15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Phương trình bậc hai với hệ số thực có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Giả sử $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ và A, B là các điểm biểu diễn của $z_{1}, z_{2}$ . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. $(0; 1)$ .

B. $(0; - 1)$ .

C. $(1; 1)$ .

D. $(1; 0)$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2:

Cho số phức $z = a + b i$ với a, b là hai số thực khác 0. Một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận $\bar{z}$ làm nghiệm với mọi a, b là:

A. $z^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 a b i$ .

B. $z^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

C. $z^{2} - 2 a z + a^{2} + b^{2} = 0$ .

D. $z^{2} + 2 a z + a^{2} - b^{2} = 0$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3:

Cho $z = 2 + 3 i$ là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc 2 với hệ số thực nhận $z$ và $\bar{z}$ làm nghiệm.

A. $z^{2} - 4 z + 13 = 0$ .

B. $z^{2} + 4 z + 13 = 0$ .

C. $z^{2} - 4 z - 13 = 0$ .

D. $z^{2} + 4 z - 13 = 0$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết $z_{1} = w + 2 i$ và $z_{2} = 2 w - 3$ là 2 nghiệm phức của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ . Tính $|z_{1}| + |z_{2}|$ .

A. $T = 2 \sqrt{13}$ .

B. $T = \frac{2 \sqrt{97}}{3}$ .

C. $T = \frac{2 \sqrt{85}}{3}$ .

D. $T = 4 \sqrt{13}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Đặt $w = x + y i$

$z_{1} = x + y i + 2 i = x + (y + 2) i; z_{2} = 2 (x + y i) - 3 = (2 x - 3) + 2 y i$

$\Rightarrow \bar{z} = (2 x - 3) - 2 y i$ .

$z_{1} = \bar{z_{2}} = \{\begin{array}{l} x = 2 x - 3 \\ y + 2 = - 2 y \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - \frac{2}{3} \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} z_{1} = 3 + \frac{4}{3} i \\ z_{2} = 3 - \frac{4}{3} i \end{cases}$

$\Rightarrow T = |z_{1}| + |z_{2}| = \sqrt{3^{2} + {(\frac{4}{3})}^{2}} + \sqrt{3^{2} + {(- \frac{4}{3})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{97}}{3}$ .

Câu 5:

Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng $w + i$ và $2 w - 1$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ . Tính tổng $S = a + b$ .

A. $S = \frac{1}{3}$ .

B. $S = \frac{5}{9}$ .

C. $S = \frac{- 1}{3}$ .

D. $S = - \frac{5}{9}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng $2 w + i$ và $3 w - 5$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ . Tìm phần thực của số phức w.

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Kí hiệu $z_{1}, z_{2}, z_{3,} z_{4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $6 z^{4} + 19 z^{2} + 15 = 0$ . Tính tổng

T= $\frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}} + \frac{1}{z_{3}} + \frac{1}{z_{4}}$ .

A. $T = \frac{1}{\sqrt{2}} + i$ .

B. $T = 2 \sqrt{2}$ .

C. $T = 0$ .

D. $T = - 2 .$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình $6 z^{4} + 19 z^{2} + 15 = 0 \Leftrightarrow (2 z^{2} + 3) (3 z^{2} + 5) = 0 \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} 2 z^{2} & = & - 3 \\ 3 z^{2} & = & - 5 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z^{2} & = & - \frac{3}{2} \\ z^{2} & = & - \frac{5}{3} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z^{2} & = & \frac{3 i^{2}}{2} \\ z^{2} & = & \frac{5 i^{2}}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z & = & \pm \frac{i \sqrt{6}}{2} \\ z & = & \pm \frac{i \sqrt{15}}{3} \end{array}$

$\Rightarrow T = 0$ .

Câu 8:

Cho phương trình $4 z^{4} + m z^{2} + 4 = 0$ trong tập số phức và m là tham số thực. Gọi $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để $({z_{1}}^{2} + 4) ({z_{2}}^{2} + 4) ({z_{3}}^{2} + 4) ({z_{4}}^{2} + 4) = 324$ .

A. m=1 hoặc m=-35.

B. m=-1 hoặc m=-35.

C. m=-1 hoặc m=35.

D. m=1 hoặc m=35.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C.

Đặt $t = z^{2}$ , phương trình trở thành $4 t^{2} + m t + 4 = 0$ có hai nghiệm $t_{1}, t_{2}$

Ta có: $\{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = - \frac{m}{4} \\ t_{1} t_{2} = 1 \end{cases}$

Do vai trò của các nghiệm như nhau nên ta giả sử có:

${z_{1}}^{2} = {z_{2}}^{2} = t_{1}, {z_{3}}^{2} = {z_{4}}^{2} = t_{2}$

Yêu cầu bài toán

$\Leftrightarrow {(t_{1} + 4)}^{2} {(t_{2} + 4)}^{2} = 324 \Leftrightarrow {[t_{1} t_{2} + 4 (t_{1} + t_{2}) + 16]}^{2} = 324 \Leftrightarrow {(- m + 17)}^{2} = 18^{2} \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} - m + 17 & = & 18 \\ - m + 17 & = & - 18 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} m & = & - 1 \\ m & = & 35 \end{array}$

Câu 9:

Kí hiệu $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ là bốn nghiệm của phương trình $z^{4} - z^{2} - 12 = 0$ . Tính tổng T= $|z_{1}| + |z_{2}| + |z_{3}| + |z_{4}|$ .

A. $T = 4$ .

B. $T = 2 \sqrt{3}$ .

C. $T = 4 + 2 \sqrt{3}$ .

D. $T = 2 + 2 \sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C.

$z^{4} - z^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow (z^{2} - 4) (z^{2} + 3) = 0 \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z & = & \pm 2 \\ z & = & \pm \sqrt{3} \end{array} \Rightarrow T = 2 + 2 + \sqrt{3} + \sqrt{3} = 4 + 2 \sqrt{3}$

Câu 10:

Biết $x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (a, b, c, d \in R)$ nhận $z_{1} = - 1 + i$ và $z_{2} = 1 + \sqrt{2} i$ là nghiệm. Tính $a + b + c + d$ .

A. 10.

B. 9.

C. -7.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B.

Nhận xét: phương trình đã cho nhận $z_{1}, z_{2}$ làm nghiệm thì cũng nhận $\bar{z_{1}}, \bar{z_{2}}$ làm nghiệm.

Khi đó: $z_{1} = - 1 + i \Rightarrow \bar{z_{1}} = - 1 - i \Rightarrow m = z_{1} + \bar{z_{1}} = - 2, n = z_{1} \bar{z_{1}} = 2$

$z_{2} = 1 + \sqrt{2} i \Rightarrow \bar{z_{2}} = 1 - \sqrt{2} i \Rightarrow p = z_{2} + \bar{z_{2}} = 2, q = z_{2} \bar{z_{2}} = 3$

Vậy phương trình đã cho tương đương

$(x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 3) = 0 \Leftrightarrow x^{4} + x^{2} + 2 x + 6 = 0$

Do đó $a = 0, b = 0, c = 2, d = 6 \Rightarrow a + b + c + d = 0 + 1 + 2 + 6 = 9$

Câu 11:

Tổng $S = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + C_{2019}^{6} + . . . + C_{2019}^{2019}$ bằng:

A. $\frac{2^{2019} - 2}{3}$ .

B. $\frac{2^{2019} + 4}{3}$ .

C. $\frac{2^{2019} + 2}{3}$ .

D. $\frac{2^{2019} - 4}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Ta tìm các số phức z thỏa mãn $z^{3} = 1$ ta có:

$z^{3} = 1 \Leftrightarrow z^{3} - 1 = 0 \leftrightarrow (z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0 \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z & = & 1 \\ z^{2} + z + 1 & = & 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z_{1} & = & 1 \\ z_{2} & = & - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \\ z_{3} & = & - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \end{array}$

Xét kai triển

${(1 + x)}^{2019} = \sum_{k = 0}^{2019} C_{2019}^{k} x^{k} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} x + C_{2019}^{2} x^{2} + . . . + C_{2019}^{2019} x^{2019}$ (*)

Thay $z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ vào khai triển (*) ta được

${(1 - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} z_{2} + C_{2019}^{2} . {z_{2}}^{2} + . . . + C_{2019}^{2019} {z_{2}}^{2019} \Leftrightarrow {(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} z_{2} + C_{2019}^{2} {z_{2}}^{2} + C_{2019}^{3} + . . . + C_{2019}^{2019} \Leftrightarrow - 1 = (C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + C_{2019}^{6} + . . . + C_{2019}^{2019}) + z_{2} (C_{2019}^{1} + C_{2019}^{4} + . . . + C_{2019}^{2017}) + {z_{2}}^{2} (C_{2019}^{2} + C_{2019}^{5} + . . . + C_{2019}^{2018}) (1)$

Tương tự thay $z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ vào khai triển (*) ta được:

${(- 1 - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} z_{3} + C_{2019}^{2} . {z_{3}}^{2} + . . . + C_{2019}^{2019} {z_{3}}^{2019} \Leftrightarrow {(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} z_{3} + C_{2019}^{2} {z_{3}}^{2} + C_{2019}^{3} + . . . + C_{2019}^{2019} \Leftrightarrow - 1 = (C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + C_{2019}^{6} + . . . + C_{2019}^{2019}) + z_{3} (C_{2019}^{1} + C_{2019}^{4} + . . . + C_{2019}^{2017}) + {z_{3}}^{2} (C_{2019}^{2} + C_{2019}^{5} + . . . + C_{2019}^{2018}) (2)$

Thay $z = 1$ vào khai triển (*) ta được:

$2^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} + C_{2019}^{2} + . . . + C_{2019}^{2019} \Leftrightarrow 2^{2019} = (C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + C_{2019}^{6} + . . . + C_{2019}^{2019}) + (C_{2019}^{1} + C_{2019}^{4} + C_{2019}^{7} + . . . + C_{2019}^{2017}) + (C_{2019}^{2} + C_{2019}^{5} + C_{2019}^{8} + . . . + C_{2019}^{2018}) (3)$

Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta được:

$2^{2019} - 2 = 3 (C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + . . . + C_{2019}^{2019}) + (1 + z_{2} + z_{3}) (C_{2019}^{1} + C_{2019}^{4} + . . . + C_{2019}^{2018}) + (1 + {z_{2}}^{2} + {z_{3}}^{2}) (C_{2019}^{2} + C_{2019}^{5} + . . . + C_{2019}^{2017})$

Nhận thấy $1 + z_{2} + z_{3} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i = 0$ và $1 + {z_{2}}^{2} + {z_{3}}^{2} = 1 + {(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2} + {(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2} = 0$

Nên $2^{2019} - 2 = 3 S \Leftrightarrow S = \frac{2^{2019} - 2}{3}$ .

Câu 12:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số m để phương trình $z^{2} - 2 m z + 6 m - 5 = 0$ có hai nghiệm phức phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}|$ ?

A. 5.

B. 4.

C. 6.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Để phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt thì $∆' < 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6 m + 5 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 5$

Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức phân biệt thì hai số phức đó là hai số phức liên hợp nên luôn thỏa mãn điều kiện $|z_{1}| = |z_{2}|$

$\Rightarrow m \in (1; 5)$ . Mà $m \in Z \Rightarrow m \in \{2; 3; 4\}$ .Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 13:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $z^{2} + 2 m z + 3 m + 4 = 0$ có hai nghiệm không phải là số thực?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Để phương trình $z^{2} + 2 m z + 3 m + 4 = 0$ có hai nghiệm không phải là số thực thì $∆' < 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 3 m - 4 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 4$

Mà $m \in Z \Rightarrow m \in \{0; 1; 2; 3\}$

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 14:

Biết $i + 1$ là nghiệm của phương trình $z i + a z i + b z + a = 0 (a, b \in R)$ ẩn z trên tập số phức. Tìm $b^{2} - a^{3}$ .

A. 8.

B. 72.

C. -72.

D. 9.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 15:

Gọi $z_{1}; z_{2}$ là các nghiệm phức của phương trình $z^{2} + 4 z + 5 = 0$ . Đặt $w = {(1 + z_{1})}^{100} + {(1 + z_{2})}^{100}$ , khi dó

A. $w = 2^{50} i$ .

B. $w = - 2^{51}$ .

C. $w = 2^{51}$ .

D. $w = - 2^{50} i$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

$z^{2} + 4 z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(z + 2)}^{2} = - 1 \Leftrightarrow {(z + 2)}^{2} = i^{2} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} z_{1} = - 2 + i \\ z_{2} = - 2 - i \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} z_{1} + 1 = i - 1 \\ z_{2} + 1 = - i - 1 \end{cases}$

Khi đó ta được:

$\{\begin{array}{l} {(z_{1} + 1)}^{2} = {(i - 1)}^{2} = - 2 i \\ {(z_{2} + 1)}^{2} = {(- i - 1)}^{2} = 2 i \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} {(z_{1} + 1)}^{4} = - 4 \\ {(z_{2} + 1)}^{4} = - 4 \end{cases} \Rightarrow {(z_{1} + 1)}^{100} + {(z_{2} + 1)}^{100} = {(- 4)}^{25} + {(- 4)}^{25} = 2 . {(- 2^{2})}^{25} = - 2^{51}$