15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Cực trị của hàm số có đáp án (P1) (Vận dụng)

Câu 1:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - a x + b}{x - 1}$ . Đặt $A = a - b, B = a + 2 b$ . Để đồ thị hàm số có điểm cực đại $C (0; - 1)$ thì tổng giá trị của A + 2B là:

A. 0

B. 6

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$y' = f' (x) = \frac{(2 x - a) (x - 1) - (x^{2} - a x + b)}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x + a - b}{{(x - 1)}^{2}}$

Vì C (0; -1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên:

$\{\begin{matrix} f' (0) = 0 \\ f (0) = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a - b = 0 \\ - b = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \end{matrix}$

Thay a = 1, b = 1 ào hàm số ta thấy điểm C (0; - 1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Vậy $a = b = 1 \Rightarrow A + 2 B = 6$

Câu 2:

Cho hàm số bậc hai y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số g (x) xác định theo f (x) có đạo hàm $g' (x) = f (x) + m$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số g (x) không có cực trị.

A. $m \leq 1$

B. $m \geq 1$

C. m > 1 hoặc m < 0D

D. m > 1

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi hàm số $y = f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$

Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ nhận điểm (0; - 1) làm đỉnh và đi qua điểm (1; 1) nên $a = 2, b = 0, c = - 1$ hay $f (x) = 2 x^{2} - 1$

Do đó $g' (x) = 2 x^{2} + m - 1$

Hàm số $y = g (x)$ không có cực trị $\Leftrightarrow g' (x) = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow m - 1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 1$

Vậy $m \geq 1$

Câu 3:

Cho hàm bậc bốn y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực đại của hàm số $f (\sqrt{x^{2} + 2 x + 2})$ là:

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Quan sát đồ thị hàm số $y = f' (x)$ ta thấy $f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{matrix}$

Đặt $g (x) = f (\sqrt{x^{2} + 2 x + 2})$

$\Rightarrow g' (x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} f' (\sqrt{x^{2} + 2 x + 2})$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x + 1 = 0 \\ f' (\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}) \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ \sqrt{x^{2} + 2 x + 2} = - 1 (v n) \\ \sqrt{x^{2} + 2 x + 2} = 1 (1) \\ \sqrt{x^{2} + 2 x + 2} = 3 (2) \end{matrix}$

$(1) \Leftrightarrow x^{2} + 2 x + 2 = 1 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1 (2) \Leftrightarrow x^{2} + 2 x + 2 = 9 \Leftrightarrow x = - 1 \pm 2 \sqrt{2}$

Nghiệm của phương trình (1) là nghiệm bội 2 nên không là cực trị của hàm số $y = g (x) = f (\sqrt{x^{2} + 2 x + 2})$

Lập BBT của hàm số y = g(x):

Dựa vào BBT ta thấy hàm số $y = g (x)$ đạt cực đại tại x = - 1

Câu 4:

Điểm thuộc đường thẳng $d : x - y - 1 = 0$ cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ là:

A. $(2; 1)$

B. $(0; - 1)$

C. $(1; 0)$

D. $(- 1; 2)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

$\Rightarrow y' = 3 x^{2} - 6 x; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y (0) = 2 \\ x = 2 \Rightarrow y (2) = - 2 \end{matrix}$

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A (0; 2), B (2; - 2)$

Gọi $M \in d \Rightarrow M (a; a - 1)$ khi đó

Mà M cách đều A, B

Suy ra $M A^{2} = M B^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2} + {(a - 3)}^{2} = {(a - 2)}^{2} + {(a + 1)}^{2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow M (1; 0)$

Câu 5:

Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ đến trục tung bằng:

A. 4

B. 2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 \Rightarrow y' = 3 x^{2} - 6 x;$

$y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y (0) = 2 \\ x = 2 \Rightarrow y (2) = - 2 \end{matrix}$

Suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là M (2; - 2)

Vậy $d (M; (O y)) = 2$

Câu 6:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên:

Trên đoạn $[- 3; 3]$ , hàm số đã cho có mấy điểm cực trị?

A. 4

B. 5

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, trên đoạn $[- 3; 3]$ , hàm số $y = f (x)$ có 3 điểm cực trị là $(- 1; 1); (1; - 3); (2; 3)$

Câu 7:

Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ (với $a, b, c, d \in R$ và $a \neq 0$ ) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số $g (x) = f (- 2 x^{2} + 4 x)$ là:

A. 2

B. 5

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Từ đồ thị ta thấy, hàm số f (x) đạt cực trị tại các điểm x = - 2 và x = 0 nên $f' (- 2) = 0, f' (0) = 0$

Ta có: $g' (x) = (- 4 x + 4) f' (- 2 x^{2} + 4 x)$

Cho $g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} - 4 x + 4 = 0 \\ f' (- 2 x^{2} + 4 x) = 0 \end{matrix} (*)$

Do $f' (- 2) = 0, f' (0) = 0$

$\Rightarrow f' (- 2 x^{2} + 4 x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} - 2 x^{2} + 4 x = 0 \\ - 2 x^{2} + 4 x = - 2 \end{matrix}$

Do đó:

$(*) \Leftrightarrow [\begin{matrix} - 4 x + 4 = 0 \\ - 2 x^{2} + 4 x = - 2 \\ - 2 x^{2} + 4 x = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = 1 \pm \sqrt{2} \\ x = 0 \\ x = 2 \end{matrix}$

Các nghiệm này đều là nghiệm đơn

Do đó g’(x) đổi dấu qua 5 điểm trên

Vậy hàm số y = g(x) có 5 điểm cực trị

Câu 8:

Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số $f (x^{2} - 2 x)$ là:

A. 4

B. 2

C. 5

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $g (x) = f (x^{2} - 2 x)$ ta có $g' (x) = (2 x - 2) f' (x^{2} - 2 x)$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ f' (x^{2} - 2 x) = 0 \end{matrix}$

Dựa vào BBT ta thấy $f' (x^{2} - 2 x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x^{2} - 2 x = 0 \\ x^{2} - 2 x = 3 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ x = - 1 \\ x = 3 \end{matrix}$

$\Rightarrow$ phương trình $g' (x) = 0$ có 5 nghiệm đơn x = 0, x = 2, x = 3, x = -1, x = 1

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.

Câu 9:

Số điểm cực trị của hàm số $y = |x^{2} - 3 x + 2|$ là:

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số $y = x^{2} - 3 x + 2$ ta có:

$y' = 2 x - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow$ hàm số $y = x^{2} - 3 x + 2$ có 1 cực trị.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{2} - 3 x + 2$ với trục hoành ta có:

$x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \end{matrix}$

$\Rightarrow$ đồ thị hàm số $y = x^{2} - 3 x + 2$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

$\Rightarrow$ số điểm cực trị của hàm số $y = |x^{2} - 3 x + 2|$ là: S = 1 + 2 = 3 cực trị.

Có thể theo đồ thị sau:

Câu 10:

Số điểm cực trị của hàm số $y = |(x - 1) {(x - 2)}^{2}|$ là:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Xét hàm số $y = (x - 1) {(x - 2)}^{2} = x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$

TXĐ: D = R

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 10 x + 8$

$y' = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 10 x + 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 2 \\ x = \frac{4}{3} \end{matrix}$

BBT:

Từ BBT của đồ thị hàm số $y = (x - 1) {(x - 2)}^{2}$ ta suy ra BBT của đồ thị hàm số $y = |(x - 1) {(x - 2)}^{2}|$ như sau:

Từ BBT ta thấy hàm số $y = |(x - 1) {(x - 2)}^{2}|$ có 3 điểm cực trị.

Câu 11:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R đồng thời hàm số $y = |f (x)|$ có đồ thị như hình vẽ bên, xác định số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = f (|x|)$

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Từ hình vẽ ta có đồ thị hàm số $y = f (x)$ là một trong hai đồ thị dưới đây:

Từ hai đồ thị trên ta dựng được đồ thị $y = f (|x|)$ là một trong hai đồ thị dưới đây:

Từ hai đồ thị ở trên ta thấy: Ở cả hai trường hợp thì hàm số $y = f (|x|)$ đều có 5 điểm cực trị.

Câu 12:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = |f (x) + m|$ có ba điểm cực trị

A. $m \geq 3$ hoặc $m \leq - 1$

B. $m \geq 1$ hoặc $m \leq - 3$

C. m = 3 hoặc = -1

D. $1 \leq m \leq 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Đồ thị hàm số $y = f (x) + m$ có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y = f (x)$ theo phương của trục Oy m đơn vị (lên trên hay xuống dưới phụ thuộc vào m dương hay âm), do đó nó đồ thị hàm số $y = f (x) + m$ có $y_{C D} = 1 + m; y_{C T} = - 3 + m$

Lấy đối xứng phần dưới của đồ thị hàm số $y = f (x) + m$ qua Ox ta được đồ thị hàm số $y = |f (x) + m|$

Để đồ thị hàm số $y = |f (x) + m|$ có ba điểm cực trị thì

$[\begin{matrix} y_{C T} = - 3 + m \geq 0 \\ y_{C D} = 1 + m \leq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m \geq 3 \\ m \leq - 1 \end{matrix}$

Câu 13:

Số điểm cực đại của hàm số $y = (x - 1) (x - 2) (x - 3) ... (x - 100)$ bằng:

A. 45

B. 49

C. 44

D. 100

Xem đáp án

Đáp án B

Xét phương trình $y = (x - 1) (x - 2) (x - 3) ... (x - 100)$ , phương trình có 100 nghiệm phân biệt.

Phương trình $y = f (x) = 0$ là phương trình bậc 100, có 100 nghiệm, do đó hàm số $y = f (x)$ có 99 điểm cực trị.

Lại có $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$ nên số điểm cực tiểu nhiều hơn số điểm cực đại là 1

Do đó hàm số có 50 điểm cực tiểu, 49 điểm cực đại.

Câu 14:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị $f' (x)$ như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số $g (x) = f (- x^{2} + x)$ là:

A. 2

B. 4

C. 5

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$g (x) = f (- x^{2} + x) \Rightarrow g' (x) = (- 2 x + 1) f' (- x^{2} + x) g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{1}{2} \\ f' (- x^{2} + x) = 0 \end{matrix}$

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f' (x)$ ta có $f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \end{matrix}$

$\Rightarrow f' (- x^{2} + x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} - x^{2} + x = 0 \\ - x^{2} + x = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \end{matrix}$

Suy ra phương trình $g' (x) = 0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt $x = \frac{1}{2}, x = 0, x = 1$

Chọn x = 2 ta có $g' (2) = - 3 f' (- 2) < 0$ , qua các nghiệm $x = \frac{1}{2}, x = 0, x = 1$ thì $g' (x)$ đổi dấu

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số $y = g (x)$ có hai điểm cực đại x = 0, x = 1

Câu 15:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số $y = f (x^{2} - 1)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5

B. 7

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $y = g (x) = f (x^{2} - 1)$

Ta có: $g' (x) = (x^{2} - 1)' f' (x^{2} - 1) = 2 x f' (x^{2} - 1)$

Cho $g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ f' (x^{2} - 1) = 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 1 = - 1 \\ x^{2} - 1 = 1 \\ x^{2} - 1 = 4 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \\ x = \pm \sqrt{5} \end{matrix}$

(tất cả các nghiệm trên đều là nghiệm bội lẻ)

Bảng xét dấu :

Vậy hàm số $y = f (x^{2} - 1)$ có tất cả 5 điểm cực trị.