25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản (P8)

Câu 1:

Phương trình ${\log^{2}}_{2} x + 4 \log_{\frac{1}{4}} x - 1 = 0$ có hai nghiệm x₁; x₂. Khi đó K= 2x₁x₂- 3 bằng

A.K =4

B. K= 5

C.K= 6

D. K= 7

Xem đáp án

Chọn B

Điều kiện: x>0

$K = 2 . 2^{2} - 3 = 5$

Câu 2:

Cho phương trình ${\log^{2}}_{\sqrt{2}} (2 x) - \log_{2} (4 x^{2}) - 8 = 0$ (1). Khi đó phương trình (1) tương đương với phương trình nào dưới đây:

A. 3^x+ 5^x= 6x+2.

B

C. 3^x+ 5^x= 6x+2.

D.4x²- 9x+2= 0

Xem đáp án

Chọn D.

Thay các nghiệm của phương trình ban đầu vào các đáp án ta thấy D thoả mãn.

Câu 3:

Phương trình lg(x-3) + lg(x-2) =1- lg5 có tất cả bao nhiêu nghiệm trên tập số thực.

A. 2

B. 3

C . 1

D. 4

Xem đáp án

Chọn D.

<=> x = 4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x= 4

Câu 4:

Phương trình $\log_{3}^{2} x + 4 \log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\sqrt{3}} x - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là x₁; x₂. Tính giá trị của biểu thức P = log₃x₁+ log₂₇x₂ biết x₁< x₂.

A. P= 0

B. P =1

C. $\frac{8}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Điều kiện : x> 0

Ta có

, khi đó phương trình đã cho trở thành

( log₃x)²- 4log₃x+ 2log₃x-3= 0 hay ( log₃x)²- 2log₃x- 3= 0 (*)

Đặt t= log₃x, suy ra phương trình (*) trở thành : t²- 2t-3= 0

Suy ra t= -1 hoặc t= 3

Với t= -1, ta được

Với t= 3 ta được log₃x= 3 nên x₂= 27

Từ đó ; P= log₃x₁+ log₂₇x₂ = log₃ $\frac{1}{3}$ + log₂₇27 = -1+ 1= 0

Chọn A

Câu 5:

Phương trình $\log_{2} (4 x) - \log_{\frac{x}{2}} 2 = 3$ có tất cả bao nhiêu nghiệm ?

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

Xem đáp án

Với t= 0 , ta có log₂x= 0 hay x= 1 ( thỏa mãn) .

Với t= 2, ta có log₂x= 2 hay x= 4 ( thỏa mãn) .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Câu 6:

Tìm tập nghiệm S của phương trình ${(\frac{2}{5})}^{1 - 3 x} \geq \frac{25}{4}$

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

Câu 7:

Biết tập nghiệm S của bất phương trình log₃( 9^x-2) < 1 là khoảng (a; b) . Tính hiệu số b- a

A. $b - a = \log_{9} \frac{2}{5}$

B. b- a= 1

C. $b - a = \log_{9} \frac{5}{2}$

D. $b - a = 5$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có:

Suy ra

Câu 8:

Giải bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 3 x + 2) \geq - 1$

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 9:

Biết tập nghiệm S của bất phương trình log_0,3( 4x²) ≥ log_0,3( 12x-5) là một đoạn. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của tập S. Mối liên hệ giữa m và M là

A. M+ n= 3

B.M+ n= 2

C.M- n= 3

D. M- n=1

Xem đáp án

Chọn A.

Điều kiện $\{\begin{cases} 4 x^{2} > 0 \\ 12 x - 5 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ x > \frac{5}{12} \end{cases}$

$\log_{0, 3} (4 x^{2}) \geq \log_{0, 3} (12 x - 5) \Leftrightarrow 4 x^{2} \leq 12 x - 5 \Leftrightarrow 4 x^{2} - 12 x + 5 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$

Kết hợp với điều kiện tập nghiệm của bất phương trình: $S = [\frac{1}{2}; \frac{5}{2}]$

Câu 10:

Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình

$\log_{3} (1 - x^{2}) \leq \log_{\frac{1}{3}} (1 - x)$

A. x=0.

B. x=1

C. x= -1

D. x= 3

Xem đáp án

Chọn A

Điều kiện: -1< x< 1.

Ta có: $\log_{3} (1 - x^{2}) \leq \log_{\frac{1}{3}} (1 - x)$

$\Leftrightarrow \log_{3} (1 - x^{2}) \leq - \log_{3} (1 - x) \Leftrightarrow l {og}_{3} (1 - x^{2}) + \log_{3} (1 - x) \leq 0 \Leftrightarrow \log_{3} [(1 - x^{2}) (1 - x)] \leq 0 \Leftrightarrow (1 - x^{2}) (1 - x) \leq 1 \Leftrightarrow 1 - x - x^{2} + x^{3} \leq 1 \Leftrightarrow x^{3} - x^{2} - x ⩽ 0 \Leftrightarrow x (x^{2} - x - 1) \leq 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x \leq \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \\ 0 \leq x \leq \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \end{matrix}$

Kết hợp với điều kiện ta được: $[\begin{matrix} - 1 < x \leq \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}$

Suy ra x=0 là nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình..

Chọn A.

Câu 11:

Tập nghiệm của bất phương trình log₂x ≤ log_x2 là

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn D

Từ bất phương trình đã cho suy ra:

Vậy tập nghiệm của BPT là S = $(0; \frac{1}{2}] \cup (1; 2]$

Câu 12:

Cho phương trình 25^x-( m+2) 5^x+2m-1 = 0 với m là tham số thực và $m \in [0; 2018]$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm?

A. 2015

B. 2016

C. 2018

D. 2019

Xem đáp án

Chọn D.

Xét phương trình: $25^{x} - (m + 2) 5^{x} + 2 m - 1 = 0 (1)$

Đặt t= 5^x> 0.

+ Phương trình đã cho trở thành: t²-( m+2) t+2m-1=0 (2)

$∆ = {(m + 2)}^{2} - 4 (2 m - 1) = m^{2} + 4 m + 4 - 8 m + 4 = m^{2} - 4 m + 8 = {(m - 2)}^{2} + 4 > 0 \forall m$

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có ít nhất một nghiệm dương

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \{\begin{cases} S > 0 \\ P > 0 \end{cases} \\ P < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} \{\begin{cases} m + 2 > 0 \\ 2 m - 1 > 0 \end{cases} \\ 2 m - 1 < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} \{\begin{cases} m > - 2 \\ m > \frac{1}{2} \end{cases} \\ m < \frac{1}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m > \frac{1}{2} \\ m < \frac{1}{2} \end{matrix}$

Vì m $\in$ [0;2018] $\Rightarrow m \in [0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 2018]$

Mà $m \in Z \Rightarrow$ m $\in$ {0;1;2;3;4;5;6;...;2018}

Vậy nghiệm 2019 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán ra.

Câu 13:

Số nghiệm thực của phương trình $\frac{x^{2} + 5 x - 8}{\ln (x - 1)} = 0$

A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn D.

Điều kiện $\{\begin{cases} x - 1 > 0 \\ \ln (x - 1) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x > 1 \\ x - 1 \neq 1 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 1 \\ x \neq 2 \end{cases}$

Khi đó phương trình tương đương với $x^{2} + 5 x - 8 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{- 5 + \sqrt{57}}{2} (t h ỏ a m ã n) \\ x = \frac{- 5 - \sqrt{57}}{2} (l o ạ i) \end{matrix}$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm $x = \frac{- 5 + \sqrt{57}}{2}$ .

Câu 14:

Một người gửi số tiền 2 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,65% / tháng. Biết rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Số tiền người đó lĩnh được sau hai năm, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi là:

A.( 2,0065) ²⁴ triệu đồng.

B. (1,0065) ²⁴ triệu đồng.

C. 2.( 1,0065) ²⁴ triệu đồng.

D. 2.( 2,0065) ²⁴ triệu đồng.

Xem đáp án

Gọi số tiền gửi vào vào là M đồng, lãi suất là r %/tháng.

_° Cuối tháng thứ nhất: số tiền lãi là: Mr. Khi đó số vốn tích luỹ đượclà:

T₁=M+ Mr= M( 1+r) .

_° Cuối tháng thứ hai: số vốn tích luỹ được là:

T₂= T₁+ T₁.r= M( 1+r) ².

_° Tương tự, cuối tháng thứ n: số vốn tích luỹ đượclà: T_n= M( 1+ r) ⁿ.

Áp dụng công thức trên với M= 2; r=0,006; n= 24 , thì số tiền người đó lãnh được sau 2 năm (24 tháng) là: T₂₄= 2.( 1+ 0,0065) ²⁴ triệu đồng.

Chọn C

Câu 15:

Một người gửi số tiền M triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,7%/tháng. Biết rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Sau ba năm, người đó muốn lãnh được số tiền là 5 triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi, thì người đó cần gửi số tiền M là:

A. 3 triệu 600 ngàn đồng

B. 3triệu 800 ngàn đồng.

C. 3 triệu 700 ngàn đồng.

D. 3 triệu 900 ngàn đồng.

Xem đáp án

Chọn D.

Áp dụng công thức T_n= M( 1+ r) ⁿ vớiT_n= 5; r= 0,007 và n= 36 thì số tiền người đó cần gửi vào ngân hàng trong 3 năm (36 tháng) là:

triệu đồng.

Chọn D

Câu 16:

Lãi suất gửi tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bác An gửi vào một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng. Sau sáu tháng gửi tiền, lãi suất tăng lên 0,9 %/ tháng. Đến tháng thứ 10 sau khi gửi tiền, lãi suất giảm xuống 0,6%/ tháng và giữ ổn định. Biết rằng nếu bác An không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Sau một năm gửi tiền, bác An rút được số tiền xấp xỉ là (biết trong khoảng thời gian này bác An không rút tiền ra):

A. 5436521,164 đồng.

B.5468994,09 đồng.

C. 5452733,453 đồng.

D. 5452771,729 đồng.

Xem đáp án

Số vốn tích luỹ của bác An sau 6 tháng gửi tiền với lãi suất 0,7%/ tháng là:

T₁= 5.( 1,007) ⁶ triệu đồng;

Số vốn tích luỹ của bác An sau 9 tháng gửi tiền ( 3 tháng tiếp theo với lãi suất 0,9%/ tháng) là:

T₂= T₁. (1,009) ³= 5.(1,007) ⁶.( 1,009) ³ triệu đồng;

Do đó số tiền bác An lãnh được sau 1 năm (12 tháng) từ ngân hàng ( 3 tháng tiếp theo sau đó với lãi suất 0,6%/ tháng) là:

T= T₂. (1,006) ^{3 $\approx$} 5452733,453 triệu đồng

Chọn C

Câu 17:

Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0,7%/tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng.

A. 21.

B. 22.

C. 23.

D. 24.

Xem đáp án

Gọi M là số tiền người đó vay lúc đầu (triệu đồng)

m là tiền mà người đó phải trả mỗi tháng

n là số tháng trả xong nợ ngân hàng của người đó

Sau tháng thứ nhất, người đó còn nợ: $T_{1} = M (1 + 0, 7 %) - m$ , Đặt $y = 1 + 0, 7 %$

Sau tháng thứ hai người đó còn nợ: $T_{2} = (M . y - m) y - m = M . y^{2} - m (y + 1) = M . y^{2} - m \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

Sau tháng thứ ba người đó còn nợ: $T_{3} = (M . y^{2} - m (y + 1)) y - m = M . y^{3} - m (y^{2} + y + 1) = M . y^{3} - m \frac{y^{3} - 1}{y - 1}$

Sau n tháng số nợ của người đó còn lại là: $T_{n} = M . y^{n} - m \frac{y^{n} - 1}{y - 1}$

Vì sau n thàng người đó trả hết nợ nên

$T_{n} = 0 \Leftrightarrow 100.1, 007^{n} - 5 \frac{1, 007^{n} - 1}{1, 007 - 1} = 0 \Leftrightarrow (100 - \frac{5}{0, 007}) . 1, 007^{n} = - \frac{5000}{7} \Leftrightarrow 1, 007^{n} = \frac{50}{43} \Leftrightarrow n = \log_{1, 007} \frac{50}{43} \Leftrightarrow n = 21, 62 \approx 22$

Vậy sau tháng thứ 22 thì người đó trả hết nợ.

Chọn B

Câu 18:

Cường độ một trận động đất M (richter) được cho bởi công thức

M = logA – logA₀, với A là biên độ rung chấn tối đa và A₀ là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là

A. 2,075 độ Richter

B. 13.2 độ Richter

C. 8.9 độ Richter

D. 11 độ Richter.

Xem đáp án

Cường độ trận động đất ở San Francisco là 8,3= logA- logA₀

Trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ là 4A

suy ra cường độ là M= log4A-logA₀= log4+ logA- logA₀= log4+ 8,3 = 8,9.

Chọn C.

Câu 19:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số $y = 7^{x^{3} + 3 x^{2} (9 - 3 m) x + 1}$ đồng biến trên [0;1]?

A. 5

B. 6

C. Vô số

D. 3

Xem đáp án

Chọn D.

+ Ta có

y' = $7^{x^{3} + 3 x^{2} + (9 - 3 m) x + 1} (3 x^{2} + 6 x + 9 - 3 m) \ln 7$

Hàm số đồng biến trên [0;1] <=> y' $\geq$ 0 $\forall$ x $\in$ [0;1]

$\Leftrightarrow 3 x^{2} + 6 x + 9 - 3 m \geq 0 (v ì \ln 7 > 0, 7^{x^{3} + 3 x^{2} + (9 - 3 m) x + 1} > 0)$

hay m $\leq x^{2} + 2 x + 3 v ớ i 0 \leq x \leq 1$ (1)

Câu 20:

Gọi S là tổng tất cả giá trị nguyên của tham số m (m < 3) để bất phương trình $\log_{\frac{1}{5}} (m x - x^{2}) \leq \log_{\frac{1}{5}} 4$ vô nghiệm. Tính S.

A. -3

B. -7

C. 0

D. -4

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 21:

Biểu thức T= log₂( ax²- 4x+1) có nghĩa với mọi x khi

A. 0< a< 4

B. a> 0

C.a> 4

D. $a \in \emptyset$

Xem đáp án

Chọn C.

Biểu thức đã cho có nghĩa với mọi x khi và chỉ khi ax²- 4x+1 > 0 mọi x.

Câu 22:

Cho phương trình ${\log^{2}}_{\sqrt{2}} (2 x) - 2 \log_{2} (4 x^{2}) - 8 = 0$ (1). Khi đó phương trình tương đương với phương trình nào dưới đây:

A. 3^x+ 5^x= 6x + 2.

B. $4^{2 x^{2} - x} + 2^{2 x^{2}} - 3 = 0$

C. x²- 3x + 2 = 0.

D. 4x²- 9x + 2 = 0.

Xem đáp án

Chọn D.

Điều kiện: x > 0

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là . Thay các nghiệm của phương trình ban đầu vào các đáp án ta thấy D thoả mãn.

Câu 23:

Phương trình lg( x - 3) + lg( x - 2) = 1 - lg5 có tất cả bao nhiêu nghiệm trên tập số thực.

A. 2

B. 3

C . 1

D. 4

Xem đáp án

Chọn C.

Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương với:

lg( x - 3) (x - 2) = lg10 - lg 5 = lg2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 4.

Câu 24:

Phương trình ${\log^{2}}_{3} - 2 \log_{\sqrt[]{3}} x - 2 \log_{\frac{1}{3}} x - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là x₁; x₂. Tính giá trị của biểu thức P = log₃x₁+ log₂₇x₂ biết x₁< x₂.