56 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Mặt nón có đáp án

Câu 1:

Cho đường thẳng l cắt và không vuông góc với Δ quay quanh Δ thì ta được

A. khối nón tròn xoay.

B. mặt trụ tròn xoay.

C. mặt nón tròn xoay.

D. hình nón tròn xoay.

Xem đáp án

Chọn C

Cho đường thẳng l cắt và không vuông góc với Δ quay quanh Δ thì ta được mặt nón tròn xoay.

Câu 2:

Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một hình nón. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A. $l^{2} = h R$

B. $\frac{1}{l^{2}} = \frac{1}{h^{2}} + \frac{1}{R^{2}}$

C. $l^{2} = h^{2} + R^{2}$

D. $R^{2} = h^{2} + l^{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Theo định nghĩa hình nón, ta có tam giác OIM vuông tại I.

Do đó

O M^{2} = O I^{2} + I M^{2}

, suy ra

l^{2} = h^{2} + R^{2}

Câu 3:

Tính diện tích xung quanh của khối nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân diện tích bằng 2?

A. $S = 2 \sqrt{2} π$

B. $S = 4 π$

C. $S = 2 π$

D. $S = 4 \sqrt{2} π$

Xem đáp án

Chọn A

Tính diện tích xung quanh của khối nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân diện tích bằng 2? (ảnh 1)

Tam giác OAB vuông cân diện tích bằng 2

$\Rightarrow \frac{1}{2} O A^{2} = 2 \Rightarrow O A = O B = 2 A B = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2} \Rightarrow h = R = \frac{A B}{2} = \sqrt{2}$

Suy ra $S_{x q} = π . \sqrt{2} .2 = 2 \sqrt{2} π$

Câu 4:

Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích toàn phần của hình nón đó.

A. $6 π a^{2}$

B. $24 π a^{2}$

C. $3 π a^{2}$

D. $12 π a^{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích toàn phần của hình nón đó. (ảnh 1)

Ta có $h = \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}, l = 2 a, r = a$

Diện tích toàn phần của hình nón là

S_{t p} = π r l + π r^{2} = π . a .2 a + π . a^{2} = 3 π a^{2}

Câu 5:

Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy, diện tích đáy của hình nón bằng

9 π

. Độ dài đường cao của hình nón bằng

A. $3 \sqrt{3}$

B. $\sqrt{3}$

C. $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy, diện tích đáy của hình nón bằng 9 pi. Độ dài đường cao của hình nón bằng (ảnh 1)

Gọi r, l, h lần lượt là bán kính đường tròn đáy, đường sinh, chiều cao của hình nón đã cho.

Theo giả thiết ta có $\{\begin{cases} π r^{2} = 9 π \\ l = 2 r \end{cases}$ nên $\{\begin{cases} r = 3 \\ l = 6 \end{cases}$

Lại có

h = \sqrt{l^{2} - r^{2}}

do đó

h = \sqrt{36 - 9} = 3 \sqrt{3}

Câu 6:

Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng 1. Mặt phẳng

(α)

qua đỉnh S của hình nón đó cắt đường tròn đáy tại M, N. Tính diện tích tam giác SMN, biết góc giữa

(α)

và đáy hình nón bằng 60^o

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng 1. Mặt phẳng anpha qua đỉnh S của hình nón đó cắt đường tròn đáy tại M, N. (ảnh 1)

Gọi O là tâm đường tròn đáy, H là trung điểm của MN.

Ta có MN là giao tuyến của đường tròn đáy và mặt phẳng $(α)$ , lại có $O H ⊥ M N, S H ⊥ M N$ . Do đó góc giữa $(α)$ và đáy hình nón là $\hat{S H O} = 60 °$

Vì thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng 1 $\Rightarrow S O = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Xét $Δ S O H$ vuông tại O có $\sin 60 ° = \frac{S O}{S H} \Rightarrow S H = \frac{S O}{\sin 60 °} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Khi đó $M N = 2 \sqrt{S N^{2} - S H^{2}} = 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Vậy diện tích tam giác SMN là $S_{Δ S M N} = \frac{1}{2} S H . M N = \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{6}}{3} . \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Câu 7:

Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng

\frac{a \sqrt{3}}{3}

và

\hat{S A O} = 30 °

,

\hat{S A B} = 60 °

. Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng

A. $a \sqrt{2}$

B. $a \sqrt{3}$

C. $2 a \sqrt{3}$

D. $a \sqrt{5}$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi I là trung điểm của AB, dựng $O H ⊥ S I$

Ta có $O H = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Do $\hat{S A B} = 60 °$ nên tam giác SAB đều.

Suy ra $S A = S B = A B$

Mặt khác

\hat{S A O} = 30 ° \Rightarrow S O = S A . \sin 30 ° = \frac{1}{2} S A

và $O A = S A . \cos 30 ° = \frac{S A . \sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SOI ta có

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O S^{2}} + \frac{1}{O I^{2}} = \frac{1}{O S^{2}} + \frac{1}{O A^{2} - A I^{2}} = \frac{1}{(\frac{1}{2}) S A^{2}} + \frac{1}{{(\frac{S A \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2} S A)}^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{O H^{2}} = \frac{6}{S A^{2}} \Leftrightarrow S A = O H \sqrt{6} = \frac{a \sqrt{3}}{3} . \sqrt{6} = a \sqrt{2}$

Câu 8:

Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O bán kính bằng 2a và độ dài đường sinh bằng

a \sqrt{5}

. Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có chu vi bằng

2 (1 + \sqrt{5}) a

. Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P) là

A. $d = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

B. $d = \frac{a}{2}$

C. $d = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

D. $d = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Giả sử thiết diện là tam giác SAB, khi đó ta có

$S A + S B + A B = 2 (1 + \sqrt{5}) a \Leftrightarrow a \sqrt{5} + a \sqrt{5} + A B = 2 (1 + \sqrt{5}) a \Leftrightarrow A B = 2 a$

Gọi E là trung điểm AB, ta có $A B ⊥ S E$ , mặt khác $A B ⊥ (S O E)$ nên $A B ⊥ (S O E)$

Kẻ $O H ⊥ S E$ tại H, ( $H \in S E$ ).

Ta thấy $O H ⊥ A B$ vì $O H \subset (S O E) \Rightarrow O H ⊥ (S A B)$

Vậy khoảng cách từ S đến (P) là OH (hay $d (O; (P)) = O H$ ).

$E B = \frac{1}{2} A B = a, O B = R = 2 a, O E = \sqrt{O B^{2} - E B^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3} S O = \sqrt{S B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{5 a^{2} - 4 a^{2}} = a O H = \frac{O S . O E}{\sqrt{O S^{2} + O E^{2}}} = \frac{a . a \sqrt{3}}{\sqrt{a^{2} + 3 a^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Vậy

d = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Câu 9:

Cho hình nón tròn xoay nằm giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) như hình vẽ. Kẻ đường cao SO của hình nón và gọi I là trung điểm của SO. Lấy

M \in (P), N \in (Q), M N = a

và đi qua I cắt mặt nón tại E và F đồng thời tạo với SO một góc 45^o. Biết góc giữa đường cao và đường sinh của hình nón bằng . Độ dài đoạn EF là

Cho hình nón tròn xoay nằm giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) như hình vẽ. Kẻ đường cao SO của hình nón và gọi I là trung điểm của SO. (ảnh 1)

A. $EF = 2 a$

B. $EF = - \frac{a}{2} \tan 2 β$

C. $E F = - a \tan 2 β$

D. $E F = - 2 a \tan 2 β$

Xem đáp án

Chọn B

Xét tam giác NIO có $O I = N I . \cos β = \frac{a}{2} \cos β, N O = N I . \sin β = \frac{a}{2} \sin β$

Xét tam giác SEF vuông tại S có

$\hat{S E F} = \hat{E S M} + \hat{S M E} = 45 ° + 90 ° - β = 135 ° - β S F = S E . \tan \hat{S E F} = S E . \tan (135 ° - β) = S E . \frac{1 + \tan β}{\tan β - 1}$

Vì SI là độ dài đường phân giác trong góc $\hat{F S E}$ nên

$S I = \sqrt{2} . \frac{S E . S F}{S E + S F} \Leftrightarrow \frac{a}{2} \cos β = \sqrt{2} \frac{S E \tan (135 ° - β)}{1 + \tan (135 ° - β)} \Leftrightarrow S E = \frac{a [1 + \frac{1 + \tan β}{\tan β - 1}] \cos β}{2 \sqrt{2} \frac{1 + \tan β}{\tan β - 1}} = \frac{a \sin β}{\sqrt{2} (1 + \tan β)}$

Do đó $E F = \frac{S E}{\cos \hat{S E F}} = \frac{S E}{\cos (135 ° - β)} = \frac{a \sin β}{(1 + \tan β) (- \cos β + \sin β)} = - \frac{a}{2} \tan 2 β$

Câu 10:

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60^o. Tính diện tích xung quanh S_xq của hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. $S_{x q} = \frac{π a^{2} \sqrt{3}}{3}$

B. $S_{x q} = \frac{π a^{2} \sqrt{10}}{8}$

C. $S_{x q} = \frac{π a^{2} \sqrt{7}}{4}$

D. $S_{x q} = \frac{π a^{2} \sqrt{7}}{6}$

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60o. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (ảnh 1)

Gọi O là tâm của tam giác ABC, khi đó $S O ⊥ (A B C)$

Hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường sinh là SA, bán kính đường tròn đáy là OA.

Gọi H là trung điểm của BC thì

Tam giác ABC đều và O là tâm của tam giác đều nên

$O H = \frac{1}{3} A H = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6} O A = \frac{2}{3} A H = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Tam giác SOH vuông tại O và có $\hat{S H O} = 60 °$ nên $S O = O H . \tan 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{6} . \sqrt{3} = \frac{a}{2}$

Tam giác SOA vuông tại O nên $S A = \sqrt{S O^{2} + O A^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{3 a^{2}}{9}} = \frac{a \sqrt{21}}{6}$

Diện tích xung quanh hình nón là $S_{x q} = π r l = π . O A . S A = π . \frac{a \sqrt{3}}{3} . \frac{a \sqrt{21}}{6} = \frac{π a^{2} \sqrt{7}}{6}$

Câu 11:

Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60^o, diện tích xung quanh bằng

6 π a^{2}

. Thể tích V của khối nón đã cho là

A. $V = \frac{3 π a^{3} \sqrt{2}}{4}$

B. $V = \frac{π a^{3} \sqrt{2}}{4}$

C. $V = 3 π a^{3}$

D. $V = π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 độ, diện tích xung quanh bằng 6 pi a^2. Thể tích V của khối nón đã cho là (ảnh 1)

Thể tích $V = \frac{1}{3} π R^{2} h = \frac{1}{3} π . O A^{2} . S O$

Ta có

$\hat{A S B} = 60 ° \Rightarrow \hat{A S O} = 30 ° \Rightarrow \tan 30 ° = \frac{O A}{S O} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow S O = O A \sqrt{3}$

Lại có

$S_{x q} = π R l = π . O A . S A = π O A . \sqrt{O A^{2} + S O^{2}} = 6 π a^{2} \Rightarrow O A \sqrt{O A^{2} + 3 O A^{2}} = 6 a^{2} \Rightarrow 2 O A^{2} = 6 a^{2} \Rightarrow O A = a \sqrt{3} \Rightarrow S O = 3 a \Rightarrow V = \frac{1}{3} π .3 a^{2} .3 a = 3 π a^{3}$

Câu 12:

Cho tam giác ABC có

\hat{A B C} = 45 °, \hat{A C B} = 30 °, A B = \frac{\sqrt{2}}{2}

. Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta được khối tròn xoay có thể tích V bằng

A. $V = \frac{π \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{2}$

B. $V = \frac{π (1 + \sqrt{3})}{24}$

C. $V = \frac{π (1 + \sqrt{3})}{8}$

D. $V = \frac{π (1 + \sqrt{3})}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho tam giác ABC có góc ABC = 45 độ, góc ACB = 30 độ, AB = căn bậc hai 2/2. Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta được khối tròn xoay có thể tích V bằng (ảnh 1)

Ta có $\frac{A B}{\sin 30 °} = \frac{A C}{\sin 45 °} = \frac{B C}{\sin 105 °}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} A C = 1 \\ B C = \sqrt{2} \sin \frac{5 π}{12} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A.

Ta có $A H . B C = A B . A C . \sin 105 ° \Rightarrow A H = \frac{1}{2}$

Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là

$V = \frac{1}{3} π A H^{2} . B H + \frac{1}{3} π A H^{2} . C H = \frac{1}{3} π A H^{2} . B C = \frac{π (1 + \sqrt{3})}{24}$

Câu 13:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Hình nón (N) có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Thể tích V của khối nón (N) là

A. $V = \frac{π \sqrt{3} a^{3}}{27}$

B. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{27}$

C. $V = \frac{π \sqrt{6} a^{3}}{9}$

D. $V = \frac{π \sqrt{6} a^{3}}{27}$

Xem đáp án

Chọn D

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Hình nón (N) có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Thể tích V của khối nón (N) là (ảnh 1)

Gọi O là tâm của tam giác đều BCD.

Ta có $A O = h, O C = r$

$\Rightarrow r = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Suy ra $h = \sqrt{a^{2} - r^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{2} a}{\sqrt{3}}$

Vậy thể tích khối nón là

V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \frac{a^{2}}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{π \sqrt{6} a^{3}}{27}

Câu 14:

Cho hình nón (N) có góc ở đỉnh bằng 60^o. Mặt phẳng qua trục của (N) cắt (N) theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2. Thể tích khối nón (2) là

A. $V = 3 \sqrt{3} π$

B. $V = 4 \sqrt{3} π$

C. $V = 3 π$

D. $V = 6 π$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình nón (N) có góc ở đỉnh bằng 60 độ. Mặt phẳng qua trục của (N) cắt (N) theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2. (ảnh 1)

Tam giác SAB đều vì có SA = SB và $\hat{A S B} = 60 °$ . Tâm đường tròn ngoại tiếp của $Δ S A B$ là trọng tâm tam giác. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là $r = \frac{2}{3} S O = 2 \Leftrightarrow S O = 3$

Mà $S O = S A . \sin 60 ° \Rightarrow S A = \frac{S O}{\sin 60 °} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 \sqrt{3}$

Vậy bán kính đường tròn của khối nón là $R = \frac{A B}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Vậy thể tích khối nón là

V = \frac{1}{3} π {(\sqrt{3})}^{2} .3 = 3 π

Câu 15:

Cho hình tứ diện ABCD có

A D ⊥ (A B C)

, ABC là tam giác vuông tại B. Biết

B C = a, A B = a \sqrt{3}, A D = 3 a

. Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong hai tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được hai khối tròn xoay. Thể tích phần chung của hai khối tròn xoay đó bằng:

A. $\frac{3 \sqrt{3} π a^{3}}{16}$

B. $\frac{8 \sqrt{3} π a^{3}}{3}$

C. $\frac{5 \sqrt{3} π a^{3}}{16}$

D. $\frac{4 \sqrt{3} π a^{3}}{16}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình tứ diện ABCD có , ABC là tam giác vuông tại B. Biết BC = a, AB = a căn bậc hai 3, AD = 3a. Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong hai tam giác) (ảnh 1)

Khi quay tam giác ABD quanh AB ta được khối nón đỉnh B có đường cao BA, đáy là đường tròn bán kính AE = 3cm. Gọi $I = A C \cap B E, I H ⊥ A B$ , tại H.

Phần chung của 2 khối nón khi quay tam giác ABC và tam giác ABD quanh AB là 2 khối nón đỉnh A và đỉnh B có đáy là đường tròn bán kính IH.

Ta có $Δ I B C$ đồng dạng với $Δ I E A \Rightarrow \frac{I C}{I A} = \frac{B C}{A E} = \frac{1}{3} \Rightarrow I A = 3 I C$

Mặt khác $I H // BC \Rightarrow \frac{A H}{A B} = \frac{I H}{B C} = \frac{A I}{A C} = \frac{3}{4} \Rightarrow I H = \frac{3}{4} B C = \frac{3 a}{4}$

Gọi $V_{1}; V_{2}$ lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh A và B có đáy là hình tròn tâm H.

$V_{1} = \frac{1}{3} π I H^{2} . A H; V_{2} = \frac{1}{3} π I H^{2} . B H \Rightarrow V = V_{1} + V_{2} \Rightarrow V = \frac{π}{3} I H^{2} . A B \Rightarrow V = \frac{π}{3} . \frac{9 a^{2}}{16} . a \sqrt{3} \Rightarrow V = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{16} π$

Câu 16:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, (ảnh 1)

Hai hình nón có cùng chiều cao nên tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích mặt đáy. Vì tam giác ABC đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\frac{2}{3}$ đường cao của tam giác, bán kính đường tròn nội tiếp bằng $\frac{1}{3}$ đường cao của tam giác.

Suy ra

\frac{r}{R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{4}

Câu 17:

Cho một đồng hồ cát gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại, trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60^o như hình bên dưới. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là

1000 π (c m^{3})

. Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần dưới là bao nhiêu?

Cho một đồng hồ cát gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại, trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60o như hình bên dưới. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm (ảnh 1)

A. $\frac{1}{3 \sqrt{3}}$

B. $\frac{1}{8}$

C. $\frac{1}{27}$

D. $\frac{1}{64}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi bán kính của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là $x, y (x > y)$

Suy ra chiều cao của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là $x \sqrt{3}, y \sqrt{3}$

Theo giả thiết, ta có $\{\begin{cases} x \sqrt{3} + y \sqrt{3} = 30 \\ \frac{1}{3} π x^{2} . x \sqrt{3} + \frac{1}{3} π y^{2} . y \sqrt{3} = 1000 π \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 10 \sqrt{3} \\ x^{3} + y^{3} = 1000 \sqrt{3} \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{20 \sqrt{3}}{3}, y = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Do hai hình nón đồng dạng nên tỉ số cần tính bằng ${(\frac{y}{x})}^{3} = \frac{1}{8}$

Câu 18:

Trong tất cả các hình nón có độ dài đường sinh bằng l . Hình nón có thể tích lớn nhất bằng

A. $\frac{π l^{3} \sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{2 π l^{3} \sqrt{3}}{9}$

C. $\frac{π l^{3} \sqrt{3}}{27}$

D. $\frac{2 π l^{3} \sqrt{3}}{27}$

Xem đáp án

Chọn D

Gọi $h (0 < h < l)$ là chiều cao hình nón, suy ra bán kính .

Suy ra thể tích khối nón là

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π (l^{2} h - h^{3}) = \frac{1}{3} π f (h)$

Xét hàm $f (h) = l^{2} h - h^{3}$ trên $(0; l)$

$f^{'} (h) = l^{2} - 3 h^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} h = \frac{l}{\sqrt{3}} \\ h = - \frac{l}{\sqrt{3}} (khong thoa man) \end{array}$

Lập bảng biến thiên ta được

Trong tất cả các hình nón có độ dài đường sinh bằng l . Hình nón có thể tích lớn nhất bằng (ảnh 1)

Ta thấy $\max f (h) = f (\frac{l}{\sqrt{3}}) = \frac{2 l^{3}}{3 \sqrt{3}}$

Vậy

V_{\max} = \frac{2 π l^{3} \sqrt{3}}{27}

. Dấu “=” xảy ra

\Leftrightarrow h = \frac{l}{\sqrt{3}}

Câu 19:

Trong các hình nón cùng có diện tích toàn phần bằng S. Hình nón có thể tích lớn nhất khi ( r, l lần lượt là bán kính đáy và đường sinh của hình nón)

A. l = 3r

B. $l = 2 \sqrt{2} r$

C. l = r

D. l = 2r

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $S = π r l + π r^{2} \to l = \frac{S - π r^{2}}{π r}$

Thể tích

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π r^{2} \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \frac{1}{3} π r^{2} \sqrt{\frac{{(S - π r^{2})}^{2}}{π^{2} r^{2}} - r^{2}} = \frac{1}{3} \sqrt{S (S r^{2} - 2 π r^{4})}$

Lập bảng biến thiên cho hàm

f (r) = S r^{2} - 2 π r^{4}

trên

(0; + \infty)

, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại

r = \sqrt{\frac{S}{4 π}} \to l = 3 r

Câu 20:

Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O. Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác cân với cạnh đáy bằng a và có diện tích là a². Gọi A, B là hai điểm bất kỳ trên đường tròn (O) . Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất bằng

A. $\frac{a^{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3}}{6}$

C. $\frac{a^{3}}{12}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O. Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác cân với cạnh đáy bằng a và có diện tích là a2. (ảnh 1)

Tam giác cân SCD, có $S_{Δ S C D} = \frac{1}{2} C D . S O \Leftrightarrow a^{2} = \frac{1}{2} a . S O \to S O = 2 a$

Khối chóp S.OAB có chiều cao SO = 2a không đổi nên để thể tích lớn nhất khi và chỉ khi diện tích tam giác OAB lớn nhất.

Mà $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B . \sin \hat{A O B} = \frac{1}{2} r^{2} . \sin \hat{A O B}$ (với r là bán kính đường tròn mặt đáy hình nón). Do đó để $S_{Δ O A B}$ lớn nhất khi $\sin \hat{A O B} = 1$ . Khi đó $V_{\max} = \frac{a^{3}}{12}$

Câu 21:

Cho hình nón $(N_{1})$ có đỉnh S, chiều cao h. Một hình nón $(N_{2})$ có đỉnh là tâm của đáy $(N_{1})$ và có đáy là một thiết diện song song với đáy của $(N_{2})$ như hình vẽ.

Khối nón $(N_{2})$ có thể tích lớn nhất khi chiều cao x bằng

A. $\frac{h}{2}$

B. $\frac{h}{3}$

C. $\frac{2 h}{3}$

D. $\frac{h \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Xét mặt cắt qua trục hình nón và kí hiệu như hình vẽ. Với O, I lần lượt là tâm đáy của hình nón $(N_{1}), (N_{2})$ ; R, r lần lượt là các bán kính của hai đường tròn đáy của $(N_{1}), (N_{2})$

Ta có $\frac{S I}{S O} = \frac{r}{R} \Leftrightarrow \frac{h - x}{h} = \frac{r}{R} \to r = \frac{R (h - x)}{h}$

Thể tích khối nón $(N_{2})$ là

$V_{(N_{2})} = \frac{1}{3} π r^{2} x = \frac{1}{3} π \frac{R^{2} {(h - x)}^{2}}{h^{2}} x = \frac{π R^{2}}{3 h^{2}} . x {(h - x)}^{2}$

Xét hàm $f (x) = x {(h - x)}^{2} = x^{3} - 2 h x^{2} + h^{2} x$ trên (0;h). Ta có

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 h x + h^{2}; (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = h \\ x = \frac{h}{3} \end{array}$

Lập bảng biến thiên ta có

Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;h) tại $x = \frac{h}{3}$

Câu 22:

Xét các hình nón có đường sinh với độ dài đều bằng 10cm. Chiều cao của hình nón có thể tích lớn nhất là

A. $5 \sqrt{3}$ cm

B. $10 \sqrt{3}$ cm

C. $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ cm

D. $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ cm

Xem đáp án

Chọn D

Xét hình nón có chiều cao là x cm và bán kính đáy là y cm (x, y dương).

Ta có $x^{2} + y^{2} = 10^{2} \Rightarrow y^{2} = 100 - x^{2}$ , ta có điều kiện $x, y \in (0; 10)$

Thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π (100 - x^{2}) x$

Xét hàm số $f (x) = (100 - x^{2}) x = 100 x - x^{3}, x \in (0; 10)$

$f^{'} (x) = 100 - 3 x^{2}; (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Bảng biến thiên

Xét các hình nón có đường sinh với độ dài đều bằng 10cm. Chiều cao của hình nón có thể tích lớn nhất là (ảnh 1)

Ta thấy V lớn nhất khi lớn nhất tại cm.

Câu 23:

Giả sử đồ thị hàm số

y = (m^{2} + 1) x^{4} - 2 m x^{2} + m^{2} + 1

có 3 điểm cực trị là A, B, C mà

x_{A} < x_{B} < x_{C}

. Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của m để thể tích của khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. (4;6)

B. (2;4)

C. (-2;0)

D. (0;2)

Xem đáp án

Chọn B

Giả sử đồ thị hàm số y = (m^2+1)x^4 - 2mx^2 + m^2 + 1 có 3 điểm cực trị là A, B, C mà xA < xB < xC. Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. (ảnh 1)

$y^{'} = 4 (m^{2} + 1) x^{3} - 4 m x = 4 x [(m^{2} + 1) x^{2} - m] y^{'} = 0 \Leftrightarrow 4 x [(m^{2} + 1) x^{2} - m] = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{\frac{m}{m^{2} + 1}} (m > 0) \end{array}$

Với m > 0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (với $x_{A} < x_{B} < x_{C}$ ) là

A (- \sqrt{\frac{m}{m^{2} + 1}}; - \frac{m^{2}}{m^{2} + 1} + m^{2} + 1); B (0; m^{2} + 1) C (\sqrt{\frac{m}{m^{2} + 1}}; - \frac{m^{2}}{m^{2} + 1} + m^{2} + 1)

Quay $Δ A B C$ quanh AC thì được khối tròn xoay có thể tích là

$V = 2. \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{2}{3} π B I^{2} . I C = \frac{2}{3} π {(\frac{m^{2}}{m^{2} + 1})}^{2} . \sqrt{\frac{m}{m^{2} + 1}} = \frac{2}{3} π \sqrt{\frac{m^{9}}{{(m^{2} + 1)}^{5}}}$

Xét hàm $f (m) = \frac{m^{9}}{{(m^{2} + 1)}^{5}}$

Ta có $f^{'} (m) = \frac{m^{8} (9 - m^{2})}{{(m^{2} + 1)}^{6}}; (m) = 0 \Leftrightarrow m = 3 (m > 0)$

Ta có bảng biến thiên

Giả sử đồ thị hàm số y = (m^2+1)x^4 - 2mx^2 + m^2 + 1 có 3 điểm cực trị là A, B, C mà xA < xB < xC. Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. (ảnh 2)

Vậy thể tích cần tìm lớn nhất khi m = 3

Câu 24:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm, AC = 3 cm. Gọi M điểm di động trên cạnh BC sao cho MH vuông góc với AB tại H. Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên một hình nón, thể tích lớn nhất của hình nón được tạo thành là

A. $\frac{π}{3}$

B. $\frac{4 π}{3}$

C. $\frac{8 π}{3}$

D. $4 π$

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $A H = x (c m), 0 < x < 6$

Khi đó $B H = 6 - x (c m)$

Xét tam giác BHM vuông tại H.

Ta có $\tan \hat{H B M} = \frac{H M}{B H}$

$\Rightarrow H M = B H . \tan \hat{H B M} = (6 - x) . \tan \hat{H B M}$

Mà $\tan \hat{H B M} = \tan \hat{A B C} = \frac{A C}{A B} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Do đó $H M = (6 - x) . \frac{1}{2}$

Thể tích của khối nón tạo thành khi tam giác AHM quay quanh cạnh AH là $V = \frac{1}{3} A H . π . H M^{2} = \frac{π}{3} . x . \frac{1}{4} {(6 - x)}^{2} = \frac{π}{12} (x^{3} - 12 x^{2} + 36 x)$ (1).

Xét hàm số $f (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 36 x$ với 0 < x < 6, ta có

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 24 x + 36; (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 24 x + 36 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 6 \end{array}$

Bảng biến thiên của hàm số $f (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 36 x$ với 0 < x < 6

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm, AC = 3 cm. Gọi M điểm di động trên cạnh BC sao cho MH vuông góc với AB tại H. (ảnh 1)

Từ (1) và bảng biến thiên ta có thể tích lớn nhất của khối nón tạo thành là $V = \frac{π}{12} .32 = \frac{8 π}{3}$

Câu 25:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 1. Gọi (N) là một hình nón có tâm đường tròn đáy trùng với tâm của hình vuông ABCD, đồng thời các điểm A', B', C', D' nằm trên các đường sinh của hình nón như hình vẽ. Thể tích khối nón (N) có giá trị nhỏ nhất bằng

A. $\frac{2 π}{3}$

B. $\frac{3 π}{4}$

C. $\frac{9 π}{8}$

D. $\frac{9 π}{16}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 1. Gọi (N) là một hình nón có tâm đường tròn đáy trùng với tâm của hình vuông ABCD, đồng thời các điểm A', B', C', D' (ảnh 1)

Xét phần mặt cắt qua trục hình nón và đi qua mặt phẳng (AA'C'C), kí hiệu như hình vẽ. Với I, H lần lượt là tâm của hình vuông ABCD, A'B'C'D' và đỉnh A'nằm trên đường sinh EF của hình nón.

Hình lập phương có thể tích bằng 1 nên AA' $= H I = 1, A^{'} H = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Đặt EH = x (x > 0). Khi đó, ta có

$\frac{E H}{E I} = \frac{A^{'} H}{F I} \Leftrightarrow \frac{x}{x + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2 F I} \to F I = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{x + 1}{x}) = r$

Thể tích khối nón (N) là

$V_{(N)} = \frac{1}{3} π r^{2} E I = \frac{1}{6} π {(\frac{x + 1}{x})}^{2} (x + 1) = \frac{π}{6} \frac{{(x + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Xét hàm số $f (x) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x^{2}}$ trên $(0; + \infty)$ . Ta có $f^{'} (x) = \frac{(x - 2) {(x + 1)}^{2}}{x^{3}}$

Lập bảng biến thiên

Ta được $\min_{(0; + \infty)} f (x) = \frac{27}{4}$ tại x = 2. Suy ra $\min V_{(N)} = \frac{9 π}{8}$

Câu 26:

Một hình nón đỉnh S bán kính đáy

R = a \sqrt{3}

, góc ở đỉnh là

120 °

. Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác. Diện tích lớn nhất của tam giác đó bằng

A. $\sqrt{3} a^{2}$

B. $2 a^{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}$

D. $2 \sqrt{3} a^{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R = a căn bậc hai 3, góc ở đỉnh là 120 độ. Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác (ảnh 1)

Giả sử $Δ S A M$ là thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình nón.

Gọi $A M = x (0 < x \leq 2 a \sqrt{3})$

Gọi H là trung điểm của AM

$\Rightarrow O H ⊥ A M \Rightarrow A M ⊥ (S O H) \Rightarrow A M ⊥ S H$

Vì $\hat{A S B} = 120 ° \Rightarrow \hat{A S O} = 60 ° \Rightarrow \{\begin{cases} S A = \frac{A O}{\sin 60 °} = 2 a \\ S O = \frac{A O}{\tan 60 °} = a \end{cases}$

$O H = \sqrt{O A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - \frac{x^{2}}{4}} \Rightarrow S H = \sqrt{O H^{2} + S O^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - \frac{x^{2}}{4}} S_{Δ S A M} = \frac{1}{2} A M . S H = \frac{1}{2} x \sqrt{4 a^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Ta có $S^{'} = \frac{1}{2} [\sqrt{4 a^{2} - \frac{x^{2}}{4}} - \frac{x^{2}}{4 \sqrt{4 a^{2} - \frac{x^{2}}{4}}}] = \frac{16 a^{2} - 2 x^{2}}{8 \sqrt{4 a^{2} - \frac{x^{2}}{4}}} \Rightarrow S^{'} = 0 \Rightarrow x = 2 a \sqrt{2}$

Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R = a căn bậc hai 3, góc ở đỉnh là 120 độ. Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác (ảnh 2)

\Rightarrow S_{\max} = 2 a^{2}

Câu 27:

Cho mặt cầu (S) bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của khối nón (N) là

A. $\frac{32 π R^{3}}{81}$

B. $\frac{32 π R^{3}}{27}$

C. $\frac{32 π R^{3}}{27}$

D. $\frac{32 R^{3}}{27}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có thể tích khối nón đỉnh S lớn hơn hoặc bằng thể tích khối nón đỉnh S'. Do đó chỉ cần xét khối nón đỉnh S có bán kính đường tròn đáy là r và đường cao là SI = h với $h \geq R$ . Thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) là

$V = \frac{1}{3} h S_{(C)} = \frac{1}{3} h . π . r^{2} = \frac{1}{3} . h . π [R^{2} - {(h - R)}^{2}] = \frac{1}{3} π (- h^{3} + 2 h^{2} R)$

Xét hàm số $f (h) = - h^{3} + 2 h^{2} R$ với $h \in [R; 2 R)$

Ta có $f^{'} (h) = - 3 h^{2} + 4 h R$

$f^{'} (h) = 0 \Leftrightarrow - 3 h^{2} + 4 h R = 0 \Leftrightarrow h = 0$ (loại) hoặc $h = \frac{4 R}{3}$

Bảng biến thiên

Cho mặt cầu (S) bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của khối nón (N) là (ảnh 1)

Ta có $\max f (h) = \frac{32}{27} R^{3}$ tại $h = \frac{4 R}{3}$

Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất là $V = \frac{1}{3} π \frac{32}{27} R^{3} = \frac{32}{81} π R^{3}$ khi $h = \frac{4 R}{3}$

Câu 28:

Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?

Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. (ảnh 1)

A. $V = \frac{16000 \sqrt{2}}{3}$ lít

B. $V = \frac{16 \sqrt{2} π}{3}$ lít

C. $V = \frac{16000 \sqrt{2} π}{3}$ lít

D. $V = \frac{160 \sqrt{2} π}{3}$ lít

Xem đáp án

Chọn B

Đổi 60 cm = 6 dm.

Đường sinh của hình nón tạo thành là l = 6 dm.

Chu vi đường tròn ban đầu là $C = 2 π R = 12 π$

Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón tạo thành.

Chu vi đường tròn đáy của hình nón tạo thành là

$2 π r = \frac{2 π .6}{3} = 4 π$ (dm) $\Rightarrow r = \frac{4 π}{2 π} = 2$ (dm).

Đường cao của khối nón tạo thành là

$h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{6^{2} - 2^{2}} = 4 \sqrt{2}$

Thể tích của mỗi phễu là

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π 2^{2} .4 \sqrt{2} = \frac{16 \sqrt{2} π}{3} (d m^{3}) = \frac{16 \sqrt{2} π}{3} (l í t)$

Câu 29:

Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón có chiều cao 2dm (mô tả như hình vẽ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thứ hai để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng trong ly thứ nhất còn 1dm. Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển (độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng – lượng chất lỏng coi như không hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0,01dm).

A. $h \approx 1, 73$ dm

B. $h \approx 1, 89$ dm

C. $h \approx 1, 91$ dm

D. $h \approx 1, 41$ dm

Xem đáp án

Chọn C

Có chiều cao hình nón khi đựng đầy nước ở ly thứ nhất AH = 2

Chiều cao phần nước ở ly thứ nhất sau khi đổ sang ly thứ hai AD = 1

Chiều cao phần nước ở ly thứ hai sau khi đổ sang ly thứ hai AF = h

Theo Ta-lét ta có

$\frac{R^{'}}{R} = \frac{A D}{A H} = \frac{1}{2}, \frac{{R^{'}}^{'}}{R} = \frac{A F}{A H} = \frac{h}{2}$ suy ra $R^{'} = \frac{R}{2}, = \frac{R h}{2}$

Thể tích phần nước ban đầu ở ly thứ nhất $V = 2 π R^{2}$

Thể tích phần nước ở ly thứ hai $V_{1} = π {R^{'}}^{'}^{2} h = \frac{π R^{2} h^{3}}{4}$

Thể tích phần nước còn lại ở ly thứ nhất $V_{2} = \frac{π R^{2}}{4}$

Mà

V = V_{1} + V_{2} \Leftrightarrow \frac{π R^{2} h^{3}}{4} + \frac{π R^{2}}{4} = 2 π R^{2} \Leftrightarrow \frac{h^{3}}{4} + \frac{1}{4} = 2 \Leftrightarrow h = \sqrt[3]{7} = 1, 91

Câu 30:

Một bể nước lớn của khu công nghiệp có phần chứa nước là một khối nón đỉnh S phía dưới (hình vẽ), đường sinh SA = 27 mét. Có một lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát hiện nước trong bể không đạt yêu cầu về vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước để làm vệ sinh bể chứa. Công nhân cho thoát nước ba lần qua một lỗ ở đỉnh S. Lần thứ nhất khi mực nước tới điểm M thuộc SA thì dừng, lần thứ hai khi mực nước tới điểm N thuộc SA thì dừng, lần thứ ba mới thoát hết nước. Biết rằng lượng nước mỗi lần thoát bằng nhau. Tính độ dài đoạn MN.

A. $27 (\sqrt[3]{2} - 1)$ m

B. $9 \sqrt[3]{9} (\sqrt[3]{4} - 1)$ m

C. $9 \sqrt[3]{9} (\sqrt[3]{2} - 1)$ m

D. $9 \sqrt[3]{3} (\sqrt[3]{2} - 1)$ m

Xem đáp án

Chọn C

Một bể nước lớn của khu công nghiệp có phần chứa nước là một khối nón đỉnh S phía dưới (hình vẽ), đường sinh SA = 27 mét. Có một lần lúc bể chứa đầy nước (ảnh 1)

Ta gọi $V_{1}, V_{2}, V$ lần lượt là thể tích khối nón có đường sinh là SN, SM, SA.

Do $Δ S E M$ đồng dạng với $Δ S O A$ nên ta có $\frac{S M}{S A} = \frac{S E}{S O} = \frac{E M}{O A}$

Lại có $\frac{V_{2}}{V} = \frac{\frac{1}{3} π . E M^{2} . S E}{\frac{1}{3} π . O A^{2} . S A} \Leftrightarrow \frac{2}{3} = {(\frac{S A}{S M})}^{3} \Leftrightarrow \frac{2}{3} = {(\frac{S M}{27})}^{3} \Leftrightarrow S M = \sqrt[3]{13122}$

Tương tự $\frac{V_{1}}{V} = {(\frac{S N}{S A})}^{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = {(\frac{S N}{27})}^{3} \Leftrightarrow S N = \sqrt[3]{6561}$

Vậy

M N = S M - S N = \sqrt[3]{13122} - \sqrt[3]{6561}

Câu 31:

Cho hình nón (N) có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r. Kí hiệu S_xq là diện tích xung quanh của khối nón (N). Công thức nào sau đây là đúng?

A. $S_{x q} = π r h$

B. $S_{x q} = 2 π r l$

C. $S_{x q} = 2 π r^{2} h$

D. $S_{x q} = π r l$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 32:

Cho tứ diện đều ABCD. Khi quay tứ diện đó quanh trục AB có bao nhiêu hình nón khác nhau được tạo thành?

A. Một.

B. Hai.

C. Không có hình nón nào.

D. Ba.

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 33:

Cho hình nón có diện tích xung quanh là S_xq và bán kính r. Công thức nào sau đây dùng để tính đường sinh của hình nón đã cho.

A. $l = \frac{S_{x q}}{π r}$

B. $l = \frac{2 S_{x q}}{π r}$

C. $l = 2 π S_{x q} r$

D. $l = \frac{S_{x q}}{2 π r}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 34:

Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng R, chiều cao bằng h, độ dài đường sinh bằng l . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $l = \sqrt{R^{2} - h^{2}}$

B. $R = l^{2} + h^{2}$

C. $h = \sqrt{R^{2} - l^{2}}$

D. $l = \sqrt{R^{2} + h^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 35:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A'B'C'D'. Kết quả tính diện tích toàn phần

S_{t p}

của khối nón đó có dạng bằng

\frac{π a^{2}}{4} (\sqrt{b} + c)

với b và c là hai số nguyên dương và b > 1. Giá trị của bc là

A. bc = 5

B. bc = 8

C. bc = 15

D. bc = 7

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 36:

Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng

5 π a^{2}

và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho là

A. $a \sqrt{5}$

B. $3 a \sqrt{2}$

C. 3a

D. 5a

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 37:

Một tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{2} π a^{2}$

B. $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π a^{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{3} π a^{2}$

D. $\sqrt{3} π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 38:

Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền bằng

a \sqrt{2}

. Diện tích xung quanh

S_{x q}

của hình nón đó là

A. $S_{x q} = \frac{π a^{2} \sqrt{3}}{3}$

B. $S_{x q} = \frac{π a^{2} \sqrt{2}}{2}$

C. $S_{x q} = \frac{π a^{2} \sqrt{2}}{6}$

D. $S_{x q} = \frac{π a^{2} \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 39:

Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50 cm. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy bằng

A. $10 \sqrt{2}$ cm

B. $50 \sqrt{2}$ cm

C. 20 cm

D. 25 cm

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 40:

Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng 2a. Mặt phẳng (P) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho

A B = 2 \sqrt{3} a

. Khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến (P) bằng

A. $\frac{a}{\sqrt{5}}$

B. a

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{2 a}{\sqrt{5}}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 41:

Người ta đặt được vào trong một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là

A. $\sqrt{5} a$

B. 3a

C. $2 \sqrt{2} a$

D. $\frac{8 a}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 42:

Một cái phễu có dạng hình nón chiều cao của phễu là 30 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 15 cm (hình H1). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên (hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần với giá trị nào sau đây?

Một cái phễu có dạng hình nón chiều cao của phễu là 30 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 15 cm (hình H1). (ảnh 1)

A. 1,553 cm.

B. 1,306 cm.

C. 1,233 cm.

D. 15 cm.

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 43:

Cho một hình nón đỉnh S có chiều cao bằng 8 cm bán kính đáy bằng 6 cm. Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy được một hình nón (N) đỉnh S có đường sinh bằng 4 cm. Thể tích của khối nón (N) là

A. $V = \frac{768}{125} π c m^{3}$

B. $V = \frac{786}{125} π c m^{3}$

C. $V = \frac{2304}{125} π c m^{3}$

D. $V = \frac{2358}{125} π c m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 44:

Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng a và diện tích xung quanh

S_{x q} = 2 π a^{2}

. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD nội tiếp đáy của khối nón (N) và đỉnh S trùng với đỉnh của khối nón (N).

A. $V = \frac{2 \sqrt{5} a^{3}}{3}$

B. $V = \frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

C. $V = 2 \sqrt{3} a^{3}$

D. $V = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 45:

Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Biết rằng AB = BC = 10a, AC = 12a, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 45^o. Thể tích V của khối nón đã cho là

A. $V = 3 π a^{3}$

B. $V = 9 π a^{3}$

C. $V = 27 π a^{3}$

D. $V = 12 π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 46:

Cắt hình nón S bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng

a \sqrt{2}

. Thể tích khối nón bằng

A. $\frac{π a \sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{π a^{3} \sqrt{2}}{6}$

C. $\frac{π a^{2} \sqrt{2}}{12}$

D. $\frac{π a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 47:

Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60^o, diện tích xung quanh bằng

6 π a^{2}

. Thể tích V của khối nón đã cho là

A. $V = \frac{3 π a^{3} \sqrt{2}}{4}$

B. $V = \frac{π a^{3} \sqrt{2}}{4}$

C. $V = 3 π a^{3}$

D. $V = π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 48:

Cho hình nón (N) có góc ở đỉnh bằng 60^o. Mặt phẳng qua trục của (N) cắt (N) theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2. Tính thể tích khối nón (N)

A. $V = 3 \sqrt{3} π$

B. $V = 4 \sqrt{3} π$

C. $V = 3 π$

D. $V = 6 π$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 49:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Hình nón (N) có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Thể tích V của khối nón (N) là

A. $V = \frac{π \sqrt{3} a^{3}}{27}$

B. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{27}$

C. $V = \frac{π \sqrt{6} a^{3}}{9}$

D. $V = \frac{π \sqrt{6} a^{3}}{27}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 50:

Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi

V_{1}, V_{2}

lần lượt là thể tích của khối cầu nội tiếp ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính

\frac{V_{1}}{V_{2}}

A. 4

B. 2

C. 8

D. 16

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 51:

Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính R, phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một hình nón. Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là x. Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất.

A. $x = \frac{2 π R \sqrt{6}}{3}$

B. $x = \frac{2 π R \sqrt{2}}{3}$

C. $x = \frac{2 π R \sqrt{3}}{3}$

D. $x = \frac{π R \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 52:

Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu. Tìm chiều cao h của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước.

A. $h = \frac{3 R}{2}$

B. $h = \frac{5 R}{2}$

C. $h = \frac{5 R}{4}$

D. $\frac{4 R}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 53:

Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi, hình nón (H) bất kì nội tiếp mặt cầu (S). Thể tích khối nón (H) là V₁; và thể tích phần còn lại của khối cầu là V₂. Giá trị lớn nhất của

\frac{V_{1}}{V_{2}}

bằng

A. $\frac{81}{32}$

B. $\frac{76}{32}$

C. $\frac{32}{81}$

D. $\frac{8}{19}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 54:

Cho một tấm bìa có hình dạng tam giác vuông, biết b và c là độ dài hai cạnh góc vuông của tấm bìa. Trên tấm bìa đó ta chọn cạnh huyền làm trục rồi quay xung quanh tấm bìa đó (kể cả điểm trong) với trục tạo thành một khối tròn xoay. Thể tích V khối tròn xoay sinh ra bởi tấm bìa đó là

A. $V = \frac{b^{2} c^{2}}{3 \sqrt{b^{2} + c^{2}}}$