Đáp án đúng là: C

Vì H là trực tâm của ∆ABC nên ta có:

+) AH ⊥ BC;

+) BH ⊥ AC;

+) CH ⊥ AB.

∆HAB có CB ⊥ AH và CA ⊥ BH.

Suy ra CB, CA là hai đường cao của ∆HAB.

Lại có CA cắt CB tại C.

Suy ra C là trực tâm của ∆HAB.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

∆ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến.

Suy ra M là trung điểm của BC.

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AM là cạnh chung,

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

BM = CM (do M là trung điểm BC).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (cặp góc tương ứng).

Lại có $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=180°:2=90°$.

Do đó AM ⊥ BC.

Vì vậy AM cũng là đường cao của ∆ABC.

∆ABC có AM, CN là hai đường cao.

Mà H là giao điểm của AM và CN.

Do đó H là trực tâm của ∆ABC.

Suy ra BH ⊥ AC.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Vì H là trực tâm của ∆ABC nên AH ⊥ BC.

Gọi I là giao điểm của AH và BC.

Suy ra AI ⊥ BC.

Xét ∆ABI và ∆ACI, có:

AI là cạnh chung,

$\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90°$,

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ABI = ∆ACI (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ (cặp góc tương ứng)

Hay $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$.

Do đó $\widehat{BAC}=\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=2\widehat{BAH}=2.30°=60°$.

Mà ∆ABC cân tại A.

Suy ra ∆ABC là tam giác đều.

Tam giác đều có cả ba góc đều bằng 60° nên tam giác đều không thể là tam giác vuông cân được.

Vì vậy (I) sai, (II) đúng.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

∆ABC đều có G là trọng tâm.

Suy ra AG là đường trung tuyến của ∆ABC.

Gọi M là giao điểm của AG và BC.

Ta suy ra M là trung điểm BC.

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AM là cạnh chung,

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

BM = CM (do M là trung điểm BC).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù).

Do đó $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=180°:2=90°$.

Vì vậy AM ⊥ BC hay AG ⊥ BC.

Chứng minh tương tự, ta được CG ⊥ AB.

∆GAB có BC, CG là hai đường cao.

Hơn nữa C là giao điểm của BC và CG.

Do đó C là trực tâm của ∆GAB.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: C

Gọi E là giao điểm của AB và CD.

Xét ∆EBC có: $\widehat{BEC}+\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{BEC}=180°-\left(\widehat{EBC}+\widehat{ECB}\right)$   (1).

Xét ∆ABH có: $\widehat{AHB}+\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{AHB}=180°-\left(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}\right)$   (2).

Lại có $\widehat{HAB}=\widehat{HCD}$ (giả thiết) hay $\widehat{BAH}=\widehat{ECB}$    (3).

Từ (1), (2), (3), ta suy ra $\widehat{BEC}=\widehat{AHB}$.

Ta có AH ⊥ BC tại H (giả thiết).

Suy ra $\widehat{AHB}=90°$.

Vì vậy $\widehat{BEC}=90°$.

Khi đó CE ⊥ AB.

∆ABC có AH, CE là hai đường cao.

Mà D là giao điểm của AH, CE.

Suy ra D là trực tâm của ∆ABC.

Do đó BD ⊥ AC.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

∆AKC có CH, KE là hai đường cao.

Mà CH cắt KE tại D.

Suy ra D là trực tâm của ∆AKC.

Do đó AD ⊥ KC.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Gọi I là giao điểm của AD và BE.

Xét ∆ABI và ∆AEI, có:

AI là cạnh chung,

AB = AE (giả thiết),

$\widehat{BAI}=\widehat{EAI}$ (do AI là đường phân giác của ∆ABE).

Do đó ∆ABI = ∆AEI (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AIB}=\widehat{AIE}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIE}=180°$ (hai góc kề bù).

Vì vậy $\widehat{AIB}=\widehat{AIE}=180°:2=90°$.

Do đó AI ⊥ BE.

Suy ra AI là đường cao của ∆ABE.

Mà H là giao điểm của hai đường cao AD và BF.

Suy ra H là trực tâm của ∆ABE.

Do đó (I) đúng.

Vì AI là đường phân giác của ∆ABE nên $\widehat{FAH}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{70°}{2}=35°$.

∆AHF vuông tại F: $\widehat{FAH}+\widehat{AHF}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{AHF}=90°-\widehat{FAH}=90°-35°=55°$.

Vì H thuộc AI nên ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Suy ra $\widehat{AHF}+\widehat{FHD}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{FHD}=180°-\widehat{AHF}=180°-55°=125°$.

Vì vậy (II) sai.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆FBC có CE và FD là hai đường cao.

Mà CE, FD cắt nhau tại A.

Suy ra A là trực tâm của ∆FBC.

Do đó BA ⊥ FC.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: D

• ∆ABC có AM là đường trung tuyến.

Suy ra M là trung điểm BC.

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AM là cạnh chung,

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

BM = CM (do M là trung điểm BC),

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù).

Vì vậy $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=180°:2=90°$.

Do đó AM ⊥ BC.

Suy ra AM là đường cao của ∆ABC.

∆ABC có AM, BH là hai đường cao.

Mà AM cắt BH ở K.

Suy ra K là trực tâm của ∆ABC.

Do đó đáp án A đúng.

• Vì K là trực tâm của ∆ABC nên CK ⊥ AB.

Do đó đáp án B đúng.

• ∆ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân)

Mà $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-70°}{2}=55°$

Ta có $\widehat{AKH}=\widehat{ACM}=55°$ (cùng phụ với $\widehat{CAM}$).

Vì K thuộc AM nên ba điểm A, K, M thẳng hàng.

Suy ra $\widehat{AKH}+\widehat{HKM}=180°$ (hai góc kề bù).

Do đó $\widehat{HKM}=180°-\widehat{AKH}=180°-55°=125°$.

Vì vậy đáp án C sai.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: B

• Xét ∆DBA và ∆ECA, có:

$\widehat{BDA}=\widehat{CEA}=90°$,

BD = CE (giả thiết),

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (cùng phụ với $\widehat{BAC}$).

Do đó ∆DBA = ∆ECA (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra AB = AC (cặp cạnh tương ứng).

Vì vậy ∆ABC cân tại A.

Do đó đáp án A đúng.

• Xét ∆ABC có BD, CE là hai đường cao.

Mà BD cắt CE tại H.

Suy ra H là trực tâm của ∆ABC.

Do đó đáp án C đúng.

• ∆ABC có H là trực tâm.

Suy ra AH là đường cao thứ ba của ∆ABC.

Gọi F là giao điểm của AH và BC.

Ta suy ra AF ⊥ BC.

Xét ∆ABF và ∆ACF, có:

$\widehat{AFB}=\widehat{AFC}=90°$,

AF là cạnh chung,

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).,

Do đó ∆ABF = ∆ACF (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{BAF}=\widehat{CAF}$ (cặp góc tương ứng).

Suy ra AF là đường phân giác của ∆ABC hay AH là đường phân giác của ∆ABC.

Do đó đáp án D đúng.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

• Xét ∆DBC có CA, BP là hai đường cao.

Mà M là giao điểm của CA và BP.

Do đó M là trực tâm của ∆DBC.

Vì vậy đáp án A đúng.

• Vì M là trực tâm của ∆DBC nên DM ⊥ BC.

Do đó đáp án B đúng.

• Ta có DM ⊥ BC (chứng minh trên).

Mà MN ⊥ BC (giả thiết).

Suy ra D, M, N thẳng hàng.

Do đó đáp án C đúng.

• Ta có:

+) D ∈ MN (chứng minh trên);

+) D ∈ AB (giả thiết);

+) D ∈ CP (giả thiết).

Suy ra AB, MN, CP cùng đồng quy tại điểm D.

Do đó đáp án D sai.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D.

• Xét ∆DBC có CA, DM là hai đường cao.

Mà M là giao điểm của CA và DM.

Do đó M là trực tâm của ∆DBC.

Suy ra BM ⊥ CD   (1).

Do đó (I) đúng.

• Xét ∆MEA và ∆MDC, có:

MA = MC (do BM là đường trung tuyến của ∆ABC),

$\widehat{AME}=\widehat{CMD}$ (hai góc đối đỉnh),

ME = MD (do M là trung điểm DE).

Do đó ∆MEA = ∆MDC (c.g.c)

Suy ra $\widehat{MAE}=\widehat{MCD}$ (cặp góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Nên AE // CD  (2).

Do đó (II) đúng.

Từ (1), (2), ta suy ra BM ⊥ AE.

Do đó (III) đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Trên tia đối của tia NM, lấy điểm M' sao cho NM = NM'.

Xét ∆NMH và ∆NM'C, có:

NM = NM' (theo cách vẽ),

$\widehat{MNH}=\widehat{CN{M}^{\text{'}}}$ (hai góc đối đỉnh),

HN = CN (do N là trung điểm CH).

Do đó ∆NMH = ∆NM'C (c.g.c)

Suy ra MH = M'C và $\widehat{HMN}=\widehat{C{M}^{\text{'}}N}$ (các cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Ta có $\widehat{HMN}=\widehat{C{M}^{\text{'}}N}$ (chứng minh trên).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Ta suy ra HM // CM’ hay AM // CM’.

Xét ∆AMM’ và ∆M’CA, có:

AM = CM’ (= MH).

$\widehat{MA{M}^{\text{'}}}=\widehat{A{M}^{\text{'}}C}$ (cặp góc so le trong của AM // CM’).

AM’ là cạnh chung.

Do đó ∆AMM’ = ∆M’CA (c.g.c)

Suy ra $\widehat{M{M}^{\text{'}}A}=\widehat{CA{M}^{\text{'}}}$ (cặp góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Ta suy ra AC // MM’.

Mà AC ⊥ AB (do ∆ABC vuông tại A).

Suy ra MM’ ⊥ AB hay MN ⊥ AB.

∆ABN có AH, MN là hai đường cao.

Mà M là giao điểm của AH và MN.

Suy ra M là trực tâm của ∆ABN.

Do đó BM ⊥ AN.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

• Vì điểm D thuộc đường trung trực của cạnh AC nên DA = DC.

Do đó ∆ACD cân tại D.

Suy ra $\widehat{ACD}=\widehat{CAD}=45°$ (tính chất tam giác cân)

• Xét ∆ACD cân tại D có $\widehat{ACD}=\widehat{CAD}=45°$

Nên ∆ACD vuông cân tại D.

Suy ra CD ⊥ AB.

Vì vậy đáp án B đúng.

• Xét ∆BCD và ∆CBE, có:

BC là cạnh chung.

CE = BD (giả thiết).

$\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$ (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆BCD = ∆CBE (c.g.c)

Suy ra $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90°$ (hai góc tương ứng)

Vì vậy BE ⊥ AC.

Do đó đáp án A đúng.

• Vì ∆ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến.

Suy ra M là trung điểm BC.

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AM là cạnh chung,

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

BM = CM (do M là trung điểm BC).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=180°:2=90°$.

Do đó AM ⊥ BC.

Vì vậy AM là đường cao của ∆ABC.

∆ABC có AM, BE, CD là ba đường cao.

Suy ra AM, BE, CD đồng quy tại một điểm, điểm đó là trực tâm của ∆ABC.

Do đó đáp án C đúng, đáp án D sai.

Vậy ta chọn đáp án D.