15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Cực trị của hàm số có đáp án (P1) (Thông hiểu)

Câu 1:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 1

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$

D. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận

Xem đáp án

Đáp án B

Từ BBT ta thấy hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1); (- 1; 1)$ nên B sai vì trên khoảng $(- \infty; 1)$ thì hàm số gián đoạn tại x = - 1.

Hàm số nghịch biến trên $(1; + \infty)$ nên C đúng. Dễ thấy A đúng.

Lại có $\lim_{x \to - 1^{+}} x = - \infty$ nên x = - 1 là TCĐ của đồ thị hàm số.

Và $\lim_{x \to - \infty} y = 1; \lim_{x \to + \infty} y = - 1$ nên y = 1; y = - 1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận nên D đúng.

Câu 2:

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{2 - x}$ là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: $D = R \ \{2\}$

Dễ thấy $y' = \frac{1}{{(2 - x)}^{2}} > 0 \forall x \in D$

$\Rightarrow$ hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 2)$ và $(2; + \infty)$

$\Rightarrow$ hàm số không có cực trị.

Câu 3:

Hàm số $y = x^{4} + 2 x^{3} - 2017$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Có $y' = 4 x^{3} + 6 x^{2} = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} (2 x + 3) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - \frac{3}{2} \\ x = 0 \end{matrix}$

Do $x = - \frac{3}{2}$ là nghiệm bội lẻ nên nó là một cực trị của hàm số.

x = 0 là nghiệm bội chẵn nên x = 0 không là điểm cực trị của hàm số.

Vậy hàm số đã cho có 1 cực trị.

Câu 4:

Số điểm cực trị của hàm số $y = \frac{5 x - 1}{x + 2}$

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

TXĐ: $D = R \ \{- 2\}$

Ta có $y = \frac{5 x - 1}{x + 2}$

$\Rightarrow y' = \frac{11}{{(x + 2)}^{2}} > 0 \forall x \in D$

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng xác định và không có điểm cực trị nào

Câu 5:

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ là:

A. $y = - 2 x + 1$

B. $y = 2 x - 1$

C. $y = - 2 x - 1$

D. $y = 2 x + 1$

Xem đáp án

Đáp án A

$y' = 3 x^{2} - 6 x y' = 0 \Leftrightarrow 3 x (x - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 1 \\ x = 2 \Rightarrow y = - 3 \end{matrix}$

Từ đây suy ra hai điểm cực trị có tọa độ A (0; 1) và B (2; - 3)

Phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B là:

$\frac{x - 0}{2 - 0} = \frac{y - 1}{- 3 - 1} \Leftrightarrow - 4 x = 2 (y - 1) \Leftrightarrow y = - 2 x + 1$

Câu 6:

Gọi $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} - x + 4$ . Tính $P = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}}$

A. $\frac{17}{3}$

B. $- \frac{17}{3}$

C. $- \frac{34}{3}$

D. $\frac{34}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

TXĐ: D = R

Ta có: $y' = x^{2} - 8 x - 1$

Lấy y chia cho y’ ta có: $y = (\frac{1}{3} x - \frac{4}{3}) . y' - \frac{34}{3} x + \frac{8}{3}$

Ta có $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ là hai điểm cực trị

$y' (x_{1}) = y' (x_{2}) = 0 \Rightarrow \{\begin{matrix} y_{1} = - \frac{34}{3} x_{1} + \frac{8}{3} \\ y_{2} = - \frac{34}{3} x_{2} + \frac{8}{3} \end{matrix}$

Khi đó ta có:

$P = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = \frac{- \frac{34}{3} x_{1} + \frac{8}{3} + \frac{34}{3} x_{2} - \frac{8}{3}}{x_{1} - x_{2}} = \frac{- \frac{34}{3} (x_{1} - x_{2})}{x_{1} - x_{2}} = - \frac{34}{3}$

Câu 7:

Hàm số nào sau đây không có cực trị?

A. $y = x^{3}$

B. $y = x^{3} + 3 x^{2}$

C. $y = x^{4}$

D. $y = x^{4} + 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Đáp án A: $y' = 3 x^{2} \geq 0$ với mọi x nên hàm số đồng biến trên R. Do đó nó không có cực trị.

Vậy hàm số $y = x^{3}$ không có cực trị.

Đáp án B: $y' = 3 x^{2} + 6 x = 3 x (x + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \end{matrix}$

$y'' = 6 x + 6 \Rightarrow \{\begin{matrix} y'' (0) = 6 > 0 \\ y'' (- 2) = - 6 < 0 \end{matrix}$

Do đó x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số, x = - 2 là điểm cực đại của hàm số.

Đáp án C: $y' = 4 x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \{\begin{matrix} y' > 0, \forall x > 0 \\ y' < 0, \forall x < 0 \end{matrix} \Rightarrow x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án D: $y' = 4 x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \{\begin{matrix} y' > 0, \forall x > 0 \\ y' < 0, \forall x < 0 \end{matrix} \Rightarrow x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Câu 8:

Cho các hàm số

$(I) : y = x^{2} + 3; (I I) : y = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 5; (I I I) : y = x - \frac{1}{x + 2}; (I V) : y = {(2 x + 1)}^{7}$

Các hàm số không có cực trị là:

A. $(I), (I I), (I I I)$

B. $(I), (I V), (I I I)$

C. $(I), (I I), (I V)$

D. $(I V), (I I), (I I I)$

Xem đáp án

Đáp án D

Xét hàm số $y = x^{2} + 3$ . Ta có: $y' = 2 x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Khi đó $y'' (0) = 2 > 0 \Rightarrow y = x^{2} + 3$ có cực tiểu.

Do đó ta loại các đáp án A, B, C. Đáp án đúng là D

Câu 9:

Hàm số $f (x) = 2 \sin 2 x - 3$ đạt cực tiểu tại:

A. $x = \frac{π}{4} + k π$

B. $x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$

C. $x = \frac{π}{2} + k π$

D. $x = \frac{π}{4} + \frac{(2 k + 1) π}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $f (x) = 2 \sin 2 x - 3$

TXĐ: D = R

$f' (x) = 4 \cos 2 x; f' (x) = 0 \Leftrightarrow \cos 2 x = 0 \Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in Z f'' (x) = - 8 \sin 2 x$

Ta có: $f'' (\frac{π}{4} + \frac{k π}{2}) = - 8 \sin (\frac{π}{2} + k π), k \in Z$

Khi $k = 2 n \Rightarrow \sin (\frac{π}{2} + 2 n π) = \sin \frac{π}{2} = 1$ nên $f'' (\frac{π}{4} + \frac{2 n π}{2}) = - 8 < 0$

Khi $k = 2 n + 1 \Rightarrow \sin (\frac{π}{2} + (2 n + 1) π) = \sin \frac{3 π}{2} = - 1$ nên $f'' (\frac{π}{4} + \frac{(2 n + 1) π}{2}) = 8 > 0$

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{π}{4} + \frac{(2 k + 1) π}{2}$

Câu 10:

Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị?

A. $y = x^{4} + 2 x^{2}$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$

C. $y = 2 x^{4} + 4 x^{2} - 4$

D. $y = - x^{4} - 2 x^{2} - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Xét phương án B ta thấy: $y' = 4 x^{3} - 4 x = 4 x (x^{2} - 1) = 4 x (x + 1) (x - 1)$

Phương trình y' = 0 có ba nghiệm đơn phân biệt cho nên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ngoài ra, ta tính y’ và giải các phương trình y' = 0 ở từng đáp án ta thấy:

Đáp án A: $y' = 4 x^{3} + 4 x = 4 x (x^{2} + 1)$ chỉ có 1 nghiệm x = 0 nên loại.

Đáp án C: $y' = 8 x^{3} + 8 x = 8 x (x^{2} + 1)$ chỉ có 1 nghiệm x = 0 nên loại.

Đáp án D: $y' = - 4 x^{3} - 4 x = - 4 x (x^{2} + 1)$ chỉ có 1 nghiệm x = 0 nên loại.

Câu 11:

Hàm số $y = {(x^{3} - 3 x)}^{e}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 0

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện:

$x^{3} - 3 x > 0 \Leftrightarrow x (x^{2} - 3) > 0 \Leftrightarrow x (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) > 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} - \sqrt{3} < x < 0 \\ x > \sqrt{3} \end{matrix}$

Ta có: $y' = e (3 x^{2} - 3) {(x^{3} - 3 x)}^{e - 1}$

$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow (3 x^{2} - 3) {(x^{3} - 3 x)}^{e - 1} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \end{matrix}$

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu của hàm số ta thấy đạo hàm của hàm số chỉ đổi dấu qua 1 điểm $x = - 1 \Rightarrow$ hàm số có 1 điểm cực trị.

Câu 12:

Hàm số $y = - 2 x^{4} + 4 x^{2} + 5$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3

B. 1

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

$y = - 2 x^{4} + 4 x^{2} + 5 \Rightarrow y' = - 8 x^{3} + 8 x y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \end{matrix}$

$y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt

Vậy hàm số $y = - 2 x^{4} + 4 x^{2} + 5$ có 3 điểm cực trị

Câu 13:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f' (x) = (x - 1) (x^{2} - 2) (x^{4} - 4)$ . Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là:

A. 3

B. 2

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $f' (x) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 2) (x^{4} - 4) = 0 \Leftrightarrow (x - 1) {(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \end{matrix}$

Một điểm được gọi là cực trị của hàm số khi đạo hàm của hàm số đổi dấu qua điểm đó.

Ta nhận thấy đạo hàm của hàm số chỉ đổi dấu qua x = 1 và không đổi dấu qua $x = \pm \sqrt{2}$

Vậy hàm số có 1 điểm cực trị

Câu 14:

Số điểm cực trị của hàm số $y = {(x - 1)}^{2017}$ là:

A. 0

B. 2017

C. 1

D. 2016

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: D = R

$y = {(x - 1)}^{2017} \Rightarrow y' = 2017 {(x - 1)}^{2016} \geq 0, \forall x$

Do đó hàm số đồng biến trên R nên không có cực trị.

Câu 15:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f' (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} - 3 x + 2)$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $f' (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} - 3 x + 2)$

$\Rightarrow f' (x) = 0 \Leftrightarrow (x^{2} - 1) (x^{2} - 3 x + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 3 x + 2 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{matrix}$

Ta thấy x = 1 là nghiệm bội 2 của phương trình $f' (x) = 0 \Rightarrow x = 1$ không là cực trị của hàm số $y = f (x)$ .

Vậy hàm số $y = f (x)$ có hai điểm cực trị là x = - 1 và x = 2