30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Hàm số mũ, logarit ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P5)

Câu 1:

Cho a là số thực dương khác . Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương x, y

Đáp án C

Theo quy tắc tính lôgarit ta có: $\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} x - \log_{a} y$ ( giả sử các biểu thức đều có nghĩa )

Câu 2:

Giải bất phương trình sau $\log_{\frac{1}{5}} (3 x - 5) > \log_{\frac{1}{5}} (x + 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 3:

Tập xác định của hàm số y = ln(-x² + 5x - 6) là

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số đã cho xác định

Câu 4:

Tìm n biết $\frac{1}{\log_{2} x} + \frac{1}{\log_{2^{2}} x} + \frac{1}{\log_{2^{3}} x} + . . . + \frac{1}{\log_{2^{n}} x} = \frac{465}{\log_{2} x}$ luôn đúng với mọi $x > 0, x \neq 1$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

Câu 5:

Tính tổng S = x₁ + x₂ biết x₁, x₂ là các giá trị thực thỏa mãn đẳng thức $2^{x^{2} - 6 x + 1} = {(\frac{1}{4})}^{x - 3}$ ?

A. S = 4

B. S = 8

C. S = -5

D. S = 2

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình

Câu 6:

Biết log₆2 = a, log₆5 = b. Tính I = log₃5 theo a, b.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

Câu 7:

Trên hình 2.13, đồ thị của ba hàm số y = a^x, y = b^x, y = c^x (a, b, c là ba số dương khác 1 cho trước) được vẽ trong cùng một mặt phẳng tọa độ. Dựa vào đồ thị và các tính chất của lũy thừa, hãy so sánh ba số a, b và c

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:

Hàm số y = a^x là hàm số đồng biến; hàm số y = b^x, y = c^x là hàm số nghịch biến.

Suy ra a > 1 và $\{\begin{cases} 0 < b < 1 \\ 0 < c < 1 \end{cases}$ $\to a > \{b; c\}$

Gọi B(-1; y_B) thuộc đồ thị hàm số $y = b^{x} \Rightarrow y_{B} = \frac{1}{b}$

Và C(-1;y_c) thuộc đồ thị hàm số $y = c^{x} \Rightarrow y_{C} = \frac{1}{c}$

Dựa vào đồ thị, ta có $y_{B} > y_{c} \Rightarrow \frac{1}{b} > \frac{1}{c} \Rightarrow c > b$

Câu 8:

Xét các mệnh đề sau

(1) log₂(x - 1)² + 2log₂(x+1) = 6

<=> 2log₂(x-1) + 2log₂(x+1) = 6

(2) log₂(x²+1) $\geq$ 1 + log₂|x|; $\forall x \in R$

(3) x^lny = y^lnx; $\forall x > y > 2$

$(4) \log_{2}^{2} 2 x - 4 \log_{2} x - 4 = 0 \Leftrightarrow \log_{2}^{2} x - 4 \log_{2} x - 3 = 0$

Số mệnh đề đúng là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào giả thiết, ta thấy rằng:

đúng.

=> (4) sai. Vậy có 2 mệnh đề đúng.

Câu 9:

Giả sử x, y là những số thực dương thỏa mãn: log₁₆(x+y) = log₉x = log₁₂y. Tính giá trị của biểu thức $P = 1 + \frac{x}{y} + {(\frac{x}{y})}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt

Câu 10:

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn $3^{x} = 5^{x} = 15^{\frac{2017}{x + y} - z}$ . Gọi S = xy + yz + zx. Khẳng định nào đúng?

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt

Đồng thời :

Câu 11:

Tìm tập hợp các giá trị thực của m sao cho bất phương trình log₂x + m $\geq \frac{1}{2} x^{2}$ có nghiệm $x \in [1; 3]$

Xem đáp án

Đáp án D

Bất phương trình

Xét hàm số

Phương trình

Tính các giá trị

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là

Khi đó, bất phương trình (*) có nghiệm

Câu 12:

Cho hai đường cong (C₁): y = 3^x(3^x - m + 2) + m² - 3m và (C₂): y = 3^x + 1. Để (C₁) và (C₂) tiếp xúc nhau thì giá trị của tham số m bằng

Xem đáp án

Đáp án C

Xét đường cong (C₁): f(x) = 3^x(3^x - m + 2) + m² - 3m

Và đường cong (C₂): g(x) = 3^x + 1

Để (C₁) tiếp xúc với (C₂) $\Leftrightarrow \{\begin{cases} f' (x) = g' (x) \\ f (x) = g (x) \end{cases}$

Câu 13:

Xét các số thực a, b thỏa mãn $a \geq b > 1$ . Biết rằng biểu thức $P = \frac{1}{\log_{a b} a} + \sqrt{\log_{a} \frac{a}{b}}$ đạt giá trị lớn nhất khi b = a^k. Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án D

Dựa vào bảng biến thiên,

Khi đó

Câu 14:

Biết phương trình $9^{x} - 2^{x + \frac{1}{2}} = 2^{x + \frac{3}{2}} - 3^{2 x - 1}$ có nghiệm là a. Tính giá trị biểu thức $P = a + \frac{1}{2} \log_{\frac{9}{2}} 2$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 15:

Số nguyên tố dạng M_p = 2^P - 1, trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mecxen. Số M_6972593 được phát hiện năm 1999. Hỏi rằng nếu viết số đó trong hệ thập phân thì có bao nhiêu chữ số?

A. 2098960 chữ số.

B. 2098961 chữ số

C. 6972593 chữ số

D. 6972592 chữ số

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

Do đó số chữ số của số đó là 2098959 + 1 = 2098960

Câu 16:

Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có log (3a) = log 3 + log a, log a³ = 3loga.

Câu 17:

Tập nghiệm của bất phương trình 2^2x < 2^x+6 là:

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có

Câu 18:

Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log₃x.log₉x.log₂₇x.log₈₁x $= \frac{2}{3}$ bằng

Xem đáp án

Đáp án A.

Điều kiện: x > 0. Ta có

Câu 19:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 16^x – 2.12^x + (m – 2).9^x = 0 có nghiệm dương?

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án B.

<=> t² – 2t – 2 = –m

Dựa vào đồ thị ta thấy PT có nghiệm lớn hơn 1 <=> –m > –3 <=> m < 3

Vậy có 2 giá trị nguyên của m là m = l; m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 20:

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn $\log u_{1} + \sqrt{2 + \log u_{1} - 2 \log u_{10}} = 2 \log u_{10}$ và u_n+1 = 2u_n với mọi $n \geq 1$ . Giá trị nhỏ nhất của n để u_n > 5¹⁰⁰ bằng

A. 247.

B. 248.

C. 229.

D. 290.

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt $t = \sqrt{2 + \log u_{1} - 2 \log u_{10}} \geq 0$

$\Leftrightarrow \log u_{1} - 2 \log u_{10} = t^{2} - 2$ ,

khi đó giả thiết trở thành:

$\log u_{1} - 2 \log u_{10} + \sqrt{2 + \log u_{1} - 2 \log u_{10}} = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} + t - 2 = 0$

<=> t = 1 hoặc t = -2

$\Rightarrow \log u_{1} - 2 \log u_{10} = - 1$

$\Leftrightarrow \log u_{1} + 1 = 2 \log u_{10}$

$\Leftrightarrow \log (10 u_{1}) = \log {(u_{10})}^{2} \Leftrightarrow 10 u_{1} = {(u_{10})}^{2} (1)$

Mà u_n+1 = 2u_n => u_n là cấp số nhân với công bội q = 2

=> u₁₀ = 2⁹ u₁ (2)

Từ (1), (2) suy ra

$10 u_{1} = {(9^{9} u_{1})}^{2} \Leftrightarrow 2^{18} u_{1}^{2} = 10 u_{1} \Leftrightarrow u_{1} = \frac{10}{2^{18}}$

$\Rightarrow u_{n} = 2^{n - 1} . \frac{10}{2^{18}} = \frac{2^{n} . 10}{2^{19}} .$

Do đó $u_{n} > 5^{100} \Leftrightarrow \frac{2^{n} . 10}{2^{19}} > 5^{100}$

$\Leftrightarrow n > \log_{2} (\frac{5^{100} . 2^{19}}{10}) = - \log_{2} 10 + 100 \log_{2} 5 + 19 \approx 247, 87$

Vậy giá trị n nhỏ nhất thỏa mãn là n = 248.

Câu 21:

Hàm số y = log₂ (4^x – 2^x + m) có tập xác định là $ℝ$ thì

A. $m < \frac{1}{4}$

B. $m > 0$

C. $m \geq \frac{1}{4}$

D. $m > \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số có tập xác định là R <=> 4^x – 2^x + m > 0, $\forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow m > 2^{x} - 4^{x} (\forall x \in ℝ)$

Đặt t = 2^x > 0 => m > t – t² $(\forall t > 0)$

$\Leftrightarrow m > \underset{t > 0}{m a x} f (t) \Leftrightarrow m > \frac{1}{4}$ .

Câu 22:

Bất phương trình log₄ (x + 7) > log₂ (x + 1) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

ĐK: x > –1

Khi đó PT

$\Leftrightarrow \log_{2^{2}} (x + 7) > \log_{2} (x + 1)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \log_{2} (x + 7) > \log_{2} (x + 1)$

$\Leftrightarrow \log_{2} (x + 7) > \log_{2} {(x + 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow (x + 7) > {(x + 1)}^{2} \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 < 0$

$\Leftrightarrow - 3 < x < 2$

Kết hợp dk => -1<x<2 => x=0; x=1.

Câu 23:

Cho a > 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Đáp án B

Do a > 1 => với m > n thì a^m > aⁿ

^{$D o - \sqrt{3} > - \sqrt{5} \Rightarrow a^{- \sqrt{3}} > a^{- \sqrt{5}} = \frac{1}{a^{\sqrt{5}}}$ .}

Câu 24:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = log₃ (–x² + mx + 2m + 1) xác định với mọi $x \in (1; 2)$

A. $m \geq - \frac{1}{3}$

B. $m \geq \frac{3}{4}$

C. $m > \frac{3}{4}$

D. $m < - \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số xác định với mọi $x \in (1; 2)$

<=> –x² + mx + 2m + 1 > 0 $(\forall x \in (1; 2))$

$X é t g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 2} v ớ i x \in (1; 2) c ó :$

$g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 2} = x - 2 + \frac{3}{x + 2}$

$\Rightarrow g^{'} (x) = 1 - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} > 0 (\forall x \in (1; 2))$

Do đó g(x) đồng biến trên khoảng (1;2)

$\Rightarrow m \geq g (2) = \frac{3}{4}$ là giá trị cần tìm.

Câu 25:

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{x + 1}{2^{x}}$ là:

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 26:

Cho a, b là các số dương phân biệt khác 1 và thỏa mãn ab = 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. log_a b = 1

B. log_a (b+1) < 0

C. log_a b = –1

D. log_a (b+1) > 0

Xem đáp án

Đáp án C

log_a ab = log_a 1 <=> 1 + log_a b = 0 <=> log_a b = –1.

Câu 27:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai hình H₁, H₂ được xác định như sau:

$H_{1} = \{M (x; y) | \log (1 + x^{2} + y^{2}) \leq 1 + \log (x + y)\}$

$H_{2} = \{M (x; y) | \log (2 + x^{2} + y^{2}) \leq 2 + \log (x + y)\}$

Gọi S₁, S₂ lần lượt là diện tích của các hình H₁, H₂. Tính tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$

A. 99

B. 101

C. 102

D. 100

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện x + y > 0

Ta có

$\log (1 + x^{2} + y^{2}) \leq 1 + \log (x + y) = \log [10 (x + y)]$

$\Leftrightarrow 1 + x^{2} + y^{2} \leq 10 (x + y)$

$\Leftrightarrow {(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} \leq 49$

Xét riêng ${(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} \leq 49$ là hình tròn tâm I(5;5) bán kính R=7, diện tích H₁ là diện tích của hình tròn tâm I(5;5) bán kinh R=7, nằm phía trên đường thẳng $∆ : x + y = 0$

$V ì d (I, ∆) = 5 \sqrt{2} > R \Rightarrow S_{1} = 49 π$

Tương tự

$\log (2 + x^{2} + y^{2}) \leq 2 + \log (x + y) = \log [100 (x + y)]$

$\Leftrightarrow 2 + x^{2} + y^{2} \leq 100 (x + y)$

$\Leftrightarrow {(x - 50)}^{2} + {(y - 50)}^{2} \leq 4998$

Xét riêng ${(x - 50)}^{2} + {(y - 50)}^{2} \leq 4998$ là hình tròn tâm I^’(50;50) bán kinh $R = 7 \sqrt{102}$ diện tích H₂ là diện tích của hình tròn tâm I^’(50;50) bán kính $R = 7 \sqrt{102}$ nằm phía trên đường thẳng $∆ : x + y = 0$

$V ì d^{'} (I^{'}; ∆) = 50 \sqrt{2} > R^{'} \Rightarrow S_{2} = 4998 π$

$\Rightarrow \frac{S_{2}}{S_{1}} = 102$ .

Câu 28:

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn $y = 10^{\frac{1}{1 - \log x}}, z = 10^{\frac{1}{1 - \log y}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án D

$\Leftrightarrow \frac{\log z - 1}{\log z} = \frac{1}{1 - \log x}$

$\Leftrightarrow 1 - \log x = \frac{\log z}{\log z - 1}$

$\Leftrightarrow \log x = \frac{- 1}{\log z - 1} \Leftrightarrow x = 10^{\frac{1}{1 - \log z}}$ .

Câu 29:

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn $\ln x + \ln y \geq \ln (x^{2} + y)$ . Tính giá trị nhỏ nhất của P = x + y.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\ln x y = \ln x + \ln y \geq \ln (x^{2} + y)$

$\Leftrightarrow x y \geq x^{2} + y \Leftrightarrow y (x - 1) \geq x^{2}$

Vì x = 1 không thỏa và y > 0 => x > 1

$\Rightarrow P = x y \geq \frac{x^{2}}{x - 1} + x = f (x)$

$X é t h à m s ố f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1} + x v ớ i x > 1$

$\Rightarrow f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}} + x = \frac{2 x^{2} - 4 x + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

$\Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} v ì x > 1$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f(x) suy ra

$\Rightarrow M i n P = \underset{x > 1}{M i n} f (x) = f (1) = 3 + 2 \sqrt{2}$ .

Câu 30:

Cho biểu thức $P = \sqrt[4]{x^{5}}$ , với x > 0. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. $P = x^{20}$

B. $P = x^{\frac{4}{5}}$

C. $P = x^{9}$

D. $P = x^{\frac{5}{4}}$

Xem đáp án

Đáp án D.

$T a c ó : P = \sqrt[4]{x^{5}} = x^{\frac{5}{4}}$ .