109 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Mặt cầu có đáp án (Mới nhất)

Câu 1:

Cho đường tròn (C) đường kính AB và đường thẳng $Δ$ . Để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh $Δ$ là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:

(I) Đường kính AB thuộc $Δ$ .

(II) $Δ$ cố định và đường kính AB thuộc $Δ$ .

(III) $Δ$ cố định và hai điểm A, B cố định trên $Δ$ .

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Chỉ (III).

D. Không cần thêm điều kiện nào.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 2:

Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P) có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc (S). Đường thẳng OM cắt (P) tại N. Hình chiếu của O trên (P) là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P) có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc (S). Đường thẳng OM cắt (P) tại N. (ảnh 1)

A. NI tiếp xúc với (S)

B.

O N = R \sqrt{2} \Leftrightarrow I N = R .

C. Cả A và B đều sai.

D. Cả A và B đều đúng.

Xem đáp án

Chọn D

Vì I là hình chiếu của O trên (P) nên d[O, (P)] = OI mà d[O, (P)] = R nên I là tiếp điểm của (P) và (S).

Đường thẳng OM cắt (P) tại N nên IN vuông góc với OI tại I. Suy ra IN tiếp xúc với (S).

Tam giác OIN vuông tại I nên $O N = R \sqrt{2} \Leftrightarrow I N = R$

Câu 3:

Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B. Khi đó độ dài đoạn AB bằng:

A. $R$

B. $\frac{R}{2}$

C. $R \sqrt{2}$

D. $R \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên $A B ⊥ O B$

Suy ra $A B = \sqrt{O A^{2} - O B^{2}} = \sqrt{4 R^{2} - R^{2}} = R \sqrt{3} .$

Câu 4:

Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho

B C = R \sqrt{3}

. Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:

A. $R$

B. $\frac{R}{2}$

C. $R \sqrt{2}$

D. $R \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi H là hình chiếu của O lên BC.

Ta có OB = OC = R, suy ra H là trung điểm của BC nên $H C = \frac{C D}{2} = \frac{R \sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra

O H = \sqrt{O C^{2} - H C^{2}} = \frac{R}{2} .

Câu 5:

Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng

(α)

. Biết khoảng cách từ O đến

(α)

bằng

\frac{R}{2}

. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng

(α)

với S(O;R) là một đường tròn có đường kính bằng:

Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng anpha. Biết khoảng cách từ O đến anpha bằng R/2. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng (ảnh 1)

A. $R$

B. $R \sqrt{3}$

C. $\frac{R}{2}$

D. $\frac{R \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi H là hình chiếu của xuống $(α)$

Ta có $d [O, (α)] = O H = \frac{R}{2} < R$ nên $(α)$ cắt S(O;R) theo đường tròn C(H;r).

Bán kính đường tròn $C (H; r)$ là $r = \sqrt{R^{2} - O H^{2}} = \frac{R \sqrt{3}}{2} .$

Suy ra đường kính bằng

R \sqrt{3} .

Câu 6:

Cho mặt cầu tâm I bán kính R = 2,6 cm. Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng 2,4 cm. Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:

A. 1,2 cm

B. 1,3 cm

C. 1 cm

D. 1,4 cm

Xem đáp án

Chọn C

Mặt phẳng cắt mặt cầu S(I;2,6cm) theo một đường tròn (H,r).

Vậy

r = \sqrt{R^{2} - I H^{2}} = \sqrt{{(2, 6)}^{2} - {(2, 4)}^{2}} = 1 cm

Câu 7:

Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p . Một mặt phẳng

(α)

cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là

\frac{p}{2}

. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng

(α)

bằng:

A. $\sqrt{\frac{p}{π}}$

B. $\sqrt{\frac{1}{π}}$

C. $\sqrt{\frac{2 p}{π}}$

D. $\sqrt{\frac{p}{2 π}}$

Xem đáp án

Chọn D

Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu. Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R .

Theo giả thiết, ta có $π R^{2} = p \Leftrightarrow R = \sqrt{\frac{p}{π}}$ và $π r^{2} = \frac{p}{2} \Leftrightarrow r = \sqrt{\frac{p}{2 π}} .$

Suy ra

d = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{\frac{p}{2 π}}

Câu 8:

Một hình cầu có bán kính là 2m, một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là

2, 4 π m

. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:

A. 1,6m

B. 1,5m

C. 1,4m

D. 1,7m

Xem đáp án

Chọn A

Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d , ta có $d^{2} = R^{2} - r^{2}$

Theo giả thiết $R = 2 m$ và $2 π r = 2, 4 π m \Rightarrow r = \frac{2, 4 π}{2 π} = 1, 2 m$

Vậy

d = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 1, 6 m

Câu 9:

Cho mặt cầu S(O;R), A là một điểm ở trên mặt cầu (S) và (P) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng 60^o . Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

A. $π R^{2} .$

B. $\frac{π R^{2}}{2} .$

C. $\frac{π R^{2}}{4} .$

D. $\frac{π R^{2}}{8} .$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (P) thì

● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S)

● $\hat{O A, (P)} = \hat{(O A, A H)} = 60^{0} .$

Bán kính của đường tròn giao tuyến: $r = H A = O A . \cos 60^{0} = \frac{R}{2}$

Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến:

π r^{2} = π {(\frac{R}{2})}^{2} = \frac{π R^{2}}{4} .

Câu 10:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng:

A. $\frac{a (1 + \sqrt{3})}{\sqrt{2}} .$

B. $\frac{a (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} .$

C. $\frac{a (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} .$

D. $\frac{a (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{2}} .$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng: (ảnh 1)

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy.

Gọi M là trung điểm của CD và I là chân đường phân giác trong của góc $\hat{S M H} (I \in S H)$

Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính r = IH

Ta có:

$\begin{array}{l} S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}; \\ S M = \frac{a \sqrt{3}}{2}; M H = \frac{a}{2} . \end{array}$

Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có: $\frac{I S}{I H} = \frac{M S}{M H}$

$\Rightarrow \frac{S H}{I H} = \frac{M S + M H}{M H} \Rightarrow I H = \frac{S H . M H}{M S + M H} = \frac{a}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} = \frac{a (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} .$

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

B. $3 a .$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{2} .$

D. $a \sqrt{6} .$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi I là trung điểm SC, suy ra IM // SA nên $I M ⊥ (A B C)$

Do đó IM là trục của $Δ A B C$ , suy ra IA = IB = IC

Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS = IC = IA

Từ (1) và (2) ta có IS = IA = IB = IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Vậy bán kính

R = I S = \frac{S C}{2} = \frac{\sqrt{S A^{2} + A C^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{2}

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên $S A = a \sqrt{6}$ và vuông góc với đáy (ABCD). Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ta được:

A. $a^{2} \sqrt{2} .$

B. $8 π a^{2} .$

C. $2 a^{2} .$

D. $2 π a^{2} .$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA = a căn bậc hai 6 và vuông góc với đáy (ABCD). (ảnh 1)

Gọi $O = A C \cap B D$ , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Gọi I là trung điểm SC, suy ra $I O ∥ S A \Rightarrow I O ⊥ (A B C D) .$

Do đó IO là trục của hình vuông ABCD, suy ra IA = IB = IC = ID (1)

Tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên IS = IC = IA. (2)

Từ (1) và (2), ta có: $R = I A = I B = I C = I D = I S = \frac{S C}{2} = a \sqrt{2} .$

Vậy diện tích mặt cầu

S = 4 π R^{2} = 8 π a^{2}

(đvdt).

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Cạnh bên

S A = a \sqrt{2}

, hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{2} .$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Cạnh bên SA = a căn bậc hai 2, hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm AC, suy ra $S M ⊥ (A B C) \Rightarrow S M ⊥ A C .$

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

Ta có

A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2}

, suy ra tam giác SAC đều.

Gọi G là trọng tâm $Δ S A C$ , suy ra $G S = G A = G C$ (1)

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có $S M ⊥ (A B C)$ nên SM là trục của tam giác ABC.

Mà G thuộc SM nên suy ra $G A = G B = G C$ (2)

Từ (1) và (2) , suy ra $G S = G A = G B = G C$ hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC .

Bán kính mặt cầu

R = G S = \frac{2}{3} S M = \frac{a \sqrt{6}}{3}

Câu 14:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $\frac{a \sqrt{21}}{6}$ . Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số $\frac{R}{h}$ bằng:

A. $\frac{7}{12}$

B. $\frac{7}{24} .$

C. $\frac{7}{6} .$

D. $\frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a căn bậc hai 21/6. (ảnh 1)

Gọi O là tâm $Δ A B C$ , suy ra $S O ⊥ (A B C)$ và $A O = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

Trong SOA, ta có $h = S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \frac{a}{2} .$

Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra

● $I \in d$ nên IS = IA

● $I \in S O$ nên IA = IB = IC

Do đó IA = IB IC = IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Gọi M là tung điểm SA, ta có $Δ S M I ÿ Δ S O A$ nên $R = S I = \frac{S M . S A}{S O} = \frac{S A^{2}}{2 S O} = \frac{7 a}{12} .$

Vậy

\frac{R}{h} = \frac{7}{6} .

Câu 15:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60^o . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{4 π a^{3}}{3} .$

B. $\frac{2 π a^{3} \sqrt{6}}{9} .$

C. $\frac{8 π a^{3} \sqrt{6}}{9} .$

D. $\frac{8 π a^{3} \sqrt{6}}{27} .$

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60 độ (ảnh 1)

Gọi $O = A C \cap B D$ , suy ra $S O ⊥ (A B C D)$

Ta có $60^{0} = \hat{S B, (A B C D)} = \hat{S B, O B} = \hat{S B O}$

Trong $Δ S O B$ , ta có $S O = O B . \tan \hat{S B O} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.

Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn SB

Gọi $I = S O \cap d \Rightarrow \{\begin{cases} I \in S O \\ I \in d \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} I A = I B = I C = I D \\ I S = I B \end{cases} \Rightarrow I A = I B = I C = I D = I S = R$

Xét $Δ S B D$ có $\{\begin{cases} S B = S D \\ \hat{S B D} = \hat{S B O} = 60^{o} \end{cases} \Rightarrow Δ S B D$ đều.

Do đó d cũng là đường trung tuyến của $Δ S B D$ . Suy ra I là trọng tâm $Δ S B D$ .

Bán kính mặt cầu

R = S I = \frac{2}{3} S O = \frac{a \sqrt{6}}{3}

. Suy ra

V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{8 π a^{3} \sqrt{6}}{27} .

Câu 16:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD = 2a, AB = BC = CD = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tỉ số

\frac{R}{a}

nhận giá trị nào sau đây?

A. $a \sqrt{2} .$

B. a

C. 1

D. $\sqrt{2} .$

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD = 2a, AB = BC = CD = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy. (ảnh 1)

Ta có $S A ⊥ A D$ hay $\hat{S A D} = 90^{0} .$

Gọi E là trung điểm AD

Ta có EA = AB = BC nên ABCE là hình thoi.

Suy ra $C E = E A = \frac{1}{2} A D$

Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:

$\{\begin{cases} D C ⊥ A C \\ D C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow D C ⊥ (S A C) \Rightarrow D C ⊥ S C$ hay $\hat{S C D} = 90^{0} .$

Tương tự, ta cũng có $S B ⊥ B D$ hay $\hat{S B D} = 90^{0} .$

Ta có

\hat{S A D} = \hat{S B D} = \hat{S C D} = 90^{0}

nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính

R = \frac{S D}{2} = \frac{\sqrt{S A^{2} + A D^{2}}}{2} = a \sqrt{2}

. Suy ra

\frac{R}{a} = \sqrt{2} .

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45^o. Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

A. $4 R = \sqrt{5} h .$

B. $\sqrt{5} R = 4 h .$

C. $R = \frac{4}{5 \sqrt{5}} h .$

D. $R = \frac{5 \sqrt{5}}{4} h .$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45 độ (ảnh 1)

Ta có $45^{0} = \hat{S C, (A B C D)} = \hat{S C, A C} = \hat{S C A}$

Trong $Δ S A C$ , ta có $h = S A = a \sqrt{5} .$

Ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ B N$

Lại có $N A ⊥ A C$ . Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn NC dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính $R = J N = \frac{N C}{2} = \frac{1}{2} . \sqrt{A C^{2} + {(\frac{S A}{2})}^{2}} = \frac{5 a}{4} .$

Câu 18:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng

S A = a \sqrt{2}

vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng

(α)

đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E, M, F nhận giá trị nào sau đây?

A. $a \sqrt{2} .$

B. a

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

D. $\frac{a}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng SA = a căn bậc hai 2 vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm SC, (ảnh 1)

Mặt phẳng $(α)$ song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên EF // BD

$Δ S A C$ cân tại A, trung tuyến AM nên $A M ⊥ S C$

Ta có $\{\begin{cases} B D ⊥ A C \\ B D ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S A C) \Rightarrow B D ⊥ S C$

Do đó $E F ⊥ S C$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $S C ⊥ (α) \Rightarrow S C ⊥ A E$ (*)

Lại có $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A E$ (**)

Từ (*) và (**), suy ra $A E ⊥ (S B C) \Rightarrow A E ⊥ S B$ . Tương tự ta cũng có $A F ⊥ S D .$

Do đó

\hat{S E A} = \hat{S M A} = \hat{S F A} = 90^{0}

nên năm điểm S, A, E, M, F cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính

R = \frac{S A}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}

.

Câu 19:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc đáy (ABCD). Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị nào sau đây?

A. $a \sqrt{2} .$

B. a

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

D. $\frac{a}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc đáy (ABCD). Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB. (ảnh 1)

Gọi $O = A C \cap B D$

Vì ABCD là hình vuông nên OB = OD = OC (1)

Ta có $\{\begin{cases} C B ⊥ A B \\ C B ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow C B ⊥ (S A B) \Rightarrow C B ⊥ A H$

Lại có $A H ⊥ S B$

Suy ra $A H ⊥ (S B C) \Rightarrow A H ⊥ H C$ nên tam giác AHC vuông tại H và có O là trung điểm cạnh huyền AC nên suy ra OH = OC. (2)

Từ (1) và (2), suy ra $R = O H = O B = O D = O C = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Câu 20:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC. Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB là:

A. $\frac{\sqrt{2} π a^{3}}{3} .$

B. $\sqrt{2} π a^{3} .$

C. $\frac{π a^{3}}{6} .$

D. $\frac{π a^{3}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông (ảnh 1)

Theo giả thiết, ta có $\hat{A B C} = 90^{0}$ và $\hat{A K C} = 90^{0}$ (1)

Do $\{\begin{cases} A H ⊥ S B \\ B C ⊥ A H (B C ⊥ (S A B)) \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ H C .$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra ba điểm B, H, K cùng nhìn xuống AC dưới một góc 90^o nên hình chóp A.HKCB nội tiếp mặt cầu tâm I là trung điểm AC, bán kính $R = \frac{A C}{2} = \frac{A B \sqrt{2}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Vậy thể tích khối cầu

V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{\sqrt{2} π a^{3}}{3}

(đvtt).

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, BD = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm OD. Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng 60^o . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nhận giá trị nào sau đây?

A. $\frac{a}{4} .$

B. $\frac{a}{3} .$

C. $\frac{a}{2} .$

D. a

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, BD = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm OD. (ảnh 1)

Ta có $60^{0} = \hat{S D, (A B C D)} = \hat{S D, H D} = \hat{S D H}$

Trong tam giác vuông SHB, có

$S H = \frac{B D}{4} . \tan \hat{S D H} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ và $S D = \frac{H D}{\cos \hat{S D H}} = \frac{a}{2} .$

Trong tam giác vuông SHB, có $S B = \sqrt{S H^{2} + H B^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Xét tam giác SBD, ta có $S B^{2} + S D^{2} = a^{2} = B D^{2}$

Suy ra tam giác SBD vuông tại S

Vậy các đỉnh S, A, C cùng nhìn xuống BD dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là O, bán kính

R = \frac{1}{2} B D = \frac{a}{2}

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60^o . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB) . Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $R = d [G, (S A B)] .$

B. $3 \sqrt{13} R = 2 S H .$

C. $\frac{R^{2}}{S_{Δ A B C}} = \frac{4 \sqrt{3}}{39} .$

D. $\frac{R}{a} = \sqrt{13} .$

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) (ảnh 1)

Ta có $60^{0} = \hat{S A, (A B C)} = \hat{S A, H A} = \hat{S A H}$

Tam giác ABC đều cạnh a nên $A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Trong tam giác vuông SHA, ta có $S H = A H . \tan \hat{S A H} = \frac{3 a}{2}$

Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với $(S A B)$ nên bán kính mặt cầu $R = d [G, (S A B)] .$

Ta có $d [G, (S A B)] = \frac{1}{3} d [C, (S A B)] = \frac{2}{3} d [H, (S A B)] .$

Gọi M, E lần lượt là trung điểm AB và MB

Suy ra $\{\begin{cases} C M ⊥ A B \\ C M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \end{cases}$ và $\{\begin{cases} H E ⊥ A B \\ H E = \frac{1}{2} C M = \frac{a \sqrt{3}}{4} \end{cases}$

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE, suy ra $H K ⊥ S E$ . (1)

Ta có $\{\begin{cases} H E ⊥ A B \\ A B ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S H E) \Rightarrow A B ⊥ H K .$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra nên $d [H, (S A B)] = H K$

Trong tam giác vuông SHE, ta có $H K = \frac{S H . H E}{\sqrt{S H^{2} + H E^{2}}} = \frac{3 a}{2 \sqrt{13}}$

Vậy

R = \frac{2}{3} H K = \frac{a}{\sqrt{13}} R = \frac{2}{3} H K = \frac{a}{\sqrt{13}}

Câu 23:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

A. $\frac{\sqrt{2} π a^{3}}{3} .$

B. $\frac{11 \sqrt{11} π a^{3}}{162} .$

C. $\frac{π a^{3}}{6} .$

D. $\frac{π a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. (ảnh 1)

Gọi $O = A C \cap B D$

Suy ra $O A = O B = O C = O D .$ (1)

Gọi M là trung điểm AB , do tam giác SAB vuông tại S nên MS = MA = MB.

Gọi H là hình chiếu của S trên AB

Từ giả thiết suy r $S H ⊥ (A B C D) .$

Ta có $\{\begin{cases} O M ⊥ A B \\ O M ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow O M ⊥ (S A B)$ nên OM là trục của tam giác SAB, suy ra OA = OB = OS (2)

Từ (1) và (2) , ta có OS = OA = OB = OC = OD

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD, bán kính $R = O A = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Suy ra

V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{\sqrt{2} π a^{3}}{3}

(đvtt).

Câu 24:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a. Cạnh bên $S A = a \sqrt{3}$ và vuông góc với đáy (ABC). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:

A. $\frac{a}{2} .$

B. $\frac{a \sqrt{13}}{2} .$

C. $\frac{a \sqrt{39}}{6} .$

D. $\frac{a \sqrt{15}}{4} .$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a. Cạnh bên SA = a căn bậc hai 3 và vuông góc với đáy (ABC). (ảnh 1)

Gọi G là trọng tâm $Δ A B C$ , suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$

Từ G dựng tia $G x ⊥ (A B C)$ (như hình vẽ).

Suy ra Gx là trục của tam giác ABC

Trong mặt phẳng (SA, Gx) kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA

Gọi $O = G x \cap d \Rightarrow \{\begin{cases} O \in G x \\ O \in d \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} O A = O B = O C \\ O A = O S \end{cases}$

$\Rightarrow O A = O B = O C = O S = R$

Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Ta có $O G = P A = \frac{1}{2} S A = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$A G = \frac{2}{3} A M = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Trong tam giác vuông OGA, ta có

R = O A = \sqrt{O G^{2} + A G^{2}} = \frac{a \sqrt{39}}{6} .

Câu 25:

Cho tứ diện O.ABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = 2a, OC = 3a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC là:

A. $a \sqrt{3}$

B. $\frac{3 a}{2} .$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{2} .$

D. $\frac{a \sqrt{14}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn D

Cho tứ diện O.ABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = 2a, OC = 3a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC là: (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm BC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ O B C .$

Kẻ $M x ⊥ (O B C)$ (như hình vẽ).

Suy ra Mx là trục của $Δ O B C$

Trong mặt phẳng (OA, Mx), kẻ trung trực d của đoạn thẳng OA cắt Mx tại I

Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Bán kính mặt cầu:

R = I O = \sqrt{I M^{2} + O M^{2}} = \frac{a \sqrt{14}}{2} .

Câu 26:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi I là trung điểm của BC, SI tạo với đáy (ABC) một góc 60^o . Gọi S, V lần lượt là diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tỉ số $\frac{V}{S}$ bằng ?

A. $a \sqrt{14}$

B. $\frac{a \sqrt{14}}{12} .$

C. $\frac{3 a \sqrt{14}}{4} .$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{6} .$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi I là trung điểm của BC, SI tạo với đáy (ABC) một góc 60 độ (ảnh 1)

Ta có $60^{o} = \hat{S I, (A B C)} = \hat{S I, A I} = \hat{S I A}$

Tam giác ABC vuông cân tại A, suy ra

A I = \frac{1}{2} B C = \frac{a \sqrt{2}}{2}

Trong $Δ S A I$ , ta có $S A = A I . \tan \hat{S I A} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Kẻ $I x ⊥ (A B C)$ (như hình vẽ).

Suy ra Ix là trục của $Δ A B C$

Trong mặt phẳng (SA,Ix), kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA cắt Ix tại J. Khi đó J chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính:

R = J A = \sqrt{J I^{2} + A I^{2}} = \frac{a \sqrt{14}}{4}

nên

\frac{V}{S} = \frac{R}{3} = \frac{a \sqrt{14}}{12} .

Câu 27:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc $\hat{B A D} = 120^{0}$ . Cạnh bên $S A = a \sqrt{3}$ và vuông góc với đáy (ABCD). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ACD nhận giá trị:

A. $\frac{a \sqrt{13}}{2 \sqrt{3}} .$

B. $\frac{2 a}{3} .$

C. $\frac{a \sqrt{13}}{3} .$

D. $\frac{a \sqrt{13}}{3 \sqrt{3}} .$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 120 độ. Cạnh bên SA = a căn bậc hai 3 và vuông góc với đáy (ABCD). (ảnh 1)

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ACD. Kẻ $G x ⊥ (A C D)$ , suy ra Gx là trục của $Δ A C D$

Trong mặt phẳng (SA.Gx), kẻ trung trực d của đoạn SA cắt Gx tại I.

Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Ta có $I G = M A = \frac{S A}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$G A = \frac{2}{3} A E = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

Suy ra bán kính: $R = I A = \sqrt{I G^{2} + G A^{2}} = \frac{a \sqrt{39}}{6} .$

Câu 28:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và BC = a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA = SB = a,

\hat{A S B} = 120^{0}

. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

A. $\frac{a}{4} .$

B. $\frac{a}{2} .$

C. a

D. 2a

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và BC = a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA = SB = a (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm AB, suy ra $S M ⊥ A B$ và $S M ⊥ (A B C)$

Do đó SM là trục của tam giác ABC

Trong mặt phẳng (SMB) , kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , bán kính R = RI

Ta có

A B = \sqrt{S A^{2} + S B^{2} - 2 S A . S B . \cos \hat{A S B}} = a \sqrt{3} .

Trong tam giác vuông SMB, ta có

$S M = S B . \cos \hat{M S B} = a . \cos 60^{0} = \frac{a}{2}$

Ta có $Δ S M B đ ồ n g d ạ n g Δ S P I$ , suy ra $\frac{S M}{S B} = \frac{S P}{S I} \Rightarrow R = S I = \frac{S B . S P}{S M} = a .$

Câu 29:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $A C = a \sqrt{3}$ , $\hat{A C B} = 30^{\circ}$ . Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60^o . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'.ABC bằng:

A. $\frac{3 a}{4} .$

B. $\frac{a \sqrt{21}}{4} .$

C. $\frac{a \sqrt{21}}{2} .$

D. $\frac{a \sqrt{21}}{8} .$

Xem đáp án

Chọn B

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a căn bậc hai 3, góc ACB = 30 độ . Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) (ảnh 1)

Ta có $60^{0} = \hat{A B', (A B C)} = \hat{A B', A B} = \hat{B' A B}$

Trong $Δ A B C$ , ta có $A B = A C . \sin \hat{A C B} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Trong $Δ B' B A$ , ta có $B B' = A B . \tan \hat{B' A B} = \frac{3 a}{2} .$

Gọi N là trung điểm AC, suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$

Gọi I là trung điểm A'C , suy ra $I N ∥ A A' \Rightarrow I N ⊥ (A B C)$

Do đó IN là trục của $Δ A B C$ , suy ra $I A = I B = I C . (1)$

Hơn nữa, tam giác A'AC vuông tại A có I là trung điểm A'C nên IA' = IC = IA (2)

Từ (1) và (2), ta có IA' = IA = IB = IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A'.ABC với bán kính

R = I A' = \frac{A' C}{2} = \frac{\sqrt{A A'^{2} + A C^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{21}}{4}

.

Câu 30:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 60^o và điểm G là trọng tâm tam giác ABC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A'B'C' bằng:

A. $\frac{85 a}{108} .$

B. $\frac{3 a}{2}$

C. $\frac{3 a}{4} .$

D. $\frac{31 a}{36} .$

Xem đáp án

Chọn D

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 60 độ và điểm G là trọng tâm tam giác ABC. (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm B'C', ta có

$60^{0} = \hat{(A B' C'), (A' B' C')} = \hat{A M, A' M} = \hat{A M A'}$

Trong $Δ A A' M$ , có $A' M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ ; $A A' = A' M . \tan \hat{A M A'} = \frac{3 a}{2}$

Gọi G' là trọng tâm tam giác đều A'B'C', suy ra G' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A' B' C' .$

Vì lặng trụ đứng nên $G G' ⊥ (A' B' C')$

Do đó GG' là trục của tam giác A'B'C'

Trong mặt phẳng (GC'G'), kẻ trung trực d của đoạn thẳng GC' cắt GG' tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A'B'C', bán kính R = GI

Ta có $Δ G P I đ ồ n g d ạ n g Δ G G' C' \Rightarrow \frac{G P}{G I} = \frac{G G'}{G C'}$

$\Rightarrow R = G I = \frac{G P . G C'}{G G'} = \frac{G C'^{2}}{2 G G'} = \frac{G G'^{2} + G' C'^{2}}{2 G G'} = \frac{31 a}{36}$

Câu 31:

Người ta định nghĩa mặt cầu (S) như sau, hãy chọn câu trả lời đúng.

A.

(S) =

{

M (x, y, z) / M I = R; I (a, b, c)

và

R \in R \begin{matrix} _{+} \\ ^{0} \end{matrix}

}

B.

(S) =

{

M (x, y, x) / \hat{A M B} = 90^{0}; A (x_{A}, y_{A}, z_{A})

và

B (x_{B}, y_{B}, z_{B})

}

C. Mặt cầu (S) là mặt sinh ra bởi một đường tròn khi quay quanh một đường kính.

D. Ba câu A, B và C

Xem đáp án

Chọn D

Câu 32:

Phương trình mặt câu tâm I(a, b,c ) có bán kính R là:

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z - R^{2} = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0, d = a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2}$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0, a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 33:

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi:

A. $d \neq 0$

B. d < 0

C. d > 0

D. $d \neq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Xem đáp án

Chọn B

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ (1)

Mà $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0,$ nên (1) đòi hỏi d < 0

Câu 34:

Điều kiện để $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + A x + B y + C z + D = 0$ là một mặt cầu là:

A. $A^{2} + B^{2} + C^{2} - D > 0$

B. $A^{2} + B^{2} + C^{2} - 2 D = 0$

C. $A^{2} + B^{2} + C^{2} - 4 D > 0$

D. $A^{2} + B^{2} + C^{2} + D = 0$

Xem đáp án

Chọn C

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + A x + B y + C z + D = 0$ có dạng:

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0 \Rightarrow a = - \frac{A}{2}; b = - \frac{B}{2}; c = - \frac{C}{2}; d = D$

(S) là mặt cầu

\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 \Leftrightarrow A^{2} + B^{2} + C^{2} - 4 D > 0

Câu 35:

Cho hai mặt cầu (S) và (S’) lần lượt có tâm I và J, bán kính R và R’. Đặt d = IJ. Câu nào sau đây sai?

I. $d > |R - R'| \Rightarrow (S)$ và (S') trong nhau

II. $0 < d < R + R' \Rightarrow (S)$ và (S') ngoài nhau

III. $d = |R - R'| \Rightarrow (S)$ và (S') tiếp xúc ngoài

IV.

d = R + R' \Rightarrow (S)

và (S') tiếp xúc trong

A. Chỉ I và II

B. Chỉ I và III

C. Chỉ I và IV

D. Tất cả đều sai.

Xem đáp án

Chọn D

$d > |R - R'| \Rightarrow (S)$ và (S') ngoài nhau

$0 < d < R + R' \Rightarrow (S)$ và (S') cắt nhau

$d = |R - R'| \Rightarrow (S)$ và (S') tiếp xúc trong

$d = R + R' \Rightarrow (S)$ và (S') tiếp xúc ngoài.

Vậy cả 4 mệnh đề đều sai.

Câu 36:

Hai mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0

và

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a' x - 2 b' y - 2 c' z + d' = 0

, cắt nhau theo đường tròn có phương trình :

A. $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0 \\ 2 (a - a') x + 2 (b - b') y + 2 (c - c') z + d' - d = 0 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a' x - 2 b' y - 2 c' z + d' = 0 \\ 2 (a - a') x + 2 (b - b') y + 2 (c - c') z + d' - d = 0 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0 \\ 2 (a - a') x + 2 (b - b') y + 2 (c - c') z + d - d' = 0 \end{cases}$

D. Hai câu A và B

Xem đáp án

Chọn D

Hai câu A và B đúng

Câu 37:

Cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ và mặt phẳng $(P) : A x + B y + C z + D = 0$

I. $\frac{|A a + B b + C c + D| - \sqrt{(A^{2} + B^{2} + C^{2}) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - d)}}{A^{2} + B^{2} + C^{2}} > 0 \Rightarrow (P)$ cắt (S)

II. $\frac{|A a + B b + C c + D| - \sqrt{(A^{2} + B^{2} + C^{2}) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - d)}}{A^{2} + B^{2} + C^{2}} = 0 \Rightarrow (P)$ tiếp xúc (S)

III.

\frac{|A a + B b + C c + D| - \sqrt{(A^{2} + B^{2} + C^{2}) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - d)}}{A^{2} + B^{2} + C^{2}} < 0 \Rightarrow (P)

không cắt (S)

A. Chỉ I và II

B. Chỉ I và III

D. Chỉ II

Xem đáp án

Chọn B

I và III sai

Câu 38:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(1;3;0), B(-2;1;1) và đường thẳng:

(Δ) : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{- 2}

. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm I thuộc

(Δ)

A. ${(x + \frac{2}{5})}^{2} + {(y - \frac{13}{10})}^{2} + {(z + \frac{3}{5})}^{2} = \frac{521}{100}$

B. ${(x + \frac{2}{5})}^{2} + {(y - \frac{13}{10})}^{2} + {(z + \frac{3}{5})}^{2} = \frac{25}{3}$

C. ${(x - \frac{2}{5})}^{2} + {(y + \frac{13}{10})}^{2} + {(z - \frac{3}{5})}^{2} = \frac{521}{100}$

D. ${(x + \frac{2}{5})}^{2} + {(y - \frac{13}{10})}^{2} + {(z + \frac{3}{5})}^{2} = \frac{25}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Thử 4 đáp án, ở đây thầy thử trước đáp án A nhé

Nhập

{(X + \frac{2}{5})}^{2} + {(Y - \frac{13}{10})}^{2} + {(M + \frac{3}{5})}^{2} - \frac{521}{100} \frac{C a l c}{\{\begin{cases} X = 1 \\ Y = 3 \\ M = 0 \end{cases}; \{\begin{cases} X = - 2 \\ Y = 1 \\ M = 1 \end{cases}} \to = > A

Câu 39:

Với điều kiện nào của m thì mặt phẳng cong sau là mặt cầu? $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (3 - m) x - 3 (m + 1) y - 2 m z + 2 m^{2} + 7 = 0$

A. $m < 2 \lor m > 3$

B. $1 \leq m \leq 3$

C. $m < 1 \lor m < 3$

D. $m = 1 \lor m = 3$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $a = m - 3; b = m + 1; c = m; d = 2 m^{2} + 7$

(S) là mặt cầu $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

$\Leftrightarrow {(m - 3)}^{2} + {(m + 1)}^{2} + m^{2} - 2 m^{2} - 7 > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 m + 3 > 0 \Leftrightarrow m < 1 \lor m > 3$

Câu 40:

Giá trị

α

phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu:

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (3 - \cos^{2} α) x + 4 (\sin^{2} α - 1) + 2 z + \cos 4 α + 8 = 0

?

(k \in ℤ)

A. $\frac{2 π}{3} + k 2 π < α < \frac{4 π}{3} + k 2 π$

B. $\frac{π}{3} + k 2 π < α < \frac{2 π}{3} + k 2 π$

C. $- \frac{π}{6} + k π < α < \frac{π}{6} + k π$

D. $\frac{π}{3} + k π < α < \frac{2 π}{3} + k π$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $a = 2 \cos^{2} α - 3 = \cos 2 α - 2; b = 2 (1 - \sin^{2} α) = \cos 2 α + 1; c = - 1;$

$d = \cos 4 α + 8 = 2 \cos^{2} 2 α + 7. (S)$ là mặt cầu $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 1 + \cos 2 α < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2 π}{3} + k 2 π < 2 α < \frac{4 π}{3} + k 2 π \\ \Leftrightarrow \frac{π}{3} + k π < α < \frac{2 π}{3} + k π, k \in ℤ \end{array}

Câu 41:

Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong sau là mặt cầu: $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (2 - \ln t) x + 4 \ln t . y + 2 (\ln t + 1) z + 5 \ln^{2} t + 8 = 0$

A. $t < \frac{1}{e} \lor t > 3 e$

B. $\frac{1}{e} < t < 3 e$

C. $e < t < e^{3}$

D. $0 < t < \frac{1}{e} \lor t > e^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $a = \ln t - 2; b = - 2 \ln t; c = - \ln t - 1; d = 5 \ln^{2} t + 8$

(S) là mặt cầu $\Leftrightarrow {(\ln t - 2)}^{2} + 4 \ln^{2} t + {(\ln t + 1)}^{2} - 5 \ln^{2} t - 8 > 0$

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \ln^{2} t - 2 \ln t - 3 > 0 \Leftrightarrow \ln t < - 1 \lor \ln t > 3 \\ \Leftrightarrow 0 < t < \frac{1}{e} \lor t > e^{3} \end{array}

Câu 42:

Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (1 - m) x +$ $2 (3 - 2 m) y$ $2 (m - 2) z + 5 m^{2} - 9 m + 6 = 0$

A. Đường thẳng:

x + 1 = \frac{y + 3}{2} = 2 - z

B. Phần đường thẳng:

x + 1 = \frac{y + 3}{2} = 2 - z

với

x < 0 \lor x > 7

C. Phần đường thẳng:

x + 1 = \frac{y + 3}{2} = 2 - z

với

0 < x < 7

D. Phần đường thẳng:

x + 1 = \frac{y + 3}{2} = z - 2

với

x < 1 \lor x > 8

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $a = m - 1; b = 2 m - 3; c = 2 - m; d = 5 m^{2} - 9 m + 6$

Tâm $I (x = m - 1; y = 2 m - 3; z = 2 - m)$

$\Rightarrow x + 1 = \frac{y + 3}{2} = 2 - z$

(S)

là mặt cầu

\Leftrightarrow {(m - 1)}^{2} + {(2 m - 3)}^{2} + {(2 - m)}^{2} - 5 m^{2} + 9 m - 6 > 0

\begin{array}{l} \Leftrightarrow m^{2} - 9 m + 8 > 0 \Leftrightarrow m < 1 \lor m > 8 \\ \Leftrightarrow m - 1 < 0 \lor m - 1 > 7 \Leftrightarrow x < 0 \lor x > 7 \end{array}

Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng $x + 1 = \frac{y + 3}{2} = 2 - z$ tương ứng với $x < 0 \lor x > 7$

Câu 43:

Với giá trị nào của m thì mặt phẳng

(P) : 2 x - y + z - 5 = 0

tiếp xúc với mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 m x + 2 (2 - m) y - 4 m z + 5 m^{2} + 1 = 0 ?

A. $m = - 3$

B. $m = 1 \lor m = - 3$

C. $m = 1$

D. $m = - 1 \lor m = 3$

Xem đáp án

Chọn A

$a = m; b = m - 2; c = 2 m; d = 5 m^{2} + 1.$ Tâm $I (m, m - 2, 2 m)$

$\Rightarrow R^{2} = m^{2} + {(m - 2)}^{2} + 4 m^{2} - 5 m^{2} - 1 = m^{2} - 4 m + 3 > 0$

$\Rightarrow m < 1 \lor m > 3. (P)$ tiếp xúc (S) khi:

$d (I, P) = \frac{|3 m - 3|}{\sqrt{6}} = R = \sqrt{m^{2} - 4 m 3}$

$\Leftrightarrow m^{2} + 2 m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3 \lor m = 1$ (loại)

$\Rightarrow m = - 3$

Câu 44:

Với giá trị nào của m thì mặt phẳng $(Q) : x + y + z + 3 = 0$ cắt mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 (m + 1) x + 2 m y - 2 m z + 2 m^{2} + 9 = 0$ ?

A. $- 4 < m < 5$

B. $m = - 4 \lor m = 5$

C. $m > 5$

D. $m < - 4 \lor m > 5$

E. $m < - 4$

Xem đáp án

Chọn D

$a = m + 1; b = - m; c = m; d = 2 m^{2} + 9.$ Tâm $I (m + 1, - m, m)$

$\Rightarrow R^{2} = {(m + 1)}^{2} + m^{2} + m^{2} - 2 m^{2} - 9 = m^{2} + 2 m - 8 > 0$

$\Rightarrow m < - 4 \lor m > 2.$ (P) cắt (S) khi:

$d (I, P) < R \Leftrightarrow \frac{|m + 4|}{\sqrt{3}} < \sqrt{m^{2} + 2 m - 8} \Leftrightarrow m < - 4 \lor m > 5$

Câu 45:

Mặt phẳng $(P) : 2 x - 4 y + 4 z + 5 = 0$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y +$ $2 z -$ $3 = 0$

A. Tiếp xúc

B. Không cắt nhau

C. Cắt nhau

D. (P) qua tâm của (S)

Xem đáp án

Chọn C

$a = 1; b = - 2; c = - 1; d = - 3 \Rightarrow R = 3.$ . Tâm I(1,-2,-1)

$d (I, P) = \frac{11}{6} < R = 3 \Rightarrow$ (P) cắt (S)

Câu 46:

Xét vị trí tương đối của mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - - 6 x - 4 y - 8 z + 13 = 0

và mặt phẳng

(Q) : x - 2 y + 2 z + 5 = 0.

A. Cắt nhau

B. Tiếp xúc

C (Q) là mặt phẳng đối xứng của (S)

D. Không cắt nhau

Xem đáp án

Chọn B

$a = 3; b = 2; c = 4; d = 13 \Rightarrow R = 4.$ Tâm I(3,2,4)

$d (I, P) = \frac{12}{3} = 4 = R \Rightarrow (P)$ tiếp xúc (S)

Câu 47:

Hai mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 6 y + 4 z + 5 = 0$ ; $(S') : x^{2} + y^{2} + z^{2} -$ $6 x + 2 y -$ $4 z - 2 = 0 :$

A. Tiếp xúc ngoài

B. Cắt nhau

C. Tiếp xúc ngoài

D. Cắt nhau.

Xem đáp án

Chọn D

$(S) : a = 1; b = 3; c = - 2; d = 5 \Rightarrow$ Tâm I(1,3,-2) ; bán kính R = 3

$(S') : a' = 3; b' = - 1; c' = 2; d' = - 2 \Rightarrow$ Tâm K(3,-1,2); bán kính R' = 4

$I J^{2} = {(1 - 3)}^{2} + {(3 + 1)}^{2} + {(- 2 - 2)}^{2} = 36 \Rightarrow I J = 6 < R + R'$

=> (S) và (S') cắt nhau.

Câu 48:

Hai mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y - 10 z - 11 = 0;

(S') : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - 6 z - 5 = 0 :

A. Ngoài nhau

B. Cắt nhau

C. Tiếp xúc trong

D. Trong nhau

Xem đáp án

Chọn C

$(S) : a = 2; b = - 3; c = 5; d = - 11 \Rightarrow$ Tâm I(2,-3,5) bán kinh R = 7

$(S') = a' = 1; b' = - 1; c' = 3; d' = - 5 \Rightarrow$ Tâm J(1,-1,3), bán kính R' = 4

$I J^{2} = {(1 - 2)}^{2} + {(- 1 + 3)}^{2} + {(3 - 5)}^{2} = 9 \Rightarrow I J = 3 = R - R'$

(S) và (S') tiếp xúc trong

Câu 49:

Cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 6 z - 2 = 0

và mặt phẳng

(P) : 3 x + 2 y + 6 z + 1 = 0

. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Tính tọa độ tâm H của (C).

A. $(- \frac{15}{7}, \frac{13}{7}, - \frac{3}{7})$

B. $(\frac{15}{7}, \frac{13}{7}, - \frac{3}{7})$

C. $(\frac{5}{7}, \frac{13}{7}, - \frac{3}{7})$

D. $(\frac{15}{7}, - \frac{13}{7}, \frac{3}{7})$

Xem đáp án

Chọn A

(S) có tâm I(-2,1,-3); pháp vecto của (P) $: \vec{n} = (3, 2, 6)$

$\begin{array}{l} I H ⊥ (P) \Rightarrow I H : x = - 2 + 3 t; y = 1 + 2 t; z = - 3 + 6 t \\ H \in (P) \Rightarrow 3 (- 2 + 3 t) + 2 (1 + 2 t) + 6 (- 3 + 6 t) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{7} \\ \Rightarrow H (- \frac{5}{7}, \frac{13}{7}, - \frac{3}{7}) \end{array}$

Câu 50:

Cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 6 z - 2 = 0

và mặt phẳng

(P) : 3 x + 2 y + 6 z + 1 = 0

. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Viết phương trình mặt cầu cầu (S') chứa (C) và điểm M(1,-2,1)

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 5 x - 8 y + 12 z - 5 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 5 x - 8 y + 12 z + 5 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 5 x + 8 y - 12 z + 5 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 5 x - 8 y - 12 z - 5 = 0$

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình của $(S') : (S) + m (P) = 0, m \neq 0$

$(S') : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 6 z - 2 + m (3 x + 2 y + 6 z + 1) = 0$

(S') qua $M (1, - 2, 1) \Rightarrow 6 m + 18 = 0 \Leftrightarrow m = - 3$

$\Rightarrow (S') : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 5 x - 8 y - 12 z - 5 = 0$

Câu 51:

Cho hai mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 2 z - 3 = 0

và

(S') : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z - 2 = 0;

Gọi (C) là giao tuyến của (S) và (S'). Viết phương trình của (C)

A. $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 2 z - 3 = 0 \\ 10 x - 6 y + 4 z - 1 = 0 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z - 2 = 0 \\ 10 x + 6 y - 4 z + 1 = 0 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z - 2 = 0 \\ 10 x - 6 y + 4 z - 1 = 0 \end{cases}$

D. Hai câu A và C

Xem đáp án

Chọn D

$M (x, y, z)$ là điểm chung của hai mặt cầu $\Rightarrow M \in (C)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 2 z - 3 = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z - 2 \\ \Rightarrow (C) \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 2 z - 3 = 0 \\ 10 x - 6 y + 4 z - 1 = 0 \end{cases} h a y \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z - 2 = 0 \\ 10 x - 6 y + 4 z - 1 = 0 \end{cases} \end{array}$

Câu 52:

Cho hai mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 2 z - 3 = 0

và

(S') : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z - 2 = 0.

Gọi (C) là giao tuyến của (S) và (S'). Viết phượng trình mặt cầu

(S_{1})

qua (C) và điểm A(2,1,-3)

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 26 x - 24 y + 2 z - 8 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 26 x + 24 y - 2 z + 8 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 106 x + 64 y - 42 z + 8 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 106 x - 64 y + 42 z - 8 = 0$

Xem đáp án

Chọn C

$(S_{1})$ thuộc họ (chùm) mặt cầu có phương trình $(S) + m (S') = 0, m \neq 0$

A \in (S_{1}) \Rightarrow 10 m + 11 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{11}{10} .

Thay vào phương trình trên:

\Rightarrow (S_{1}) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 106 x + 64 y - 42 z + 8 = 0

Câu 53:

Cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x - 4 y - 4 z - 12 = 0$ . Viết phương trình tổng quát của đường kính AB song song với đường thẳng $(D) : x = 2 t + 1; y = 3; z = 5 t + 2, t \in ℝ$

A. $\{\begin{cases} 5 x + 2 z - 11 = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} 5 x - 2 z - 11 = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} 5 x - 2 z + 11 = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} 5 x + 2 z - 11 = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn B

Tâm I(3,2,2) vecto chỉ phương của $A B : \vec{a} = (2, 0, 5)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B : x = 3 + 2 t; y = 2; z = 2 + 5 t, t \in ℝ \\ \Rightarrow A B \{\begin{cases} \frac{x - 3}{2} = \frac{z - 2}{5} \\ y = 2 \end{cases} \Rightarrow A B \{\begin{cases} 5 x - 2 z - 11 = 0 \\ y = 2 \end{cases} \end{array}$

Câu 54:

Cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x - 4 y - 4 z - 12 = 0

. Viết phương trình giao tuyến của (S) và mặt phẳng (yOz).

A. $\{\begin{cases} {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 20 \\ x = 0 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4 \\ x = 0 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4 \\ x = 0 \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 20 \\ x = 0 \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn A

Phương trình giao tuyến của (S) và mặt phẳng (yOz)

\{\begin{cases} x = 0 \\ y^{2} + z^{2} - 4 y - 4 z - 12 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 20 \end{cases}

Câu 55:

Cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x - 4 y - 4 z - 12 = 0

. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đối xứng (P) của (S) vuông góc với đường kính qua gốc O

A.

3 x - 2 y + 2 z - 17 = 0

B. $3 x + 2 y - 2 z + 17 = 0$

C. $2 x - 3 y - 2 z - 16 = 0$

D. $3 x + 2 y + 2 z - 17 = 0$

Xem đáp án

Chọn D

Pháp vecto của $(P) : \vec{n} = \vec{O I} = (3, 2, 2) . (P)$ qua I(3,2,2)

$\begin{array}{l} \Rightarrow (P) : 3 (x - 3) + 2 (y - 2) + 2 (z - 2) = 0 \\ \Rightarrow (P) : 3 x + 2 y + 2 z - 17 = 0 \end{array}$

Câu 56:

Cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x - 4 y - 4 z - 12 = 0$ . Gọi A là giao điểm của (S) và trục y'Oy có tung độ âm. Viết phương trình tổng quát của tiếp diện (Q) của (S) tại A

A. $3 x - 4 y + 2 z + 24 = 0$

B. $3 x + 4 y + 2 z - 8 = 0$

C. $3 x + 4 y + 2 z + 8 = 0$

D. $3 x - 4 y + 2 z - 24 = 0$

Xem đáp án

Chọn C

Giao điểm của (S) và trục $y' O y : x = 0; z = 0 \Rightarrow y^{2} - 4 y - 12 = 0$

$\Rightarrow y = - 2 \lor y = 6$ (loại) $\Rightarrow A (0, - 2, 0) \Rightarrow \vec{A I} = (3, 4, 2)$

Tiếp diện $(Q) ⊥ A I$ tại $A \Rightarrow (Q) : 3 x + 4 (y + 2) + 2 z = 0$

$\Rightarrow (Q) : 3 x + 4 y + 2 z + 8 = 0$

Câu 57:

Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(0,-1,0); B(2,0,1); C(1,0,-1); D(1,-1,0)

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x + y - z - 2 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z - 2 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + y - 2 z + 2 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + z + 2 = 0$

Xem đáp án

Chọn B

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ qua A, B, C, D

$\Rightarrow (S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z - 2 = 0$

Câu 58:

Với giá trị nào của m thì mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 m y + 4 m z + 4 m^{2} + 3 m + 2 = 0

tiếp xúc trục z'Oz

A. -2

B. 2

C. $\frac{2}{3}$

D. $- \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Chọn D

(S) có tâm I(-2,m,-2m), bán kính $R = \sqrt{m^{2} - 3 m + 2}, m < 1 \lor m > 2$

Hình chiếu A của I trên z’Oz là tiếp điểm của (S) và z’Oz $\Rightarrow A (0, 0, - 2 m)$

Ta có: $d (I, z' O z) = A I = \sqrt{4 + m^{2}} = R = \sqrt{m^{2} - 3 m + 2}$

$\Leftrightarrow 4 + m^{2} = m^{2} - 3 m + 2 \Leftrightarrow m = - \frac{2}{3}$

Câu 59:

Với giá trị nào của m thì hai mặt cầu sau tiếp xúc trong?

(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 81; (S') : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = {(m - 3)}^{2}, m > 3

A. $m = 6 \lor m = 18$

B. m = 12

C. m = 6

D. m = 18

Xem đáp án

Chọn A

(S) có tâm I(3,-2,-1), bán kính R = 9

(S') có tâm J(1,2,3) bán kính $R' = m - 3, m > 3.$

$I J^{2} = {(1 - 3)}^{2} + {(2 + 2)}^{2} + {(3 + 1)}^{2} = 36 \Rightarrow I J = 6$

(S) và (S') tiếp xúc trong

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow |9 - (m - 3)| = 6 \Leftrightarrow |12 - m| = 6 \\ \Leftrightarrow m = 6 \lor m = 18 \end{array}$

Câu 60:

Tính bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng

(P) : x - 2 y + 2 z - 3 = 0

và mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y + 6 z - 2 = 0

A. $\sqrt{5}$

B. 1

C. 7

D. $\sqrt{7}$

Xem đáp án

Chọn D

(S) có tâm I(2,1,-3), bán kính $R = 4 \Rightarrow d (I, P) = 3 = I H, I H ⊥ (P)$

$\Rightarrow r^{2} = R^{2} - I H^{2} = 16 - 9 = 7 \Rightarrow r = \sqrt{7}$

Câu 61:

Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(-2,1,-1) qua A(4,3,-2)

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 2 z + 35 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 2 z - 35 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 2 z + 35 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y - 2 z - 35 = 0$

Xem đáp án

Chọn B

$\begin{array}{l} M (x, y, z) \in (S) \Rightarrow I M^{2} = I A^{2} \\ \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = {(4 + 2)}^{2} + {(3 - 1)}^{2} + {(- 2 + 1)}^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 2 z - 35 = 0 \end{array}$

Câu 62:

Viết phương trình mặt cầu (S) tâm E(-1,2,4) qua gốc O

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 8 z + 42 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 8 z + 21 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 8 z - 42 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 8 z = 0$

Xem đáp án

Chọn D

$\begin{array}{l} M (x, y, z) \in (S) \Rightarrow E M^{2} = O E^{2} \\ \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 1 + 4 + 16 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 8 z = 0 \end{array}$

Câu 63:

Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB với A(4,-3,5); B(2,1,3)

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 x + 2 y - 8 z - 26 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 2 y - 8 z + 26 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 2 y - 8 z + 20 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 x - 2 y + 8 z - 20 = 0$

Xem đáp án

Chọn C

$M (x, y, z) \in (S) \Rightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = 0$

Với $\vec{A M} = (x - 4, y + 3, z - 5)$ và $\vec{B M} = (x - 2, y - 1, z - 3)$

$(1) \Leftrightarrow (x - 4) (x - 2) = (y + 3) (y - 1) + (z - 5) (z - 3) = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 2 y - 8 z + 20 = 0$

Câu 64:

Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng song song

(P) : x - 2 y + 2 z + 6 = 0; (Q) : x - 2 y + 2 z - 10 = 0

và có tâm I ở trên trục y'Oy

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 y + 55 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 y - 60 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + - 2 y - \frac{55}{9} = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 y - \frac{55}{9} = 0$

Xem đáp án

Chọn D

(P) và (Q) cắt y'Oy lần lượt tại A(0,3,0) và B(0,-5,0)

Tâm I(0,-1,0). Bán kính $R = d (I, P) = \frac{8}{3}$

$\Rightarrow (S) : x^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = \frac{64}{9} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{55}{9} = 0$

Câu 65:

Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(1,2,-3) tiếp xúc với mặt phẳng

(P) : 4 x - 2 y + 4 z - 3 = 0

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 6 z + \frac{31}{4} = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 6 z + 31 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 6 z + \frac{25}{4} = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + - 2 x - 4 y + 6 z + 25 = 0$

Xem đáp án

Chọn A

Bán kính $R = d (I, P) = \frac{5}{2} \Rightarrow (S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{25}{4}$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 6 z + \frac{31}{4} = 0$

Câu 66:

Viết phương trình tổng quát của tiếp diện của mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y - 2 z - 10 = 0

song song với mặt phẳng

(P) : 2 x - 3 y + 6 z - 7 = 0

A. $2 x - 3 y + 6 z - 17 = 0; 2 x - 3 y + 6 z + 24 = 0$

B. $2 x - 3 y + 6 z - 17 = 0; 2 x - 3 y + 6 z + 31 = 0$

C. $2 x - 3 y + 6 z + 21 = 0; 2 x - 3 y + 6 z - 35 = 0$

D. $2 x - 3 y + 6 z + 4 = 0; 2 x - 3 y + 6 z - 8 = 0$

Xem đáp án

Chọn C

(S) có tâm I(2,1,1), bán kính R = 4. Tiếp điểm của (S) có phương trình: $(Q) : 2 x - 3 y + 6 z + m = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d (I, Q) = R \Leftrightarrow \frac{|m + 7|}{7} = 4 \Leftrightarrow m = 21 \lor m = - 35 \\ \Rightarrow (Q) : 2 x - 3 y + 6 z + 21 = 0; (Q') : 2 x - 3 y + 6 z - 35 = 0 \end{array}$

Câu 67:

Viết phươngng trình mặt cầu (S) tâm I(4,2,-1) nhận đường thẳng (D): $\frac{x - 2}{2} = y + 1 = \frac{z - 1}{2}$ làm tiếp tuyến.

A. ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 4$

B. ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 16$

C. ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

D. ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3$

Xem đáp án

Chọn B

(D) qua A(2,-1,1) có vecto chỉ phương $\vec{a} = (2, 1, 2) \Rightarrow |\vec{a}| = 3$

$\vec{A I} = (2, 3, - 2) \Rightarrow [\vec{a}, \vec{A I}] = (- 8, 8, 4) \Rightarrow |[\vec{a}, \vec{A I}]| = 12$

$\Rightarrow r = d (I, D) = \frac{12}{3} = 4 \Rightarrow (S) : {(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 16$

Câu 68:

Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 4 z - 2 = 0

qua trục y’Oy.

A. $z = 0; 4 x - 3 z = 0$

B. $z = 0; 3 x - 4 z = 0$

C. $z = 0; 3 x + 4 z = 0$

D. $z = 0; 4 x + 3 z = 0$

Xem đáp án

Chọn D

(S) có tâm I(1,1,2), bán kính R = 2. Phương trình tiếp diện của (S) qua $y' O y : (P) : x + B z = 0, A^{2} + B^{2} > 0.$

(P) tiếp xúc $(S) \Leftrightarrow d (I, P) = R \Leftrightarrow \frac{|A + 2 B|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = 2$

$\Leftrightarrow A (3 A + 4 B) = 0 \Leftrightarrow A = 0 \lor A = \frac{4 B}{3} \Rightarrow [\begin{array}{l} (P) : B z = 0 \\ (P') = \frac{4 B x}{3} + B z = 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (P) : z = 0 \\ (P') : 4 x + 3 z = 0 \end{cases}$

Câu 69:

Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(-3,2,2) tiếp xúc với mặt cầu (S’):

A. ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 100$

B. ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

C. ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 2$

D. ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 10$

Xem đáp án

Chọn A

(S') có tâm J(1,-2,4), bán kính $R' = 4 \Rightarrow I J = 6$

Gọi R là bán kính của (S). (S) và (S') tiếp xúc trong khi và chỉ khi:

$|R - R'| = I J \Leftrightarrow |R - 4| = 6 \Rightarrow R = 10 \lor R = - 2$ (loại)

$\Rightarrow (S) : {(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 100$

Câu 70:

Viết phương trình mặt cầu (S) qua gốc O và các giao điểm của mặt phẳng

(P) : 2 x + y - 3 z + 6 = 0

với ba trục tọa độ

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3 x + 6 y + 2 z = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3 x - 6 y - 2 z = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 3 x + 6 y + 2 z = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 3 x + 6 y - 2 z = 0$

Xem đáp án

Chọn D

(P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại $A (- 3, 0, 0); B (0, - 6, 0), C (0, 0, 2)$

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0 qua O, A, B, C,$ nên:

$d = 0; 9 + 6 a = 0 \Leftrightarrow a = - \frac{3}{2}; 36 + 12 b = 0 \Leftrightarrow b = - 3; 4 - 4 c = 0 \Leftrightarrow c = 1$

Vậy $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 3 x + 6 y - 2 z = 0$

Câu 71:

Cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 6 z - 5 = 0

và mặt phẳng

(P) : x - 2 y + 2 z + 3 = 0

. Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp diện di động (Q) vuông góc với (P). tập hợp các điểm M là:

A. Mặt phẳng:

x - 2 y + 2 z + 9 = 0

B. Mặt phẳng:

x - 2 y + 2 z - 9 = 0

C. Đường tròn:

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 6 z - 5 = 0; x - 2 y + 2 z - 9 = 0

D. Đường tròn:

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 6 z - 5 = 0; x - 2 y + 2 z + 9 = 0

Xem đáp án

Chọn D

(S) có tâm I(-1,1,-3), bán kính R = 4. IM vuông góc với (Q), nên IM // (P) => M nằm trong mặt phẳng (R) qua I và song song với (P).

Phương trình $(R) : x - 2 y + 2 z + D = 0. I \in (R) \Rightarrow D = 9$

$\Rightarrow (R) : x - 2 y + 2 z + 9 = 0$

$M \in (S) \Rightarrow$ Tập hợp các điểm M là đường tròn giao tuyến của (S) và (R):

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 6 z - 5 = 0 \\ x - 2 y + 2 z + 9 = 0 \end{cases}$

Câu 72:

Cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 6 z - 5 = 0

và mặt phẳng

(P) : x - 2 y + 2 z + 3 = 0

. Viết phương trình mặt cầu (S’) có bán kính nhỏ nhất chứa giao tuyến của (S) và (P).

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x + 2 y + 10 z - 27 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x + 2 y + 10 z - 9 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{2 x}{3} - \frac{2 y}{3} - \frac{10}{3} - 9 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{2 y}{3} + \frac{10}{3} - 9 = 0$

Xem đáp án

Chọn D

(S') : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 6 z - 5 + m (x - 2 y + 2 z + 3) = 0 \Leftrightarrow (S') : x^{2} + y^{2} + z^{2} + (m + 2) x - 2 (m + 1) y + 2 (m + 3) z + 3 m - 5 = 0

(S') có bán kính nhỏ nhất <=> Tâm $H (- \frac{m + 2}{2}, m + 1, - m - 3) \in (P)$

$\Leftrightarrow - \frac{m + 2}{2} - 2 (m + 1) + 2 (- m - 3) + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}$

Vậy $(S') : x^{2} + y^{2} + = z^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} y + \frac{10}{3} z - 9 = 0$

Câu 73:

Cho tứ diện ABCD có A(1,1,1); B(3,3,1); C(3,1,3); D(1,3,3). Viết phương trình mặt cầu ( S₁ ) tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện

A. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

B. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 2$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 1$

D. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 1$

Xem đáp án

Chọn C

\vec{A B} = (2, 2, 0); \vec{A C} = (2, 0, 2); \vec{A D} = (0, 2, 2); \vec{B C} = (0, - 2, 2) \vec{B D} = (- 2, 0, 2); \vec{C D} = (- 2, 2, 0) \Rightarrow A B = A C = A D = B C = B D = C D = 2 \sqrt{2}

=> Mặt cầy $(S_{2})$ tiếp xúc với 6 cạnh tại trung điểm của chúng.

Gọi I và J là trung điểm của AB và CD

$\Rightarrow I J = 2. (S_{1})$ có bán kính $R_{1} = 1,$ tâm $E (2, 2, 2)$

$\Rightarrow (S_{1}) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 1$

Câu 74:

Cho tứ diện ABCD có A(1,1,1); B(3,3,1; C(3,1,3); D(3,1,3). Viết phương trình mặt cầu ( S₂ ) nội tiếp tứ diện.

A. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = \frac{1}{9}$

B. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = \frac{1}{3}$

C. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = \frac{1}{9}$

D. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

$A B = A C = A D = B C = C D = D B = 2 \sqrt{2} \Rightarrow$ Tứ diện ABCD đều.

$(S_{2})$ tiếp xúc với bốn mặt của tứ diện tại trọng tâm của mỗi mặt.

Trọng tâm G của tam giác đều ACD: $G (\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{7}{3});$ tâm của $(S_{2}) : E (2, 2, 2) .$

Bán kính của $(S_{2}) : R_{2}^{2} = E G^{2} = {(\frac{5}{3} - 2)}^{2} + {(\frac{5}{3} - 2)}^{2} + {(\frac{7}{3} - 2)}^{2} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow (S_{2}) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = \frac{1}{3}$

Câu 75:

Viết phương trình mặt cầu ( S₃ ) ngoại tiếp tứ diện.

A. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 3$

B. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$

C. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 3$

D. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9$

Xem đáp án

Chọn A

Tứ diện ABCD đều $\Rightarrow (S_{3})$ có tâm E(2,2,2)

Bán kính $R_{3}^{2} = E A^{2} = {(1 - 2)}^{2} + {(1 - 2)}^{2} + {(1 - 2)}^{2} = 3$

$\Rightarrow (S_{3}) = {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 3$

Câu 76:

Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(2,0,1); B(1,3,2); C(3,2,0) có tâm nằm trong mặt phẳng (xOy)

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{6 x}{5} + \frac{17 y}{5} - \frac{13}{5} = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{6 x}{5} + \frac{17 y}{5} + \frac{13}{5} = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{6 x}{5} - \frac{17 y}{5} - \frac{13}{5} = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{6 x}{5} - \frac{17 y}{5} + \frac{13}{5} = 0$

Xem đáp án

Chọn C

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y + d = 0$ vì tâm $I \in (x O y) \Rightarrow c = 0$

$A, B, C \in (S) \Rightarrow \{\begin{cases} 4 a - d = 5 \\ 2 a + 6 b - d = 14 \\ 6 a + 4 b - d = 13 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 a - 6 b = - 9 \\ 2 a + 4 b = 8 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = \frac{3}{5}; b = \frac{17}{10}; c = 0; d = - \frac{13}{5} \\ \Rightarrow (S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{6 x}{5} - \frac{17 y}{5} - \frac{13}{5} = 0 \end{array}$

Câu 77:

Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có

\vec{O A}, \vec{O C}, \vec{O G}

trùng với ba trục

\vec{O x}, \vec{O y}, \vec{O z}

. Viết phương trình mặt cầu ( S₁ ) ngoại tiếp hình lập phương.

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z - \frac{3}{2} = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z - \frac{3}{2} = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z = 0$

Xem đáp án

Chọn D

$(S_{1})$ có tâm I là trung điểm chung của 4 đường chéo: $I (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ , bán kính $R_{1} = \frac{1}{2} O E = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (S_{1}) : {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} + {(z - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4} \\ \Rightarrow (S_{1}) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z = 0 \end{array}$

Câu 78:

Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có

\vec{O A}, \vec{O C}, \vec{O G}

trùng với ba trục

\vec{O x}, \vec{O y}, \vec{O z}

. Viết phương trình mặt cầu ( S₂ ) nội tiếp hình lập phương.

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z + 1 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + 1 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z - \frac{1}{2} = 0$

Xem đáp án

Chọn B

$(S_{2})$ có tâm $I (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ là trung điểm của 3 đoạn nối trung điểm các mặt đối diện đôi một có độ dài cạnh bằng 1. Bán kính $R_{1} = \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (S_{2}) : {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} + {(z - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4} \\ \Rightarrow (S_{2}) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0 \end{array}$

Câu 79:

Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có $\vec{O A}, \vec{O C}, \vec{O G}$ trùng với ba trục $\vec{O x}, \vec{O y}, \vec{O z}$ . Viết phương trình mặt cầu ( S₃ ) tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương.

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{3}{4} = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z - \frac{1}{2} = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z - \frac{5}{4} = 0$

Xem đáp án

Chọn A

$(S_{2})$ tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương tại trung điểm của mỗi cạnh. Tâm $I (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ là trung điểm chng của 6 đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện đôi một có độ dài bằng $\sqrt{2}$

Bán kính $R_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (S_{2}) : {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} + {(z - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow (S_{3}) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{4} = 0 \end{array}$

Câu 80:

Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có

\vec{O A}, \vec{O C}, \vec{O G}

trùng với ba trục

\vec{O x}, \vec{O y}, \vec{O z}

. Sáu mặt phẳng

x - y = 0; y - z = 0; z - x = 0; x + y = 1; y + z = 1; z + x = 1

chia hình lập phương thành bao nhiêu phân bằng nhau?

A. 10

B. 8

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Chọn D

Sáu mặt chéo trên cắt nhau từng đôi một theo các giao tuyến là 4 đường chéo của hình lập phương có chung trung điểm $I (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ . Ta có 6 phần là 6 hình chóp đều bằng nhau và có đỉnh chung I và đáy là các mặt của hình lập phương.

Câu 81:

Cho hai điểm A(2,-3,-2); B(-4,5,-3). Tìm tập hợp các điểm M(x, y, z) sao cho $\hat{A M B} = 90^{o}$

A. Mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y + 4 z + 20 = 0

B. Mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 4 z - 20 = 0

C. Mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y - 4 z + 20 = 0

D. Mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y + 4 z - 20 = 0

Xem đáp án

Chọn B

$\vec{A M} = (x - 2, y + 3, z + 1); \vec{B M} = (x + 4, y - 5, z + 3) \hat{A M B} = 90^{o} \Leftrightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x + 4) + (y + 3) (y - 5) + (z + 1) (z + 3) = 0$

<=> Mặt cầu $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 4 z - 20 = 0$

Câu 82:

Cho hai điểm A(2,-3,-1); B(-4,5,-3). Tìm tập hợp các điểm M(x, y, z) thỏa mãn $A M^{2} + B M^{2} = 124$

A. Mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x + 2 y - 4 z + 30 = 0

B. Mặt phẳng

2 x - 2 x + 4 z - 30 = 0

C. Mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 4 z - 30 = 0

D. Mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 4 y + 8 z + 60 = 0

Xem đáp án

Chọn C

$\begin{array}{l} A M^{2} + B M^{2} = 124 \\ \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = {(z + 1)}^{2} + {(x + 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 124 \end{array}$

<=> Mặt cầu $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 4 z - 30 = 0$

Câu 83:

Cho hai điểm A(2,-3,-1); B()-4,5,-3. Tìm tập hợp các điểm M(x, y, z) thỏa mãn $\frac{M A}{M B} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

A. Mặt phẳng

20 x - 27 y + 5 z + 47 = 0

B. Mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 20 x + 27 y + 5 z - 47 = 0

C. Mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 40 x - 54 y + 10 z + 94 = 0

D. Mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 40 x + 54 y - 10 z - 94 = 0

Xem đáp án

Chọn D

2 M A = \sqrt{3} M B \Leftrightarrow 4 M A^{2} = 3 M B^{2} \Leftrightarrow 4 [{(2 - x)}^{2} + {(- 3 - y)}^{2} + {(- 1 - z)}^{2}] = 3 [{(- 4 - x)}^{2} + {(5 - y)}^{2} + {(- 3 - z)}^{2}]

Mặt cầ $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 40 x - 54 y - 10 z - 94 = 0$

Câu 84:

Cho hai điểm A(2,-3,-1); B(-4,5,-3). Định k để tập hợp các điểm M(x, y, z) sao cho

A M^{2} + B M^{2} = 2 (k^{2} + 1), k \in ℝ^{+}

, là một mặt cầu.

A. $0 < k < 5$

B. $k = 5$

C. $k > 5$

D. $5 < k < \sqrt{21}$

Xem đáp án

Chọn C

$\begin{array}{l} A M^{2} + B M^{2} = 2 (k^{2} + 1) \\ \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} + {(x + 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 2 (k^{2} + 1) \\ \Leftrightarrow (S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 4 z + 31 - k^{2} = 0, k \in ℝ^{+} \end{array}$

Ta có: $a = - 1; b = 1; c = - 2; d = 31 - k^{2}$

(S) là mặt cầu $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 \Leftrightarrow k^{2} - 25 > 0$

$\Leftrightarrow k < 5 \lor k > - 5.$ Với $k \in ℝ^{+} \Rightarrow k > 5$

Câu 85:

Cho ba điểm A(1,0,1); B(2,-1,0); C(0,-3,-1). Tìm tập hợp các điểm M(x, y, z) thỏa mãn $A M^{2} - B M^{2} = C M^{2}$

A. Mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 8 y + 4 z + 13 = 0

B. Mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 8 z + 13 = 0

C. Mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 8 y - 4 z - 13 = 0

D. Mặt phẳng

2 x - 8 y - 4 z - 13 = 0

Xem đáp án

Chọn A

$\begin{array}{l} A M^{2} - B M^{2} = C M^{2} \\ \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} - {(x - 2)}^{2} - {(y + 1)}^{2} - z^{2} = x^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} \end{array}$

<=> Mặt cầu $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 8 y + 4 z + 13 = 0$

Câu 86:

Cho tứ diện OABC với A(-4,0,0); B(0,6,0); C(0,0,-8). Mặt cầu (S) ngoại tiếp từ diện có tâm và bán kính là:

A. $I (2, 3, - 4), R = \sqrt{29}$

B. $I (- 2, - 3, 4), R = 29$

C. $I (- 2, 3, - 4), R = \sqrt{29}$

D. $I (- 2, 3, - 4), R = 2 \sqrt{29}$

Xem đáp án

Chọn C

Tâm I của mặt cầu (S) có hình chiếu trên Ox, Oy, Oz lần lượt là trung điểm $J (- 2, 0, 0); K (0, 3, 0); G (0, 0, - 4)$ của OA, OB và OC.

$\Rightarrow I (- 2, 3, - 4)$

Bán kính $R^{2} = O I^{2} = 29 \Rightarrow R = \sqrt{29}$

Câu 87:

Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (m - 2) x + 4 y - 2 z + 2 m + 4 = 0

;

m \in ℝ

A. Phần đường thẳng

(D) : y + 2 = 0; z - 1 = 0 (- 3 < x < 1)

B. Phần đường thẳng

(D) : y + 2 = 0; z - 1 = 0 (< x - 3 \lor x > 1)

C. Mặt phẳng

(P) : y + 2 = 0

D. Mặt phẳng

(Q) : z - 1 = 0

Xem đáp án

Chọn B

$a = 2 - m; b = - 2; c = 1; d = 2 m + 4$

Tâm $I; (x = 2 - m; y = - 2; z = 1)$

$\Rightarrow I \in$ đường thẳng (D): $y + 2 = 0; z - 1 = 0$

(S) là mặt cầu

\begin{array}{l} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6 m + 5 > 0 \\ \Leftrightarrow m < 1 \lor m > 5 \Leftrightarrow 2 - x < 1 \lor 2 - x > 5 \end{array}

$\Leftrightarrow x < - 3 \lor x > 1$

Vậy tập hợp các tâm O là phần đường thẳng $: y + 2 = 0; z - 1 = 0$ tương ứng với $x < - 3 \lor x > 1$

Câu 88:

Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (3 - 4 \cos t) x - 2 (4 \sin t + 1) y - 4 z - 5 - 2 \sin^{2} t = 0, t \in ℝ$

A. Đường thẳng

\frac{x + 3}{4} = \frac{y - 1}{4} = z - 2

B. Mặt phẳng

z - 2 = 0

C. Đường tròn

x - y + 4 = 0

với

- 7 < x < 1

và

- 3 < y < 5

D. Đường tròn

{(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16; z - 2 = 0

Xem đáp án

Chọn D

$\begin{array}{l} a = 4 \cos t - 3; b = 4 \sin t + 1; c = 2; d = - 5 - 2 \sin^{2} t \\ \Rightarrow {(4 \cos t - 3)}^{2} + {(4 \sin t + 1)}^{2} + 9 + 2 \sin^{2} t > 0, \forall t \in ℝ \end{array}$

Tâm $I : x = 4 \cos t - 3; y = 4 \sin t + 1; z = 2$

$\Rightarrow x + 3 = 4 \cos t; y - 1 = 4 \sin t \Rightarrow {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16$

Vậy tập hợp các tâm I là đường tròn ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16; z - 2 = 0$

Câu 89:

Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu (S): $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 \cos t - 4 \sin t y + 6 z \cos 2 t - 3 = 0$ , $t \in ℝ$

A. Mặt phẳng:

2 x + 3 y - 6 = 0

B. Mặt phẳng

z + 3 = 0

C. Phần đường thẳng:

2 x + 3 y - 6 = 0; z + 3 = 0

với

- 3 \leq x \leq 3

D. Elip:

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1; z + 3 = 0

Xem đáp án

Chọn D

$\begin{array}{l} a = 3 \cos t; b = 2 \sin t; c = - 3; d = \cos 2 t - 3 = - 2 \sin^{2} t - 2 \\ \Rightarrow 9 \cos^{2} t + 4 \sin^{2} t + 2 \sin^{2} t + 11 > 0, \forall t \in ℝ \end{array}$

Tâm $I : x = 3 \cos t; y = 2 \sin t; z = - 3$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1; z + 3 = 0$

Vậy tập hợp các tâm I là elip $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1; z + 3 = 0$

Câu 90:

Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu (S) có bán kinh thay đổi tiếp xúc với hai mặt phẳng

(P) : 2 x - y - 2 z + 1 = 0; (Q) : 3 x + 2 y - 6 z + 5 = 0

A. Mặt phẳng:

5 x - 13 y + 4 z - 8 = 0

B. Hai mặt phẳng:

23 x - y - 32 z + 22 = 0

;

5 x - 13 y + 4 z - 8 = 0

C. Hai phẳng:

x - 2 y + 2 z + 1 = 0; x - 2 y + 2 z + 1 = 0

D. Mặt phẳng:

x - 2 y + 2 z - 5 = 0

Xem đáp án

Chọn B

Tâm $I (x, y, z)$ cách đều (P) và (Q) $\Rightarrow d (I, P) = d (I, Q)$

$\Rightarrow \frac{|2 x - y - 2 z + 1|}{3} = \frac{|3 x + 2 y - 6 z + 5|}{7}$

=> Hai mặt phẳng: $5 x - 13 y + 4 z - 8 = 0; 23 x - y - 32 z + 22 = 0$

Câu 91:

Tìm tập các tâm I của mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 z + 4 = 0; (Q) : x - 2 y + 2 z - 6 = 0$

A. Mặt phẳng:

x - 2 y + 2 z - 1 = 0

B. Mặt phẳng:

x - 2 y + 2 z - 2 = 0

C. Mặt phẳng:

x - 2 y + 2 z + 1 = 0

D. Mặt phẳng:

x - 2 y + 2 z - 5 = 0

Xem đáp án

Chọn A

Gọi A(-4,0,0) và B(6,0,0) lần lượt là giao điểm của trục x’Ox với (P) và (Q). Trung điểm E(1,0,0) của AB cách đều (P) và (Q).

Tâm I cách đều (P) và (Q) => EI nằm trong mặt (R) qua E song song và cách đều (P) và (Q) ((P)//(Q)).

$\Rightarrow (R) : x - 2 y + 2 z + D = 0, E \in (R) \Rightarrow D = - 1$

Vậy

I \in (R) : x - 2 y + 2 z - 1 = 0

Câu 92:

Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu (S) có bán kính R = 3 tiếp xúc với mặt phẳng

(P) : 4 x - 2 y - 4 z + 3 = 0

A. Hai mặt phẳng:

4 x - 2 y - 4 z + 6 = 0; 4 x - 2 y - 4 z = 0

B. Hai mặt phẳng:

4 x - 2 y - 4 z - 18 = 0; 4 x - 2 y - 4 z - 3 = 0

C. Hai mặt phẳng:

4 x - 2 y - 4 z - 15 = 0; 4 x - 2 y - 4 z + 21 = 0

D. hai mặt phẳng:

4 x - 2 y - 4 z + 15 = 0; 4 x - 2 y - 4 z - 21 = 0

Xem đáp án

Chọn C

$d (I, P) = 3 \Leftrightarrow \frac{|4 x - 2 y - 4 z + 3|}{6} = 3$

=> Tập hợp các tâm I của hai mặt phẳng song song và cách đều (P) một đoạn bằng 3: $4 x - 2 y - 4 z - 15 = 0; 4 x - 2 y - 4 z + 21 = 0$

Câu 93:

Tìm tập hợp các điểm M có cùng phương tích với hai mặt cầu

(S_{1}) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y + 2 z - 5 = 0

;

(S_{2}) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 8 y - 6 z + 3 = 0

A. Mặt phẳng:

3 x + 7 y - 4 z + 4 = 0

B. Mặt phẳng:

3 x - 7 y - 4 z + 4 = 0

C. Mặt phẳng:

3 x - 7 y + 4 z - 4 = 0

D. Mặt phẳng:

3 x - 7 y - 4 z - 8 = 0

Xem đáp án

Chọn B

\begin{array}{l} M (x, y, z) : P_{M / (S_{1})} = P_{M / (S_{2})} \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y + 2 z - 5 = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 8 y - 6 z + 3 = 0 \end{array}

\Rightarrow M \in

mặt phẳng:

3 x - 7 y - 4 z + 4 = 0

Câu 94:

Cho mặt (S) tâm I ở trên z’Oz tiếp xúc với hai mặt phẳng

(P) : 2 x - 2 y + z - 3 = 0

và

(Q) : x + 2 y - 2 z + 9 = 0

. Tính tọa độ tâm I và bán kính R:

A.

I (0, 0, 4); R = \frac{1}{3}

B.

I (0, 0, - 6); R = 7

C.

I (0, 0, 6); R = 1

D. Hai câu A và C

Xem đáp án

Chọn D

I (0, 0, z) \Rightarrow d (I, P) = d (I, Q) \Leftrightarrow \frac{|z - 3|}{3} = \frac{|- 2 z + 9|}{3} \Leftrightarrow z_{1} = 4 \lor z_{2} = 6 \Rightarrow R_{1} = \frac{1}{3} \lor R_{2} = 1

Vậy:

I_{1} (0, 0, 4); R_{1} = \frac{1}{3} \lor I_{2} (0, 0, 6); R_{2} = 1

Câu 95:

Cho hình hợp chữ nhật ABCD.EFGH có A(0,0,0); B(4,0,0); D(0;6;0); E(0,0,2). Tính diện tích mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hợp chữ nhật.

A.

28 π

đvdt

B. 42

π

đvdt

C.

152 π

đvdt

D.

56 π

đvdt

E. Đáp số khác

Xem đáp án

Chọn D

Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hợp chữ nhật có tâm là trung điêm rchung của 4 đường chéo bằng nhau của hình hộp và có đườg chéo bằng đường chéo. (Học sinh tự vẽ hình)

$A G^{2} = A C^{2} + A E^{2} = A B^{2} + A D^{2} + A E^{2} = 16 + 36 + 4 = 56$

$R = \frac{A G}{2} \Rightarrow R^{2} = \frac{A G^{2}}{4} = \frac{56}{4} = 14 \Rightarrow S = 4 π R^{2} = 56 π$ đvdt

Câu 96:

Cho hình hợp chữ nhật ABCD.EFGH có A(0,0,0); B(4,0,0); D(0,6,0); E(0,0,2). Ba mặt phẳng: x - 2z = 0; y - 3 = 0; x + 2z - 4 = 0 chia hình hộp chữ nhật thanh mấy phần bằng nhau?

A. 10

B. 8

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Hai mặt phẳng: x - 2z và x + 2z - 4 = 0 chia hình hộp chữ nhật thành 4 phần bằng nhau. Mặt phẳng y - 3 = 0 cắt 4 phần trên thành 8 phần bằng nhau. (Học sinh tự vẽ hình).

Câu 97:

Cho tứ diện ABCD có A(1,2,3); B(0,0,3); C(0,2,0); D(1,0,0). Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn

|\vec{A M} + \vec{B M} + \vec{C M} + \vec{D M}| = 8

A. Mặt cầu:

{(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - \frac{3}{2})}^{2} = 4

B. Mặt cầu:

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4

C. Mặt phẳng:

x + 2 y + 3 z - 6 = 0

D. Mặt phẳng:

3 x + 2 y + z + 6 = 0

Xem đáp án

Chọn A

$\begin{array}{l} |\vec{A M} + \vec{B M} + \vec{C M} + \vec{D M}| = |4 (x - \frac{1}{2}); 4 (y - 1); 4 (z - \frac{3}{2})| = 8 \\ \Rightarrow 16 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} + 16 {(z - \frac{3}{2})}^{2} = 64 \end{array}$

Mặt cầu $(S) : {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - \frac{3}{2})}^{2} = 4$

Câu 98:

Cho mặt cầu (S): $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y + 2 z - 2 = 0$ và điểm A(-6,-1,3). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua A. Tìm tập hợp các điểm M.

A. Đường tròn:

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y + 2 z - 2 = 0; 4 x - y - 2 z - 5 = 0

B. Đường tròn:

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x + 4 y - 2 z - 12 = 0; 4 x - y - 2 z - 5 = 0

C. Đường tròn:

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y + 2 z - 2 = 0; 5 y - 7 = 0

D. Hai câu A và B

Xem đáp án

Chọn D

$(S)$ có tâm $I (2, - 3, 1) . \vec{I M} = (x - 2, y + 3, z + 1); \vec{A M} = (x + 6, y + 1, z - 3)$

$\begin{array}{l} \vec{I M} . \vec{A M} = (x - 2) (x + 6) + (y + 3) (y + 1) + (z + 1) (z - 3) = 0 \\ \Rightarrow M \in (S') : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x + 4 y - 3 z - 12 = 0; M \in (S) \end{array}$

$\Rightarrow M \in$ đường tròn $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y + 2 z - 2 = 0 \\ 4 x - y - 2 z - 5 = 0 \end{cases}$

Hay

\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x + 4 y - 2 z - 12 = 0 \\ 4 x - y - 2 z - 5 = 0 \end{cases}

Câu 99:

Cho mặt cầu (S):

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y + 2 z - 2 = 0

và điểm A(-6,-1,3). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua A. Gọi (P) là tiếp điểm của (S) tại M và là mặt phẳng qua M cắt hình cầu (S) theo hình trơn có diện tích bằng

\frac{1}{2}

diện tích hình trơn lớn của (S). Tính góc tạo bởi (P) và (Q)

A. $60^{o}$

B. $30^{o}$

C. $45^{o}$

D. $90^{o}$

Xem đáp án

Chọn C

Diện tích thiết diện $r^{2} π = \frac{π R^{2}}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (R^{2} - I H^{2}) π = \frac{π R^{2}}{2} \Leftrightarrow I H = \frac{R \sqrt{2}}{2} \\ \vec{I M} ⊥ (P); \vec{I H} ⊥ (Q) \Rightarrow \vec{M I H} = α \end{array}$

Là góc tạ bởi $(P)$ và $(Q)$

\Rightarrow \cos α = \frac{I H}{I M} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow α = 45^{o}

Câu 100:

Cho mặt cầu (S):

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y + 2 z - 2 = 0

và điểm A(-6,-1,3). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua A. Tính tọa độ giao điểm của AI và mặt cầu (S).

A. $(2 \pm \frac{16 \sqrt{21}}{21}; - 3 \pm \frac{4 \sqrt{21}}{21}; - 1 \pm \frac{8 \sqrt{21}}{21})$

B. $(2 \pm \frac{4 \sqrt{21}}{21}; - 3 \pm \frac{\sqrt{21}}{21}; - 1 \pm \frac{2 \sqrt{21}}{21})$

C. $(2 \pm \frac{8 \sqrt{21}}{21}; - 3 \mp \frac{2 \sqrt{21}}{21}; - 1 \mp \frac{4 \sqrt{21}}{21})$

D. $(2 \pm \frac{16 \sqrt{21}}{21}; - 3 \mp \frac{4 \sqrt{21}}{21}; - 1 \mp \frac{8 \sqrt{21}}{21})$

Xem đáp án

Chọn D

$\vec{A I} = 2 (4, - 1, - 2) \Rightarrow A I : x = 2 + 4 t; y = - 3 - t; z = - 1 - 2 t, t \in ℝ$

$A I$ cắt $(S) \Rightarrow {(2 + 4 t)}^{2} + {(3 + t)}^{2} + {(1 + 2 t)}^{2} - 4 (2 + 4 t) + 6 (- 3 - t) + 2 (- 1 - 2 t) - 2 = 0$

$\Leftrightarrow 21 t^{2} - 16 = 0 \Leftrightarrow t = \pm \frac{4 \sqrt{21}}{21}$

=> Hai giao điểm $(2 \pm \frac{16 \sqrt{21}}{21}; - 3 \mp \frac{4 \sqrt{21}}{21}; - 1 \mp \frac{8 \sqrt{21}}{21})$

Câu 101:

Cho tứ diện ABCD có A(3, 6, -2); B(6, 0, 1); C(-1, 2, 0); D(0, 4, 1). Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ :

A. I(3, -2, 1)

B. (3, 2, -1)

C. I(-3, 2, 1)

D. I(3, -2, -1)

Xem đáp án

Chọn B

Gọi I(x, y, z) là tâm cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình :

$\{\begin{cases} A I^{2} = B I^{2} \\ B I^{2} = C I^{2} \\ C I^{2} = D I^{2} \end{cases} \begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x - 3)}^{2} + {(y - 6)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = {(x - 6)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} \\ {(x - 6)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} \\ {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = x^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 1)}^{2} \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 6 x - 12 y + 6 z = - 12 \\ - 14 x + 4 y - 2 z = - 32 \\ 2 x + 4 y + 2 z = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 2 y + z = - 2 \\ 7 x - 2 y + z = 16 \\ x + 2 y + z = 6 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \\ z = - 1 \end{cases} \Rightarrow I (3, 2, - 1) \end{array}$

Câu 102:

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình

x^{2} + y^{2} + z^{2} - x + y - 3 z + \frac{7}{4} = 0

, (S) có tọa độ tâm I và bán kính R là

A. $I (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}), R = \frac{1}{2} .$

B. $I (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}), R = 1.$

C. $I (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}), R = 1.$

D. $I (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}), R = 1.$

Xem đáp án

Chọn B

Phương trình mặt cầu (S) được viết lại :

$\begin{array}{l} {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} + {(z - \frac{3}{2})}^{2} = 1 \\ \Rightarrow I (\frac{1}{2}, \frac{- 1}{2}, \frac{3}{2}) \end{array}$

Và R = 1

Câu 103:

Trong không gian Oxyz cho đường tròn: $(C) : \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y + 6 z + 17 = 0 \\ x - 2 y + 2 z + 1 = 0 \end{cases}$ . Tọa độ tâm H của (C) là:

A. $H (\frac{5}{3}, - \frac{7}{3}, - \frac{11}{3}) .$

B. $H (\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, - \frac{11}{3}) .$

C. $H (\frac{5}{3}, - \frac{7}{3}, \frac{11}{3}) .$

D. $H (\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{11}{3}) .$

Xem đáp án

Chọn A

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y + 6 z + 17 = 0 \\ \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 5 \end{array}$

Tâm mặt cầu là $I (2, - 3, - 3)$

Xem đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng thiết diện $x - 2 y + 2 z + 1 = 0$

$\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 3 - 2 t \\ z = - 3 + 2 t \end{cases}$ , thế x, y, z vào phương trình mặt phẳng thiết diện

$2 + t - 2 (- 3 - 2 t) + 2 (- 3 + 2 t) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}$

Tọa độ tâm H của (C) là $H (\frac{5}{3}, - \frac{7}{3}, - \frac{11}{3})$

Câu 104:

Trong không gian cho đường tròn $(C) : \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y + 6 z + 17 = 0 \\ x - 2 y + 2 z + 1 = 0 \end{cases}$ . Bán kính r của đường tròn (C) bằng :

A. $r = 6 \sqrt{2} .$

B. $r = \sqrt{3} .$

C. $r = 2.$

D. $r = 3.$

Xem đáp án

Chọn C

Cùng đề trên nên có bán kính mặt cầu (C) là $R = \sqrt{5}$

Khoảng cách từ I đến thiết diện là $h = \frac{|2 - 2 (- 3) + 2 (- 3) + 1|}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2}}} = 1$

=> Bán kính của (C) là : $r = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 2.$

Câu 105:

Trong không gian Oxyz cho đường tròn $(C) : \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z - 67 = 0 \\ 2 x - 2 y + z + 5 = 0 \end{cases}$ . Bán kính r của (C) bằng:

A. $r = 6 \sqrt{2} .$

B. $r = 8.$

C. $r = \sqrt{77} .$

D. $r = \sqrt{78} .$

Xem đáp án

Chọn C

Viết lại phương trình mặt cầu (S) chứa (C): ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 81.$

Để biết tâm I(1,2,3) và bán kính R = 9

=> Bán kính của (C) là $r = \sqrt{81 - 4} = \sqrt{77}$ (do khoảng cách từ I đến mặt phẳng chứa (C) là $h = \frac{|2.1 - 2.2 + 3 + 5|}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = 2)$

Câu 106:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường tròn

(C) : \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 12 x + 4 y - 6 z - 24 = 0 \\ 2 x + 2 y + z + 1 = 0 \end{cases}

. Tâm H của (C) là điểm có tọa độ:

A. $H (\frac{10}{3}, \frac{14}{3}, \frac{5}{3}) .$

B. $H (\frac{10}{3}, - \frac{14}{3}, \frac{5}{3}) .$

C. $H (\frac{10}{3}, - \frac{14}{3}, - \frac{5}{3}) .$

D. $H (\frac{10}{3}, \frac{14}{3}, - \frac{5}{3}) .$

Xem đáp án

Chọn B

Viết lại phương trình mặt cầu (S) chứa (C): ${(x - 6)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25$ để biết tâm I(6, -2, 3) và R = 5.

Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng chứa $(C) : \{\begin{cases} x = 6 + 2 t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = 3 + t \end{cases}$

Thế vào phương trình mặt phẳng thiết diện:

2 (6 + 2 t) + 2 (- 2 + 2 t) + 3 + t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{4}{3} \Rightarrow H (\frac{10}{3}, - \frac{14}{3}, \frac{5}{3})

Câu 107:

Trong không gian Oxyz cho đường tròn $(C) : \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 = 0 \\ x + z - 2 = 0 \end{cases}$ . Bán kính r của đường tròn (C) bằng :

A. $r = 2.$

B. $r = \sqrt{3} .$

C. $r = \sqrt{5} .$

D. $r = 3.$

Xem đáp án

Chọn D

Cùng đền với Câu 33 nên mặt cầu (S) chứa (C) có tâm I(6, -2, 3) và R = 5.

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng thiết diện là:

$h = \frac{|2.6 + 2. (- 2) + 3 + 1|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 4 \Rightarrow r = \sqrt{R^{2} - h^{2}} = \sqrt{25 - 16} = 3.$

Câu 108:

Trong không gian Oxyz cho đường tròn $(C) : \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 = 0 \\ x + z - 2 = 0 \end{cases}$ (C) có tâm H và bán kính r bằng:

A. $H (1, 1, 0), r = \sqrt{2} .$

B. $H (1, 0, 1), r = \sqrt{2} .$

C. $H (0, 1, 1), r = \sqrt{2} .$

D. $H (1, 0, - 1), r = \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Chọn B

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng thiết diện là:

$h = \frac{|0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{2} r = \sqrt{R^{2} - h^{2}} = \sqrt{4 - 2} = 2.$

Đường thẳng qua tâm của (S) và và vuông góc với mặt phẳng thiết diện có phương trình tham số: $\{\begin{cases} x = t \\ y = 0 \\ z = t \end{cases}$

Thế vào phương trình mặt phẳng thiết diện được t = 1 => Tâm H(1,0,1)

Câu 109:

Cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 z - 4 = 0$ và ba điểm A(1,2,-2); B(-4,2,3); C(1,-3,3) nằm trên mặt cầu (S). Bán kính r của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là :

A. $r = \sqrt{3} .$

B. $r = \sqrt{5} .$

C. $r = \sqrt{6} .$

D. $r = 2 \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Cùng đề với câu trên nên khoảng cách từ h từ I đến (ABC):

$h = \frac{|1 + 5.0 - 2 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 5^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \sqrt{3} \Rightarrow r = \sqrt{R^{2} - h^{2}} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6} .$