8 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tính chất ba đường phân giác của tam giác có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho $Δ A B C$ có $\hat{A} = 70^{o}$ , các đường phân giác BE và CD của $\hat{B}$ và $\hat{C}$ cắt nhau tại I. Tính $\hat{B I C}$ ?

A. $125^{\circ}$

B. $100^{o}$

C. $105^{o}$

D. $140^{o}$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét $Δ A B C$ có: $\hat{A} + \hat{A C B} + \hat{A B C} = 180^{o}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{A C B} + \hat{A B C} = 180^{o} - \hat{A} = 180^{o} - 70^{o} = 110^{o}$ (1)

Vì CD là tia phân giác của $\hat{A C B}$ (gt) $\Rightarrow \hat{D C B} = \frac{\hat{A C B}}{2}$ (2) (tính chất tia phân giác )

Vì BE là tia phân giác của $\hat{A B C}$ (gt) $\Rightarrow \hat{C B E} = \frac{\hat{A B C}}{2}$ (3) (tính chất tia phân giác )

Từ (1),(2),(3)

$\Rightarrow \hat{D C B} + \hat{C B E} = \frac{\hat{A C B}}{2} + \frac{\hat{A B C}}{2} = \frac{\hat{A C B} + \hat{A B C}}{2} = 110^{o} : 2 = 55^{o}$

Hay $\hat{I C B} + \hat{I B C} = 55^{o} (*)$

Xét $Δ B I C$ có: $\hat{I C B} + \hat{I B C} + \hat{B I C} = 180^{o} (* *)$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Từ (*) và (**) $\Rightarrow \hat{B I C} = 180^{o} - (\hat{I C B} + \hat{I B C}) = 180^{o} - 55^{o} = 125^{o}$

Câu 2:

Cho $Δ A B C$ có $\hat{A} = 80^{o}$ , các đường phân giác BE và CD của $\hat{B}$ và $\hat{C}$ cắt nhau tại I. Tính $\hat{B I C}$ ?

A. $130^{\circ}$

B. $100^{\circ}$

C. $50^{\circ}$

D. $80^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét $Δ A B C$ có: $\hat{A} + \hat{A C B} + \hat{A B C} = 180^{o}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{A C B} + \hat{A B C} = 180^{o} - \hat{A} = 180^{o} - 80^{o} = 100^{o}$ (1)

Vì CD là tia phân giác của $\hat{A C B}$ (gt) $\Rightarrow \hat{D C B} = \frac{\hat{A C B}}{2}$ (2) (tính chất tia phân giác )

Vì BE là tia phân giác của $\hat{A B C}$ (gt) $\Rightarrow \hat{C B E} = \frac{\hat{A B C}}{2}$ (3) (tính chất tia phân giác )

Từ (1),(2),(3)

$\Rightarrow \hat{D C B} + \hat{C B E} = \frac{\hat{A C B}}{2} + \frac{\hat{A B C}}{2} = \frac{\hat{A C B} + \hat{A B C}}{2} = 100^{o} : 2 = 50^{o}$

Hay $\hat{I C B} + \hat{I B C} = 50^{o} (*)$

Xét $Δ B I C$ có: $\hat{I C B} + \hat{I B C} + \hat{B I C} = 180^{o} (* *)$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Từ (*) và (**) $\Rightarrow \hat{B I C} = 180^{o} - (\hat{I C B} + \hat{I B C}) = 180^{o} - 50^{o} = 130^{o}$

Câu 3:

Cho $Δ A B C$ , các tia phân giác của góc B và A cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, cắt AC ở N. Cho $B M = 2 c m; C N = 3 c m$ . Tính MN?

A. 5cm

B. 6cm

C. 7cm

D. 8cm

Xem đáp án

Đáp án A

Vì O là giao điểm của hai tia phân giác của các góc $\hat{A B C}$ và $\hat{B A C}$ (gt)

Suy ra, CO là tia phân giác của $\hat{A C B}$ (tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

$\Rightarrow \hat{A C O} = \hat{B C O}$ (1) (tính chất tia phân giác của một góc)

BO là tia phân giác của $\hat{A B C}$ (gt) $\Rightarrow \hat{O B A} = \hat{O B C}$ (2) (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì MN//BC(gt) $\{\begin{matrix} \hat{M O B} = \hat{O B C} (3) \\ \hat{N O C} = \hat{O C B} (4) \end{matrix}$ (so le trong)

Từ (1) và (4) $\Rightarrow \hat{N O C} = \hat{N C O} \Rightarrow Δ N O C$ cân tại N (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow N O = N C = 3 c m$ (tính chất tam giác cân)

Từ (2) và (3) $\Rightarrow \hat{M O B} = \hat{M B O} \Rightarrow Δ M O B$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow M B = M O = 2 c m$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow M N = M O + O N = 2 + 3 = 5 c m$

Câu 4:

Cho $Δ A B C$ , các tia phân giác của góc B và A cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, cắt AC ở N. Cho $B M = 3 c m; C N = 4 c m$ . Tính MN?

A. 7cm

B. 10cm

C. 11cm

D. 12cm

Xem đáp án

Đáp án A

Vì O là giao điểm của hai tia phân giác của các góc $\hat{A B C}$ và $\hat{B A C}$ (gt)

Suy ra, CO là tia phân giác của $\hat{A C B}$ (tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

$\Rightarrow \hat{A C O} = \hat{B C O}$ (1) (tính chất tia phân giác của một góc)

BO là tia phân giác của $\hat{A B C}$ (gt) $\Rightarrow \hat{O B A} = \hat{O B C}$ (2) (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì MN//BC(gt) $\{\begin{matrix} \hat{M O B} = \hat{O B C} (3) \\ \hat{N O C} = \hat{O C B} (4) \end{matrix}$ (so le trong)

Từ (1) và (4) $\Rightarrow \hat{N O C} = \hat{N C O} \Rightarrow Δ N O C$ cân tại N (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow N O = N C = 3 c m$ (tính chất tam giác cân)

Từ (2) và (3) $\Rightarrow \hat{M O B} = \hat{M B O} \Rightarrow Δ M O B$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow M B = M O = 2 c m$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow M N = M O + O N = 3 + 4 = 7 c m$

Câu 5:

Cho tam giác ABC có $A H ⊥ B C$ và $\hat{B A H} = 2. \hat{C}$ . Tia phân giác của góc B cắt AC ở E. Tia phân giác của góc BAH cắt BE ở I. Khi đó tam giác AIE là tam giác gì?

A. Vuông cân tại I

B. Vuông cân tại E

C. Vuông cân tại A

D. Cân tại I

Xem đáp án

Đáp án C

Xét tam giác AHB vuông ta có $\hat{B A H} + \hat{A B H} = 90^{o}$ mà $\hat{B A H} = 2. \hat{C}$ và $\hat{A B H} = 2. \hat{I B H}$

Suy ra $2. \hat{C} + 2. \hat{I B H} = 90^{o} \Rightarrow 2 (\hat{C} + \hat{I B H}) = 90^{o}$

$\Rightarrow \hat{C} + \hat{E B H} = 45^{o}$

Xét tam giác BEC có $\hat{I E A}$ là góc ngoài tại đỉnh E nên $\hat{A E I} = \hat{E C B} + \hat{E B C} = 45^{o}$

Xét tam giác ABH có $\hat{B A H} + \hat{H B A} = 90^{o} \Rightarrow 2. \hat{I A B} + 2. \hat{I B A} = 90^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2. (\hat{I A B} + \hat{I B A}) = 90^{o} \\ \Rightarrow \hat{I A B} + \hat{I B A} = 90^{o} : 2 = 45^{o} \end{array}$

Xét tam giác AIB có $\hat{A I E}$ là góc ngoài tại đỉnh I nên $\hat{A I E} = \hat{I A B} + \hat{I B A} = 45^{o}$

Xét tam giác IAE có $\hat{A I E} = 45^{o} = \hat{I E A}$ suy ra:

$\hat{E A I} = 180^{o} - \hat{A I E} - \hat{I E A} = 90^{o}$ (tổng ba góc trong tam giác)

Nên tam giác IAE vuông cân tại A

Câu 6:

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 120^{o}$ . Các đường phân giác AD và BE. Tính số đo góc BED

A. $55^{o}$

B. $45^{o}$

C. $60^{o}$

D. $30^{o}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi Ax là tia đối của tia AB. Ta có: $\hat{B A D} = \hat{D A C} = 60^{o}$ nên $\hat{C A x} = 60^{o}$

Xét $Δ A B D$ có AE là tia phân giác của góc ngoài đỉnh A, BE là tia phân giác cả góc B và chúng cắt nhau tại E nên DE là tia phân giác góc ngoài của góc D

Mà $\hat{E D C}$ là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác BED nên $\hat{B_{1}} + \hat{B E D} = \hat{E D C}$

Do đó: $\hat{B E D} = \hat{D_{1}} - \hat{B_{1}} = \frac{\hat{A D C} - \hat{A B C}}{2} = \frac{\hat{B A D}}{2} = 30^{o}$

Câu 7:

Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 2 \hat{C}$ , các đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Chọn câu đúng

A. $A C = A B + I B$

B. $A C = A B + I A$

C. $A C = A B + I C$

D. $A C = B C + I B$

Xem đáp án

Đáp án A

Kẻ $I D ⊥ B C; I E ⊥ A C; I F ⊥ A B$

Tam giác ABC có các đường phân giác của góc $\hat{A B C}$ và $\hat{A C B}$ cắt nhau tại I nên AI là tia phân giác của $\hat{B A C}$ (tính chất ba đường phân giác của tam giác)

Vì BI là tia phân giác của $\hat{A B C}$ nên $\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \frac{\hat{A B C}}{2}$ (tính chất tia phân giác)

Xét $Δ B F I$ vuông tại F và $Δ B D I$ vuông tại D có:

$\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}}$ (cmt)

BI cạnh chung

$\Rightarrow Δ B F I = Δ B D I$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow B F = B D$ (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có: $A F = A E; C E = C D$

Trên đoạn DC lấy điểm G sao cho $B D = D G$

Xét $Δ B D I$ vuông tại D và $Δ G D I$ vuông tại D có:

$B D = D G$ (theo cách vẽ)

DI là cạnh chung

$\Rightarrow Δ B D I = Δ G D I$ (hai cạnh góc vuông) $\Rightarrow I B = I G$ (hai cạnh tương ứng) $\Rightarrow Δ I B G$ là tam giác cân tại I

$\Rightarrow \hat{B_{1}} = \hat{I G B}$ (Tính chất tam giác cân)(1)

Ta có: $\hat{A B C} = 2 \hat{A C B} \Rightarrow \hat{A C B} = \frac{\hat{A B C}}{2} = \hat{B_{1}}$ (2)

Từ (1),(2) suy ra $\hat{I G B} = \hat{A C B}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IG//AC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Khi đó: $\hat{C_{2}} = \hat{G I C}$ (hai góc so le trong)

Mặt khác $\hat{C_{1}} = \hat{C_{2}}$ ( do CI là tia phân giác của $\hat{A C B}$ )

$\hat{C_{1}} = \hat{G I C} \Rightarrow Δ G I C$ cân tại D $\Rightarrow I G = G C$ (định nghĩa tam giác cân)

Ta có:

$A C = A E + C E \begin{array}{l} = A F + C D \\ = A F + D G + G C \\ = A F + D B + G C \\ = A F + B F + I B \\ = A B + I B \end{array}$

Câu 8:

Cho tam giác ABC có AD thỏa mãn $B D = 2 D C$ . Trên tia đối tia CB lấy điểm E sao cho $B C = C E$ . Khi đó tam giác ADE là tam giác

A. Cân tại A

B. Vuông tại D

C. Vuông tại A

D. Vuông tại E

Xem đáp án

Đáp án C

Kéo dài AC lấy điểm sao cho $C M = A C$ , kéo dài AD cắt BM tại H

Vì AD là tia phân giác của $\hat{B A M}$ nên $\hat{B A H} = \hat{H A M} = \frac{\hat{B A M}}{2}$ (tính chất tia phân giác)

Xét $Δ A B M$ có: BC là đường trung tuyến ứng với cạnh AM, $B D = 2 D C$ (gt)

Do đó D là trọng tâm $Δ A B M$

Suy ra AD là đường trung tuyến của $Δ A B M$

Xét $Δ A B M$ có AD là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác

Do đó $Δ A B M$ cân tại A $\Rightarrow \hat{A B M} = \hat{A M B}$ (tính chất tam giác cân)

Trong $Δ A B M$ có $\hat{B A M} + \hat{A B M} + \hat{A M B} = 180^{o}$ (định lí tổng ba góc của tam giác)

$\hat{B A M} + 2. \hat{A B M} = 180^{o} \Rightarrow \frac{\hat{B A M}}{2} + \hat{A B M} = 90^{o}$

Hay $\hat{B A H} + \hat{A B H} = 90^{o}$

Xét $Δ A B H$ có:

$\hat{B A H} + \hat{A B H} + \hat{A H B} = 180^{o}$ (định lí tổng ba góc của tam giác)

$\Rightarrow \hat{A H B} = 180^{o} - (\hat{B A H} + \hat{A B H}) = 180^{o} - 90^{o} = 90^{o}$

$\Rightarrow A H ⊥ B M$ hay $A D ⊥ B M$

Xét $Δ A C E$ và $Δ M C B$ có:

$\begin{array}{l} A C = C M \\ B C = C E (g t) \end{array}$

$\hat{A C E} = \hat{M C B}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow Δ A C E = Δ M C B (c . g . c) \Rightarrow \hat{A E C} = \hat{M B C}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\hat{A E C}; \hat{M B C}$ ở vị trí so le trong

$\Rightarrow A E / / B M$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Mà $A D ⊥ B M \Rightarrow A D ⊥ A E$ (quan hệ từ vuông góc tới song song)

Do đó $Δ A D E$ vuông tại A