30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao (P3)

Câu 1:

Tính tích phân sau: $I = \int_{0}^{1} \frac{x d x}{\sqrt{3 x + 1} + \sqrt{2 x + 1}}$

A. $\frac{17 - 3 \sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{17 - 9 \sqrt{3}}{9}$

C. $\frac{17 - 3 \sqrt{3}}{- 9}$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có:

$x = (3 x + 1) - (2 x + 1)$ = $(\sqrt{3 x + 1} - \sqrt{2 x + 1}) (\sqrt{3 x + 1} + \sqrt{2 x + 1})$

Câu 2:

Tính tích phân sau $J = \int_{2}^{7} \frac{x d x}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}}$

A. $\frac{19 - 5 \sqrt{5}}{9}$

B. $\frac{19 - 5 \sqrt{5}}{3}$

C. $\frac{19 - 5 \sqrt{5}}{6}$

D. 3.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $x = \frac{1}{4} (\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}) (\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2})$

Nên

Câu 3:

Tính tích phân sau: $\int_{0}^{2} |x^{2} - 1| d x$

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn B.

Câu 4:

Tính tích phân sau $\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{3}} |\sin x| d x$

A.1

B.1,5

C.2

D.2,5

Xem đáp án

Chọn B.

=1- $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ =1,5

Câu 5:

Tính tích phân sau $\int_{0}^{π / 2} \sqrt{{(\cos x - \sin x)}^{2}} d x$

A. $2 \sqrt{2}$

B. $2 \sqrt{2} - 2$

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Chọn B

Câu 6:

Tính tích phân $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} |\sin 2 x| d x$ ta được kết quả :

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn C.

Nếu: $\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{2} \Leftrightarrow \frac{π}{2} \leq 2 x \leq π \Rightarrow \sin 2 x \geq 0$

Nếu: $\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{4} \Leftrightarrow π \leq 2 x \leq \frac{3 π}{2} \Rightarrow \sin 2 x \leq 0$

Khi đó:

$I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} |\sin 2 x| d x = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{4}} \sin 2 x d x$

Câu 7:

Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{a} |x^{2} - x| d x$ ta được kết quả I = $\frac{11}{6}$ , khi đó ta có:

A. a = 1.

B. a = 2.

C. a = 3.

D. a = 4.

Xem đáp án

Chọn B.

Nhận xét: từ các đáp án $\Rightarrow a \geq 1$

Cho $x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \end{matrix}$ ( thỏa mãn)

Ta có bảng xét dấu của $x^{2} - x$ trên đoạn [-1; a]

Khi đó

Do

$I = \frac{11}{6} \Leftrightarrow \frac{7}{6} + \frac{a^{3}}{3} - \frac{a^{2}}{2} = \frac{11}{6} \Leftrightarrow 2 a^{3} - 3 a^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow (a - 2) (2 a^{2} + a + 2) = 0 \Rightarrow a = 2$

Câu 8:

Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{1} |x^{3} + x^{2} - x - 1| d x$ ta được kết quả I = $\frac{a}{b}$ , khi đó tổng a + b là:

A. 7.

B. 3.

C. 5.

D. 9.

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 9:

Tính tích phân $I = \int_{- 2}^{0} |\frac{x^{2} - x - 2}{x - 1}| d x$ ta được kết quả I = a + bln2 + cln3 ( với a, b, c là các số nguyên). Khi đó giá trị của biểu thức $T = 2 a^{3} + 3 b - 4 c$ là:

A. T = -20.

B. T = 3.

C. T = 22.

D. T = 6.

Xem đáp án

Chọn C.

$\frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} = 0 \Leftrightarrow \frac{(x + 1) (x - 2)}{x - 1} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ x = 2 \end{matrix} D o x \in [- 2; 0] \Rightarrow x = - 1$

Khi đó

Câu 10:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} x |x - a| d x, a > 0$ ta được kết quả I=f(a). Khi đó tổng $f (8) + f (\frac{1}{2})$ có giá trị bằng:

A. $\frac{24}{91}$ .

B. $\frac{91}{24}$ .

C. $\frac{17}{2}$ .

D. $\frac{2}{17}$ .

Xem đáp án

Chọn B.

TH1: Nếu $a \geq 1$ khi đó

TH2: Nếu 0 < a < 1 khi đó

Khi đó $f (8) + f (\frac{1}{2}) = \frac{11}{3} + \frac{1}{8} = \frac{91}{24}$

Câu 11:

Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{1} |2^{x} - 2^{- x}| d x$ ta được kết quả I = $\frac{a}{\ln b}$ (với a, b là các số nguyên dương). Khi đó $J = \int_{a}^{b} |2 x - 3| d x$ có giá trị bằng:

A. J = $\frac{1}{2} .$

B. J = 2.

C. J = $\frac{1}{3}$ .

D. J = 3.

Xem đáp án

Chọn A.

Cho $2^{x} - 2^{- x} = 0 \Leftrightarrow \frac{2^{2 x} - 1}{2^{x}} = 0 \Leftrightarrow 2^{2 x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$

Khi đó

Câu 12:

Tính tích phân $I = \int_{- 2}^{2} |x + 1| d x$

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Chọn D.

Nhận xét $|x + 1| = \{\begin{cases} x + 1, - 1 \leq x \leq 2 \\ - x - 1 - 2 \leq x \leq - 1 \end{cases}$ Do đó

Câu 13:

Biết $I = \int_{1}^{4} \frac{d x}{x^{2} (x + 1)} = a + \ln b$ . Chọn đáp án đúng

A. a – b = 0

B. 2a + b = 4

C. $\frac{1}{2}$ a + b = 1

D. ab = 4

Xem đáp án

Chọn C.

Áp dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có:

Vậy $\frac{1}{2}$ a + b = 1.

Câu 14:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{4} \frac{2 x^{2} + 4 x + 1}{\sqrt{2 x + 1}} d x$

A. $\frac{478}{15}$

B. $\frac{448}{15}$

C. $\frac{408}{15}$

D. $\frac{378}{15}$

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $t = \sqrt{2 x + 1} \Rightarrow t^{2} = 2 x + 1 \Leftrightarrow x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow t d t = d x$

x = 4 => t = 3

x = 0 => t = 1

Câu 15:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

A. $I = \frac{π}{4} - \frac{1}{2}$

B. $I = \frac{π}{8} + \frac{1}{4}$

C. $I = \frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

D. $I = \frac{1}{4} - \frac{π}{8}$

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt x = sint khi đó dx = costdt

Đổi cận: với x=0=>t=0; $x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow t = \frac{π}{4}$

Ta có:

Câu 16:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$ .

A. $I = \frac{5}{3}$

B. $I = - \frac{5}{3}$

C. $I = \frac{4}{3}$

D. $I = - \frac{4}{3}$

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt

$u = \sqrt{x^{2} + 1} \Rightarrow u^{2} = x^{2} + 1 \Rightarrow u d u = x d x x = 0 \Rightarrow u = 1; x = \sqrt{3} \Rightarrow u = 2$

Câu 17:

Tính tích phân: $I = \int_{1}^{3} \frac{3 + \ln x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

A. $\frac{3 - \ln 3}{4} + \ln \frac{3}{2}$

B. $\frac{3 - \ln 3}{4} - \ln \frac{3}{2}$

C. $\frac{3 + \ln 3}{4} + \ln \frac{3}{2}$

D. $\frac{3 - \ln 3}{2} + \ln \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $\{\begin{array}{l} u = 3 + \ln x \\ d v = \frac{d x}{{(x + 1)}^{2}} \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{d x}{x} \\ v = \frac{- 1}{x + 1} \end{cases}$

= $\frac{3 - \ln 3}{4} + \ln \frac{3}{2}$

Câu 18:

Tính tích phân: $I = \int_{0}^{2} (x - 2) e^{2 x + 1} d x$

A. $\frac{5 e - e^{5}}{6}$

B. $\frac{5 e - e^{5}}{4}$

C. $\frac{5 e + e^{3}}{4}$

D. $\frac{5 e - e^{5}}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $\{\begin{cases} u = x - 2 \\ d v = e^{2 x + 1} \end{cases}$ ta chọn $\{\begin{cases} d u = d x \\ v = \frac{1}{2} e^{2 x + 1} \end{cases}$

Câu 19:

Tính $I = \int_{1}^{2} \frac{d x}{x {(x + 1)}^{2}}$

A. ln4-2

B. ln3-1

C. ln4-ln3+1

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

$\frac{1}{x {(x + 1)}^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{(x + 1)} + \frac{C}{{(x + 1)}^{2}} \Leftrightarrow 1 = A {(x + 1)}^{2} + B x (x + 1) + C x (*)$

Cách 1:

$(*) \Leftrightarrow 1 = (A + B) x^{2} + (2 A + B + C) x + A .$

$\forall x \neq \{- 1; 0\}$ ta có hệ sau:

Cách 2:

Cho x = 0: thay vào (*) ta được: A = 1

Với A = 1 và cho x = -1: thay vào (*) ta được: C = -1.

Với A = 1 và C = -1, ta cho x = 1 => B = -1.

$\Rightarrow \frac{1}{x {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Vậy

Câu 20:

Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{0} (2 x^{2} + x + 1) \ln (x + 2) d x$

A. $\frac{14}{3} \ln 2 - \frac{17}{191}$

B. $\frac{15}{3} \ln 2 - \frac{17}{191}$

C. $\frac{16}{3} \ln 2 - \frac{119}{36}$

D. $\frac{16}{3} \ln 2 - \frac{17}{191}$

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt $\{\begin{array}{l} u = \ln (x + 2) \\ d v = (2 x^{2} + x + 1) d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x + 2} d x \\ v = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x \end{cases}$

Câu 21:

Cho $I = \int_{0}^{1} x^{2} . \ln (x + 1) d x$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $- \frac{5}{18} + \frac{2}{3} \ln 2$

B. $- \frac{5}{18} + \frac{3}{2} \ln 2$

C. $\frac{5}{18} + \frac{2}{3} \ln 2$

D. $- \frac{5}{18} - \frac{2}{3} \ln 2$

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $\{\begin{array}{l} u = \ln (x + 1) \\ d v = x^{2} d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x + 1} d x \\ v = \frac{x^{3}}{3} \end{cases}$

Tính

Câu 22:

Biết $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{x}{\sin^{2} x} d x = m π + nln 2 (m, n \in ℝ)$ , hãy tính giá trị của biểu thức $P = 2 m + n$

A. P = 1.

B. P = 0,75.

C. P = 0,25.

D. P = 0.

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $\{\begin{array}{l} u = x \\ d v = \frac{1}{\sin^{2} x} d x \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = - c o t x \end{cases}$ , ta có

$\Rightarrow m = \frac{1}{4}; n = \frac{1}{2} P = 2 m + n = 2 . \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1$

Câu 23:

Tính tích phân $I = \int_{3}^{4} 2 x . \ln (3 x - 6) d x$

A. $I = 12 \ln 6 + 5 \ln 3 - \frac{11}{2}$

B. $I = 12 \ln 6 - 5 \ln 3 + \frac{11}{2}$

C. $I = 12 \ln 6 + 5 \ln 3 + \frac{11}{2}$

D. $I = 12 \ln 6 - 5 \ln 3 - \frac{11}{2}$

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 24:

Cho tích phân $I = \int_{\frac{1}{2}}^{3} \frac{d x}{(x + 1) \sqrt{2 x + 3}}$ . Đặt $t = \sqrt{2 x + 3}$ ta được $I = \int_{2}^{3} \frac{m}{t^{2} + n} d t$ (với $m, n \in ℤ$ ). Tính T = 3m + n

A. T = 7.

B. T = 2.

C. T = 4.

D. T = 5.

Xem đáp án

Chọn D.

Tính $I = \int_{\frac{1}{2}}^{3} \frac{d x}{(x + 1) \sqrt{2 x + 3}}$

Đặt $t = \sqrt{2 x + 3} \Rightarrow t^{2} = 2 x + 3 \Rightarrow \{\begin{array}{l} 2 t d t = 2 d x \\ x = \frac{t^{2} - 3}{2} \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d x = t d t \\ x + 1 = \frac{t^{2} - 1}{2} \end{cases}$

Vậy: m = 2, n = -1, T = 3.2 - 1 = 5.

Câu 25:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(1) = 1 và $I = \int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} f' (\sqrt{x}) d x$

A. I = -1.

B. I = 1.

C. I = 2.

D. I = -2.

Xem đáp án

Chọn D.

Xét $I = \int_{0}^{1} f' (\sqrt{x}) d x$ .

Đặt $t = \sqrt{x} \to t^{2} = x \to 2 t d t = d x$

Đổi cận $\{\begin{cases} x = 0 \to t = 0 \\ x = 1 \to t = 1 \end{cases}$ . Khi đó $I = 2 \int_{0}^{1} t f' (t) d t = 2 A$

Tính $A = \int_{0}^{1} t f' (t) d t$ . Đặt $\{\begin{array}{l} u = t \\ d v = f' (t) d t \end{array} \to \{\begin{cases} d u = d t \\ v = f (t) \end{cases}$

Khi đó

Câu 26:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f(2016) = a, f(2017) = b, $(a; b \in ℝ)$ . Giá trị $I = \int_{2017}^{2016} 2015 f' (x) . f^{2014} (x) d x$ bằng:

A. $I = b^{2017} - a^{2017}$

B. $I = a^{2016} - b^{2016}$

C. $I = a^{2015} - b^{2015}$

D. $I = b^{2015} - a^{2015}$

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt $t = f (x) \to d t = f' (x) d x$ . Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 2016 \to t = f (2016) = a \\ x = 2017 \to t = f (2017) = b \end{cases}$

Khi đó

Câu 27:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ .Tính $\int_{- 1}^{1} f (| 2 x |) d x$

A. I = 0.

B. I = $\frac{3}{2}$ .

C. I = 3.

D. I = 6.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

Đặt t=2x suy ra dt=2dx . Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \to t = 0 \\ x = 1 \to t = 2 \end{cases}$

Khi đó $I = \int_{0}^{2} f (t) d t = \int_{0}^{2} f (x) d x = 3$

Câu 28:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và a > 0. Giả sử rằng với mọi $x \in [0; a]$ , ta có f(x) > 0 và f(x)f(a – x) = 1. Tính $I = \int_{0}^{a} \frac{d x}{1 + f (x)}$ .