Đáp án đúng là: C

Ta vẽ tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B}=57°$ để mô tả hình ảnh chiếc thang dựa vào tường như đề bài.

Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{C}=90°-\widehat{B}=90°-57°=33°$ 

Vậy độ nghiêng của chiếc thang so với bức tường là 33°.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác MNP có $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Vì $21\widehat{M}=14\widehat{N}=6\widehat{P}$ nên $\frac{21\widehat{M}}{42}=\frac{14\widehat{N}}{42}=\frac{6\widehat{P}}{42}$

 $\Rightarrow \frac{\widehat{M}}{2}=\frac{\widehat{N}}{3}=\frac{\widehat{P}}{7}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\widehat{M}}{2}=\frac{\widehat{N}}{3}=\frac{\widehat{P}}{7}=\frac{\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}}{2+3+7}=\frac{180°}{12}=15°$

Suy ra $\widehat{N}=15°.3=45°$

Vậy số đo góc N bằng 45°. 

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: B

Trên tia đối của tia IC lấy điểm D sao cho ID = IC

Xét DACI và DBID có:

AI = BI (vì I là trung điểm của AB);

CI = DI;

$\widehat{AIC}=\widehat{BI\text{D}}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó DACI = DBDI (c.g.c)

Suy ra AC = BD (hai cạnh tương ứng)

Xét DBCD có: CD < BC + BD (bất đẳng thức trong tam giác)

Hay 2.CI < BC + BD

Do đó 2CI < BC + AC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Giả sử tam giác ABC cân có AB = 2 cm và BC = 5 cm.

Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác ABC ta có:

BC – AB < AC < BC + AB

Hay 5 – 2 < AC < 5 + 2

Suy ra 3 < AC < 7              (*)

Vì tam giác ABC là tam giác cân (giả thiết)

Mà AB = 2 cm và BC = 5 cm nên không thể cân tại B.

Do đó có hai trường hợp có thể xảy ra:

• Trường hợp 1: DABC cân tại A.

Suy ra AB = AC.

Mà AB = 2 cm nên AC = 2 cm (không thỏa mãn điều kiện (*))

Nên AB = 2 cm hoặc AB = 5 cm                 (2)

• Trường hợp 2: DABC cân tại C.

Suy ra CA = CB.

Mà BC = 5 cm nên AC = 5 cm (thỏa mãn điều kiện (*))

Vậy AC = 5 cm.

Khi đó chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC = 2 + 5 + 5 = 12 (cm).

Ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Đặt ba điểm tại ba vị trí như hình vẽ trên.

Theo bất đẳng thức ta có:

AB + AC > BC

Nên AB + AC > 3,7 cm.

Do đó tổng quãng đường từ nhà Mai đến nhà Lan rồi từ nhà Lan tới trường học phải lớn hơn 3,7 km.

Vậy nên bạn Mai đã nói sai.

Ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C}$ 

Hay $\widehat{A}=180°-80°-40°=60°$ 

Xét tam giác MNP ta có: $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{P}=180°-\widehat{N}-\widehat{M}$ 

Hay $\widehat{P}=180°-80°-60°=40°$ 

Khi đó: tam giác ABC và tam giác MNP có:

+) AB = NM, BC = NP, AC = MP;

+) $\widehat{A}=\widehat{M}\left(=60°\right),\widehat{B}=\widehat{N}\left(=80°\right),\widehat{C}=\widehat{P}\left(=40°\right)$ 

Do đó hai tam giác ABC và MNP bằng nhau và được kí hiệu là DABC = DMNP.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: A

Xét DMNH và HIP ta có:

HM = HP (giả thiết);

HN = HI (giả thiết);

MN = PI (giả thiết).

Do đó DMNH = DPIH (c.c.c)

Suy ra $\widehat{MNH}=\widehat{PIH},\widehat{MHN}=\widehat{PHI}$ (các cặp góc tương ứng)

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Vì A nằm trên đường thẳng vuông góc với CB tại H nên ta có: $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$

Vì I nằm trên đường thẳng vuông góc với CB tại H nên ta có: $\widehat{IHB}=\widehat{IHC}=90°$

+) Xét DABH và DACH có:

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90°$(chứng minh trên),

AH là cạnh chung,

BH = CH (do H là trung điểm của CB),

Suy ra DABH = DACH (hai cạnh góc vuông)

Do đó đáp án A đúng

Vì DABH = DACH (chứng minh trên)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (hai góc tương ứng)

+) Xét tam giác HCI và tam giác HBI có:

$\widehat{IHB}=\widehat{IHC}=90°$(chứng minh trên),

HI là cạnh chung,

BH = CH (do H là trung điểm của CB),

Suy ra DICH = DIBH (hai cạnh góc vuông)

Do đó đáp án B đúng

+) Xét tam giác BAI và tam giác CAI có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ (do $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$),

AI là cạnh chung

Suy ra DBAI = DCAI (c.g.c)

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Đáp án đúng là: B

Đáp án đúng là: D

• Vì AB // HK (giả thiết) nên $\widehat{BAC}=\widehat{ACH}$ (hai góc so le trong)

Vì BC // IH (giả thiết) nên $\widehat{BCA}=\widehat{CAH}$ (hai góc so le trong)

• Xét DABC và DCHA có:

$\widehat{BAC}=\widehat{ACH}$(chứng minh trên),

AC là cạnh chung,

$\widehat{BCA}=\widehat{CAH}$(chứng minh trên)

Do đó DABC = DCHA (g.c.g)

Suy ra BC = AH (hai cạnh tương ứng)

Mà AH = AI (do A là trung điểm của IH)

Do đó BC = AI nên đáp án C là đúng.

• Vì CH // AB (giả thiết) nên $\widehat{BAI}=\widehat{CHA}$ (hai góc đồng vị)

Vì IH // CB (giả thiết) nên $\widehat{KCB}=\widehat{CHA}$ và $\widehat{KBC}=\widehat{BIA}$ (các cặp góc đồng vị)

Do đó $\widehat{BAI}=\widehat{CHA}=\widehat{KCB}$

Xét DABI và DCKB có:

$\widehat{BAI}=\widehat{KCB}$ (chứng minh trên),

AI = BC (chứng minh trên),

$\widehat{KBC}=\widehat{BIA}$(chứng minh trên),

Do đó DABI = DCKB (g.c.g) nên đáp án B là đúng

Suy ra AB = KC (hai cạnh tương ứng)

Mà DABC = DCHA (chứng minh trên)

Nên AB = CH (hai cạnh tương ứng)

Do đó CH = CK (= AB) nên đáp án A là đúng

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A:

Xét ∆ADH và ∆ADE, có:

AH = AE (giả thiết).

$\widehat{HAD}=\widehat{DAE}$ (do AD là phân giác của $\widehat{HAC}$).

AD là cạnh chung.

Do đó ∆ADH = ∆ADE (c.g.c)

Suy ra đáp án A đúng.

Đáp án B:

∆ADH = ∆ADE (chứng minh trên).

Suy ra $\widehat{AHD}=\widehat{AED}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{AHD}=90°$ (do AH ⊥ HD).

Do đó $\widehat{AED}=90°$.

Khi đó ta có DE ⊥ AE hay DE ⊥ AC.

Do đó đáp án B đúng.

Đáp án C:

Ta có AH = AE (giả thiết) và HF = EC (giả thiết).

Suy ra AH + HF = AE + EC.

Do đó AF = AC.

Khi đó ta có ∆ACF cân tại A                         (1).

Vì ∆AHC vuông tại H nên $\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90°$.

Do đó $\widehat{HAC}=90°-\widehat{HCA}=90°-30°=60°$  (2).

Từ (1), (2), ta suy ra ∆ACF là tam giác đều.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Trên hình vẽ, hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G

Nên G là trọng tâm tam giác ABC

Do đó $AG=\frac{2}{3}AM$(tính chất trọng tâm)

Suy ra $GM=\frac{1}{3}AM$

Mà AM = 3 cm

Nên GM = 1 cm.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là:D

Đáp án đúng là: B

Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

Trọng tâm là giao điểm của ba đường trung tuyến của một tam giác.

Điểm cách đều ba cạnh của tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác đó.

Trực tâm là giao điểm của ba đường cao của một tam giác.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Trong một tam giác, trực tâm là giao điểm của ba đường cao.

Do đó ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Ta xét từng phát biểu:

Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đó là trọng tâm của tam giác đó.

Do đó phát biểu (I) đúng.

Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Do đó phát biểu (II) đúng.

Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Do đó phát biểu (III) đúng.

Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác đó.

Do đó phát biểu (IV) đúng.

Vậy có 4 phát biểu đúng, ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Trong một tam giác, trực tâm là giao điểm của ba đường cao.

Để xác định trực tâm của một tam giác, ta cần xác định giao điểm của ít nhất hai đường cao của tam giác đó.

Vì ∆ABC vuông tại A nên ta có AB ⊥ AC tại A.

Suy ra ∆ABC có hai đường cao là AB và AC.

Hai đường cao này cắt nhau tại A.

Do đó A là trực tâm của ∆ABC.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

• Vì AB là đường trung trực của đoạn thẳng PQ và AB cắt PQ tại I.

Ta suy ra I là trung điểm của PQ.

Do đó đáp án A đúng.

• Vì A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Nên A cách đều P, Q.

Suy ra AQ = AP = 6 cm.

Mà BQ = 8 cm.

Do đó đáp án B đúng.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: B

Vì M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB  (1).

Xét ∆CMB, có: MC + MB > BC (bất đẳng thức tam giác)  (2).

Từ (1), (2), ta suy ra MC + MA > BC.

 Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

• Xét ∆BOD và ∆COE, có:

$\widehat{BDO}=\widehat{CEO}=90°$,

OB = OC (do O là trung điểm của BC),

$\widehat{BOD}=\widehat{COE}$ (hai góc đối đỉnh),

Do đó ∆BOD = ∆COE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra OD = OE (cặp cạnh tương ứng).

• ∆AOB có $\widehat{B}>90°$ (giả thiết).

Ta suy ra OA là cạnh lớn nhất trong ba cạnh AO, OB, AB của ∆AOB.

Do đó AB < OA.

Khi đó ta có AB < AD + OD  (1) và AB < AE – OE   (2).

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được:

2AB < AD + OD + AE – OE.

Suy ra 2AB < AD + AE + OD – OD (vì OD = OE (chứng minh trên)).

Do đó 2AB < AD + AE.

Vì vậy $AB<\frac{AD+AE}{2}$.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

• Xét ∆ABC và ∆ADE, có:

AB = AD (giả thiết),

$\widehat{BAC}=\widehat{DAE}$ (hai góc đối đỉnh),

AC = AE (giả thiết).

Do đó ∆ABC = ∆ADE (c.g.c)

Suy ra BC = DE (cặp cạnh tương ứng).

Vì vậy đáp án A đúng.

• Xét ∆ABD có DA ⊥ AB (do ∆ABC vuông tại A).

Suy ra $\widehat{BAD}=90°$.

Do đó ∆ABD vuông tại A.

Lại có AB = AD (giả thiết).

Suy ra ∆ABD vuông cân tại A.

Do đó đáp án B đúng.

• Chứng minh tương tự, ta được ∆ACE vuông cân tại A.

Suy ra $\widehat{BDA}=\widehat{ACE}=45°$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Do đó BD // CE.

Vì vậy đáp án C đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Đáp án đúng là: A

• Gọi M, N lần lượt là trung điểm BE, AC.

Vì IM là đường trung trực của đoạn thẳng BE nên IB = IE.

Vì IN là đường trung trực của đoạn thẳng AC nên IA = IC.

Do đó đáp án D đúng.

• Xét ∆AIB và ∆CIE, có:

IA = IC (chứng minh trên),

AB = CE (giả thiết),

IB = IE (chứng minh trên)

Do đó ∆AIB = ∆CIE (cạnh – cạnh – cạnh).

Vì vậy đáp án A sai do chưa đúng kí hiệu bằng nhau của hai tam giác.

• Ta có ∆AIB = ∆CIE (chứng minh trên).

Suy ra $\widehat{IAB}=\widehat{ICA}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{IAB}=\widehat{IAC}$ (do ∆IAC cân tại I).

Do đó $\widehat{IAB}=\widehat{IAC}$.

Vì vậy đáp án C đúng.

• Ta có $\widehat{IAB}=\widehat{IAC}$ (chứng minh trên).

Suy ra AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

Hay AI là đường phân giác của ∆ABC.

Do đó đáp án B đúng.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: C

• Ta có BM = 2MC.

Suy ra $\frac{BM}{MC}=\frac{2}{1}$

Do đó $\frac{BM}{MC+BM}=\frac{2}{1+2}$

Hay $\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3}$

Suy ra $BM=\frac{2}{3}BC$  (1).

Do đó đáp án D đúng.

• Vì ∆ABD có AC = CD nên C là trung điểm AD.

Do đó BC là đường trung tuyến của ∆ABD  (2).

Từ (1), (2), ta suy ra M là trọng tâm của ∆ABD.

Do đó đáp án A đúng.

• Vì M là trọng tâm của ∆ABD nên DM đi qua trung điểm của cạnh AB.

Do đó đáp án B đúng.

• Vì M là trọng tâm của ∆ABD nên $AM=\frac{2}{3}AE\ne \frac{1}{2}AE$.

Do đó đáp án C sai.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: B

• Ta có DE = DF nên ∆DEF cân tại D.

Suy ra $\widehat{DFE}=\widehat{DEF}$ (tính chất tam giác cân)

Mà $\widehat{DEH}=\widehat{HEF}=32°$

Do đó EH là tia phân giác của $\widehat{DEF}$

Suy ra $\widehat{DEF}=2\widehat{DEH}=2.32°=64°$.

Nên $\widehat{DFE}=64°$

• ∆DEF có hai đường phân giác DH và EH cắt nhau tại H.

Ta suy ra FH là đường phân giác thứ ba của ∆DEF.

Do đó $x=\widehat{HFE}=\frac{1}{2}\widehat{DFE}=\frac{1}{2}.64°=32°$.

Vậy ta chọn đáp án B.