Giải

Từ giả thiết suy ra :

\[2021 + \frac{{a + b + c + d}}{a} = 2021 + \frac{{a + b + c + d}}{b} = 2021 + \frac{{a + b + c + d}}{c} = 2021 + \frac{{a + b + c + d}}{d}\]

\[ \Rightarrow \frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{d}\]

+ Trường hợp 1: Xét \[a + b + c + d = 0 \Rightarrow a + b = - \left( {c + d} \right);b + c = - \left( {d + a} \right)\]

Suy ra \[M = \frac{{ - \left( {c + d} \right)}}{{c + d}} + \frac{{ - \left( {d + a} \right)}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{ - \left( {c + d} \right)}} + \frac{{d + a}}{{ - \left( {d + a} \right)}}\]

\[M = \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 4\]

+ Trường hợp 2 :Xét \[a + b + c + d \ne 0\]

Suy ra \[a = b = c = d \Rightarrow M = \frac{{a + a}}{{a + a}} + \frac{{a + a}}{{a + a}} + \frac{{a + a}}{{a + a}} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\]

Hướng dẫn:

Hướng dẫn:

Đặt \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = k \Rightarrow x = 3k;y = 4k;z = 5k\]

Mà \[5{z^2} - 3{x^2} - 2{y^2} = 594 \Rightarrow 5.25{k^2} - 3.9{k^2} - 2.16{k^2} = 594\]

\[ \Leftrightarrow 66{k^2} = 594 \Leftrightarrow {k^2} = 9 \Leftrightarrow k = \pm 3\]

+ Với \[k = 3\] suy ra \[x = 9;y = 12;z = 15\]

+ Với \[k = - 3\] suy ra \[x = - 9;y = - 12;z = - 15\]

Ta có : \[\frac{{2x}}{3}.\frac{1}{{12}} = \frac{{3y}}{4}.\frac{1}{{12}} = \frac{{4z}}{5}.\frac{1}{{12}} \Rightarrow \frac{x}{{18}} = \frac{y}{{16}} = \frac{z}{{15}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{x}{{18}} = \frac{y}{{16}} = \frac{z}{{15}} = \frac{{x + y - z}}{{18 + 16 - 15}} = \frac{{38}}{{19}} = 2\]

suy ra : \[x = 36;y = 32;z = 30\]

Hướng dẫn:

Từ \[7x = 10y = 12z \Rightarrow \frac{x}{{60}} = \frac{y}{{42}} = \frac{z}{{35}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\[\frac{x}{{60}} = \frac{y}{{42}} = \frac{z}{{35}} = \frac{{x + y + z}}{{60 + 42 + 35}} = \frac{{685}}{{137}} = 5\]

Từ đó suy ra : \[x = 120;y = 210;z = 175\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\[\frac{{y + z + 1}}{x} = \frac{{z + x + 2}}{y} = \frac{{x + y - 3}}{x} = \frac{{x + z + 1 + z + x + 2 + x}}{{x + y + z}} = 2\]

Kết hợp với đề bài, suy ra : \[x + y + z = 2\]

Suy ra : \[y + z + 1 = 2x \Rightarrow x + y + z + 1 = 3x \Rightarrow 1 + 2 = 3x \Rightarrow x = 1\]

\[z + x + 2 = 2y \Rightarrow x + y + z + 2 = 3y \Rightarrow 4 = 3y \Rightarrow y = \frac{4}{3}\]

\[x + y - 3 = 2z \Rightarrow x + y = z - 3 = 3z \Rightarrow 2 - 3 = 3z \Rightarrow z = - \frac{1}{2}\]

Hướng dẫn: Đặt \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow a = bk,c = dk\]

Xét \[\left( {a + 2c} \right)\left( {b + d} \right) = \left( {bk + 2dk} \right)\left( {b + d} \right) = k.\left( {b + 2d} \right).\left( {b + d} \right)\left( 1 \right)\]

Xét \[\left( {a + c} \right)\left( {b + 2d} \right) = \left( {bk + dk} \right)\left( {b + 2d} \right) = k\left( {b + d} \right)\left( {b + 2d} \right)\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2), suy ra : \[\left( {a + 2c} \right)\left( {b + d} \right) = \left( {a + c} \right)\left( {b + 2d} \right)\]

Hướng dẫn: Đặt \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow a = bk;c = dk\]

Xét \[\frac{{xa + yb}}{{za + tb}} = \frac{{xbk + yb}}{{zbk + tb}} = \frac{{b\left( {xk + y} \right)}}{{b\left( {zk + t} \right)}} = \frac{{xk + y}}{{zk + t}}\left( 1 \right)\]

Xét \[\frac{{xc + yd}}{{zc + td}} = \frac{{xdk + yd}}{{zdk + td}} = \frac{{d\left( {xk + y} \right)}}{{d\left( {zk + t} \right)}} = \frac{{xk + y}}{{zk + t}}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra : \[\frac{{xa + yb}}{{za + tb}} = \frac{{xc + yd}}{{zc + td}}\] , điều phải chứng minh

Hướng dẫn:

Từ \[2\left( {x + y} \right) = 5\left( {y + z} \right) = 3\left( {z + x} \right)\]suy ra :

\[\frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{30}} = \frac{{5\left( {y + z} \right)}}{{30}} = \frac{{3\left( {z + x} \right)}}{{30}} \Rightarrow \frac{{x + y}}{{15}} = \frac{{x + z}}{6} = \frac{{z + x}}{{10}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{x + y}}{{15}} = \frac{{y + z}}{6} = \frac{{z + x}}{{10}} = \frac{{\left( {x + y} \right) - \left( {z + x} \right)}}{{15 - 10}} = \frac{{y - z}}{5}\left( 1 \right)\]

\[\frac{{x + y}}{{15}} = \frac{{y + z}}{6} = \frac{{z + x}}{{10}} = \frac{{\left( {z + x} \right) - \left( {y + z} \right)}}{{10 - 6}} = \frac{{x - y}}{4}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra : \[\frac{{x - y}}{4} = \frac{{y - z}}{5}\], điều phải chứng minh.

Hướng dẫn:

Từ \[{b^2} = ac \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{c};{c^2} = bd \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}\].

Đặt \[\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow a = bk;b = ck;c = dk\]

Xét \[\frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = \frac{{{b^3}{k^3} + {c^3}{k^3} - {d^3}{k^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = \frac{{{k^3}\left( {{b^3} + {c^3} - {d^3}} \right)}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = {k^3}\left( 1 \right)\]

Xét \[{\left( {\frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}} \right)^3} = {\left( {\frac{{bk + ck - dk}}{{b + c - d}}} \right)^3} = {\left( {\frac{{k\left( {b + c - d} \right)}}{{b + c - d}}} \right)^3} = {k^3}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2), suy ra : \[\frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = {\left( {\frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}} \right)^3}\] điều phải chứng minh.

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất tỉ số bằng nhau , ta có :

\[\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = x + y + z\](Vì \[a + b + c = 1\])

Suy ra : \[{\left( {x + y + z} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\] ( vì \[a + b + c = 1\])

Vậy \[{\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\]

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = ... = \frac{{{a_{2019}}}}{{{a_{2020}}}} = \frac{{{a_{2020}}}}{{{a_1}}} = \frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_{2019}} + {a_{2020}}}}{{{a_2} + {a_3} + ... + {a_{2020}} + {a_1}}}\]

Suy ra : \[{a_1} = {a_2} = ... = {a_{2019}} = {a_{2020}}\]

Do đó \[B = \frac{{{{\left( {{a_1} + {a_1} + ... + {a_1}} \right)}^2}}}{{{a_1}^2 + {a_1}^2 + ... + {a_1}^2}} = \frac{{{{2020}^2}{a_1}^2}}{{2020.{a_1}^2}} = 2020\]

Hướng dẫn: Từ đề bài suy ra

\[\frac{{a + b - c}}{c} + 2 = \frac{{b + c - a}}{a} + 2 = \frac{{c + a - b}}{b} + 2 \Rightarrow \frac{{a + b + c}}{c} = \frac{{a + b + c}}{a} = \frac{{a + b + c}}{b}\]

Mà \[a,b,c > 0\] nên \[a + b + c > 0\], suy ra \[a = b = c\]

Từ đó , ta có : \[B = \left( {1 + \frac{a}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{a}} \right) = 8\]

Hướng dẫn:

Với \[a,b,c \ne 0\] ta có : \[\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{c + a}}{{ca}} \Rightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1}{c} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \Rightarrow a = b = c \Rightarrow P = 1\]