = \frac{2}{3} A M$ (do G là trọng tâm $Δ A B C$ )

Vậy G là trọng tâm $Δ A E F$

Câu 2:

Cho $Δ A B C$ . Trên tia đối của tia BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. AG cắt BC tại M. Lấy H là trung điểm AG. Nối EG cắt AF tại N. Lấy I là trung điểm EG

2: Chọn câu đúng

A. $I H / / M N; I H = M N$

B. $I H / / M N; I H < M N$

C. $I H / / M N; I H > M N$

D. $I H / / M N; I H = 2 M N$

Xem đáp án

Đáp án A

Theo câu trước ta có: G là trọng tâm $Δ A E F$ nên $E G = \frac{2}{3} E N$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Mà $G I = \frac{1}{2} E G$ (Vì I là trung điểm của EG)

Suy ra $G I = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} E N = \frac{1}{3} E N$

Mặt khác $G N = \frac{1}{3} E N$ (vì G là trọng tâm $Δ A E F$ )

Do đó $G I = G N$

Theo câu trước ta có: $A G = \frac{2}{3} A M$ mà $G H = \frac{1}{2} A G$ (vì H là trung điểm của AG)

Suy ra $G H = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} A M = \frac{1}{3} A M$

Mặt khác $G M = \frac{1}{3} A M$ (vì G là trọng tâm $Δ A E F$ )

Do đó: $G H = G M$

Xét $Δ G H I$ và $Δ G M N$ có:

$G I = G N$ (cmt)

$\hat{H G I} = \hat{N G M}$ (hai góc đối đỉnh)

$G H = G M$ (cmt)

$\Rightarrow Δ G H I = Δ G M N (c . g . c) \Rightarrow H I = M N$ (hai cạnh tương ứng), $\hat{I H G} = \hat{N M G}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\hat{I H G}, \hat{N M G}$ ở vị trí so le trong nên HI//MN

Câu 3:

Cho tam giác MNP, hai đường trung tuyến ME, NF cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác MNP, biết diện tích tam giác MNO là $8 c m^{2}$

A. $12 c m^{2}$

B. $48 c m^{2}$

C. $36 c m^{2}$

D. $24 c m^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi MH là đường cao kẻ từ M xuống cạnh BC, NK là đường cao kẻ từ N xuống cạnh ME

Hai đường trung tuyến ME và NF cắt nhau tại O nên O là trọng tâm tam giác MNP, do đó $M O = \frac{2}{3} M E$

Có ME là trung tuyến ứng với cạnh NP nên E là trung điểm của NP, suy ra $N P = 2 N E$

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{S_{M N O}}{S_{M N E}} = \frac{\frac{1}{2} . N K . M O}{\frac{1}{2} . N K . M E} = \frac{\frac{1}{2} . N K . \frac{2}{3} . M E}{\frac{1}{2} . N K . M E} = \frac{2}{3} \\ \Rightarrow S_{M N O} = \frac{2}{3} S_{M N E} \\ \frac{S_{M N E}}{S_{M N P}} = \frac{\frac{1}{2} . M H . N E}{\frac{1}{2} . M H . N P} = \frac{\frac{1}{2} . M H . N E}{\frac{1}{2} . M H .2. N E} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow S_{M N E} = \frac{1}{2} S_{M N P} \end{array}$

Từ đó suy ra:

$S_{M N P} = 2. S_{M N E} = 3. S_{M N O} \Rightarrow S_{M N P} = 3.8 = 24 c m^{2}$

Câu 4:

Cho tam giác MNP, hai đường trung tuyến ME, NF cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác MNP, biết diện tích tam giác MNO là $12 c m^{2}$

A. $18 c m^{2}$

B. $72 c m^{2}$

C. $54 c m^{2}$

D. $36 c m^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi MH là đường cao kẻ từ M xuống cạnh BC, NK là đường cao kẻ từ N xuống cạnh ME

Hai đường trung tuyến ME và NF cắt nhau tại O nên O là trọng tâm tam giác MNP, do đó $M O = \frac{2}{3} M E$

Có ME là trung tuyến ứng với cạnh NP nên E là trung điểm của NP, suy ra $N P = 2 N E$

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{S_{M N O}}{S_{M N E}} = \frac{\frac{1}{2} . N K . M O}{\frac{1}{2} . N K . M E} = \frac{\frac{1}{2} . N K . \frac{2}{3} . M E}{\frac{1}{2} . N K . M E} = \frac{2}{3} \\ \Rightarrow S_{M N O} = \frac{2}{3} S_{M N E} \\ \frac{S_{M N E}}{S_{M N P}} = \frac{\frac{1}{2} . M H . N E}{\frac{1}{2} . M H . N P} = \frac{\frac{1}{2} . M H . N E}{\frac{1}{2} . M H .2. N E} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow S_{M N E} = \frac{1}{2} S_{M N P} \end{array}$

Từ đó suy ra:

$S_{M N P} = 2. S_{M N E} = 3. S_{M N O} \Rightarrow S_{M N P} = 3.12 = 36 c m^{2}$

Câu 5:

Cho tam giác ABC, có G là trọng tâm và các đường trung tuyến AM, BN, CP. Trên tia AG kéo dài lấy điểm D sao cho G là trung điểm của AD. So sánh các cạnh của tam giác BGD với các đường trung tuyến của tam giác ABC

A. $B G = \frac{2}{3} B N; G D = \frac{2}{3} A M; B D < \frac{2}{3} C P$

B. $B G = \frac{2}{3} B N; G D = \frac{2}{3} A M; B D = \frac{2}{3} C P$

C. $B G = \frac{2}{3} B N; G D = \frac{2}{3} A M; B D > \frac{2}{3} C P$

D. $B G = \frac{2}{3} B N; G D < \frac{2}{3} A M; B D = \frac{2}{3} C P$

Xem đáp án

Đáp án B

$Δ A B C$ có G là trọng tâm và các đường trung tuyến AM,BN,CP nên theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

$A G = \frac{2}{3} A M; B G = \frac{2}{3} B N; C G = \frac{2}{3} C P$

Vì G là trung điểm của AD nên $G D = A G$ mà $A G = \frac{2}{3} A M$ (cmt), do đó $G D = \frac{2}{3} A M$

Ta có: $G D = A G = 2 G M$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Mà $G D = G M + M D \Rightarrow 2 G M = G M + M D \Rightarrow G M = M D$

Xét $Δ B M D$ và $Δ C M G$ có:

$G M = M D$

$\hat{B M D} = \hat{C M G}$ (hai góc đối đỉnh)

$B M = M C$ (vì AM là đường trung tuyến của $Δ A B C$ )

$\Rightarrow Δ B M D = Δ C M G (c . g . c)$

$\Rightarrow B D = C G$ (hai cạnh tương ứng) mà $C G = \frac{2}{3} C P (c m t)$ nên $B D = \frac{2}{3} C P (c m t)$

Vậy $B G = \frac{2}{3} B N; G D = \frac{2}{3} A M; B D = \frac{2}{3} C P$

Câu 6:

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DB. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC;CE. Gọi I;K theo thứ tự là giao điểm của AM,AN và BE. Chọn câu đúng

A. $B I = I K > K E$

B. $B I > I K > K E$

C. $B I = I K = K E$

D. $B I < I K < K E$

Xem đáp án

Đáp án C

Vì AM, DB là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó: $B I = \frac{2}{3} B D = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} B E = \frac{1}{3} B E$ (1)

Vì AN, ED là hai đường trung tuyến của tam giác ACE và chúng cắt nhau tại K nên K là trọng tâm tam giác ACE nên

$E K = \frac{2}{3} E D = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} B E = \frac{1}{3} B E$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $I K = \frac{1}{3} B E$ từ đó $B I = E K = I K$

Câu 7:

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho $D E = D B$ . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC;CE. Gọi I; K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN và BE. Tính BE biết $I K = 3 c m$

A. 6cm

B. 9cm

C. 12cm

D. 15cm

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: DE = DB mà BD + DE = BE nên

$2 B D = B E \Rightarrow B D = D E = \frac{1}{2} B E$

Vì AM, DB là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó: $B I = \frac{2}{3} B D = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} B E = \frac{1}{3} B E$ (1)

Vì AN, ED là hai đường trung tuyến của tam giác ACE và chúng cắt nhau tại K nên K là trọng tâm tam giác ACE nên

$E K = \frac{2}{3} E D = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} B E = \frac{1}{3} B E$ (2)

Mặt khác $B I + I K + K E = B E$ kết hợp với (1);(2) suy ra

$\frac{1}{3} B E + I K + \frac{1}{3} B E = B E \Rightarrow I K = \frac{1}{3} B E$

Do đó: $B E = 3 I K = 3.3 = 9 c m$