20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 80 câu trắc nghiệm Khối đa diện nâng cao (P1)

Câu 1:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A, $\hat{B A C} = 120^{o}$ và BC =AA' = a $\sqrt{3}$ . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. $V = \frac{9 a^{3}}{4}$

B. $V = \frac{3 \sqrt{3} a^{3}}{6}$

C. $V = \frac{3 \sqrt{3} a^{3}}{2}$

D. $V = \frac{3 a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 2:

Cho khối lăng trụ tam giác đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AC = AB = 2a, góc giữa AC' và mặt phẳng (ABC) bằng 30⁰. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. $\frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{3}$

C. $\frac{a^{3}}{\sqrt{3}}$

D. $\frac{4 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

AC là hình chiếu của AC' trên (ABC) nên góc giữa AC' và (ABC) là

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a, tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 45⁰.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là trung điểm AC. Ta có tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)

suy ra $S H ⊥ (A B C)$

Ta có

$(S B, (A B C)) = \hat{S B H} = 45^{o} \Rightarrow S H = B H = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{2}}{2} V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{1}{2} a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a \sqrt{3}$ . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC=4a. Tìm thể tích khối chóp S.ABCD.

A. 3a³ $\sqrt{13}$

B. 3a³ $\sqrt{10}$

C. a³ $\sqrt{13}$

D. a³ $\sqrt{10}$

Xem đáp án

Đáp án D

Xét $∆ A B C$ vuông tại B, có: $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{6} a$

Xét $∆ S A C$ , vuông tại A, có: $S A = \sqrt{S C^{2} - A C^{2}} = \sqrt{10} a$

Thể tích của hình chóp SABCD là: $V_{S A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} . 3 a^{2} . \sqrt{10} a = \sqrt{10} a^{3}$

Câu 5:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB=3a, BC=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy; SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60⁰. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. V = $\sqrt{60}$ a³

B. V = 3 $\sqrt{20}$ a³

C. V = $\sqrt{30}$ a³

D. V = 3a³.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

$S A = A C . \tan (45^{o}) = a \sqrt{10} \sqrt{3} = a \sqrt{30} \Rightarrow V = \frac{3 a^{2} . a \sqrt{30}}{3} = a^{3} \sqrt{30}$

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SO tạo với mặt phẳng đáy một góc 45⁰. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

D. $a^{3} \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có tam giác SAO vuông cân tạiA.
Suy ra: $S A = O A = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Vậy : $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S O . S_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

Câu 7:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông tại A. Hình chiếu của A' lên (ABC) là trung điểm của BC. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết AB=a, AC = $a \sqrt{3}$ , AA'=2a.

A. $\frac{3 a^{3}}{2}$

B. $a^{3} \sqrt{3}$

C. $3 a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{39}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi H là trung điểm của BC.

Ta có: $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = 2 a, A H = \frac{B C}{2} = a$

tam giác AA'H có $A' H = \sqrt{A A'^{2} - A H^{2}} = a \sqrt{3}$

Vậy thể tích lăng trụ là $V = A' H . S_{A B C} = a \sqrt{3} . \frac{1}{2} . a^{2} \sqrt{3} = \frac{3 a^{3}}{2}$

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a. Gọi M là điểm nằm trên cạnh CD. Tính thể tích khối chóp S.ABM.

A. $\frac{a^{3}}{2}$

B. $a^{3}$

C. $\frac{a^{3}}{6}$

D. $\frac{3 a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Kẻ $M H ⊥ A B (H \in A B)$

Ta có :

$S_{A B M} = \frac{1}{2} A B . M H = \frac{a^{2}}{2} V_{S . A B M} = \frac{1}{3} S A . S_{A B M} = \frac{a^{3}}{6}$

Câu 9:

Tính thể tích V của khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=3a, BC=5a, SA = 2a $\sqrt{3}$ , $\hat{S A C} = 30^{o}$ và mặt phẳng (SAC) vuông góc mặt đáy.

A. $V = 3 a^{3} \sqrt{2}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $V = a^{3} \sqrt{3}$

D. $V = 2 a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Trong tam giác SAC, kẻ SH vuông góc AC tại H. Lúc đó $S H = S A \sin \hat{S A C} = a \sqrt{3}$

Vì $(S A C) \cap (A B C) = B C, S H \subset (S A C), S H ⊥ B C$ nên . $S H ⊥ (A B C)$
Trong tam giác ABC ta có AC=4a và $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = 6 a^{2}$

Vậy $V_{S A B C} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C} = 2 a^{3} \sqrt{3}$ .

Câu 10:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB, N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN=2ND. Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN.

A. $V = \frac{1}{12} a^{3}$

B. $V = \frac{1}{6} a^{3}$

C. $V = \frac{1}{8} a^{3}$

D. $V = \frac{1}{36} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $V_{S A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} . a^{2} . a = \frac{a^{3}}{3}$

$\frac{V_{S A M N}}{V_{S A B D}} = \frac{S N}{S D} . \frac{S M}{S B} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

Mà $V_{S A B D} = \frac{1}{2} V_{S A B C D} = \frac{1}{2} . \frac{a^{3}}{3} = \frac{a^{3}}{6}$

$\Rightarrow V_{S A M N} = \frac{a^{3}}{18}$

Ta lại có: $V_{N A D C} = \frac{1}{3} . S_{A D C} . d (N; (A D C)) = \frac{1}{3} S_{A D C} . \frac{1}{3} d (S; (A D C)) = \frac{1}{3} V_{S A B D} = \frac{1}{6} V_{S A B C D} = \frac{a^{3}}{18}$

$V_{M A B C} = \frac{1}{3} . S_{A B C} . d (M; (A B C)) = \frac{1}{3} S_{A B C} . \frac{1}{2} d (S; (A B C)) = \frac{1}{2} V_{S A B C} = \frac{1}{4} V_{S A B C D} = \frac{a^{3}}{12}$

Câu 11:

Cho khối chóp S. ABC có $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 60^{o}$ , SA=a, SB=2a, SC=4a. Tính thể tích khối chóp S. ABC theo a.

A. $\frac{8 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{4 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Lấy $M \in S B, N \in S C$ thỏa mãn SM=SN=SA=a $\Rightarrow \{\begin{cases} \frac{S M}{S B} = \frac{1}{2} \\ \frac{S N}{S C} = \frac{1}{4} \end{cases}$

Theo giả thiết: $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 60^{o}$ $\Rightarrow S . A M N$ là khối tứ diện đều cạnh a.

Do đó: $V_{S . A M N} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Mặt khác:

$\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \Rightarrow V_{S . A B C} = 8 V_{S . A M N} = \frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Câu 12:

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng $60^{o}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

A. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{8}$

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12}$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{6}$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC), suy ra $S D ⊥ (A B C)$ .

Ta có $S D ⊥ A B$ và $S B ⊥ A B (g t)$ , suy ra $A B ⊥ (S B D) \Rightarrow B A ⊥ B D$ .

Tương tự có $A C ⊥ D C$ hay tam giác ACD vuông ở C.

Dễ thấy $∆ S B A = ∆ S C A$ (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB=SC. Từ đó ta chứng minh được $∆ S B D = ∆ S C D$ nên cũng có DB=DC.

Vậy DA là đường trung trực của BC, nên cũng là đường phân giác của góc $\hat{B A C}$ .

Ta có $\hat{D A C} = 30^{o}$ , suy ra $D C = \frac{a}{\sqrt{3}}$ . Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) là $\hat{S B D} = 60^{o}$ suy ra $\tan \hat{S B D} = \frac{S D}{B D} \Rightarrow S D = B D \tan \hat{S B D} = \frac{a}{\sqrt{3}} . \sqrt{3} = a$
Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{∆ A B C} . S D = \frac{1}{3} \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Câu 13:

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A góc $\hat{A B C} = 30^{o}$ ; tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng (ABC). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là:

A. $\frac{a \sqrt{6}}{5}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{6}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có tam giác ABC vuông tại A góc $\hat{A B C} = 30^{o}$ và BC = a, suy ra AC = $\frac{a}{2}$ , AB = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Lại có $\{\begin{array}{l} (S A B) ⊥ (A B C) \\ C A ⊥ A B \end{array} \Rightarrow A C ⊥ (S A B)$ , suy ra tam giác SAC vuông tại A.

Suy ra $S A = \sqrt{S C^{2} - A C^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác SAB có $S A = \frac{a \sqrt{3}}{2}, A B = \frac{a \sqrt{3}}{2}, S B = a$ . Từ đó sử dụng công thức Hê-rông ta tính được $S_{S A B} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} \Rightarrow S H = \frac{2 S_{S A B}}{A B} = \frac{a \sqrt{6}}{3} \Rightarrow B H = \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{2 A B}{3}$ .

Suy ra d(H,(SBC)) $= \frac{2}{3} d (A, (S B C)) .$ Từ H kẻ $H K ⊥ B C$ .

Kẻ $H E ⊥ S K \Rightarrow H E ⊥ (S B C)$

Ta dễ tính được $H K = \frac{a \sqrt{3}}{6} \Rightarrow d (H, (S B C)) = \frac{a \sqrt{6}}{9} .$

Vậy $d (A, (S B C)) = \frac{3}{2} d (H, (S B C)) = \frac{3}{2} . \frac{a \sqrt{6}}{9} = \frac{a \sqrt{6}}{6}$ .

Câu 14:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a $\sqrt{3}$ . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30 độ. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.

A. $V = \frac{2 \sqrt{6} a^{3}}{3}$

B. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$

C. $V = \sqrt{3} a^{3}$

D. $V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

=> SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB).

.

Xét tam giác SBC vuông tại B có

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

Câu 15:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có thể tích bằng 2. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh SB và SD sao cho $\frac{S M}{S B} = \frac{S N}{S D} = k$ . Tìm giá trị của k để thể tích khối chóp S.AMN bằng $\frac{1}{8}$

A.k = $\frac{1}{8}$

B.k = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C.k = $\frac{\sqrt{2}}{4}$

D.k = $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 16:

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE = 3EB. Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V.

A. $\frac{V}{4}$

B. $\frac{V}{3}$

C. $\frac{V}{2}$

D. $\frac{V}{5}$

Xem đáp án

Chọn A

$\frac{V_{B . E C D}}{V_{A . B C D}} = \frac{B E}{B A} . \frac{B C}{B C} . \frac{B D}{B D} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{B . E C D} = \frac{1}{4} V$

Câu 17:

Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi G₁, G₂, G₃, G₄ lần lượt là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện ABCD. Tính thể tích V của khối tứ diện G₁G₂G₃G₄.

A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{18}$

C. $\frac{9 \sqrt{2}}{32}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{12}$

Xem đáp án

Chọn D

Tứ diện đều ABCD $\Rightarrow A G_{1} ⊥ (B C D)$

Ta có ngay

Cạnh $C G_{1} = \frac{B C}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \Rightarrow G_{1} A = \sqrt{A C^{2} - G_{1} C^{2}} = \sqrt{6} \Rightarrow d (G_{1}; (G_{2} G_{3} G_{4})) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Lại có $\frac{G_{2} G_{3}}{M N} = \frac{A G_{2}}{A M} = \frac{2}{3} \Rightarrow G_{2} G_{3} = \frac{2}{3} M N = \frac{1}{3} B D = 1$

Tương tự G₃G₄=1, G₄G₂=1 $\Rightarrow ∆ G_{2} G_{3} G_{4}$ là tam giác đều có cạnh bằng 1

Câu 18:

Cho hình chóp đều S. ABCD có AC = 2a, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45⁰. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $V = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $V = a^{3} \sqrt{2}$

D. $V = \frac{a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra $O M ⊥ B C$ .

Ta có $\hat{(S B C); (A B C D)} = \hat{S M O} = 45^{o}$ .

Ta có

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 4 a^{2} \Rightarrow A B = B C = a \sqrt{2} . O M = \frac{1}{2} A B = \frac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow S O = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \tan 45^{o} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2} . {(a \sqrt{2})}^{2} = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{3}$ .

Câu 19:

Cho khối lăng trụ đứng, mặt phẳng (P) đi qua C' và các trung điểm của AA', BB' chia khối lăng trụ ABC. A'B'C' thành hai khối đa diện có tỷ số thể tích bằng k với k ≤ 1. Tìm k.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. 1

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AA', BB', CC' và h là độ dài chiều cao của khối lăng trụ ABC. A'B'C'. Khi đó ta có:

Câu 20:

Cho khối chóp S. ABC có góc $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 60^{o}$ và SA=2, SB=3, SC=4. Thể tích khối chóp S. ABC.

A. $2 \sqrt{2}$

B. $2 \sqrt{3}$

C. $4 \sqrt{3}$

D. $3 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Trên SB, SC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho SM =SN= 2,

Khi đó SAMN là tứ diện đều nên $V_{S A M N} = \frac{2^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Ta lại có: $\frac{S M}{S B} = \frac{2}{3}, \frac{S N}{S C} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Khi đó, ta có tỉ số thể tích: $\frac{V_{S A M N}}{V_{S A B C}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S C} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow V_{S A B C} = 3 V_{S A M N} = 3 . \frac{2 \sqrt{2}}{3} = 2 \sqrt{2}$