Trắc nghiệm Toán 7 Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác có đáp án
Dạng 4. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng
-
275 lượt thi
-
10 câu hỏi
-
45 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho ba tam giác cân phân biệt ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Vị trí của ba điểm A, D và E là?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Do ∆ABC cân tại A nên AB = AC.
Suy ra A thuộc đường trung trực của BC (1)
Do ∆DBC cân tại D nên DB = DC.
Suy ra D thuộc đường trung trực của BC (2)
Do ∆EBC cân tại E nên EB = EC.
Suy ra E thuộc đường trung trực của BC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra ba điểm A, D, E cùng nằm trên đường trung trực của BC.
Mà ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC và phân biệt nên A, D, E phân biệt.
Do đó ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Câu 2:
Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. Kẻ đường thẳng d vuông góc AB tại B, kẻ đường thẳng d’ vuông góc với AC tại C, hai đường thẳng d và d’ giao nhau giao tại D. Cho các khẳng định sau:
(I) A nằm trên đường trung trực của BC;
(II) Ba điểm A, M, D thẳng hàng.
Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC, do đó A nằm trên đường trung trực của BC (1)
Xét ∆ABD (vuông tại B) và ∆ACD (vuông tại C) có:
AB = AC (do ∆ABC cân tại A);
AD là cạnh chung
Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra DB = DC (hai cạnh tương ứng)
Từ đó ta có D nằm trên đường trung trực của BC (2)
Mặt khác, M là trung điểm của BC nên M cũng nằm trên đường trung trực của BC (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có ba điểm A, M, D nằm trên đường trung trực của BC
Suy ra ba điểm A, M, D thẳng hàng.
Vậy cả hai khẳng định (I) và (II) đều đúng. Ta chọn phương án C.
Câu 4:
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM. Cho các phát biểu sau:
(I) BM là đường trung trực của AD;
(II) AK, DH, BM đồng quy tại một điểm;
(III) AK // BC.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì BD = BA do đó tam giác ABD cân tại B.
Nên BM là đường phân giác cũng là đường trung trực của cạnh AD trong tam giác.
Suy ra BM ⊥ AD (1)
Kéo dài AK cắt DH tại J.
Khi đó ∆ADJ có AH ⊥ DJ, DK ⊥ AJ và AH cắt DK tại M nên M là trực tâm của ∆ADJ.
Suy ra JM ⊥ AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm B, M, J thẳng hàng hay AK, BM, DH là ba đường đồng quy.
Do BM là đường trung trực của AD nên MA = MD.
Xét ∆BAM và ∆BDM có:
BM là cạnh chung; BA = BD (giả thiết); MA = MD (chứng minh trên)
Do đó ∆BAM = ∆BDM (c.c.c)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Mà nên hay MD ⊥ BC, tức DK ⊥ BC.
Lại có DK ⊥ AK tại K nên AK // BC.
Vậy cả (I), (II) và (III) đều đúng. Ta chọn phương án D.
Câu 5:
Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Kẻ AC ⊥ Oy, BD ⊥ Ox (C ∈ Oy, D ∈ Ox). Đường thẳng vuông góc với Ox tại A và đường thẳng vuông góc với Oy tại B cắt nhau tại M. Khẳng định nào sau đây là sai?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Xét ∆AOM và ∆BOM có:
OM là cạnh chung;
OA = OB (giả thiết)
Do đó ∆AOM = ∆BOM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra MA = MB (hai cạnh tương ứng).
Nên M nằm trên đường trung trực của AB.
Lại có OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của AB.
Do đó OM là đường trung trực của AB, nên OM ⊥ AB.
Xét ∆AOB có ba đường cao OM, AC, BD nên ba đường này đồng quy tại một điểm.
Vậy cả A và B đều là khẳng định đúng.
Khi đó phương án D là sai. Ta chọn phương án D.
Câu 6:
Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là đường phân giác. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE. Vẽ CH ⊥ DB. Cho các khẳng định sau:
(I) Ba đường thẳng BA, DE, CH đồng quy;
(II) Đường thẳng DE đi qua giao điểm của AB và CH;
(III) DE ⊥ BC.
Có bao nhiêu khẳng định sai?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi I là giao điểm của CH và AB.
Xét ∆IBC có CA ⊥ BI, BH ⊥ CI và CA cắt BH tại D nên D là trực tâm của ∆IBC.
Suy ra ID ⊥ BC (1)
Xét ∆BAD và ∆BED có:
BA = BE (giả thiết);
(do BD là đường phân giác)
BD là cạnh chung
Do đó ∆BAD = ∆BED (c.g.c).
Suy ra (hai góc tương ứng) (do
Hay DE ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra I, D, E thẳng hàng hay BA, DE, CH đồng quy.
Vậy đường thẳng DE đi qua giao điểm của AB và CH và ba đường thẳng BA, DE, CH đồng quy.
Do đó không có khẳng định nào sai. Ta chọn phương án A.
Câu 7:
Cho tam giác ABC cân tại A có đường phân giác AH (H ∈ BC). Đường trung trực của cạnh AB cắt đường AH tại O. Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm E và F sao cho: AE + AF = AB. Hỏi E và F ở vị trí nào để O là trung điểm của EF?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có AE + AF = AB và AE + EB = AB.
Suy ra AF = EB.
Vì AH là đường phân giác nên
Vì O nằm trên đường trung trực AB nên ∆ABO cân tại O, khi đó: và OA = OB.
Suy ra
Xét ∆AOF và ∆BOE có:
AF = BE; OA = OB
Do đó ∆AOF = ∆BOE (c.g.c)
Suy ra OF = OE (hai cạnh tương ứng).
Khi đó để O là trung điểm của EF thì cần thêm điều kiện là E, O, F thẳng hàng.
Câu 8:
Cho tam giác MNP vuông tại M (MP < MN). Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho MQ = MP, trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR = MN. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi S là giao điểm PQ và RN.
ΔMPQ vuông tại M có MQ = MP nên là tam giác vuông cân tại M, do đó
Suy ra (đối đỉnh)
Tương tự, ΔMNR vuông cân tại M có
Trong ΔNSQ có: và
Do đó nên QS ⊥ NS hay PS ⊥ NR.
Trong ΔNPR có các đường cao PS và NM cắt nhau tại Q.
Suy ra Q là trực tâm ΔNPR. Do đó Q không cách đều ba cạnh, ba đỉnh của ΔPNR.
Vậy MN, PQ và RQ đồng quy, ta chọn phương án C.
Câu 9:
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM. Khẳng định nào sau đây là sai?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có BA = BD nên ∆BAD cân tại B
Mà BM là đường phân giác nên đồng thời là đường cao, do đó BM ⊥ AD.
Do H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM.
Nên DH ⊥ AC hay DH ⊥ AM, AK ⊥ MD.
Xét ∆AMD có: MB ⊥ AD, DH ⊥ AM, AK ⊥ MD.
Suy ra BM, DH, AK là ba đường cao của ∆AMD nên chúng đồng quy.
Vậy phương án D là khẳng định sai.
Câu 10:
Cho tam giác ABC cân ở A, đường phân giác AK. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Kéo dài CO cắt AB ở D, kéo dài BO cắt AC ở E.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Do ΔABC cân tại A nên AK là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của BC.
Xét ΔABC có các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O.
Vây thì theo tính chất ba đường trung trực của tam giác nên O thuộc đường trung trực của BC. Do đó ba điểm A, O, K thẳng hàng.
Vì O nằm trên đường trung trực của BC nên OB = OC, do đó tam giác OBC cân tại O
Suy ra
Mà (do ∆ABC cân ở A) nên
Xét ∆AEB và ∆ADC có:
(chứng minh trên);
là góc chung;
AB = AC (do ∆ABC cân ở A)
Từ đó ∆AEB = ∆ADC (g.c.g), suy ra AD = AE (1).
Măt khác, có OB = OC, BE = CD (vì ∆AEB = ∆ADC) nên OD = OE (2).
Từ (1) và (2) suy ra AK là đường trung trực của DE.
Xét ∆ADE, theo tính chất ba đường trung trực của tam giác suy ra AK và các đường trung
trực của AD, AE và DE đồng quy.
Vậy ta chọn phương án D.