Ta có $\overbrace{A_1}+\overbrace{A_2}=180°$ (kề bù) mà $\overbrace{A_1}=\overbrace{A_2}$ (đề bài) nên $\overbrace{A_1}=180°:2=90°$.

Suy ra AB $\perp a$.

Tương tự AB $\perp b$.

Do đó a // b (cùng vuông góc với AB).

Ta có x + y = 180$°$ (cặp góc trong cùng phía) mà x=$\frac{3}{7}y$ nên  x= $\frac{180\times 3}{10}=54°; y=126°$.

Ở trong góc AOB, vẽ tia Ot //Ax. Khi đó $\overbrace{AOt}=\overbrace{A}=30°$ (cặp góc so le trong).

Suy ra $\overbrace{BOt}=100°-30°=70°$.

Vậy $\overbrace{B}=\overbrace{BOt}=70°$.

Do đó By // Ot (vì có cặp so le trong bằng nhau).

Từ đó suy ra Ax // By (vì cùng song song với Ot).

Ta có $\overbrace{BAM}=\overbrace{B}$ suy ra AM // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).

$\overbrace{CAN}=\overbrace{C}$ suy ra AN // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).

Theo tiên đề Ơ-clít qua điểm A chỉ có một đường thẳng song song với BC, do đó ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Giả sử trong số 101 đường thẳng vẽ qua A có chưa đến 100 đường thẳng cắt a. Suy ra ít nhất cũng còn hai đường thẳng không cắt a. Hai đường thẳng này cùng đi qua A và cùng song song với a. Điều này vô lí vì nó trái với tiên đề Ơ-clít. Vậy điều giả sử là sai, do đó qua A có ít nhất 100 đường thẳng cắt a.

Ta có DE//AB nên $\overbrace{DEC}=\overbrace{A}$ (cặp góc đồng vị);  nên  (cặp góc đồng vị).

Mặt khác BFD = FDE (so le trong của DE // AB)

Suy ra $\overbrace{A}=\overbrace{DEC}=\overbrace{BFD}=\overbrace{FDE}$.

Ta có $\overbrace{ABC}=180°-2m°$ nên $\overbrace{ABy}=180°-(180°-2m°)=2m°$.

Mặt khác Bx // AC nên $\overbrace{xBy}=\overbrace{C}=m°$ (cặp góc đồng vị); suy ra

$\overbrace{ABx}=2m°-m°=m°$. Vậy $\overbrace{ABx}=\overbrace{xBy}=m°$.           (1)

Tia Bx nằm giữa hai tia BA và By.                  (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia Bx là tia phân giác của góc ABy.

Ta có $\overbrace{ACD}=180°-120°=60°$. Vậy $\overbrace{ACD}=\overbrace{BAa}=60°$.

Suy ra m//n (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).

Ta có $\overbrace{D_1}+\overbrace{D_2}=180°$ mà $\overbrace{D_1}=\overbrace{D_2}$ nên $\overbrace{D_1}=90°$.

Suy ra b $\perp n$ do đó b $\perp m$ (vì m//n).

Ta có AB $\perp$ AC; CD $\perp$ AC; OE $\perp$AC (đề bài).

Suy ra AB//CD//OE (cùng vuông góc với AC).

Do đó $\overbrace{AOE}=\overbrace{OAB}=m°$ (cặp góc so le trong); $\overbrace{OCD}=\overbrace{EOC}=50°$ (cặp góc so le trong).

Tia OE nằm giữa hai tia OA và OC nên tia OE là tia phân giác của góc AOC $\iff \overbrace{\mathrm{AOE}}=\overbrace{\mathrm{EOC}}\iff \mathrm{m}=50°$.

Ta có $\overbrace{AEF}+\overbrace{EFC}=45°+45°.3=180°$.

Suy ra AB//CD (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).

Do đó $\overbrace{AEF}=\overbrace{EFD}$ (cặp góc so le trong).

Mặt khác $\overbrace{E_1}=\frac{1}{2}\overbrace{AEF}; \overbrace{F_1}=\frac{1}{2}\overbrace{EFD}$ nên $\overbrace{E_1}=\overbrace{F_1}$, dẫn tới Em // Fn (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).

Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng Ay và Bm.

Ta có Ax//Bm nên $\overbrace{A}=\overbrace{ACm}$ (cặp góc so le trong).

Mặt khác, $\overbrace{A}=\overbrace{mBn}$ nên $\overbrace{ACm}=\overbrace{mBn }=\overbrace{A}$.

Do đó Ay // Bn (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).

Ở trong góc AOB vẽ tia Ot // Ax. Khi đó $\overbrace{AOt}=\overbrace{A}=a°$

 (cặp góc so le trong).

Suy ra $\overbrace{BOt}=b°$. Vậy $\overbrace{Bot}=b°=\overbrace{B}$.

Do đó By // Ot (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).

Vậy Ax // By (vì cùng song song với Ot).

Trong góc AOC vẽ tia Ot sao cho Ot // AB.

Khi đó $\overbrace{A}+\overbrace{AOt}=180°$ (cặp góc trong cùng phía).

Suy ra $\overbrace{AOt}=180°-m°$.

Do đó $\overbrace{COt}= \stackrel{\rightharpoonup }{AOC}-\overbrace{AOt}=360°-(m°+n°)-(180°-m°)=180°-n°$

Vậy $\overbrace{C}+\overbrace{COt}=n°+(180°-n°)=180°$.

Suy ra CD // Ot (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).

Do đó AB // CD (vì cùng song song với Ot).

Vì  $\overbrace{AMx}=140°$nên $\overbrace{M_1}=40°$.

Vì $\overbrace{BNy}=150°$ nên $\overbrace{N_2}=30°$

Ở trong góc AOB vẽ tia Ot // Mx, khi đó Ot // My (vì Mx // My).

Ta có $\overbrace{O_1}=\overbrace{M_1}=40°$ (cặp góc so le trong).

$\overbrace{O_2}=\overbrace{N_2}=30°$ (cặp góc so le trong).

Suy ra $\overbrace{AOB}=\overbrace{O_1}+\overbrace{O_2}=70°$.

 trong góc AOB vẽ tia Ot // Ax.

Khi đó Ot // By.

Ta có $OA \perp OB$ nên $\overbrace{AOB}=90°$.

Mặt khác $\overbrace{A}+\overbrace{O_1}=180°$ (cặp góc trong cùng phía) nên $\overbrace{O_1}=35°$.

Suy ra $\overbrace{O_2}=55°$.

Ta có $\overbrace{O_2}+ \overbrace{B}=180°$ (cặp góc trong cùng phía của Ot // By).

Do đó $\overbrace{B}=125°$.

Trên nửa mặt phẳng bờ OB có chứa tia By vẽ tia Ot // By. Khi đó Ot // Ax.

Ta có $\overbrace{OBy}+\overbrace{BOt}=180°$ (cặp góc trong cùng phía).

Suy ra BOt = 30$°$.

Ta có $\overbrace{AOt}=\overbrace{OAx}=50°$ (cặp góc so le trong).

Từ đó $\overbrace{AOB}=20°$.