IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 12 Toán Trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian có đáp án

Trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian có đáp án

Trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian có đáp án

  • 39 lượt thi

  • 20 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

I. Nhận biết

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\).

Cho hình hộp chữ nhật  A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′ .    Vectơ nào sau đây cùng phương với  −−→ B C  ? (ảnh 1)

Vectơ nào sau đây cùng phương với \(\overrightarrow {BC} \) ?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Vectơ cùng phương với \(\overrightarrow {BC} \) là \(\overrightarrow {DA} .\)


Câu 2:

Cho hình chóp \(S.ABC\). Tổng của hai vectơ \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {AB} \) là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp  S . A B C . Tổng của hai vectơ  −→ S A  và  −−→ A B  là (ảnh 1)

Ta có: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {SB} \).


Câu 3:

Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Khi đó, góc giữa vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {AD} \) là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho khối lập phương  A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′ . Khi đó, góc giữa vectơ  −−→ A B  và vectơ  −−→ A D  là (ảnh 1)

Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD} = 90^\circ .\)


Câu 4:

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Khẳng định nào sau đây là sai?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hình lập phương  A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′ . Khẳng định nào sau đây là sai? (ảnh 1)

Ta có:

\(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương.

Do đó, \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {DAB} = 90^\circ ;\)

\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 45^\circ \);

\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 90^\circ ;\)

\(\left( {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {C'C} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = 180^\circ - \widehat {C'CB'} = 135^\circ .\)


Câu 5:

Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) là:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).\)


Câu 6:

II. Thông hiểu

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BB'\). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b \), \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c \). Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho hình lăng trụ  A B C . A ′ B ′ C ′ . Gọi  M  là trung điểm của cạnh  B B ′ . Đặt  −−→ C A = → a ,  −−→ C B = → b ,  −−→ A A ′ = → c . Khẳng định nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \frac{1}{2}\overrightarrow c .\)


Câu 7:

Cho tứ diện \(ABCD\). Lấy \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Phát biểu nào sau đây là sai?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \), suy ra đáp án A đúng.

\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {GA} \), suy ra đáp án B sai.

\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {CG} \Leftrightarrow \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CG} \Leftrightarrow \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = 3\overrightarrow {CG} .\)

Suy ra đáp án C đúng.

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} = 3\overrightarrow {AG} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {AG.} \)

Do đó, đáp án D đúng.

Vậy chọn B.


Câu 8:

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có:

\(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\)

Câu 9:

Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Do \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) nên \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ \).

Suy ra \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos 0^\circ = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\)


Câu 10:

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) thỏa mãn: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4\); \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\); \(\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 4\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \). Chọn khẳng định đúng ?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 4\) ⇒ \({\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = 16\) ⇔ \({\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = 16\)

⇔ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) = \(\frac{9}{2}\) ⇔ \(\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{9}{2}\) ⇔ \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{3}{8}.\)


Câu 11:

Cho hình lập phương \(ABCD.EFGH\) có cạnh bằng \(a\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} \) bằng:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho hình lập phương  A B C D . E F G H  có cạnh bằng  a . Ta có:  −−→ A B . −−→ E G  bằng: (ảnh 1)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {EF} .\overrightarrow {EG} = EF.EG.\cos \left( {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {EG} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos 45^\circ = {a^2}.\)


Câu 12:

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c .\) Gọi \(G'\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\). Vectơ \(\overrightarrow {AG'} \) bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho hình lăng trụ  A B C . A ′ B ′ C ′  đặt  −−→ A A ′ = → a , −−→ A B = → b , −−→ A C = → c .  Gọi  G ′  là trọng tâm của tam giác  A ′ B ′ C ′ . Vectơ  −−→ A G ′  bằng (ảnh 1)

Gọi

\(I\) là trung điểm \(B'C'\). Vì \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) \( \Rightarrow \overrightarrow {A'G'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} .\)

Mặt khác \(\overrightarrow {AG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} = \overrightarrow {AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\).


Câu 13:

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(2\sqrt 3 \). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} .\)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp đều  S . A B C D  có tất cả các cạnh bằng  2 √ 3 . Tính độ dài vectơ  → u = −→ S A − −−→ S C . (ảnh 1)

Ta có:

\(\overrightarrow u = \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {CS} = \overrightarrow {CA} \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\sqrt 6 .\)


Câu 14:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = 4\), \(\widehat {BAC} = 60^\circ \), \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 6\). Khi đó độ dài \(\overrightarrow {AC} \) là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 6\)

⇔ \(AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 6\)

⇔ \(4.AC.\cos 60^\circ = 6\)

⇔ \(AC = 3\).

Vậy độ dài của \(\overrightarrow {AC} \) là 3.


Câu 15:

Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Trong các mệnh đề dưới đây, có bao nhiêu mệnh đề sai?

a) \(\overrightarrow {B'B} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {B'D} .\)

b) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD} .\)

c) \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} } \right| = a\sqrt 2 .\)

d) \(\left| {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} } \right| = a.\)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Trong không gian, cho hình lập phương  A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′  có cạnh bằng  a . Trong các mệnh đề dưới đây, có bao nhiêu mệnh đề sai? (ảnh 1)

a) \(\overrightarrow {B'B} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {B'D} \) ⇒ a) đúng.

b) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'} \) ⇒ b) sai.

c) Ta có: \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD'} } \right| = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} + B{{B'}^2}} = a\sqrt 3 \) ⇒ c) sai.

d) Ta có: \(\left| {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'A} } \right| = \left| {\overrightarrow {C'C} } \right| = a\) ⇒ d) đúng.


Câu 16:

III. Vận dụng

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng \(m = 5\) kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA,SB,SC,SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 60^\circ \). Biết \(\overrightarrow P = m.\overrightarrow g \) trong đó \(\overrightarrow g \) là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn \(10\)m/s2, \(\overrightarrow P \) là trọng lượng của vật có đơn vị kg.

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng  m = 5  kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích  S A , S B , S C , S D  sao cho  S . A B C D  là hình chóp tứ giác đều có  ˆ A S C = 60 ∘ . Biết  → P = m . → g  trong đó  → g  là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn  10 m/s2,  → P  là trọng lượng của vật có đơn vị kg. (ảnh 1)

Khi đó:

a) \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} \) là 4 vectơ đồng phẳng.

b) \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\)

c) Độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P \) tác động lên chiếc đèn chùm bằng \(50N\).

d) Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng \(\frac{{25\sqrt 3 }}{2}N\).

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng  m = 5  kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích  S A , S B , S C , S D  sao cho  S . A B C D  là hình chóp tứ giác đều có  ˆ A S C = 60 ∘ . Biết  → P = m . → g  trong đó  → g  là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn  10 m/s2,  → P  là trọng lượng của vật có đơn vị kg. (ảnh 2)

a) Đúng.

b) Đúng. Do \(S.ABCD\) là chóp tứ giác đều nên \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\)

c) Đúng. Độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P \) tác động lên chiếc đèn chùm là: \(P = mg = 5.10 = 50N.\)

d) Sai. Ta có là hình chóp tứ giác đều ⇒ \(SA = SB = SC = SD\) và \(\widehat {ASC} = 60^\circ \) nên tam giác \(SAC\) đều.

Gọi \(O\) là trung điểm \(AC\).

Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với mọi lực hay \(4\overrightarrow {SO} = \overrightarrow P \) hay \(4SO = P\) ⇔ \(SO = 12,5\).

Xét tam giác đều \(SAC\) có \(SA = \frac{{\sqrt 3 }}{2}SO = \frac{{25\sqrt 3 }}{4}.\)

Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là \(\frac{{25\sqrt 3 }}{4}N\)


Câu 17:

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ \), \(\widehat {CAD} = 90^\circ \). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {IJ} \) ?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho tứ diện  A B C D  có  A B = A C = A D  và  ˆ B A C = ˆ B A D = 60 ∘ ,  ˆ C A D = 90 ∘ . Gọi  I  và  J  lần lượt là trung điểm của  A B  và  C D . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ  −−→ A B  và  −→ I J  ? (ảnh 1)

Ta có:

\(\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right)\).

Vì tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABC\) đều.

Suy ra \(CI \bot AB\).

Tương tự ta có tam giác \(ABD\) đều nên \(DI \bot AB\).

Xét: \(\overrightarrow {IJ} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right).\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {ID} .\overrightarrow {AB} \) \( = \overrightarrow 0 \).

Suy ra \(\left( {\overrightarrow {IJ} ,\overrightarrow {AB} } \right) = 90^\circ \).


Câu 18:

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right)\).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho tứ diện đều  A B C D  cạnh  a . Gọi  M  là trung điểm của  B C .  Tính  cos ( −−→ A B , −−→ D M ) . (ảnh 1)

Xét tứ diện

\(ABCD\) cạnh \(a\) ta có: \(\overrightarrow {DM} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \)

\( = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right) - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)\)

= \(a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}\).

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right)\) = \(\frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {DM} } \right|}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4}}}{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).


Câu 19:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}\). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp  S . A B C  có  S A = S B = S C  và  ˆ A S B = ˆ B S C = ˆ C S A . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ  −→ S A  và  −−→ B C  ? (ảnh 1)

Ta có: \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} \left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = SA.SC.\cos \widehat {ASC} - SA.SB.\cos \widehat {ASB}\) = 0.

⇒ \(\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 90^\circ .\)


Câu 20:

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E,F\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(AB,CD\) sao cho \(AE = \frac{1}{3}AB,CF = \frac{1}{3}CD\). Tìm giá trị \(k\) với \(k \in \mathbb{R}\) thỏa mãn đẳng thức:

\(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + k.\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}.\overrightarrow {AB} \).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho tứ diện  A B C D . Gọi  E , F  là các điểm lần lượt thuộc các cạnh  A B , C D  sao cho  A E = 1/3 A B , C F = 1/3 C D . Tìm giá trị  k  với  k ∈ R  thỏa mãn đẳng thức: (ảnh 1)

Ta có: \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DF} \)

= −\(\overrightarrow {AE} \) + \(\overrightarrow {AD} \) − \(\overrightarrow {FD} \)

= \(\overrightarrow {AD} \)− \(\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \) − \(\frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \). (1)

Vậy \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \).

Ta có: \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CF} \)

= \(\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \).

Vậy \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \). (2)

\(3\overrightarrow {EF} = \left( {\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right) + 2\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} } \right)\)

= \(\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \) + \(\frac{4}{3}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {CB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {AD} \) + \(\left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\) + \(\left( { - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right)\) + \(2\overrightarrow {CB} \)

= \(\overrightarrow {AD} \) + \(2\overrightarrow {CB} \) + \(\overrightarrow {AB} \)

⇒ \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

Vậy \(k = \frac{2}{3}.\)


Bắt đầu thi ngay