52 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 4: Hai tam giác bằng nhau. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác có đáp án

Câu 1:

Cho $Δ A B C = Δ M N P$ .

a) Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác đó với ba cách khác.

* Tìm cách giải. Khi viết hai tam giác bằng nhau thì các đỉnh tương ứng phải viết theo cùng một thứ tự. Viết như vậy, thì việc suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau mới chính xác.

* Trình bày lời giải.

a) $Δ A C B = Δ M P N$ ; $Δ C B A = Δ P N M$ ; $Δ B A C = Δ N M P$ .

Câu 2:

b) Cho $A B = 5 cm$ ; $A C = 6 cm$ ; $N P = 7 cm$ . Tính chu vi mỗi tam giác? Hãy nêu nhận xét?

Xem đáp án

b) $Δ A B C = Δ M N P$ suy ra $A B = M N = 5 cm$ ; $A C = M P = 6 cm$ ; $B C = N P = 7 cm$ .

Chu vị $Δ A B C$ bằng: $A B + A C + B C = 5 + 6 + 7 = 18 (cm)$ .

Chu vi $Δ M N P$ bằng: $M N + M P + N P = 5 + 6 + 7 = 18 (cm)$ .

Câu 3:

Cho $Δ A B C = Δ H I K$ , biết $\hat{A} + \hat{B} = 124 °$ ; $\hat{H} - \hat{I} = 16 °$ . Tính các góc của mỗi tam giác.

Xem đáp án

* Tìm cách giải. Bài toán yêu cầu tính số đo góc của tam giác nên từ $Δ A B C = Δ H I K$ , chúng ta chỉ quan tâm tới cặp góc tương ứng bằng nhau.

* Trình bày lời giải.

$Δ A B C = Δ H I K \Rightarrow \hat{A} = \hat{H}; \hat{B} = \hat{I}; \hat{C} = \hat{K}$ (cặp góc tương ứng).

Vì $\hat{A} + \hat{B} = 124 ° \Rightarrow \hat{H} + \hat{I} = 124 °$ ; mà $\hat{H} - \hat{I} = 16 °$ , nên

$\hat{H} = (124 ° + 16 °) : 2 = 70 °$ ;

$\hat{I} = (124 ° - 16 °) : 2 = 54 °$ .

$∆ ∆ H I K$ có $\hat{H} + \hat{I} + \hat{K} = 180 °$ ; $70 ° + 54 ° + \hat{K} = 180 ° \Rightarrow \hat{K} = 56 °$ .

Vì $Δ A B C = Δ H I K$ nên $\hat{A} = \hat{H} = 70 °; \hat{B} = \hat{I} = 54 °; \hat{C} = \hat{K} = 56 °$ .

Câu 4:

Cho góc nhọn xOy. Lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao cho OA=OB. Vẽ hai cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính nhỏ hơn OA sao cho chúng cắt nhau tại 2 điểm C và D. Chứng minh rằng:

a,

Δ A O C = Δ B O C

Xem đáp án

Giải

Cho góc nhọn xOy. Lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao cho OA=OB. (ảnh 1)

a) Xét $Δ O A C$ và $Δ O B C$ có: OA=OB (giả thiết), $A C = B C$ (bán kính bằng nhau), OC cạnh chung.

$\Rightarrow Δ O A C = Δ O B C (c.c.c)$ .

Câu 5:

b) Ba điểm O, C, D thẳng hàng.

Xem đáp án

b) $Δ O A C = Δ O B C (c.c.c)$ nên $\hat{A O C} = \hat{B O C}$

tương tự: $Δ O A D = Δ O B D (c.c.c)$ nên $\hat{A O D} = \hat{B O D}$ .

Nên C, D cùng thuộc tia phân giác góc xOy hay O, C, D thẳng hàng.

Câu 6:

Cho $Δ A B C$ có $A B = A C$ . Lấy M thuộc cạnh AB; lấy N thuộc tia đối của tia CA sao cho CM=BM. Gọi I là một điểm sao cho $I B = I C$ ; IM=IN. Chứng minh rằng: $I C ⊥ A N$ .

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có AB=AC . Lấy M thuộc cạnh AB; lấy N thuộc tia đối của tia CA sao cho CM=BM . (ảnh 1)

Ta có $Δ A B I = Δ A C I (c.c.c) \Rightarrow \hat{A C I} = \hat{A B I}$ .

$Δ M B I = Δ N C I (c.c.c) \Rightarrow \hat{N C I} = \hat{A B I}$ .

Suy ra $\hat{A C I} = \hat{N C I}$ , mà đó là hai góc kề bù nên $\hat{A C I} = \hat{N C I} = 90 °$ , hay $I C ⊥ A N$ .

* Nhận xét.

Đây là bài toán khó. Để chứng minh $I C ⊥ A N$ chúng ta suy nghĩ và chứng minh $\hat{I C A} = \hat{I C N}$ là điều cần thiết. Sau đó, chúng ta hãy tìm các cặp tam giác bằng nhau mà trong các tam giác ấy có chứa $\hat{I C A}$ hoặc $\hat{I C N}$ .

Câu 7:

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 90 °$ . Kẻ tia phân giác góc $\hat{B}$ cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM=BA.

a) Chứng minh rằng $D M ⊥ B C$ .

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có góc A= 90 độ . Kẻ tia phân giác góc góc B cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM=BA (ảnh 1)

a) $Δ A B D$ và $Δ M B D$ có $B A = B M$ ; $\hat{A B D} = \hat{M B D}$ ; BD là cạnh chung $\Rightarrow Δ A B D = Δ M B D (c.g.c)$ .

\Rightarrow \hat{B A D} = \hat{B M D} \Rightarrow \hat{B M D} = 90 °

\Rightarrow D M ⊥ B C

.

Câu 8:

b) Chứng minh rằng $A M ⊥ B D$ .

Xem đáp án

b) Gọi I là giao điểm của AM và BD.
Xét

Δ A B I

và

Δ M B I

có AB=MB;

\hat{A B I} = \hat{M B I}

; BI là cạnh chung

\Rightarrow Δ A B I = Δ M B I (c.g.c)

\Rightarrow \hat{A I B} = \hat{M I B}

mà

\hat{A I B} + \hat{M I B} = 180 °

nên

\hat{A I B} = \hat{M I B} = 90 °

, suy ra:

A M ⊥ B D

.

Câu 9:

c) Nếu biết $\hat{A M D} = 36 °$ . Tính số đo $\hat{B}$ ; $\hat{C}$ của $∆ A B C$ .

Xem đáp án

c) $\hat{A M D} = 36 °$ nên $\hat{I M B} = 90 ° - 36 ° = 54 °$ ;

$Δ B I M$ vuông nên $\hat{I B M} = 90 ° - 54 ° = 36 °$ .

Suy ra $\hat{B} = 36 ° .2 = 72 °$ do đó $\hat{C} = 90 ° - 72 ° = 18 °$ .

Câu 10:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng $A M ⊥ A B$ ; AM=AB sao cho M và C khác phía đối với đường thẳng AB. Vẽ đoạn thẳng $A N ⊥ A C$ và AN=AC sao cho N và B khác phía đối với đường thẳng AC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm BN và CM. Chứng minh rằng:

a, $Δ M A C = Δ B A N$

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AM vuông góc AB ; AM=AB sao cho M và C khác phía đối với đường thẳng AB. (ảnh 1)

a, $\hat{M A C} = \hat{B A N} (= 90 ° + \hat{B A C})$ nên $Δ M A C = Δ B A N (c.g.c)$

Câu 11:

b, $M C = B N$ và $M C ⊥ B N$

Xem đáp án

b) $Δ M A C = Δ B A N \Rightarrow B N = C M$ . Và $\hat{A M C} = \hat{A B N}$ .

Gọi P là giao điềm của AB và CM

Ta có: $\hat{A M C} + \hat{A P M} = 90 °$ (vì $Δ A M P$ vuông)

$\Rightarrow \hat{A B N} + \hat{B P O} = 90 ° \Rightarrow B N ⊥ C M$ .

Câu 12:

c,AI= AK và $A I ⊥ A K$

Xem đáp án

c) $C M = B N \Rightarrow M K = B I$ , mà $\hat{A M K} = \hat{A B N}$ ; $A M = A B$

nên $Δ A M K = Δ A B I (c.g.c) \Rightarrow A K = A I$ .

$\Rightarrow \hat{M A K} = \hat{B A I}$ ; mà $\hat{M A K} + \hat{K A B} = 90 °$

$\Rightarrow \hat{B A I} + \hat{K A B} = 90 °$ hay $A I ⊥ A K$ .

Câu 13:

Cho $∆ A B C$ vuông tại A có $B C = 2. A B$ . Tia phân giác của góc $\hat{B}$ cắt AC tại D.

a) Chứng minh rằng BD=CD.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=2AB. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. a) Chứng minh rằng BD=CD. (ảnh 1)

a) Gọi E là trung điểm của BC. Suy ra $B E = C E = A B (= \frac{1}{2} B C)$

$Δ A B D$ và $Δ E B D$ có BA=BE ; $\hat{A B D} = \hat{E B D}$ (giả thiết); BD là cạnh chung

$\Rightarrow Δ A B D = Δ E B D (c.g.c) \Rightarrow \hat{B A D} = \hat{B E D} \Rightarrow \hat{B E D} = 90 °$ .

Xét $Δ B D E$ và $Δ C D E$ có: $\hat{B E D} = \hat{C E D} = 90 °$ ; BE=CE ; DE chung

$\Rightarrow Δ B D E = Δ C D E (c.g.c)$

$\Rightarrow B D = C D$

Câu 14:

b) Tính góc

\hat{B}

và

\hat{C}

của tam giác ABC

Xem đáp án

b) $Δ B D E = Δ C D E (c.g.c) \Rightarrow \hat{C} = \hat{D B E}$

$\Rightarrow \hat{B} = 2. \hat{C}$

Mặt khác: $\hat{B} + \hat{C} = 90 °$ (Vì $Δ A B C$ vuông tại A)

$\Rightarrow 2 \hat{C} + \hat{C} = 90 ° \Rightarrow \hat{C} = 30 °; \hat{B} = 60 °$ .

Câu 15:

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 60 °$ . Các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O và cắt AC; AB theo thứ tự D; E. Chứng minh rằng: OD=OE.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có góc A=60 độ . Các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O và cắt AC; AB theo thứ tự D; E. Chứng minh rằng: OD=OE . (ảnh 1)

$Δ A B C$ có $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$

Mà $\hat{A} = 60 °$ nên $\hat{B} + \hat{C} = 120 °$ .

Ta có $\hat{B_{1}} + \hat{C_{1}} = \frac{1}{2} . \hat{B} + \frac{1}{2} . \hat{C} = 60 °$ .

$Δ B O C$ có $\hat{B O C} + \hat{B_{1}} + \hat{C_{1}} = 180 °$

Nên $\hat{B O C} = 120 °; \hat{O_{1}} = 60 °$ .

- Kẻ Ox là tia phân giác góc $\hat{B O C}$ , cắt BC tại I nên $\hat{O_{2}} = \hat{O_{3}} = 60 °$ .

Xét $Δ B E O$ và $Δ B I O$ có $\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}}$ (giả thiết); $\hat{O_{1}} = \hat{O_{2}} (= 60 °)$ ; BO là cạnh chung

do đó $Δ B E O = Δ B I O (g.c.g)$ . Suy ra $O E = O I$ .

- Chứng minh tương tự ta có $Δ C O D = Δ C O I$ nên OD= OI.

Vậy $O E = O I (= O I)$ .

* Nhận xét.

- Để chứng minh OE=OD, ta chưa thể ghép chúng vào hai tam giác nào bằng nhau được. Do vậy, ta nghĩ đến cách kẻ đường phụ. Cho số đo góc A ta liên hệ với bài đã biết nên tính được số đo góc BOC và góc BOE nên dựng được điểm I.

- Bài toán còn có cách khác, là lấy điểm I trên BC sao cho BI=BE, sau đó chứng minh $Δ B O E = Δ B O I$ rồi chứng minh $Δ C O D = Δ C O I$ .

- Từ cách trên ta còn suy ra kết quả đẹp là $B E + C D = B C$ .

Câu 16:

Cho tam giác ABC. Từ B kẻ $B D ⊥ A C$ ; $C E ⊥ A B$ . Gọi H là giao điểm của BD và CE. Biết rằng $H D = H E$ .

a) Chứng minh rằng

Δ B H E = Δ C H D

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC. Từ B kẻ BD vuông góc AC ; CE vuông góc AB . Gọi H là giao điểm của BD và CE. Biết rằng HD=DE . (ảnh 1)

$Δ B H E$ và $Δ C H D$ có $\hat{B E H} = \hat{C D H} (= 90 °)$ ; HD=HE; $\hat{B H E} = \hat{C H D}$

$\Rightarrow Δ B H E = Δ C H D (g.c.g)$ .

Câu 17:

b) Chứng minh rằng $Δ A B D = Δ A C E$ ;

Xem đáp án

b, $Δ B H E = Δ C H D \Rightarrow B H = C H$ mà HD=HE $\Rightarrow B D = C E$

$Δ A D B$ và $Δ A E C$ có $\hat{A D B} = \hat{A E C} (= 90 °)$ ; BD=CE; $\hat{B A C}$ chung

$\Rightarrow Δ A D B = Δ A E C$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Câu 18:

c) Chứng minh AH là tia phân giác của $\hat{B A C}$ .

Xem đáp án

c) $Δ A B D = Δ A C E \Rightarrow A B = A C$ .

$Δ A B H$ và $Δ A C H$ có $A B = A C$ ; AH là cạnh chung; $B H = C H$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow Δ A B H = Δ A C H (c.c.c)$

$\Rightarrow \hat{B A H} = \hat{C A H} \Rightarrow A H$ là tia phân giác của $\hat{B A C}$ .

Câu 19:

d) Gọi I là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng $A I ⊥ B C$ .

Xem đáp án

d) $Δ A B I$ và $Δ A C I$ có $A B = A C$ ; $\hat{B A I} = \hat{C A I}$ ; AI là cạnh chung

$\Rightarrow Δ A B I = Δ A C I (c.g.c)$

$\Rightarrow \hat{A I B} = \hat{A I C}$ ; mà $\hat{A I B} + \hat{A I C} = 180 ° \Rightarrow \hat{A I B} = \hat{A I C} = 90 °$ hay $A I ⊥ B C$ .

Câu 20:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng $A M = \frac{1}{2} B C$ .

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng . (ảnh 1)

* Tìm cách giải. Để chứng minh $A M = \frac{1}{2} B C$ ta cần chứng minh $B C = 2. A M$ . Về mặt suy luận, ta cần dựng một đoạn thẳng bằng $2. A M$ rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC.

* Trình bày lời giải.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho $M D = M A$ . Suy ra $A D = 2. A M$

$Δ A M B$ và $Δ D M C$ có $A M = M D$ ; $\hat{M_{1}} = \hat{M_{2}}$ ; $M B = M C$ nên $Δ A M B = Δ D M C$ .

Suy ra $A B = D C$ ; $\hat{A_{1}} = \hat{D_{1}}$ nên $A B // C D \Rightarrow D C ⊥ A C$ .

$Δ A B C$ và $Δ C D A$ có $A B = D C$ ; $\hat{B A C} = \hat{D C A} = (90 °)$ , AC chung suy ra $Δ A B C = Δ C D A (c.g.c)$

$\Rightarrow B C = D A \Rightarrow B C = 2. A M$ hay $A M = \frac{1}{2} B C$ .

* Nhận xét. Bài này là một tính chất thú vị của tam giác vuông, thường được sử dụng trong những bài nối trung điểm của cạnh huyền với đỉnh góc vuông.

Câu 21:

Cho hình vẽ bên.

Biết rằng $A B // C D$ ; $A D // B C$ .

Chứng minh rằng:

A B = C D

,

A D = B C

.

Xem đáp án

Cho hình vẽ bên. Biết rằng AB//CD ; AD//BC. Chứng minh rằng: AB=CD, AD=BC . (ảnh 1)

$A B // C D \Rightarrow \hat{A B D} = \hat{C D B}$ (cặp so le trong)

$A D // B C \Rightarrow \hat{A D B} = \hat{C B D}$ (cặp so le trong)

$Δ A B D$ và $Δ C D B$ có $\hat{A B D} = \hat{C D B}$ , BD là cạnh chung, $\hat{A D B} = \hat{C B D}$ .

Suy ra $Δ A B D = Δ C D B (g.c.g) \Rightarrow A B = C D, A D = B C$ .

Câu 22:

Cho $Δ A B C = Δ M N P$ biết $\hat{B} - \hat{C} = 10 °$ ; $\hat{N} + \hat{P} = 120 °$ . Tính số đo các góc của mỗi tam giác.

Xem đáp án

Hướng dẫn: $Δ A B C = Δ M N P$ suy ra: $\hat{B} = \hat{N}$ ; $\hat{C} = \hat{P}$ mà $\hat{N} + \hat{P} = 120 °$

$\Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 120 °$

Ta có: $\hat{B} - \hat{C} = 10 °$ nên $\hat{B} = (120 ° + 10 °) : 2 = 65 °$

$\hat{C} = (120 ° - 10 °) : 2 = 55 °$

$∆ A B C$ có $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$

$\hat{A} + 120 ° = 180 °$ ; $\hat{A} = 60 °$

Vậy $\hat{M} = \hat{A} = 60 °$ ; $\hat{N} = \hat{B} = 65 °$ ; $\hat{P} = \hat{C} = 55 °$ .

Câu 23:

Cho

Δ A B C = Δ M N P

. Biết

A B + A C = 9 cm

;

M N - N P = 3 cm

;

N P = 5 cm

. Tính chu vi của mỗi tam giác.

Xem đáp án

Hướng dẫn: $Δ A B C = Δ M N P \Rightarrow A B = M N$ ; BC= NP; AC= MP (cặp cạnh tương ứng).

Vì $A B + A C = 9 cm \Rightarrow M N + M P = 9 cm$ , mà $M N - N P = 3 cm$ nên

$M N = (9 + 3) : 2 = 6 (cm)$

$M P = (9 - 3) : 2 = 3 (cm)$

Do đó chu vi $Δ M N P$ là: $M N + N P + M P = 6 + 5 + 3 = 14 cm$ .

Vì $M N - N P = 3 cm$ nên chu vi $Δ A B C$ bằng chu vi $Δ M N P$ và bằng 14cm.

Câu 24:

Cho $Δ A B C = Δ R S T$ , biết $\frac{B C}{5} = \frac{A B}{3}$ và $S T - R S = 8 cm$ ; $A C = 18 cm$ . Tính mỗi cạnh của mỗi tam giác.

Xem đáp án

Hướng dẫn: $Δ A B C = Δ R S T \Rightarrow A B = R S$ ; $B C = S T$ ; $A C = R T$ (cặp cạnh tương ứng).

Vì $S T - R S = 8 cm \Rightarrow B C - A B = 8 cm$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{B C}{5} = \frac{A B}{3} = \frac{B C - A B}{5 - 3} = \frac{8}{2} = 4 \Rightarrow B C = 4.5 = 20 cm$ ; $A B = 3.4 = 12 cm$ .

Vậy: $A B = R S = 12 cm$ ; $A C = R T = 18 cm$ ; $B C = S T = 20 cm$ .

Câu 25:

Cho hình vẽ bên. Chứng minh rằng OB là tia phân giác của $\hat{A O C}$ .

Xem đáp án

Cho hình vẽ bên. Chứng minh rằng OB là tia phân giác của góc AOC. (ảnh 1)

Hướng dẫn: $Δ O A B$ và $Δ O C B$ có $O A = O C$ ; $A B = C B$ ; OB chung

$\Rightarrow Δ O A B = Δ O C B (c.c.c)$

\Rightarrow \hat{A O B} = \hat{C O B}

(cặp góc tương ứng), hay OB là tia phân giác của

\hat{A O C}

.

Câu 26:

Trong hình vẽ bên biết AC=CD, AD=BC. Chứng minh:

A B // C D

,

A D // B C

. Nối AC

Xem đáp án

Trong hình vẽ bên biết AC=CD , AD=BC . Chứng minh: AB//CD, AD//BC. Nối AC (ảnh 1)

Hướng dẫn: Xét

Δ A B C

và

Δ C D A

có:

AB=CD; AD=BC; AC cạnh chung

Nên $Δ A B C = Δ C D A (c.c.c)$

Suy ra $\hat{D A C} = \hat{B C A}$ .

Mà hai góc ở vị trí so le trong $\Rightarrow A D / / C D$ .

\hat{B A C} = \hat{D C A}

mà hai góc ở vị trí so le trong

\Rightarrow A B / / C D

.

Câu 27:

Cho

Δ A B C

có

\hat{A} = 50 °

; AB=AC. Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của

Δ A B M

,

Δ A C M

.( Trường hợp c.g.c)

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có góc A=50 độ ; AB=AC . Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác ABM , tam giác ACM .( Trường hợp c.g.c) (ảnh 1)

Hướng dẫn: $Δ A M B$ và $Δ A M C$ có AM chung; AB=AC ; BM=CM

$\Rightarrow Δ A M B = Δ A M C (c.c.c)$

$\Rightarrow \hat{B A M} = \hat{C A M}$ (góc tương ứng)

$\Rightarrow \hat{B A M} = \hat{C A M} = \frac{1}{2} \hat{B A C} = \frac{1}{2} .50 ° = 25 °$ .

$\Rightarrow \hat{A M B} = \hat{A M C}$ (góc tương ứng).

Mà $\hat{A M B} + \hat{A M C} = 180 °$ nên $\hat{A M B} = \hat{A M C} = 90 °$ .

Δ A M B

có

\hat{A B M} + \hat{B A M} + \hat{A M B} = 180 °

\hat{A B M} + 25 ° + 90 ° = 180 ° \Rightarrow \hat{A B M} = 65 °

. Suy ra

\hat{A C M} = 65 °

Câu 28:

Cho $Δ A B C$ vuông tại A. Tia phân giác của $\hat{A B C}$ cắt AC ở D; E là một điểm trên cạnh BC sao cho BE=BA.

a) Chứng minh rằng: $Δ A B D = Δ E B D$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc ABC cắt AC ở D; E là một điểm trên cạnh BC sao cho BE=BA . a) Chứng minh rằng: . (ảnh 1)

a) $Δ A B D$ và $Δ E B D$ có $A B = B E$ ; $\hat{A B D} = \hat{E B D}$ ; BD chung

$\Rightarrow Δ A B D = Δ E B D (c.g.c)$ .

Câu 29:

b) Chứng minh rằng: $D E ⊥ B C$ .

Xem đáp án

b, $Δ A B D = Δ E B D \Rightarrow \hat{B E D} = \hat{B A D}$

$\Rightarrow \hat{B E D} = 90 ° \Rightarrow D E ⊥ A B$

Câu 30:

c) Gọi F là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng DC=DF

Xem đáp án

c, $Δ A B D = Δ E B D \Rightarrow A D = E D$

$Δ A D F$ và $Δ E D C$

$\hat{A D F} = \hat{E D C}, A D = E D, \hat{F A D} = \hat{D E C} = (90 °)$

$\Rightarrow Δ A D F = Δ E D C (g . c . g) \Rightarrow D C = D F$

Câu 31:

Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ $B D ⊥ A C (D \in A C)$ , $C E ⊥ A B (E \in A B)$ . Trên tia đối của tia BD lấy điểm H sao cho $B H = A C$ . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho $C K = A B$ . Chứng minh:

a, $\hat{A B H} = \hat{A C K}$

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ BD vuông góc AC(D thouộc AC), CE vuôbg góc AB(E thuộc AB). Trên tia đối của tia BD lấy điểm H (ảnh 1)

a) $Δ A B D$ có

$\hat{A D B} = 90 ° \Rightarrow \hat{A B D} + \hat{B A C} = 90 ° (1)$

$Δ A C E$ có $\hat{A E C} = 90 ° \Rightarrow \hat{A C E} + \hat{B A C} = 90 ° (2)$

Từ (1) và (2), suy ra: $\hat{A B D} = \hat{A C E}$ do đó $\hat{A B H} = \hat{A C K}$ .

Câu 32:

b. Chứng minh: $A H = A K$

Xem đáp án

b) $Δ A B H$ và $Δ K C A$ có $A B = C K$ ; $\hat{A B D} = \hat{A C E}$ ; $B H = A C$

\Rightarrow Δ A B H = Δ K C A (c.g.c) \Rightarrow A H = A K

.

Câu 33:

Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 2. \hat{C}$ . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE= AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK= AB. Chứng minh rằng: $A E = A K$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Cho tam giác ABC có góc B = 2 góc C. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE= AC . (ảnh 1)

Ta có: $\hat{A B E} + \hat{A B D} = 180 °$ ; $\hat{A C K} + \hat{A C B} = 180 °$ (cặp góc kề bù)

Mà $\hat{A B D} = \hat{A C B} = (\frac{1}{2} \hat{A B C}) \Rightarrow \hat{A B E} = \hat{A C K}$ .

$Δ A B E$ và $Δ A C K$ có: AB=CK ; $\hat{A B D} = \hat{A C K}$ ; BE=AC

$\Rightarrow Δ A B E = Δ K C A (c . g . c) \Rightarrow A E = K A$

Câu 34:

Cho $Δ A B C$ . Gọi D; E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia ED lấy điểm F sao cho EF=ED. Chứng minh:

a, $B D = C F$ , $A B // C F$

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Cho . Gọi D; E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia ED lấy điểm F sao cho . Chứng minh: (ảnh 1)

a) Ta dễ chứng minh được $Δ A D E = Δ C F E (c.g.c)$

Suy ra $A D = C F \Rightarrow B D = C F$

Và $\hat{A} = \hat{F C E}$ , mà hai góc ở vị trí so le trong nên $C F // A B$ .

Câu 35:

b, Chngs minh: $Δ B D C = Δ F C D$

Xem đáp án

b) Xét $Δ B D C$ và $Δ F C D$ có BD=FC (chứng minh trên); $\hat{B D C} = \hat{F C D}$ (so le trong $A B // C F$ ); CD là cạnh chung

do đó:

Δ B D C = Δ F C D (c.g.c)

.

Câu 36:

c, Chứng minh: DE// BC

Xem đáp án

c) $Δ B D C = Δ F C D$ (chứng minh trên) nên $\hat{D_{1}} = \hat{C_{1}}$ , mà hai góc ở vị trí so le trong suy ra $D E // B C$ .

* Nhận xét. Từ kết luận

Δ B D C = Δ F C D

, chúng ta còn suy ra được:

D E = \frac{1}{2} . B C

Câu 37:

Cho $Δ A B C$ vuông tại A, $A B < A C$ . Tia phân giác của $\hat{A B C}$ cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho $B E = B A$ . Vẽ AH vuông góc với BC tại H.

a) Chứng minh rằng $A D = E D$ .

Xem đáp án

a) $Δ A B D$ và $Δ E B D$ có

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB<AC. Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho (ảnh 1)

$\hat{A B D} = \hat{E B D}$ (giả thiết); $B E = B A$ ; BD là cạnh chung

$\Rightarrow Δ A B D = Δ E B D (c.g.c)$

$\Rightarrow A D = E D$ .

Câu 38:

b) Chứng minh rằng $A H // D E$ .

Xem đáp án

b) $Δ A B D = Δ E B D \Rightarrow \hat{B A D} = \hat{B E D}$

$\Rightarrow \hat{B E D} = 90 ° \Rightarrow D E ⊥ B C$ ,

Mà

A H ⊥ B C \Rightarrow A H // D E

.

Câu 39:

c) Trên tia DE lấy điểm I sao cho DI= AH. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng DH. Chứng minh rằng ba điểm A, O, I thẳng hàng

Xem đáp án

c) $A H // D E \Rightarrow \hat{A H O} = \hat{I D O}$ (cặp góc so le trong).

$Δ A H O$ và $Δ I D O$ có $\hat{A H O} = \hat{I D O}$ ; $O H = O D$ ; AH=ID

$\Rightarrow Δ A H O = Δ I D O (c.g.c)$ $\Rightarrow \hat{A O H} = \hat{I O D} .$

Mà $\hat{A O H} + \hat{A O D} = 180 °$ (kề bù) $\Rightarrow \hat{I O D} + \hat{A O D} = 180 °$ .

Suy ra A, O, I thẳng hàng.

Câu 40:

Cho $∆ A B C$ có $\hat{B} < 90 °$ . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A. Vẽ tia Bx vuông góc với BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho DB=BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C vẽ tia By vuông góc với BA. Trên tia By lấy điểm E sao cho $B E = B A$ . Chứng minh rằng:

a, $A D = C E$

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC có góc B<90 độ . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A. Vẽ tia Bx vuông góc với BC. (ảnh 1)

$\hat{C B D} = \hat{A B E} (= 90 °)$

$\Rightarrow \hat{C B A} + \hat{A B D} = \hat{C B A} + \hat{C B E}$ $\Rightarrow \hat{A B D} = \hat{C B E}$

Xét $Δ A B D$ và $Δ E B C$ có $A B = E B$ ; $\hat{A B D} = \hat{C B E}$

(cùng phụ với góc ABC); $B D = B C$

$\Rightarrow Δ A B D = Δ E B C (c.g.c) \Rightarrow A D = C E$ .

Câu 41:

b, Chứng minh rằng: $A D ⊥ C E$

Xem đáp án

b) Gọi H, I là giao điểm của đường thẳng AD với CE và BC. $Δ A B D = Δ E B C$ suy ra: $\hat{B D A} = \hat{B C E}$ mà $\hat{B D A} + \hat{B I A} = 90 °$

\Rightarrow \hat{B C E} + \hat{C I H} = 90 ° \Rightarrow Δ C I H

vuông, hay

A D ⊥ C E

.

Câu 42:

Cho $∆ A B C$ có $\hat{A} < 90 °$ . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C kẻ tia Ax vuông góc với AB, trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD= AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B kẻ Ay vuông góc với AC. Trên tia Ay lấy điểm E sao cho $A E = A C$ . Trên tia đối tia MA lấy MN= MA. Chứng minh rằng:

a, $B N = A E$

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC có góc A<90 độ. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C (ảnh 1)

$Δ A M C$ và $Δ N M B$ có AM= MN; $\hat{A M C} = \hat{N M B}$ ; BM= CM

$\Rightarrow Δ A M C = Δ N M B (c . g . c)$

$\Rightarrow A C = B N$ mà $A C = A E$ $\Rightarrow B N = A E$

Câu 43:

b, Chứng minh rằng: $A M = \frac{D E}{2}$

Xem đáp án

b) Ta có $\hat{B A D} = 90 °$ ; $\hat{C A E} = 90 °$

$\Rightarrow \hat{B A C} + \hat{D A E} = 180 ° (1)$

$Δ A M C = Δ N M B$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \hat{M A C} = \hat{M N B} \Rightarrow B N // A C$

$\Rightarrow \hat{B A C} + \hat{A B N} = 180 ° (2)$

Từ (1) và (2) suy ra:

\hat{D A E} = \hat{A B N}

Xét $Δ A B N$ và $Δ D A E$ có AD= BA; $\hat{D A E} = \hat{A B N}$ ; AE= BN

$\Rightarrow Δ A B N = Δ D A E (c.g.c)$ $\Rightarrow A N = D E$ ; mà $A N = 2. A M \Rightarrow A M = \frac{D E}{2}$ .

Câu 44:

c, Chứng minh rằng: $A M ⊥ D E$

Xem đáp án

c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng AM và DE.

$Δ A B N = Δ D A E$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \hat{E D A} = \hat{N A B} (1)$

Mà $\hat{D A B} = 90 ° \Rightarrow \hat{D A I} + \hat{N A B} = 90 ° (2)$

Từ (1) và (2) suy ra:

\hat{E D A} + \hat{D A I} = 90 °

hay

A M ⊥ D E

.

Câu 45:

Để đo khoảng cách AB mà không đo trực tiếp, người ta đã thực hiện như sau:

- Chọn vị trí điểm O.

- Lấy điểm C trên tia đối tia OA sao cho $O C = O A$ .

- Lấy điểm D trên tia đối tia OB sao cho $O D = O B$ .

- Đo độ dài đoạn thẳng CD, đó chính là khoảng cách AB. Hãy giải thích tại sao?

Xem đáp án

Hướng dẫn: $Δ O A B = Δ O C D (c.g.c) \Rightarrow A B = C D$ .

Câu 46:

Cho tam giác ABC có

\hat{A} = 120 °

. Các tia phân giác của BE; CF của

\hat{A B C}

và

\hat{A C B}

cắt nhau tại I (E, F lần lượt thuộc cạnh AC, AB). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho

\hat{B I M} = \hat{C I N} = 30 °

.

a) Tính số đo của

\hat{M I N}

.

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC có góc A= 120 độ . Các tia phân giác của BE; CF của góc ABC và góc ACB cắt nhau tại I (ảnh 1)

$Δ A B C$ có $\hat{A} = 120 ° \Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 60 °$ .

Ta có: $\hat{I B C} + \hat{I C B} = \frac{1}{2} \hat{B} + \frac{1}{2} \hat{C} = \frac{1}{2} .60 ° = 30 °$ .

Δ B I C

có :

\begin{array}{l} \hat{I B C} + \hat{I C B} + \hat{B I C} = 180 ° \\ \Rightarrow 30 ° + \hat{B I C} = 180 ° \Rightarrow \hat{B I C} = 150 ° \end{array}

Từ đó

\hat{M I N} = \hat{B I C} - \hat{B I M} - \hat{C I N} \Rightarrow \hat{M I N} = 150 ° - 30 ° - 30 ° = 90 °

Câu 47:

b) Chứng minh CE + BF < BC.

Xem đáp án

b) $\hat{B I C} = 150 ° \Rightarrow \hat{B I F} = \hat{C I E} = 30 °$ .

$Δ C I N$ và $Δ C I E$ có $\hat{E C I} = \hat{N C I}$ ; CI là cạnh chung; $\hat{E I C} = \hat{N I C} (= 30 °)$

$\Rightarrow Δ C I N = Δ C I E (g.c.g) \Rightarrow C E = C N (1)$

Chứng minh tương tự ta có: $Δ B F I = Δ B M I (g.c.g) \Rightarrow B M = B F (2)$

Từ (1) và (2), ta có:

C E + B F = C N + B M < B C

.

Câu 48:

Cho tam giác ABC có $\hat{B} + \hat{C} = 60 °$ , tia phân giác của $\hat{B A C}$ cắt BC tại D. Trên AD lấy điểm O, trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho $\hat{A B M} = \hat{A B O}$ . Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho $\hat{A C N} = \hat{A C O}$ . Chứng minh rằng $A M = A N$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Cho tam giác ABC có góc B + góc C = 60 độ , tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Trên AD lấy điểm O, trên tia đối của tia AC (ảnh 1)

$Δ A B C$ có $\hat{B} + \hat{C} = 60 ° \Rightarrow \hat{B A C} = 120 °$ .

Ta có AD là tia phân giác $\hat{B A C} \Rightarrow \hat{B A D} = \hat{C A D} = \frac{1}{2} \hat{B A C} = 60 °$ .

$Δ A B O$ và $Δ A B M$ có $\hat{B A O} = \hat{B A M} (= 60 °)$ ; AB chung; $\hat{A B M} = \hat{A B O}$

\Rightarrow Δ A B O = Δ A B M (g.c.g) \Rightarrow A M = A O (1)

Chứng minh tương tự, ta có: $Δ A C O = Δ A C N (g.c.g) \Rightarrow A N = A O (2)$

Từ (1) và (2), suy ra:

A M = A N

.

Câu 49:

Cho tam giác ABC có $B C = 5 cm$ . Trên tia AB lấy điểm K và D sao cho AK= BM .Vẽ $K I // B C$ ; $D E // B C (I; E \in A C)$ .

a) Chứng minh

A I = C E

.

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC có BC= 5cm. Trên tia AB lấy điểm K và D sao cho AK=BM . (ảnh 1)

Kẻ $E M // A B (M \in B C)$

Tam giác DEM và tam giác MBD có $\hat{D_{1}} = \hat{M_{1}}$ ; DM chung; $\hat{D_{2}} = \hat{M_{2}}$

nên $Δ D E M = Δ M B D (g.c.g)$ suy ra BD=ME ; DE= BM .

Ta có $A B // E M$ nên $\hat{A_{1}} = \hat{E_{1}}$ ; $\hat{B_{1}} = \hat{M_{3}}$

Lại có $K I // B C$ nên $\hat{K_{1}} = \hat{B_{1}}$ .

- Tam giac AKI và tam giác EMC có

\hat{A_{1}} = \hat{E_{1}}

;

A K = E M (= B D)

,

\hat{M_{3}} = \hat{K_{1}} (= \hat{B_{1}})

Nên

Δ A K I = Δ E M C (g.c.g)

Suy ra

A I = E C

và

K I = M C

Câu 50:

b,) Tính độ dài DE+ KI.

Xem đáp án

b) Ta có

K I = M C

; DE= BM suy ra

K I + D E = M C + B M = B C = 5 cm

.

Câu 51:

Cho $Δ A B C$ vuông tại A có AB= AC . Lấy M thuộc $B C (B M > M C)$ . Kẻ BD và CE vuông góc với đường thẳng AM. Chứng minh rằng:

a) $Δ A B D = Δ C A E$ .

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= AC . Lấy M thuộc BC( BM> MC) . Kẻ BD và CE vuông góc với đường thẳng AM. (ảnh 1)

Xét $Δ A B D$ và $Δ C A E$ có $\hat{B D A} = \hat{A E C} = 90 °$ ; AB= AC (giả thiết); $\hat{B_{1}} = \hat{C_{1}}$ (cùng phụ với $\hat{A_{2}}$ )

do đó

Δ A B D = Δ C A E

(cạnh huyền – góc nhọn

Câu 52:

b, Chứng minh rằng: $B D - C E = D E$

Xem đáp án

b) $Δ A B D = Δ C A E$ nên $B D = A E$ ; AD= CE do đó $B D - C E = A E - A D$ . Vậy $B D - C E = D E$ .

* Nhận xét. Để chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng hay một hiệu hai đoạn thẳng ta thường biến đổi đoạn thẳng đó thành hai đoạn cùng nằm trên một đường thẳng và sử dụng cộng, trừ đoạn thẳn