14 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Cực trị của hàm số có đáp án (P2) (Thông hiểu)

Câu 1:

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x + 4$ thuộc đường thẳng nào dưới đây

A. $y = x - 1$

B. $y = x - 7$

C. $y = x + 7$

D. $y = x + 1$

Xem đáp án

Đáp án D

TXD: $D = ℝ$

$y' = 3 x^{2} - 3 y' = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array} y'' = 6 x$

$y'' (1) = 6 > 0$ , do đó điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $A (1; 2)$

$y'' (- 1) = - 6 < 0$ , do đó điểm cực đại của đồ thị hàm số là $B (- 1; 6)$

Trong các đường thẳng có phương trình ở các phương án, nhận thấy tọa độ điểm $A (1; 2)$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $d : y = x + 1$ . Do đó ta chọn D

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có đạo hàm là $f^{'} (x) = x^{2} (x^{2} - 4) (x^{2} - 3 x + 2) (x - 3)$ . Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

$f^{'} (x) = x^{2} (x^{2} - 4) (x^{2} - 3 x + 2) (x - 3) = x^{2} {(x - 2)}^{2} (x + 2) (x - 1) (x - 3)$

Ta có: $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \\ x = - 2 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{array}$

Ta có bảng xét dấu f'(x) như sau :

Theo bảng xét dấu trên ta suy ra hàm số có một điểm cực đại là x = 1

Câu 3:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có đạo hàm $f' (x) = x^{2} (x^{2} - 4) (x^{2} + 3 x + 2) (x + 3)$ . Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \\ x = 2 \\ x = - 1 \\ x = - 3 \end{array}$

Trong đó $x = - 1; x = - 3; x = 2$ là nghiệm đơn, $x = - 2; x = 0$ là nghiệm kép.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có hai điểm cực tiểu.

Câu 4:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f' (x) = x (x - 1) {(x + 4)}^{3}, \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Đáp án A

$f' (x) = 0 \begin{array}{l} \Leftrightarrow x (x - 1) {(x + 4)}^{3} = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 4 \end{array} \end{array}$

Ta có bảng xét dấu của f'(x)

Dựa vào bảng xét dấu của f'(x) suy ra hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu.

Câu 5:

Cho hàm số f(x) có $f^{'} (x) = x^{2} (x - 1) {(x + 2)}^{5}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Xét phương trình $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \end{matrix}$

Ta có bảng xét dấu sau:

Dễ thấy f'(x) đổi dấu khi qua x = -2 và f'(x) đổi dấu khi qua x = 1 nên hàm số có 2 điểm cực trị.

Câu 6:

Cho hàm số $y = x^{4} - x^{2} + 1$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu

B. Hàm số có 1 điểm cực trị

C. Hàm số có 2 điểm cực trị

D. Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

Xem đáp án

Đáp án A

Tập xác định: $D = ℝ$

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} - 2 x; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

Giới hạn $\lim_{x \to \pm \infty} y = + \infty$

Vậy hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại

Câu 7:

Biết đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ có hai điểm cực trị. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó

A. $2 \sqrt{5}$

B. 20

C. $\sqrt{5}$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 x .$

$y' = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Suy ra $O (0; 0)$ và $A (2; - 4)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nên $O A = 2 \sqrt{5} .$

Câu 8:

Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f(x) có đồ thị đạo hàm y = f'(x) như hình vẽ dưới đây. Gọi m, n lần lượt là số điểm cực tiểu, cực đại của hàm số đã cho. Giá trị biểu thức 2m - n bằng

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{1}, (x_{1} < 0) \\ x = 0 \\ x = x_{2}, (x_{2} > 0) \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra số điểm cực tiểu của hàm số m = 2, số điểm cực đại của hàm số n = 1

Vậy m - n = 1

Câu 9:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x) là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị.

Câu 10:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như hình bên dưới. Phát biểu nào dưới đây là SAI?

A. Hàm số đạt cực đại tạ $x = \frac{1}{2}$

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng $\frac{1}{3}$

C. Hàm số có hai điểm cực trị

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Xem đáp án

Đáp án A

Từ bảng biến thiên ta thấy:

+) Hàm số có giá trị cực tiểu bằng $\frac{1}{3}$ tại x = 0 $\Rightarrow$ B, D đúng.

+) Hàm số có giá trị cực đại bằng $\frac{1}{2}$ tại x = 1 $\Rightarrow$ A sai.

+) Hàm số có hai điểm cực trị $\Rightarrow$ C đúng.

Vậy phát biểu A sai, chọn phương án A

Câu 11:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và có bảng xét dấu cuả f'(x) như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Bảng biến thiên của hàm số f(x)

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1

Câu 12:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Từ đồ thị của $f^{'} (x)$ ta có $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu của f'(x) ta có f'(x) đổi dấu hai lần qua các điểm $x = - 1; x = 2$ nên hàm số đã cho có 2 điểm cực trị

Câu 13:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = m x^{3} - (m^{2} + 1) x^{2} + 2 x - 3$ đạt cực tiểu tại điểm x = 1

A. $m = \frac{3}{2}$

B. m = 0

C. m = -2

D. Không có giá trị nào của m

Xem đáp án

Đáp án A

Tập xác định : $D = ℝ$

Ta có : $y^{'} = 3 m x^{2} - 2 (m^{2} + 1) x + 2$

${y^{'}}^{'} = 6 m x - 2 (m^{2} + 1)$

Điều kiện cần : hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1 \Rightarrow y^{'} (1) = 0$

$\Rightarrow 3 m - 2 (m^{2} + 1) + 2 = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = \frac{3}{2} \end{array}$

Điều kiện đủ :

+) Với m = 0 ta có $\{\begin{cases} y^{'} (1) = 0 \\ {y^{'}}^{'} (1) = - 2 < 0 \end{cases}$ $\Rightarrow$ hàm số đạt cực đại tại $x = 1 \Rightarrow m = 0$ không thỏa mãn.

+) Với $m = \frac{3}{2}$ ta có $\{\begin{cases} y^{'} (1) = 0 \\ {y^{'}}^{'} (1) = \frac{5}{2} > 0 \end{cases}$ $\Rightarrow$ hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1 \Rightarrow m = \frac{3}{2}$ thỏa mãn.

Vậy với $m = \frac{3}{2}$ thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1

Câu 14:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = 4 x^{3} + m x^{2} - 12 x + 5$ đạt cực tiểu tại điểm x = -2

A. Không tồn tại giá trị của m

B. $m = \frac{3}{4}$

C. m = 0

D. m = 9

Xem đáp án

Đáp án A

Tập xác định: $D = ℝ$

Hàm số đã cho có đạo hàm là: $y^{'} = 12 x^{2} + 2 m x - 12$

Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = - 2$

Điều kiện cần là: $y^{'} (- 2) = 0 \Leftrightarrow m = 9$

Kiểm tra điều kiện đủ:

Với $m = 9$ , ta có $y^{'} = 12 x^{2} + 18 x - 12, y^{''} = 24 x + 18$

Do $y^{''} (- 2) = - 30 < 0$ nên x = -2 là điểm cực đại của hàm số đã cho.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu.