10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tính chất ba đường cao của tam giác có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho $Δ A B C$ vuông tại A, trên cạnh AC lấu các điểm D,E sao cho $\hat{A B D} = \hat{D B E} = \hat{E B C}$ . Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho $D F = B C$ . Tam giác CDF là tam giác gì?

A. Tam giác cân tại F

B. Tam giác vuông tại D

C. Tam giác cân tại D

D. Tam giác cân tại C

Xem đáp án

Đáp án A

Trên đoạn BF lấy điểm G sao cho BG = BC khi đó G nằm giữa D và F

Ta có: $\{\begin{cases} B G = B D + D G \\ D F = D G + G F \end{cases}$

Mà BG = DF (cùng bằng BC) nên BD = GF

$Δ B C G$ cân tại B, $\hat{D B E} = \hat{E B C}$ nên BE là phân giác đồng thời là đường cao của $Δ B C G$

Gọi H là giao của BE và GC nên $B H ⊥ G C$

$Δ B H G$ vuông tại H nên

$\hat{H G B} + \hat{G B H} = 90^{0} \Rightarrow \hat{C G B} = 90^{0} - \frac{1}{3} \hat{A B C}$

$Δ A B D$ vuông tại A nên

$\hat{A B D} + \hat{A D B} = 90^{0} \Rightarrow \hat{A D B} = 90^{0} - \frac{1}{3} \hat{A B C}$

Mà $\hat{A D B} = \hat{C D G}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\hat{C D G} = 90^{0} - \frac{1}{3} \hat{A B C}$

Do đó: $\hat{C G B} = \hat{C D G} = 90^{0} - \frac{1}{3} \hat{A B C}$ nên $Δ C D G$ cân tại C suy ra CD = CG (tính chất tam giác cân)

$\hat{C D B}$ là góc ngoài tại đỉnh D của $Δ C D G$ nên

$\hat{C D B} = \hat{D C G} + \hat{C G D}$ (1)

$\hat{C G F}$ là góc ngoài tại đỉnh D của $Δ C D G$ nên

$\hat{C G F} = \hat{D C G} + \hat{C G D}$ (2)

Từ (1)(2)(3) suy ra $\hat{C D B} = \hat{C G F}$

Xét $Δ C D B$ và $Δ C G F$ có:

$\begin{array}{l} \hat{C D B} = \hat{C G F} (c m t) \\ C D = C G (c m t) \\ B D = F G (c m t) \\ \Rightarrow Δ C D B = Δ C G F (c . g . c) \end{array}$

$\Rightarrow C B = C F$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow C F = D F$ (cùng bằng BC)

Vậy $Δ C D F$ cân tại F

Câu 2:

Cho $Δ A B C$ có vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm các phân giác của $Δ A B H, Δ A C H$ , E là giao điểm của đường thẳng BI và AJ. Chọn câu đúng

A. $Δ A B E$ là tam giác vuông tại E

B. $Δ A B E$ là tam giác vuông tại A

C. $Δ A B E$ là tam giác vuông tại B

D. $Δ A B E$ là tam giác đều

Xem đáp án

Đáp án A

+) Ta có: $\{\begin{cases} \hat{H A C} + \hat{A C H} = 90^{0} \\ \hat{H B A} + \hat{A C H} = 90^{0} \end{cases} (g t) \Rightarrow \hat{H A C} = \hat{H B A}$ (1)

Mặt khác, BI là tia phân giác của $\hat{A B C}$ và E thuộc BI suy ra

$\hat{A B E} = \frac{\hat{A B C}}{2}$ (2) (tính chất tia phân giác)

+) AJ là tia phân giác của $\hat{H A C} (g t) \Rightarrow \hat{J A C} = \frac{\hat{H A C}}{2}$ (3) (tính chất tia phân giác)

Từ (1)(2)(3) $\Rightarrow \hat{A B E} = \hat{J A C}$

Xét $Δ A B E$ có:

$\hat{A B E} + \hat{B A E} = \hat{J A C} + \hat{B A E} = \hat{B A C} = 90^{0} \Rightarrow \hat{A E B} = 90^{0}$

$\Rightarrow Δ A E B$ vuông tại E

Câu 3:

Cho $Δ A B C$ có góc A nhọn.Kẻ hai đường cao BKvà CH. Trên tia đối của tia BK lấy điểm E so cho $B E = A C$ . Trên tia đối của CH lấy điểm F sao cho $C F = A B$ . Chọn câu đúng

A. $Δ A B E = Δ A C F$

B. $\hat{B A E} = \hat{C A F}$

C. $Δ A E F$ vuông cân tại A

D. $Δ A E F$ đều

Xem đáp án

Đáp án C

$\hat{A B E}$ là góc ngoài tại đỉnh D của $Δ A B K$ nên:

$\hat{A B E} = \hat{B A K} + \hat{A K B} = \hat{B A C} + 90^{0}$

$\hat{F C A}$ là góc ngoài tại đỉnh C của $Δ A C H$ nên

$\hat{F C A} = \hat{C A H} + \hat{A H C} = \hat{B A C} + 90^{0} \Rightarrow \hat{A B E} = \hat{F C A} = \hat{A B C} + 90^{0}$

Xét $Δ A B E$ và $Δ F C A$ có:

$\begin{array}{l} \hat{A B E} = \hat{F C A} (c m t) \\ A B = F C (g t) \\ E B = A C (g t) \\ \Rightarrow Δ A B E = Δ F C A (c - g - c) \end{array}$

$\Rightarrow \hat{B A E} = \hat{C F A}$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow A E = F A$ (hai cạnh tương ứng)

$Δ A H F$ vuông tại H nên $\hat{H A F} + \hat{H F A} = 90^{o}$ hay $\hat{H A F} + \hat{C F A} = 90^{o}$

Mà $\hat{B A E} = \hat{C F A}$ (cmt) suy ra $\hat{H A F} + \hat{B A E} = 90^{o}$ hay $\hat{E A F} = 90^{o}$

$Δ A E F$ có: $A E = F A (c m t); \hat{E A F} = 90^{o} (c m t)$ nên $Δ A E F$ vuông cân tại A

Câu 4:

Cho tam giác ABC có các đường cao BE;CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung tâm đoạn AH và K là trung điểm cạnh BC

1: Tính số đo góc $\hat{I F K}$

A. $\hat{I F K} = 60^{0}$

B. $\hat{I F K} = 90^{0}$

C. $\hat{I F K} = 70^{0}$

D. $\hat{I F K} = 80^{0}$

Xem đáp án

Đáp án B

H là giao của hai đường cao BE;CF nên H là trực tâm của $Δ A B C$

Gọi D là giao của AH và BC nên $A D ⊥ B C$

Xét $Δ A F H$ vuông tại F, đường trung tuyến FI nên $F I = I A = \frac{1}{2} A H$

(trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Do đó $Δ F A I$ cân tại I suy ra $\hat{I F A} = \hat{I A F}$ (1)

Xét $Δ B F C$ vuông tại F, đường trung tuyến FK nên $F K = B K = \frac{1}{2} B C$

(trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Do đó $Δ F B K$ cân tại K suy ra $\hat{K F B} = \hat{K B F}$ (2)

Xét $Δ A B D$ vuông tại D nên $\hat{D A B} + \hat{D B A} = 90^{0}$

Từ (1) (2) suy ra:

$\hat{I F A} + \hat{K F B} = \hat{I A F} + \hat{K B F} = \hat{D A B} + \hat{D B A} = 90^{0}$

Ta có:

$\begin{array}{l} \hat{I F A} + \hat{I F K} + \hat{K F B} = 180^{0} \\ \Rightarrow \hat{I F K} = 180^{0} - (\hat{I F A} + \hat{K F B}) = 180^{0} - 90^{0} = 90^{0} \end{array}$

Câu 5:

Cho tam giác ABC có các đường cao BE;CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung tâm đoạn AH và K là trung điểm cạnh BC

2: Biết $A H = 6 c m; B C = 8 c m$ . Tính IK

A. IK = 3cm

B. IK = 4cm

C. IK = 5cm

D. IK = 6cm

Xem đáp án

Đáp án C

Sử dụng kết quả câu trước ta có: $\hat{I F K} = 90^{0}$ hay $Δ I F K$ vuông tại F và $F I = \frac{1}{2} A H; F K = \frac{1}{2} B C$

Ta có: $F I = \frac{1}{2} A H = \frac{1}{2} .6 = 3 (c m); F K = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} .8 = 4 (c m)$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông IFK ta có:

$\begin{array}{l} I K^{2} = F I^{2} + F K^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 \\ \Rightarrow I K = \sqrt{25} = 5 (c m) \end{array}$

Câu 6:

Cho tam giác ABC có: $\hat{B} + \hat{C} = 60^{0}$ . Trên đường phân giác AD của góc A lấy điểm I. Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho $A F = A I$ . Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho $A E = A I$

1: Chọn câu sai

A. AB là đường trung trực của đoạn IE

B. AC là đường trung trực của đoạn IF

C. $Δ E A I$ cân tại A

D. $Δ E A I$ cân tại I

Xem đáp án

Đáp án D

$Δ A B C$ có $\hat{B} + \hat{C} = 60^{0}$ (gt) nên

$\hat{B A C} = 180^{0} - (\hat{B} + \hat{C}) = 180^{0} - 60^{0} = 120^{0}$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Mà AD là tia phân giác $\hat{B A C}$ nên $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}} = \frac{120^{0}}{2} = 60^{0}$

$\hat{E A B}$ là góc ngoài tại đỉnh A của $Δ A B C$ nên $\hat{E A B} = \hat{B} + \hat{C} = 60^{0}$

Do đó $\hat{E A B} = \hat{A_{1}} = 60^{0}$

$Δ E A I$ cân tại A (vì $A E = A D (g t)$ )mà AB là phân giác nên AB là đường trung trực của IE

Ta có: $\hat{F A C} = \hat{E A B}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\hat{F A C} = 60^{0}$

$Δ F A I$ cân tại I (vì $A I = A F (g t)$ )mà AC là phân giác nên AC là đường trung trực của IF

Vậy cả A,B,C đều đúng

Câu 7:

Cho tam giác ABC có: $\hat{B} + \hat{C} = 60^{0}$ . Trên đường phân giác AD của góc A lấy điểm I. Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = AI. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AI

2: Tam giác IEF là tam giác gì?

A. Tam giác vuông

B. Tam giác vuông cân

C. Tam giác đều

D. Tam giác tù

Xem đáp án

Đáp án C

Sử dụng kết quả câu trước ta có: AB là đường trung trực IE,AC là đường trung trực cả IF

Vì E nằm trên đường trung trực của IF nên $E F = E I$ (tính chất đường trung trực) (1)

Vì F nằm trên đường trung trực của IE nên $E F = F I$ ( tính chất đường trung trực)(2)

Từ (1) và (2) suy ra $E F = E I = F I$ do đó: $Δ I E F$ là tam giác đều

Câu 8:

Cho tam giác ABC có: $\hat{B} + \hat{C} = 60^{0}$ . Trên đường phân giác AD của góc A lấy điểm I. Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho $A F = A$ . Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho $A E = A I$

1: Chọn câu đúng nhất

A. AB là đường trung trực của đoạn IE

B. AC là đường trung trực của đoạn IF

C. $Δ E A I$ cân tại A

D. Cả A,B,C đều đúng

Xem đáp án

Đáp án D

$Δ A B C$ có $\hat{B} + \hat{C} = 60^{0}$ (gt) nên

$\hat{B A C} = 180^{0} - (\hat{B} + \hat{C}) = 180^{0} - 60^{0} = 120^{0}$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Mà AD là tia phân giác $\hat{B A C}$ nên $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}} = \frac{120^{0}}{2} = 60^{0}$

$\hat{E A B}$ là góc ngoài tại đỉnh A của $∆ A B C$ nên $\hat{E A B} = \hat{B} + \hat{C} = 60^{\circ}$

Do đó $\hat{E A B} = \hat{A_{1}} = 60^{\circ}$

$∆ E A I$ cân tại A (vì $E A = A D (g t)$ )mà AB là phân giác nên AB là đường trung trực của IE

Ta có: $\hat{F A C} = \hat{E A B}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\hat{F A C} = 60^{\circ}$

$∆ F A I$ cân tại I (vì AI = AF(gt))mà AC là phân giác nên AC là đường trung trực của IF

Vậy cả A,B,C đều đúng

Câu 9:

Cho tam giác ABC có: $\hat{B} + \hat{C} = 60^{0}$ . Trên đường phân giác AD của góc A lấy điểm I. Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = AI. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AI

2: Tam giác IEF là tam giác gì?

A. Tam giác vuông

B. Tam giác vuông cân

C. Tam giác đều

D. Tam giác tù

Xem đáp án

Đáp án C

Sử dụng kết quả câu trước ta có: AB là đường trung trực IE,AC là đường trung trực cả IF

Vì E nằm trên đường trung trực của IF nên EF = EI (tính chất đường trung trực) (1)

Vì F nằm trên đường trung trực của IE nên EF = FI ( tính chất đường trung trực)(2)

Từ (1) và (2) suy ra EF = EI = FI do đó: $∆ I E F$ là tam giác đều

Câu 10:

Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Chọn câu đúng

A. AB + AC > HA +HB + HC

A. AB + AC < HA +HB + HC

C. A. AB + AC = HA +HB + HC

D. $A B + A C \leq H A + H B + H C$

Xem đáp án

Đáp án A

Qua H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại F, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E

Vì AE//HF (cách vẽ) nên $\hat{E A H} = \hat{F H A}$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Vì AF//HE (cách vẽ) nên $\hat{A H E} = \hat{H A F}$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Xét $∆ A E H$ và $∆ H F A$ có:

AH cạnh chung

$\hat{E A H} = \hat{F H A} (c m t) \hat{A H E} = \hat{H A F} (c m t) \Rightarrow ∆ A E H = ∆ H F A (g . g . c)$

$\Rightarrow E H = A F; A E = H F$ (hai cạnh tương ứng)

Vì $\{\begin{cases} B H ⊥ A C \\ F H / / A C \end{cases} \Rightarrow B H ⊥ F H$

Ta có: BF;BH lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ B đến FH nên BF > BH (quan hệ đường xiên - đường vuông góc)

Vì $\{\begin{array}{l} C H ⊥ A B \\ E H / / A B \end{array} \Rightarrow C H ⊥ E H$

Ta có: CE;CH lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ C đến FH nên CE > CH

(quan hệ đường xiên - đường vuông góc)

Xét $∆ A E H$ có: AE + EH > HA (bất đẳng thức tam giác)

Ta có: AB + AC = AF + FB + AE + EC

$\Rightarrow$ AB + AC = EH + FB + AE + EC (vì EH = AF (cmt))

$\Rightarrow$ AB + AC = (AE + EH) + FB + EC > HA + HB + HC

Vậy AB + AC > HA + HB + HC