10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Phép chia số phức có đáp án (Thông hiểu) - Phần 1

Câu 1:

Số phức nghịch đảo của z = 3 + 4i là:

A. $3 - 4 i$ .

B. $\frac{3}{25} - \frac{4}{25} i$ .

C. $\frac{3}{25} + \frac{4}{25} i$ .

D. $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ .

Xem đáp án

Lời giải:

Số phức nghịch đảo của số phức: $z = 3 + 4 i$ là:

$\frac{1}{3 + 4 i} = \frac{3 - 4 i}{3^{2} - {(4 i)}^{2}} = \frac{3 - 4 i}{9 + 16} =$ $\frac{3}{25} - \frac{4}{25} i$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2:

Kí hiệu a, b là phần thực và phần ảo của số phức $\frac{1}{\bar{z}}$ với $z = 5 - 3 i$ . Tính tổng $S = a + b$ .

A. S=2.

B. S= $\frac{1}{17}$ .

C. S=-2.

D. S= $- \frac{1}{17}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $z = 5 - 3 i$ , suy ra $\bar{z} = 5 + 3 i$

Do đó $\frac{1}{z} = \frac{1}{5 + 3 i} = \frac{5 - 3 i}{(5 + 3 i) (5 - 3 i)} = \frac{5 - 3 i}{25 - 9 i^{2}} = \frac{5 - 3 i}{34} = \frac{5}{34} - \frac{3}{34} i$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l} a = \frac{5}{34} \\ b = - \frac{3}{34} \end{array} \Rightarrow S = a + b = \frac{1}{17}$ .

Câu 3:

Cho số phức z thỏa mãn $\frac{1 - i}{z + 1} = 1 + i$ . Điểm M biểu diễn của số phức $w = z^{3} + 1$ trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ là:

A. M(2;-3).

B. M(2;3).

C. M(3;-2).

D. M(3;2)

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Ta có $\frac{1 - i}{z + 1} = 1 + i \Leftrightarrow z + 1 = \frac{1 - i}{1 + i} \Leftrightarrow z + 1 = - i \Rightarrow z = - 1 - i$

Suy ra $w = z^{3} + 1 = {(- 1 - i)}^{3} + 1 = - {(1 + i)}^{3} + 1 = 3 - 2 i$

$\Rightarrow M (3; - 2)$ .

Câu 4:

Cho số phức z thỏa mãn $\frac{3 - 4 i}{z} = \frac{(2 + 3 i) \bar{z}}{{|z|}^{2}} + 2 + i$ , giá trị của $|z|$ bằng:

A. $\sqrt{5}$ .

B. $\sqrt{10}$ .

C. 1.

D. $\sqrt{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B.

Ta có:

$\frac{3 - 4 i}{z} = \frac{(2 + 3 i) \bar{z}}{{|z|}^{2}} + 2 + i \Leftrightarrow \frac{3 - 4 i}{z} = \frac{(2 + 3 i) \bar{z}}{z . \bar{z}} + 2 + i \Leftrightarrow \frac{3 - 4 i}{z} = \frac{(2 + 3 i)}{z} + 2 + i \Leftrightarrow 3 - 4 i = 2 + 3 i + z (2 + i) \Leftrightarrow (2 + i) z = 1 - 7 i \Leftrightarrow z = \frac{1 - 7 i}{2 + i} = - 1 - 3 i$

Vậy $|z| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{10}$ .

Câu 5:

Cho số phức z. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $|z| = |\bar{z}|$ .

B. $z . \bar{z} = {|z|}^{2}$ .

C. $\frac{z - \bar{z}}{i}$ là số thuần ảo.

D. $z + \bar{z}$ là số thực.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C.

Đặt $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i$

Xét đáp án A: $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , $|\bar{z}| = \sqrt{a^{2} + {(- b)}^{2}} \Rightarrow |z| = |\bar{z}|$

Xét đáp án B:

$z . \bar{z} = (a + b i) (a - b i) = a^{2} - {(b i)}^{2} = a^{2} + b^{2} {|z|}^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow z . \bar{z} = {|z|}^{2}$

Xét đáp án C:

$\frac{z - \bar{z}}{i} = \frac{i (z - \bar{z})}{i^{2}} = - i . (z - \bar{z}) = - i (a + b i - a + b i) = - 2 b i^{2} = 2 b$ là số thực, không phải số thuần ảo.

Xét đáp án D: $z - \bar{z} = a + b i + a - b i = 2 a$ là số thực.

Vậy chỉ có đáp án C sai

Câu 6:

Tính tổng phần thực của tất cả các số phức $z \neq 0$ thỏa mãn $(z + \frac{5}{|z|}) i = 7 - z$ .

A. -2.

B. -3.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Câu 7:

Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng như hình vẽ: Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức $w = \frac{i}{\bar{z}}$ .

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Giả sử $z = a + b i (0 < a, b < 1)$

Có $w = \frac{i}{\bar{z}} = \frac{i}{a - b i} = \frac{i (a + b i)}{a^{2} + b^{2}} = \frac{- b}{a^{2} + b^{2}} + \frac{a i}{a^{2} + b^{2}}$

Vì z thuộc góc phần tư thứ I nên $\frac{- b}{a^{2} + b^{2}} < 0; \frac{a}{a^{2} + b^{2}} > 0$ . Do đó w thuộc góc phần tư thứ II.

Câu 8:

Cho số phức z thỏa mãn $(2 i - i^{2}) z + 10 i = 5$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A. z có phần thực bằng -3.

B. $\bar{z} = - 3 + 4 i$ .

C. z có phần ảo bằng 4.

D. $|z| = 5 .$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C.

$(2 i - i^{2}) z + 10 i = 5 \Leftrightarrow z = \frac{5 - 10 i}{2 i - i^{2}} \Leftrightarrow z = - 3 - 4 i$

Số phức $z = - 3 - 4 i$ có $R e z = - 3 . I m z = - 4, |z| = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 4)}^{2}} = 5 v à \bar{z} = - 3 + 4 i$

Do đó chỉ có đáp án C sai.

Câu 9:

Tìm mô đun của số phức z, biết $\frac{1}{z^{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ .

A. $|z| = \sqrt[4]{\frac{1}{2}}$ .

B. $|z| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

C. $|z| = \sqrt[4]{2}$ .

D. $|z| = \sqrt{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C.

Từ giả thiết, ta có: $\frac{1}{z^{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i = \frac{1 + i}{2} \Rightarrow z^{2} = \frac{2}{1 + i} = 1 - i$

Lấy mô đun hai vế và chú ý $|z^{2}| = {|z|}^{2}$ , ta được ${|z|}^{2} = \sqrt{2} \Leftrightarrow |z| = \sqrt[4]{2}$ .

Câu 10:

Biết số phức z thỏa mãn điều kiện $\frac{5 (\bar{z} + i)}{z + 1} = 2 - i$ . Mô đun số phức $w = 1 + z + z^{2}$ bằng:

A. 13.

B. 2.

C. $\sqrt{13}$ .

D. $\sqrt{2} .$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C.

Đặt $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i$

Theo bài ra ta có:

$\frac{5 (\bar{z} + i)}{z + 1} = 2 - i \Rightarrow \frac{5 (a - b i + i)}{a + b i + 1} = 2 - i \Leftrightarrow 5 [a - (b - 1) i] = (a + 1 + b i) (2 - i) \Leftrightarrow 5 a - 5 (b - 1) i = 2 (a + 1) + b + (2 b - a - 1) i \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} 5 a = 2 a + 2 + b \\ 5 - 5 b = 2 b - a - 1 \end{array} \Rightarrow a = b = 1 \Rightarrow z = 1 + i \Rightarrow z^{2} = 2 i \Rightarrow w = 1 + z + z^{2} = 1 + 1 + i + 2 i = 2 + 3 i$

Vậy $|w| = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}$ .