10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tính chất ba đường trung trực của tam giác có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho tam giác ABC có AC = AB. Đường phân giác AH và đường trung trực của cạnh AB cắt nhau tại O. Trên cạnh AB, AC lấy lần lượt E và F sao cho AE = CF

1: So sánh OE và OF

A. OE > OF

B. OE < OF

C. OE = OF

D. OE = 2OF

Xem đáp án

Đáp án C

Vì O thuộc đường trung trực của cạnh AB nên OA = OB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow Δ O A B$ cân tại O $\Rightarrow \hat{A_{1}} = \hat{B_{1}}$ (tính chất tam giác cân ) (1)

Vì AH là đường phân giác của $Δ A B C$ nên $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ (tính chất tia phân giác ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{B_{1}} = \hat{A_{2}}$

Ta có: $A C = A F + C F$ mà $A E = C F$ (gt) nên $A C = A F + A E$

Mặt khác $A B = A C (g t); A B = A E + B E$

Do đó $A F = B E$

Xét $Δ B O E$ và $Δ A O F$ có:

$\begin{array}{l} B E = A F (c m t) \\ \hat{B_{1}} = \hat{A_{2}} (c m t) \\ O B = O A (c m t) \\ \Rightarrow Δ B O E = Δ A O F (c . g . c) \end{array}$

Suy ra $O E = O F$ (hai cạnh tương ứng)

Câu 2:

Cho tam giác ABC có AC = AB. Đường phân giác AH và đường trung trực của cạnh AB cắt nhau tại O. Trên cạnh AB, AC lấy lần lượt E và F sao cho AE = CF

2: Khi E và F di động thỏa mãn thì đường trung trực của EF đi qua điểm cố định nào?

A. Điểm O

B. Điểm C

C. Điểm B

D. Điểm H

Xem đáp án

Đáp án A

Theo câu trước ta có: OE = OF nên nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Do $Δ A B C$ cố định nên O cũng cố định

Vậy đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định

Câu 3:

Cho tam giác ABC trong đó $\hat{A} = 100^{o}$ . Các đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC theo thứ tự E và F. Tính $\hat{E A F}$

A. $20^{\circ}$

B. $30^{\circ}$

C. $40^{\circ}$

D. $50^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án A

Vì E thuộc đường trung trực của AB nên $E A = E B$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó $Δ A B E$ cân tại E (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) $\Rightarrow \hat{A_{1}} = \hat{B}$ (tính chất tam giác cân)

Vì F thuộc đường trung trực của AC nên $F A = F C$ tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó $Δ A F C$ cân tại F(dấu hiêu nhận biết tam giác cân) $\hat{A_{3}} = \hat{C}$ (tính chất tam giác cân)

Do đó $\hat{A_{1}} + \hat{A_{3}} = \hat{B} + \hat{C}$

Xét $Δ A B C$ có : $\hat{B A C} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o}$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

$\Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} - \hat{B A C} = 180^{o} - 100^{o} = 80^{o}$ hay $\hat{A_{1}} + \hat{A_{3}} = 80^{o}$

Lại có :

$\begin{array}{l} \hat{A_{1}} + \hat{A_{2}} + \hat{A_{3}} = \hat{B A C} \\ \Rightarrow \hat{A_{2}} = \hat{B A C} - (\hat{A_{1}} + \hat{A_{3}}) = 100^{o} - 80^{o} = 20^{o} \end{array}$

Câu 4:

Cho tam giác ABC trong đó $\hat{A} = 110^{o}$ . Các đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC theo thứ tự E và F. Tính $\hat{E A F}$

A. $20^{\circ}$

B. $30^{\circ}$

C. $40^{\circ}$

D. $50^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án C

Vì E thuộc đường trung trực của AB nên $E A = E B$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó $Δ A B E$ cân tại E (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) $\Rightarrow \hat{A_{1}} = \hat{B}$ (tính chất tam giác cân)

Vì F thuộc đường trung trực của AC nên $F A = F C$ tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó $Δ A F C$ cân tại F(dấu hiêu nhận biết tam giác cân) $\hat{A_{3}} = \hat{C}$ (tính chất tam giác cân)

Do đó $\hat{A_{1}} + \hat{A_{3}} = \hat{B} + \hat{C}$

Xét $Δ A B C$ có : $\hat{B A C} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o}$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

$\Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} - \hat{B A C} = 180^{o} - 110^{o} = 70^{o}$ hay $\hat{A_{1}} + \hat{A_{3}} = 70^{o}$

Lại có :

$\begin{array}{l} \hat{A_{1}} + \hat{A_{2}} + \hat{A_{3}} = \hat{B A C} \\ \Rightarrow \hat{A_{2}} = \hat{B A C} - (\hat{A_{1}} + \hat{A_{3}}) = 110^{o} - 70^{o} = 40^{o} \end{array}$

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AH. Kẻ $K D ⊥ A C (D \in A C)$ . Chọn câu đúng

A. $Δ A H D = Δ A K D$

B. AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK

C. AD là tia phân giác của góc HAK

D. Cả A,B,C đều đúng

Xem đáp án

Đáp án D

Xét tam giác vuông AHD và tam giác AKD có:

$\begin{array}{l} A H = A K (g t) \\ A D c h u n g \\ \Rightarrow Δ A H D = Δ A K D (c h - c g v) \end{array}$

Nên A đúng

Từ đó ta có: $H D = D K; \hat{H A D} = \hat{D A K}$ suy ra AD là tia phân giác góc HAK nên C đúng

Ta có: $A H = A K (g t)$ và $H A = D K (c m t)$ suy ra AD là đường trung trực đoạn HK nên B đúng

Vậy cả A,B,C đúng

Câu 6:

Cho $Δ A B C$ nhọn, đường cao AH. Lấy điểm D sao cho AB là trung trực của HD. Lấy điểm E sao cho AC là trung trực của HE. Gọi M là giao điểm của DE với AB, N là giao điểm của DE với AC. Chọn câu đúng

A. $Δ A D E$ là tam giác cân

B. HA là tia phân giác của $\hat{M H N}$

C. A,B đều đúng

D. A,B đều sai

Xem đáp án

Đáp án C

Vì AB là trung trực của HD (gt) $\Rightarrow A D = A H$ (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

Vì AC là trung trực của HE (gt) $\Rightarrow A H = A E$ (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow A D = A E \Rightarrow Δ A D E$ cân tại A. Nên A đúng

+) M nằm trên đường trung trực của HD nên MD = MH (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

Xét $Δ A M D$ và $Δ A M H$ có:

$\begin{array}{l} M D = M H (c m t) \\ A D = A H (c m t) \\ A M c h u n g \end{array}$

$\Rightarrow Δ A M D = Δ A M H (c . c . c) \Rightarrow \hat{M D A} = \hat{M H A}$ (hai góc tương ứng)

Lại có, N là đường trung trực của HE nên NH = NE (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

+) Xét $Δ A H N$ và $Δ A E N$ có:

AN cạnh chung

$\begin{array}{l} A H = A E (c m t) \\ N H = N E (c m t) \end{array}$

$\Rightarrow Δ A H N = Δ A E N (c . c . c) \Rightarrow \hat{N H A} = \hat{N E A}$ (2 cạnh tương ứng)

Mà $Δ A D E$ cân tại A(cmt) $\Rightarrow \hat{M D A} = \hat{N E A} \Rightarrow \hat{M H A} = \hat{N H A}$ . Vậy HA là đường phân giác của $\hat{M H N}$

Câu 7:

Cho tam giác ABC có $\hat{A}$ là góc tù. Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại O. Lấy điểm E trên cạnh AB. Từ E kẻ $E P ⊥ B O (P \in B C)$ . Từ P kẻ $P F ⊥ O C (F \in A C)$

1: Chọn câu đúng:

A. OB là đường trung trực của đoạn EP

B. OC là đường trung trực của đoạn PF

C. Cả A,B đều đúng

D. Cả A,B đều sai

Xem đáp án

Đáp án C

Gỉa sử $E P ⊥ B O$ tại M; $P F ⊥ O C$ tại N

Khi đó: $\hat{B M E} = \hat{B M P} = 90^{o}; \hat{C N F} = \hat{P N C} = 90^{o}$

Vì BO là tia phân giác của $\hat{A B C} (g t)$ nên $\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}}$ (tính chất tia phân giác )

Xét $Δ B M E$ và $Δ B M P$ có:

$\begin{array}{l} \hat{B M E} = \hat{B M P} = 90^{o} (c m t) \\ B M c h u n g \\ \hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} \end{array}$

$\Rightarrow Δ B M E = Δ B M P (g . c . g) \Rightarrow M E = M P$ (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác $E P ⊥ B O$ (gt)

Vậy OB là đường trung trực của đoạn EP (định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng). Đáp án A đúng

Chứng minh tương tự ta có: $Δ C N F = Δ B M P (g . c . g) \Rightarrow N F = N P$ (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác $P F ⊥ O C (g t)$

Vậy OC là đường trung trực của đoạn PF(định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng). Đáp án B đúng

Câu 8:

Cho tam giác ABC có $\hat{A}$ là góc tù. Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại O. Lấy điểm E trên cạnh AB. Từ E kẻ $E P ⊥ B O (P \in B C)$ . Từ P kẻ $P F ⊥ O C (F \in A C)$

2: So sánh BE + CF và BC

A. $B E + C F > B C$

B. $B E + C F < B C$

C. $B E + C F = B C$

D. $B E + C F = \frac{1}{2} B C$

Xem đáp án

Đáp án C

Theo câu trước ta có: $Δ B M E = Δ B M P (g . c . g)$ suy ra $B E = B P$ (hai cạnh tương ứng)

Theo câu trước ta có: $Δ C N F = Δ B M P (g . c . g)$ suy ra $C F = C P$ (hai cạnh tương ứng)

Khi đó: $B E + C F = B P + C P = B C$

Câu 9:

Cho $Δ A B C$ có $\hat{A} = 140^{o}$ . Các đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau tại I. Tính số đo góc BIC

A. $40^{\circ}$

B. $50^{\circ}$

C. $60^{\circ}$

D. $80^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì $Δ A B C$ có các đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau tại I nên $I A = I B = I C$ (tính chất ba đường trung trực của tam giác )

Xét $Δ I A B$ có: $I A = I B (c m t) \Rightarrow Δ I A B$ cân tại I (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \hat{I A B} = \hat{I B A}$ (tính chất tam giác cân)

Xét $Δ I A C$ có $I A = I C (c m t) \Rightarrow Δ I A C$ cân tại I (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \hat{I A C} = \hat{I C A}$ (tính chất tam giác cân)

Trong $Δ I A B$ có: $\hat{B I A} + \hat{I A B} + \hat{I B A} = 180^{o}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà $\hat{I A B} = \hat{I B A}$ (cmt) nên suy ra $\hat{B I A} = 180^{o} - (\hat{I A B} + \hat{I B A}) = 180^{o} - 2 \hat{I A B}$

Trong $Δ I A C$ có $\hat{C I A} + \hat{I A C} + \hat{I C A} = 180^{o}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà $\hat{I A C} = \hat{I C A}$ (cmt) suy ra:

$\hat{C I A} = 180^{o} - (\hat{I A C} + \hat{I C A}) = 180^{o} - 2 \hat{I A C}$

Khi đó

$\begin{array}{l} \hat{B I C} = \hat{B I A} + \hat{A I C} = 180^{o} - 2 \hat{I A B} + 180^{o} - 2 \hat{I A C} \\ = 360^{o} - 2 (\hat{I A B} + \hat{I A C}) = 360^{o} - 2. \hat{B A C} = 360^{o} - {2.140}^{o} = 80^{o} \end{array}$

Câu 10:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến BM. Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại D. Vẽ điểm E sao cho M là trung điểm của DE. Phát biểu nào dưới đây là đúng

A. $A E / / B M .$

B. $A E ⊥ B M .$

C. $A E \equiv B M .$

D. Cả ba phát biểu trên đều sai

Xem đáp án

Đáp án B

Xét $Δ D B C$ có CA và DM là hai đường cao cắt nhau tại M nên M là trực tâm. Suy ra BM là đường cao thứ ba, do đó $B M ⊥ C D .$ Ta có $Δ M E A = Δ M D C$ (c.g.c).

Suy ra $\hat{M E A} = \hat{M D C} .$ Do đó $A E / / C D .$

Từ (1) và (2) ta được $A E ⊥ B M .$