15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Đường tiệm cận có đáp án (P1) (Thông hiểu)

Câu 1:

Đồ thị hàm số $y = \frac{a x + b}{2 x + c}$ có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 1 thì a + c bằng:

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6

Ta có: $\lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{a x + b}{2 x + c} = \frac{a}{2} \Rightarrow y = \frac{a}{2}$ là tiệm cận ngang của ĐTHS

$\Rightarrow \frac{a}{2} = 2 \Rightarrow a = 4$

Và $\lim_{x \to - \frac{c}{2}} y = \lim_{x \to - \frac{c}{2}} \frac{a x + b}{2 x + c} = \infty \Rightarrow x = - \frac{c}{2}$ là tiệm cận đứng của ĐTHS

$\Rightarrow - \frac{c}{2} = 1 \Rightarrow c = - 2$

Vậy tổng $a + c = 4 - 2 = 2$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2:

Cho hàm số $y = \frac{a x + 1}{b x - 2}$ . Xác định a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng và đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang.

A. $a = 1, b = 2$

B. $a = 2, b = - 2$

C. $a = 2, b = 2$

D. $a = - 1, b = - 2$

Xem đáp án

Đồ thị hàm số $y = \frac{a x + 1}{b x - 2}$ có hai đường tiệm cận $y = \frac{a}{b}$ (TCN) và $x = \frac{2}{b}$ (TCĐ)

Yêu cầu bài toán tương đương với $\frac{2}{b} = 1; \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 đường tiệm cận?

A. $y = \frac{x + 2}{x^{2} + 3 x + 6}$

B. $y = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

C. $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

D. $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}}$

Xem đáp án

Đáp án A: Đồ thị hàm số chỉ có 1 đường tiệm cận y = 0.

Đáp án B: Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$ có 1 TCN là y = 0 và 2 TCĐ là $x = \pm 3$ nên có 3 tiệm cận.

Đáp án C: Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận là $y = 1, x = 1$

Đáp án D:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{|x| \sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{8}{x^{2}}}}$

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{- x \sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{8}{x^{2}}}} = - 1$ và $\lim_{x \to + \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}} = 1$

Đồ thị hàm số chỉ có 2 tiệm cận là $y = \pm 1$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào không có đường tiệm cận.

A. $y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

B. $y = \frac{1}{x^{2} - 1}$

C. $y = x^{4} - 2018$

D. $y = \frac{3 x + 2}{4 x - 3}$

Xem đáp án

Hàm đa thức không có đường tiệm cận nên D đúng.

Ngoài ra, dễ dàng tìm được đường tiệm cận của mỗi đáp án A, B, C

Đáp án A: tiệm cận ngang $y = \pm 1$ , không có tiệm cận đứng.

Đáp án B: Tiệm cận đứng $x = \pm 1$ , tiệm cận ngang y = 0.

Đáp án C: Tiệm cận ngang $y = \frac{3}{4}$ , tiệm cận đứng $x = \frac{3}{4}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5:

Đồ thị nào sau đây có 3 đường tiệm cận?

A. $y = \frac{2 - x}{x}$

B. $y = \frac{x}{x^{2} - x + 1}$

C. $y = \frac{1}{x^{2} - 1}$

D. $y = \frac{x - 1}{x + 1}$

Xem đáp án

Đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x^{2} - 1}$ có 3 đường tiệm cận là $x = 1, x = - 1, y = 0$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = 2 x - 1 + \sqrt{4 x^{2} - 4}$ là:

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$

Lại có: $\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} (2 x - 1 + \sqrt{4 x^{2} - 4})$

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{4 x^{2} - 4} + 2 x - 1) (\sqrt{4 x^{2} - 4} - (2 x - 1))}{\sqrt{4 x^{2} - 4} - (2 x - 1)}$

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{(4 x^{2} - 4) - {(2 x - 1)}^{2}}{\sqrt{4 x^{2} - 4} - (2 x - 1)}$

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 5}{\sqrt{4 x^{2} - 4} - (2 x - 1)}$

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{- x (- 4 + \frac{5}{x})}{- x [\sqrt{4 - \frac{4}{x^{2}}} + (2 - \frac{1}{x})]}$

$= \frac{- 4}{\sqrt{4} + 2} = - 1$

Vậy y = - 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Tất cả phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{2 x + 3}$ là:

A. $y = \frac{1}{2}$

B. $y = \pm \frac{1}{2}$

C. $y = - \frac{3}{2}, y = 1$

D. $y = 2$

Xem đáp án

Dễ dàng tính được $\lim_{x \to + \infty} y = \frac{1}{2}$ và $\lim_{x \to - \infty} y = - \frac{1}{2}$ do đó $y = \pm \frac{1}{2}$ là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} + 3 x^{2}}}{x - 1}$ có phương trình?

A. $y = 1, y = - 1$

B. $y = - 1$

C. $x = - 1$

D. $y = 1$

Xem đáp án

TXĐ: $D = R \ \{1\}$

Ta có: $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{- x^{3} + 3 x^{2}}}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt[3]{- x^{3} + 3 x^{2}}}{x}}{\frac{x - 1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{- 1 + \frac{3}{x}}}{1 - \frac{1}{x}} = - 1$

$\Rightarrow y = - 1$ là tiệm cận ngang của hàm số đã cho.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận ngang:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

$\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}} = 1$

$\Rightarrow y = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}} = - 1$

$\Rightarrow y = - 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10:

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 16}$ là:

A. $x = 4$

B. $x = - 4$

C. $x = 4$ hoặc $x = - 4$

D. $x = - 1$

Xem đáp án

Ta có: $y = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 16} = \frac{(x + 1) (x - 4)}{(x - 4) (x + 4)} = \frac{x + 1}{x + 4}$

$\lim_{x \to - 4^{+}} y = \lim_{x \to - 4^{+}} \frac{x + 1}{x + 4} = - \infty; \lim_{x \to - 4^{-}} y = \lim_{x \to - 4^{-}} \frac{x + 1}{x + 4} = + \infty;$

Ngoài ra $\lim_{x \to 4} y = \lim_{x \to 4} \frac{x + 1}{x + 4} = \frac{5}{8} \neq \infty$ nên x = 4 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận đứng x = - 4.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 11:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 2017}{|x| + 1}$ . Mệnh đề nào là đúng?

A. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 và không có tiệm cận đứng.

B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 1.

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 1, x = 1.

D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = - 2, y = 2 và không có tiệm cận đứng.

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 x + 2017}{x + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 + \frac{2017}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2 \Rightarrow y = 2$ là TCN

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 2017}{- x + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 + \frac{2017}{x}}{- 1 + \frac{1}{x}} = 2 \Rightarrow y = - 2$ là TCN

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là các đường thẳng $y = - 2, y = 2$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12:

Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số nào dưới đây nằm trên đường thẳng $d : y = x$ ?

A. $y = \frac{2 x - 1}{x + 3}$

B. $y = \frac{x + 4}{x - 1}$

C. $y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$

D. $y = \frac{1}{x + 3}$

Xem đáp án

Đáp án A có giao hai đường tiệm cận là: $(- 3; 2) \notin d$

Đáp án B có giao hai đường tiệm cận là: $(1; 1) \in d$

Đáp án C có giao hai đường tiệm cận là: $(- 2; 2) \notin d$

Đáp án D có giao hai đường tiệm cận là: $(- 3; 0) \notin d$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13:

Giá trị của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + m}$ đi qua điểm $M (2; 3)$ là:

A. 3

B. -2

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = - m (d), M \in d \Rightarrow 2 = - m \Rightarrow m = - 2$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 14:

Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{\sqrt{x^{4} - 3 x^{2} + 5}}{x - 2}$ là:

A. $y = x + 2$

B. $y = x - 2$ hoặc $y = x + 2$

C. $y = - x - 2$ hoặc $y = x + 2$

D. $y = - x - 2$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 3 x^{2} + 5}}{x - 2} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{5}{x^{4}}}}{1 - \frac{2}{x}} = 1 = \lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x} \Rightarrow a = 1$

$\lim_{x \to + \infty} [f (x) - x] = \lim_{x \to + \infty} [\frac{\sqrt{x^{4} - 3 x^{2} + 5}}{x - 2} - x]$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 3 x^{2} + 5} - (x^{2} - 2 x)}{x - 2}$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{4 x^{3} - 7 x^{2} + 5}{(x - 2) [\sqrt{x^{4} - 3 x^{2} + 5} + (x^{2} - 2 x)]}$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{4 - \frac{7}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{(1 - \frac{2}{x}) (\sqrt{1 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{5}{x^{4}}} + 1 - \frac{2}{x})} = \frac{4}{2} = 2$

$\lim_{x \to - \infty} [f (x) - x] = 2 \Rightarrow b = 2$

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = x + 2$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 15:

Đồ thị hàm số $y = \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} - \sqrt{4 x^{2} + 1}$ có bao nhiều đường tiệm cận ngang?

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

TXĐ: D = R

$\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} - \sqrt{4 x^{2} + 1})$

= $\lim_{x \to + \infty} \frac{(\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} - \sqrt{4 x^{2} + 1}) (\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} + \sqrt{4 x^{2} + 1})}{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} + \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{4 x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} + \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{4 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{4}{2 + 2} = 1$

$\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} - \sqrt{4 x^{2} + 1})$

= $\lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} - \sqrt{4 x^{2} + 1}) (\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} + \sqrt{4 x^{2} + 1})}{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} + \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

$= \lim_{x \to = \infty} \frac{4 x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} + \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{4 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}} - \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{4}{- 2 - 2} = - 1$

Vậy đồ thị hàm số $y = \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} - \sqrt{4 x^{2} + 1}$ có 2 tiệm cận ngang là $y = 1; y = - 1$

Đáp án cần chọn là: A