22 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 3: Tổng ba góc của một tam giác có đáp án

Câu 1:

Tìm x, trong hình vẽ bên:

Xem đáp án

+ Hình 1. $∆ A B C$ có $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (tính chất)

$41 ° + 2 x ° + 28 ° = 180 ° \Leftrightarrow x ° = 37 °$ .

+ Hình 2. $∆ M N P$ có $\hat{M P x} = \hat{M} + \hat{N}$ (góc ngoài tam giác)

$126 ° = 3 x ° + 4 x ° \Leftrightarrow x ° = 18 °$ .

+ Hình 3. $∆ D E F$ có $\hat{D} + \hat{E} + \hat{F} = 180 °$ (tính chất)

$x ° + 70 ° + x ° - 42 ° = 180 ° \Leftrightarrow x ° = 76 °$ .

Câu 2:

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 80 °$ , $\hat{B} = 60 °$ . Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D. Chứng minh rằng $\hat{B D C} = \hat{C}$ .

Xem đáp án

* Tìm cách giải. Đề bài cho số đo $\hat{A}; \hat{B}$ nên hiển nhiên tính được số đo góc C. Dựa theo kết luận của bài toán thì chúng ta chỉ cần tính số đo góc BCD. Khi tính toán số đo góc, chúng ta lưu ý giả thiết có yếu tố tia phân giác.

* Trình bày lời giải.

$∆ A B C$ có $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (tính chất)

$80 ° + 60 ° + \hat{C} = 180 °; \hat{C} = 40 °$ .

$∆ A B C$ có $\hat{A B x} = \hat{A} + \hat{C} = 120 °$

$\Rightarrow \hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \frac{1}{2} \hat{A B x} = 60 °$

Ta có: $\hat{C_{1}} = \hat{C_{2}} = \frac{1}{2} \hat{C} = 20 °$ .

$∆ B C D$ có: $\hat{B D C} + \hat{C_{1}} + \hat{C B D} = 180 °$

$\hat{B D C} + 20 ° + 60 ° + 60 ° = 180 ° \Rightarrow \hat{B D C} = 40 °$

Do đó $\hat{B D C} = \hat{C}$ .

Câu 3:

Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Các tia phân giác $\hat{A C E}; \hat{D B E}$ cắt nhau ở K. Chứng minh: $\hat{B K C} = \frac{\hat{B A C} + \hat{B D C}}{2}$ .

Xem đáp án

* Tìm cách giải. Chúng ta nhận thấy $\hat{B K C}$ là góc của tam giác BKG; CKH nên cần phải ghép vào hai tam giác ấy. Khai thác yêu cầu của bài toán (liên quan tới góc $\hat{A}; \hat{C}$ ) đồng thời để vận dụng yếu tố tia phân giác của giả thiết, chúng ta cần xét các cặp tam giác $Δ K G B, Δ A G C$ và cặp tam giác $Δ K H C, Δ D H B$ .

* Trình bày lời giải.

Gọi G là giao điểm CK và AE và H là giao điểm BK và DE.

Xét $∆ K G B$ và $∆ A G C$ có:

$\hat{K G B} = \hat{A G C}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \hat{K} + \hat{B_{1}} = \hat{A} + \hat{C_{1}} (1)$

Xét $∆ K H C$ và $∆ D H B$ có:

$\hat{K H C} = \hat{B H D}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \hat{K} + \hat{C_{2}} = \hat{D} + \hat{B_{2}} (2)$

Từ (1) và (2), kết hợp với $\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}}$ ; $\hat{C_{1}} = \hat{C_{2}} \Rightarrow 2 \hat{K} = \hat{A} + \hat{D}$

$\Rightarrow \hat{K} = \frac{\hat{A} + \hat{D}}{2}$ .

Câu 4:

Cho hình vẽ bên, biết rằng BD và CE là các tia phân giác của góc B, góc C.

a) Nếu $\hat{A} = 80 °$ , tính $\hat{B I C}$ .

Xem đáp án

a) $∆ A B C$ có $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ nên $\hat{B} + \hat{C} = 100 °$ .

$\hat{B_{2}} + \hat{C_{2}} = \frac{1}{2} . \hat{B} + \frac{1}{2} . \hat{C}$

$\hat{B_{2}} + \hat{C_{2}} = 50 °$ . $∆ B I C$ có $\hat{B_{2}} + \hat{C_{2}} + \hat{B I C} = 180 °$ nên $\hat{B I C} = 130 °$ .

Câu 5:

Cho

∆ A B C

có

\hat{A} = 90 °

. Kẻ AH vuông góc với

B C (H \in B C)

. Các tia phân giác góc C và góc BAH cắt nhau tại K. Chứng minh rằng

A K ⊥ C K

.

Xem đáp án

$Δ A B H; Δ A B C$ vuông nên $\hat{B A H} = \hat{H C A}$ (cùng phụ với $\hat{A B C}$ ).

Mặt khác $\hat{A_{1}} = \frac{1}{2} . \hat{B A H}$ ; $\hat{C_{1}} = \frac{1}{2} \hat{H A C}$ do đó $\hat{A_{1}} = \hat{C_{1}}$ .

Ta có: $\hat{A_{1}} + \hat{K A C} = 90 °$

$\Rightarrow \hat{C_{1}} + \hat{K A C} = 90 °$

Suy ra $∆ K A C$ vuông tại K.

Vậy $A K ⊥ K C$ .

* Nhận xét:

Qua bài ta nhận thấy có thêm một dấu hiệu nhận biết tam giác vuông là chứng minh tam giác có tổng hai góc bằng $90 °$ .

Câu 6:

Tìm x, trong các hình vẽ sau:

Xem đáp án

Hình 1. $∆ A B C$ có $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$

$56 ° + x ° + 12 ° + x ° = 180 ° \Leftrightarrow x ° = 56 °$ .

- Hình 2. $∆ M N P$ vuông tại $M \Rightarrow \hat{N} + \hat{P} = 90 °$

$2 x ° + x ° - 15 ° = 90 ° \Leftrightarrow x ° = 35 °$ .

- Hình 3. $∆ D E F$ có $\hat{D} + \hat{E} + \hat{F} = 180 °$ => $x ° + 3 x ° - 25 ° + x ° + 10 ° = 180 ° \Leftrightarrow x ° = 39 °$ .

Câu 7:

Cho hình vẽ bên. Biết rằng $\hat{A_{1}} = 45 °$ ; $\hat{B_{1}} = 130 °$ . Tính $\hat{C_{1}}$ .

Xem đáp án

Ta có: $\hat{A_{2}} = \hat{A_{1}} = 45 °$ (đối đỉnh).

Ta có $\hat{B_{2}} + \hat{B_{1}} = 180 ° \Rightarrow \hat{B_{2}} = 50 °$ .

$∆ A B C$ có $\hat{C_{1}} = \hat{A_{2}} + \hat{B_{2}}$ (góc ngoài của tam giác) suy ra: $\hat{C_{2}} = 95 °$ .

Câu 8:

Các góc ngoài đỉnh A, B, C tỉ lệ với 2; 3; 4. Tính tỉ lệ ba góc trong của tam giác đó.

Xem đáp án

Đặt số đo góc ngoài đỉnh A; B; C lần lượt là x; y; z. Theo đầu bài, ta có: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ và $x + y + z = 360 °$ .

Giải ra, ta được: $x = 80 °$ ; $y = 120 °$ ; $z = 160 °$ .

Từ đó suy ra các góc trong đỉnh A; B; C tương ứng là $100 °,60 °,20 °$ .

Do đó tỉ lệ ba góc trong là: $5 : 3 : 1$ .

Câu 9:

b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C. Tính góc AEC?

Xem đáp án

b) Ta có $\hat{A C x} + \hat{C_{1}} = 180 °$ (hai góc kề bù)

$\hat{A C x} + 18 ° = 180 ° \Rightarrow \hat{A C x} = 162 °$

Ta có: $\hat{C_{2}} = \hat{C_{3}} = \frac{1}{2} \hat{A C x} = 81 °$ .

$∆ B C E$ có $\hat{E} + \hat{B} + \hat{B C E} = 180 °; \hat{E} + 54 ° + 18 ° + 81 ° = 180 ° \Rightarrow \hat{E} = 27 °$ hay $\hat{A E C} = 27 °$ .

Câu 10:

Tam giác ABC có $\hat{B} > \hat{C}$ . Tia phân giác $\hat{B A C}$ cắt BC tại D.

a) Chứng minh $\hat{A D C} - \hat{A D B} = \hat{B} - \hat{C}$ .

Xem đáp án

a) $∆ A B D$ có $\hat{A_{1}} + \hat{B} + \hat{A D B} = 180 °$ ;

$∆ A C D$ có $\hat{A_{2}} + \hat{C} + \hat{A D C} = 180 °$ ;

Mà $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ nên $\hat{C} + \hat{A D C} = \hat{B} + \hat{A D B} \Rightarrow \hat{A D C} - \hat{A D B} = \hat{B} - \hat{C}$ .

Câu 11:

b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài ở đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh rằng $\hat{A E B} = \frac{\hat{B} - \hat{C}}{2}$ .

Xem đáp án

b) $∆ A B C$ có $\hat{B A x} = \hat{B} + \hat{C}$ (góc ngoài tam giác)

$\Rightarrow \hat{A_{3}} = \hat{A_{4}} = \frac{1}{2} \hat{B A X} = \frac{\hat{B} + \hat{C}}{2}$

$∆ A C E$ có: $\hat{A_{4}} = \hat{E} + \hat{C}$ (góc ngoài) $\Rightarrow \hat{E} = \hat{A_{4}} - \hat{C} \Rightarrow \hat{A E B} = \frac{\hat{B} + \hat{C}}{2} - \hat{C}$ hay $\hat{A E B} = \frac{\hat{B} - \hat{C}}{2}$ .

Câu 12:

Cho tam giác ABC có $\hat{B} - \hat{C} = 18 °$ . Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Tính số đó góc ADC? Góc ADB?

Xem đáp án

$∆ A C D$ có $\hat{D_{2}} = \hat{B} + \hat{A_{1}}$ (góc ngoài tam giác)

$∆ A B D$ có $\hat{D_{1}} = \hat{C} + \hat{A_{2}}$ (góc ngoài tam giác) mà $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$

nên $\hat{D_{2}} - \hat{D_{1}} = \hat{B} - \hat{C}$

$\Rightarrow \hat{D_{2}} - \hat{D_{1}} = 18 °$ mà $\hat{D_{2}} + \hat{D_{1}} = 180 °$

nên $\hat{D_{2}} = \frac{180 ° + 18 °}{2} = 99 °$ ; $\hat{D_{1}} = \frac{180 ° - 18 °}{2} = 81 °$ .

Câu 13:

Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Biết $\hat{A D B} = 85 °$ .

a) Tính $\hat{B} - \hat{C}$ .

Xem đáp án

a) Ta có $\hat{A D B} = 85 ° \Rightarrow \hat{A D C} = 95 °$ .

$∆ A B D$ có $\hat{A_{1}} + \hat{B} + \hat{A D B} = 180 °$ ;

$∆ A C D$ có $\hat{A_{2}} + \hat{C} + \hat{A D C} = 180 °$ ;

Mà $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ nên $\hat{C} + \hat{A D C} = \hat{B} + \hat{A D B}$

$\Rightarrow \hat{A D C} - \hat{A D B} = \hat{B} - \hat{C}$ .

Vậy $\hat{B} - \hat{C} = 95 ° - 85 ° = 10 °$ .

Câu 14:

b) Tính các góc của tam giác ABC nếu $4. \hat{B} = 5. \hat{C}$ .

Xem đáp án

b) $4. \hat{B} = 5. \hat{C} \Rightarrow \frac{\hat{B}}{5} = \frac{\hat{C}}{4}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có: $\frac{\hat{B}}{5} = \frac{\hat{C}}{4} = \frac{\hat{B} - \hat{C}}{5 - 4} = \frac{10 °}{1} = 10 °$ .

Suy ra: $\hat{B} = 50 °; \hat{C} = 40 °$ .

Câu 15:

Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác.

a) Chứng minh rằng

\hat{B O C} = \hat{A} + \hat{A B O} + \hat{A C O}

.

Xem đáp án

a) $∆ A B O$ có $\hat{O_{1}} = \hat{A_{1}} + \hat{A B O}$ (góc ngoài tam giác).

$∆ A C O$ có $\hat{O_{2}} = \hat{A_{2}} + \hat{A C O}$ (góc ngoài tam giác).

$\Rightarrow \hat{O_{1}} + \hat{O_{2}} = \hat{A_{1}} + \hat{A_{2}} + \hat{A B O} + \hat{A C O}$ Hay $\hat{B O C} = \hat{A} + \hat{A B O} + \hat{A C O}$ .

Câu 16:

b) Biết $\hat{A B O} + \hat{A C O} = 90 ° - \frac{\hat{A}}{2}$ và tia BO là tia phân giác của góc B. Chứng minh rằng tia CO là tia phân giác của góc C.

Xem đáp án

b) Từ $\hat{A B O} + \hat{A C O} = 90 ° - \frac{\hat{A}}{2}$

$\Rightarrow \hat{B_{2}} + \hat{C_{2}} = \frac{180 ° - \hat{A}}{2} \Rightarrow \hat{B_{2}} + \hat{C_{2}} = \frac{\hat{B} + \hat{C}}{2}$

$\Rightarrow \hat{B_{2}} + \hat{C_{2}} = \frac{\hat{B}}{2} + \frac{\hat{C}}{2}$ mà BO là tia phân giác của $\hat{B}$ nên $\hat{B_{1}} = \frac{\hat{B}}{2}$ suy ra $\hat{C_{2}} = \frac{\hat{C}}{2}$ ; hay CO là tia phân giác của góc $\hat{C}$ .

Câu 17:

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 180 ° - 3 \hat{C}$ .

a) Chứng minh rằng $\hat{B} = 2. \hat{C}$ .

Xem đáp án

a) Từ:

\hat{A} = 180 ° - 3. \hat{C} \Rightarrow \hat{A} = \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} - 3. \hat{C}

suy ra

\hat{B} = 2. \hat{C}

Câu 18:

b) Từ một điểm D trên cạnh AC vẽ $D E // B C (E \in A B)$ . Hãy xác định vị trí của D cho tia DE là tia phân giác của góc $\hat{A D B}$ .

Xem đáp án

b) $D E // B C \Rightarrow \hat{A D E} = \hat{C}$ (góc đồng vị) và $\hat{E D B} = \hat{D B C}$ (góc so le trong).

Tia DE là tia phân giác của $\hat{A D B} \Leftrightarrow \hat{A D E} = \hat{E D B} \Leftrightarrow \hat{C} = \hat{D B C}$ mà $\hat{C} = \frac{1}{2} \hat{B}$ nên $\hat{D B C} = \frac{1}{2} \hat{B}$ Û BD là tia phân giác của $\hat{A B C}$ .

Vậy khi D là giao điểm của tia phân giác $\hat{B}$ và AC thì DE là tia phân giác của $\hat{A D B}$ .

Câu 19:

Chứng minh với mỗi tam giác bao giờ cũng tồn tại một góc ngoài không lớn hơn $120 °$ .

Xem đáp án

Giả sử cả ba góc ngoài ở ba đỉnh đều lớn hơn $120 °$ suy ra mỗi góc trong đều nhỏ hơn $60 °$

Vậy tổng ba góc trong của tam giác nhỏ hơn $180 °$ , vô lí. Do đó tồn tại một góc ngoài có số đo không lớn hơn $120 °$ .

Câu 20:

Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Tia phân giác của $\hat{C}$ cắt AB tại D.

a) Chứng minh rằng góc BDC là góc tù.

Xem đáp án

a) Góc BDC là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác ACD nên $\hat{B D C} > \hat{A} = 90 °$ ; $90 ° < \hat{B D C} < 180 ° \Rightarrow \hat{B D C}$ là góc tù.

Câu 21:

b) Giả sự $\hat{B D C} = 105 °$ . Tính số đo góc B.

Xem đáp án

b) $\hat{B D C} = \hat{A} + \hat{A C D}$ (góc ngoài tam giác)

$\Rightarrow \hat{A C D} = 15 °$ $\Rightarrow \hat{A C B} = 30 ° \Rightarrow \hat{B} = 60 °$ .

Câu 22:

Cho hình vẽ bên.Tính tổng $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} + \hat{E} + \hat{F}$

Xem đáp án

Xét $∆ A B I$ có $\hat{A} + \hat{B} = 180 ° - \hat{A I B}$ .

Xét $∆ C D H$ có $\hat{C} + \hat{D} = 180 ° - \hat{C H D}$ .

Xét $∆ E F K$ có $\hat{E} + \hat{F} = 180 ° - \hat{E K F}$ .

Suy ra: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} + \hat{E} + \hat{F} = 540 ° - (\hat{A I B} + \hat{C H D} + \hat{E K F})$

$= 540 ° - (\hat{K I H} + \hat{I H K} + \hat{I K H}) = 540 ° - 180 ° = 360 °$ .