14 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Nghiệm của đa thức một biến có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho đa thức $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Chọn câu đúng?

A. Nếu $a + b + c = 0$ thì đa thức f(x) có một nghiệm x = 1.

B. Nếu $a - b + c = 0$ thì đa thức f(x) có một nghiệm x = -1.

C. Cả A và B đều đúng.

D. Cả A và B đều sai.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là C.

+ Với $a + b + c = 0$ thay x = 1 vào f(x) ta được

$f (x) = a . 1^{2} + b . 1 + c = a + b + c \Rightarrow f (1) = 0$ .

Nên x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)

+ Với $a - b + c = 0$ thay x = -1 vào f(x) ta được

$f (- 1) = a . {(- 1)}^{2} + b . (- 1) + c = a - b + c \Rightarrow f (- 1) = 0$ .

Nên x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x)

Vậy cả A, B đều đúng.

Câu 2:

Cho đa thức $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ . Chọn câu đúng?

A. Nếu $a + b + c + d$ thì đa thức f(x) có một nghiệm x = 1.

B. Nếu $a - b + c - d = 0$ thì đa thức f(x) có một nghiệm x = -1.

C. Cả A và B đều đúng.

D. Cả A và B đều sai.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là C.

+ Với $a + b + c + d = 0$ thay x = 1 vào $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ta được

$f (1) = a . 1^{3} + b . 1^{2} + c . 1 + d = a + b + c + d \Rightarrow f (1) = 0$ .

Vậy x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)

+ Với $a - b + c - d = 0$ thay x = -1 vào $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ta được

$f (- 1) = a . {(- 1)}^{3} + b {(- 1)}^{2} + c . (- 1) + d = - a + b - c + d = - (a - b + c - d) = 0 \Rightarrow f (- 1) = 0$

Nên x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x)

Vậy cả A, B đều đúng.

Câu 3:

Cho $P (x) = x^{2} - 6 x + a$ . Tìm a để P(x) nhận x = -1 là nghiệm.

A. a = 1.

B. a = -7.

C. a = 7.

D. a = 6.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là B.

P(x) nhận -1 là nghiệm nên P(-1) = 0

$\Rightarrow {(- 1)}^{2} - 6 . (- 1) + a = 0 \Rightarrow 1 + 6 + a = 0 \Rightarrow 7 + a = 0 \Rightarrow a = - 7$

Vậy P(x) nhận -1 là nghiệm thì a = -7.

Câu 4:

Cho $Q (x) = a x^{2} - 2 x - 3 .$ Tìm a để Q(x) nhận 1 là nghiệm.

A. a = 1.

B. a = -5.

C. a = 5.

D. a = -1.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là C.

Q(x) nhận 1 là nghiệm thì Q(1) = 0

$\Rightarrow a . 1^{2} - 2.1 - 3 = 0 \Rightarrow a - 5 = 0 \Rightarrow a = 5 .$

Vậy để Q(x) nhận 1 là nghiệm thì a = 5.

Câu 5:

Đa thức $f (x) = x^{2} - x + 1$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là B.

+ Xét x < 0 khi đó x - 1 < 0 nên x(x-1) > 0 do đó $x^{2} - x + 1$ > 0

Hay f(x) > 0

+ Xét $0 \leq x < 1$ khi đó $x^{2}$ > 0 và 1 - x > 0 do đó

$x^{2} + (1 - x) = x^{2} - x + 1 > 0$ nên f(x) > 0

+ Xét $x \geq 1$ thì x > 0 và $x (x - 1)$ suy ra $x^{2} - x + 1$ >0 hay f(x) > 0

Vậy f(x) > 0 với mọi x nên f(x) vô nghiệm.

Câu 6:

Đa thức $f (x) = 2 x^{2} - 2 x + 3$ có bao nhiêu nghiệm ?

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là B.

Ta có:

$f (x) = 2 x^{2} - 2 - 3 = x^{2} + x^{2} - x - x + 1 + 2 = x^{2} + (x^{2} - x) - (x - 1) + 2 = x^{2} + x (x - 1) - (x - 1) + 2 = x^{2} + (x - 1) (x - 1) + 2 = x^{2} + {(x - 1)}^{2} + 2$

Với mọi x ta có : $x^{2} \geq 0; {(x - 1)}^{2} \geq 0$

Mặt khác 2 > 0 nên $x^{2} + {(x - 1)}^{2} + 2$ với mọi x hay f(x) > 0 với mọi x

Do đó f(x) không có nghiệm.

Câu 7:

Biết $(x - 1) f (x) = (x + 4) f (x + 8)$ . Khi đó đa thức f(x) có ít nhất là bao nhiêu nghiệm?

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là A.

Vì $(x - 1) f (x) = (x + 4) f (x + 8)$ với mọi x nên suy ra:

+ Khi x - 1 = 0, hay x = 1 thì ta có:

$(1 - 1) f (1) = (1 + 4) f (1 + 8) \Rightarrow 0 f (1) = 5 f (9) \Rightarrow f (9) = 0$

Vậy x = 9 là một nghiệm của f(x)

+ Khi x + 4 = 0 hay x = -4 ta có:

$(- 4 - 1) f (- 4) = (- 4 + 4) f (- 4 + 8) \Rightarrow - 5 . f (- 4) = 0 . f (4) \Rightarrow f (- 4) = 0$

Vậy x = -4 là một nghiệm của f(x)

Vậy f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 9 và -4.

Câu 8:

Biết $x . f (x + 1) = (x + 3) . f (x)$ . Khi đó đa thức f(x) có ít nhất là bao nhiêu nghiệm?

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là A.

Ta có: $x . f (x + 1) = (x + 3) . f (x)$ với mọi x

+ Khi x = 0 ta có:

$0 . f (0 + 1) = (0 + 3) . f (0) \Rightarrow 0 . f (1) = 3 . f (0) \Rightarrow f (0) = 0$

Vậy x = 0 là một nghiệm của f(x)

+ Khi x + 3 = 0 hay x = -3 ta có:

$(- 3) . f (- 3 + 1) = (- 3 + 3) . f (- 3) \Rightarrow (- 3) . f (- 2) = 0 . f (- 3) \Rightarrow f (- 2) = 0$

Vậy x = -2 là một nghiệm của f(x)

Vậy f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 0 và -2.

Câu 9:

Số nghiệm của đa thức $g (x) = {(3 x + 4)}^{4} - 81$ là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là C.

Ta có:

$g (x) = 0 \Rightarrow {(3 x + 4)}^{4} - 81 = 0 \Rightarrow {(3 x + 4)}^{4} = 81 \Rightarrow {(3 x + 4)}^{2} = 9 \Rightarrow \begin{array}{rcl} 3 x + 4 & = & 3 \\ 3 x + 4 & = & - 3 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{rcl} 3 x & = & - 1 \\ 3 x & = & - 7 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 1}{3} \\ x & = & \frac{- 7}{3} \end{array}$

Vậy g(x) có hai nghiệm là $x = \frac{- 1}{3}; x = \frac{- 7}{3}$ .

Câu 10:

Thu gọn rồi tìm nghiệm của đa thức sau: $f (x) = x . (1 - 2 x) + 2 x^{2} - x + 4$ .

A. $f (x) = 4 x^{2} + 4$ ; f(x) không có nghiệm.

B. $f (x) = - 2 x + 4$ ; f(x) có nghiệm là x = 2.

C. $f (x) = 4$ ; f(x) không có nghiệm.

D. f(4) = 4; f(x) có nghiệm là x = 4.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là C.

Ta có:

$f (x) = x (1 - 2 x) + 2 x^{2} - x + 4 = x - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x + 4 = (x - x) - (2 x^{2} - 2 x^{2}) + 4 = 4$

Vì f(x) = 4 > 0 với mọi x nên f(x) không có nghiệm.

Câu 11:

Tìm đa thức f(x) rồi tìm nghiệm của đa thức f(x) biết: $x^{3} + 2 x^{2} (4 y - 1) - 4 x y^{2} - 9 y^{3} - f (x) = - 5 x^{3} + 8 x^{2} y - 4 x y^{2} - 9 y^{3}$

A. $f (x) = - 4 x^{3} - 2 x^{2}; f (x)$ có nghiệm $x = 0; x = \frac{- 1}{2}$ .

B. $f (x) = 6 x^{3} - 3 x^{2}; f (x)$ có nghiệm $x = 0; x = \frac{1}{3}$ .

C. $f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2}; f (x)$ có nghiệm $x = 0; x = - \frac{1}{2}$ .

D. $f (x) = - 6 x^{3} + 2 x^{2}; f (x)$ có nghiệm $x = 0; x = \frac{1}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là B.

Ta có:

$x^{3} + 2 x^{2} (4 y - 1) - 4 x y^{2} - 9 y^{3} - f (x) = - 5 x^{3} + 8 x^{2} y - 4 x y^{2} - 9 y^{3} \Rightarrow f (x) = [x^{3} + 2 x^{2} (4 y - 1) - 4 x y^{2} - 9 y^{3}] - (- 5 x^{3} + 8 x^{2} y - 4 x y^{2} - 9 y^{3}) = x^{3} + 8 x^{2} y - 2 x^{2} - 4 x y^{2} - 9 y^{3} + 5 x^{3} - 8 x^{2} y + 4 x y^{2} + 9 y^{3} = (x^{3} + 5 x^{3}) + (8 x^{2} y - 8 x^{2} y) - 2 x^{2} + (- 4 x y^{2} + 4 x y^{2}) + (- 9 y^{3} + 9 y^{3}) = 6 x^{3} - 2 x^{2}$

Khi đó

$f (x) = 0 \Rightarrow 6 x^{3} - 2 x^{2} = 0 \Rightarrow 2 x^{2} (3 x - 1) = 0 \Rightarrow \begin{array}{rcl} 2 x^{2} & = & 0 \\ 3 x - 1 & = & 0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{rcl} x^{2} & = & 0 \\ 3 x - 1 & = & 0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{rcl} x & = & 0 \\ x & = & \frac{1}{3} \end{array}$

Vậy f(x) có hai nghiệm là $x = 0; x = \frac{1}{3}$ .

Câu 12:

Cho $f (x) = 2 x^{2} (x - 1) - 5 (x + 2) - 2 x (x - 2); g (x) = x^{2} (2 x - 3) - x (x + 1) - (3 x - 2)$

Thu gọn f(x);g(x) theo lũy thừa giảm dần của biến.

A. $f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 10; g (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 2 .$

B. $f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - x - 10; g (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 2 .$

C. $f (x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - x - 10; g (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 2 .$

D. $f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - x - 10; g (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 2 .$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là B.

Ta có:

$f (x) = 2 x^{2} (x - 1) - 5 (x + 2) - 2 x (x - 2) = (2 x^{3} - 2 x^{2}) - (5 x + 10 x) - (2 x^{2} - 4 x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} - 5 x - 10 - 2 x^{2} + 4 x = 2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x^{2}) + (- 5 x - 4 x) - 10 = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 9 x - 10 g (x) = x^{2} (2 x - 3) - x (x + 1) - (3 x - 2) = (2 x^{3} - 3 x^{2}) - (x^{2} + x) - (3 x - 2) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - x^{2} - x - 3 x + 2 = 2 x^{3} - (3 x^{2} + x^{2}) + (- x - 3 x) + 2 = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 2$

Sắp xếp f(x);g(x) theo lũy thừa giảm dần của biến ta được $f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - x - 10; g (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 2$ .

Câu 13:

Cho $f (x) = 2 x^{2} (x - 1) - 5 (x + 2) - 2 x (x - 2); g (x) = x^{2} (2 x - 3) - x (x + 1) - (3 x - 2)$

Tính h(x) = f(x) - g(x).

A. $3 x - 12$ .

B. $- 8 x^{2} - 5 x - 8$ .

C. $- 5 x - 8$ .

D. $3 x - 8$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là A.

Theo câu trước ta có: $f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - x - 10; g (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 2 .$

Khi đó:

$h (x) = f (x) - g (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - x - 10 - (2 x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 2) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x - 2 = (2 x^{3} - 2 x^{3}) + (- 4 x^{2} + 4 x^{2}) + (- x + 4 x) + (- 10 - 2) = 3 x - 12$

Câu 14:

Cho: $f (x) = 2 x^{2} (x - 1) - 5 (x + 2) - 2 x (x - 2); g (x) = x^{2} (2 x - 3) - x (x + 1) - (3 x - 2)$

Tính nghiệm của h(x) biết $h (x) = f (x) - g (x)$ .

A. $x = 9$ .

B. $x = \frac{8}{3}$ .

C. $x = \frac{- 8}{5}$ .

D. $x = 4$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là D.

Theo câu trước ta có: $h (x) = 3 x - 12$

Khi đó: $h (x) = 0 \Rightarrow 3 x - 12 = 0 \Rightarrow 3 x = 13 \Rightarrow x = 4$ .

Vậy nghiệm của h(x) là $x = 4$ .