13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Tìm đẳng thức đúng từ một đẳng thức cho trước có đáp án

Câu 1:

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

với a – b ≠ 0 và c – d ≠ 0. Chứng minh rằng:

\frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d}

Xem đáp án

Câu 2:

Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , chứng minh rằng:

a) $\frac{5 a + 3 b}{5 a - 3 b} = \frac{5 c + 3 d}{5 c - 3 d}$ ;

Xem đáp án

a) Từ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ hay ad = bc.

Ta có:

* (5a + 3b) . (5c – 3d)

= 25ac – 15ad + 15bc – 9bd

= 25ac – 15bc + 15bc – 9bd

= 25ac – 9bd.

Do đó (5a + 3b) . (5c – 3d) = 25ac – 9bd (1)

* (5a – 3b) . (5c + 3d)

= 25ac + 15ad – 15bc – 9bd

= 25ac + 15bc – 15bc – 9bd

= 25ac – 9bd

Do đó (5a – 3b) . (5c + 3d) = 25ac – 9bd (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (5a + 3b) . (5c – 3d) = (5a – 3b) . (5c + 3d)

Vậy $\frac{5 a + 3 b}{5 a - 3 b} = \frac{5 c + 3 d}{5 c - 3 d}$ (đpcm).

Câu 3:

b) $\frac{a b}{c d} = \frac{a^{2} - b^{2}}{c^{2} - d^{2}}$ .

Xem đáp án

Câu 4:

Chứng minh rằng nếu

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

thì đẳng thức nào sau đây đúng:

A. $\frac{7 a^{2} + 3}{11 a^{2} - 8 b^{2}} = \frac{7 c^{2} + 3 c d}{11 c^{2} - 8 d^{2}}$

B. $\frac{7 a^{2} + 3 a b}{11 a^{2} - 8 b^{2}} = \frac{7 c^{2} + 3 c d}{11 c^{2} - 8 d^{2}}$

C. $\frac{7 a^{2} + 3 a b}{11 a^{2} - 8 b^{2}} = \frac{7 c^{2} + 3}{11 c^{2} - 8 d^{2}}$

D. $\frac{7 a^{2} + 3 a b}{11 a^{2} - 8 b^{2}} = \frac{7 c^{2} + 3 c d}{11 c^{2} - 8 d^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Từ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ suy ra $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ . Từ đó ta có:

$\frac{a^{2}}{c^{2}} = \frac{b^{2}}{d^{2}} = \frac{a b}{c d} = \frac{7 a^{2}}{7 c^{2}} = \frac{8 b^{2}}{8 d^{2}} = \frac{3 a b}{3 c d} = \frac{11 a^{2}}{11 c^{2}}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a^{2}}{c^{2}} = \frac{7 a^{2}}{7 c^{2}} = \frac{3 a b}{3 c d} = \frac{7 a^{2} + 3 a b}{7 c^{2} + 3 c d}$ (1)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a^{2}}{c^{2}} = \frac{8 b^{2}}{8 d^{2}} = \frac{11 a^{2}}{11 c^{2}} = \frac{11 a^{2} - 8 b^{2}}{11 c^{2} - 8 d^{2}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{7 a^{2} + 3 a b}{7 c^{2} + 3 c d} = \frac{11 a^{2} - 8 b^{2}}{11 c^{2} - 8 d^{2}}$

Do đó $\frac{7 a^{2} + 3 a b}{11 a^{2} - 8 b^{2}} = \frac{7 c^{2} + 3 c d}{11 c^{2} - 8 d^{2}}$ . Vậy chọn B.

Câu 5:

Cho b² = ac; c² = bd. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\frac{a^{3} + b^{3} - c^{3}}{b^{3} + c^{3} - d^{3}} = {(\frac{a + b - c}{b + c - d})}^{3}$

B. $\frac{a^{3} + b^{3}}{b^{3} + c^{3} - d^{3}} = {(\frac{a + b - c}{b + c - d})}^{3}$

C. $\frac{a^{3} + b^{3} - c^{3}}{b^{3} + c^{3} - d^{3}} = {(\frac{a + b}{b + c - d})}^{3}$

D. $\frac{a^{3} + b^{3} - c^{3}}{b^{3} + c^{3} - d^{3}} = {(\frac{a + b - c}{b + d})}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có b2 = ac hay b . b = ac

Do đó $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ (1)

Mặt khác c2 = bd hay c . c = bd

Do đó $\frac{b}{c} = \frac{c}{d}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{c}{d}$ .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

Câu 6:

Cho a, b, c thỏa mãn

\frac{a}{2020} = \frac{b}{2021} = \frac{c}{2022}

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (a – b)(b – c) = (c − a)²;

B. (a – b)(b – c) = 4(c − a)².

C. 4(a – b)(b – c) = (c − a)².

D. 4(a – b)(b – c) = 2(c − a)².

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Câu 7:

Biết $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}$ và $\frac{b}{b'} + \frac{c'}{c} = 1$ . Tổng abc + a’b’c’ bằng bao nhiêu?

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Câu 8:

Cho $\frac{b z - c y}{a} = \frac{c x - a z}{b} = \frac{a y - b x}{c}$ , đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$

B. $\frac{2 x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$

C. $\frac{x}{a} = \frac{2 y}{b} = \frac{z}{c}$

D. $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{2 z}{c}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Câu 9:

Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1) với a, b, c là các số khác nhau và khác 0 thì đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\frac{1}{a (b - c)} = \frac{z - x}{b (c - a)} = \frac{x - y}{c (a - b)}$

B. $\frac{y - z}{a (b - c)} = \frac{1}{b (c - a)} = \frac{x - y}{c (a - b)}$

C. $\frac{y - z}{a (b - c)} = \frac{z - x}{b (c - a)} = \frac{x - y}{c (a - b)}$

D. $\frac{y - z}{a (b - c)} = \frac{z - x}{b (c - a)} = \frac{1}{c (a - b)}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Câu 10:

Cho tỉ lệ thức

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\frac{a}{a + b} = \frac{1}{c + d}$

B. $\frac{1}{a + b} = \frac{c}{c + d};$

C. $\frac{a}{a + 2 b} = \frac{c}{c + d};$

D. $\frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Vì $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nên ad = bc.

Ta có: $\frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d}$

a(c + d) = (a + b)c

ac + ad = ac + bc

ad = bc (đúng)

Vậy $\frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d} .$

Chọn đáp án D.

Câu 11:

Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ . Đẳng thức nào sau đây là đúng, giả thiết các tỉ số đều có nghĩa?

A. $\frac{a + c}{b + d} = \frac{1}{b - d}$

B. $\frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$

C. $\frac{1}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$

D. $\frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{2 b - d}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Câu 12:

Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ . Nếu giả thiết các tỉ số đều có nghĩa thì đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\frac{a + 3 b}{b} = \frac{c + 3 d}{d}$

B. $\frac{a + 2 b}{b} = \frac{c + 2 d}{d}$

C. $\frac{a + 4 b}{b} = \frac{c + 4 d}{d}$

D. $\frac{a + 5 b}{b} = \frac{c + 5 d}{d}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ hay a = bk; c = dk.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a + 3 b}{b} = \frac{b k + 3 b}{b} = \frac{b (k + 3)}{b} = k + 3;$

$\frac{c + 3 d}{d} = \frac{d k + 3 d}{d} = \frac{d (k + 3)}{d} = k + 3$

Do đó $\frac{a + 3 b}{b} = \frac{c + 3 d}{d} = k + 3$ .

Vậy $\frac{a + 3 b}{b} = \frac{c + 3 d}{d}$ .

Chọn đáp án A.

Câu 13:

Cho

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \neq \pm 1

và c ≠ 0, khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${(\frac{a + b}{c + d})}^{3} = \frac{a^{3} - b^{3}}{c^{3} - d^{3}}$

B. ${(\frac{a b}{c + d})}^{3} = \frac{a^{3} - b^{3}}{c^{3} - d^{3}}$

C. ${(\frac{a + b}{c + d})}^{3} = \frac{a^{3}}{c^{3} - d^{3}}$

D. Các đáp án trên đều sai.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A