46 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Phương trình mũ và phương trình logarit có đáp án

Câu 1:

Tìm giá trị của a để phương trình ${(2 + \sqrt{3})}^{x} + (1 - a) {(2 - \sqrt{3})}^{x}$ $- 4 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: $x_{1} - x_{2} = \log_{2 + \sqrt{3}} 3$ , ta có a thuộc khoảng:

A. $(- \infty; 3)$

B. $(- 3; + \infty)$

C. $(3; + \infty)$

D. $(0 : + \infty)$

Xem đáp án

Ta có:

Đặt $t = {(2 + \sqrt{3})}^{x} (t > 0)$ , phương trình đã cho trở thành

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

Ta có:

Vì $t_{1} + t_{2} = 4$ nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm t = 3 và t = 1.

Khi đó

Trong 4 đáp án chỉ có B là đúng.

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 2:

Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình $4^{x^{2} - 2 x + 1} - m . 2^{x^{2} - 2 x + 1} + 3 m - 2 = 0$ có 4 nghiệm phân biệt.

A. $(- \infty; 1)$

B. $[2; + \infty)$

C. $(- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$

D. $(2; + \infty)$

Xem đáp án

Đặt $t = 2^{x^{2} - 2 x + 1} \geq 1$ , phương trình đã cho trở thành $t^{2} - 2 m t + 3 m - 2 = 0$ (*)

Với t = 1 ta tìm được 1 giá trị của x.

Với t > 1 ta tìm được 2 giá trị của x.

Do đó, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow$ phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 3:

Có bao nhiêu số nguyên m thuộc $[- 2020; 2020]$ sao cho phương trình $4^{{(x - 1)}^{2}} - 4 m . 2^{x^{2} - 2 x} + 3 m - 2 = 0$ có bốn nghiệm phân biệt?

A. 2020

B. 2018

C. 2016

D. 2020

Xem đáp án

Ta có:

Đặt $t = 2^{x^{2} - 2 x}$ . Ta có:

Khi đó phương trình trở thành (*) với $t \geq \frac{1}{2}$

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm t phân biệt thỏa mãn $t > \frac{1}{2}$

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $m \in (2; 2020]$

Vậy có 2020-3+1=2018 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 4:

Các giá trị thực của tham số m để phương trình: $12^{x} + (4 - m) . 3^{x} - m = 0$ có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) là

A. $m \in (\frac{17}{16}; \frac{5}{2})$

B. $m \in [2; 4]$

C. $m \in (\frac{5}{2}; 6)$

D. $m \in (1; \frac{5}{2})$

Xem đáp án

Từ các đáp án đã cho, ta thấy giá trị m = 2 không thuộc đáp án C nên ta thử m = 2 có thỏa mãn bài toán hay không sẽ loại được đáp án.

Thử với m = 2 ta được phương trình:

Do dó, phương trình có nghiệm trong khoảng (-1; 0), mà đáp án C không chứa nên loại C.

Lại có giá trị m = 3 thuộc đáp án C nhưng không thuộc hai đáp án A và D nên nếu kiểm tra m = 3 ta có thể loại tiếp được đáp án.

Thử với m = 3 ta được phương trình:

Mà hàm số này đồng biến khi m = 3 nên $f (x) < 0, \forall x \in (- 1; 0)$ , suy ra phương trình f(x)=0 sẽ không có nghiệm trong (-1; 0), loại B.

Cuối cùng, ta thấy giá trị m = 1 thuộc đáp án A và không thuộc đáp án D nên ta sẽ thử m = 1 để loại đáp án,

Thử với m = 1 ta được phương trình:

Do đó phương trình f(x)=0 sẽ có nghiệm trong (-1; 0) nên loại D và chọn A.

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 5:

Tích các nghiệm của phương trình ${(3 + \sqrt{5})}^{x} + {(3 - \sqrt{5})}^{x} = 3 . 2^{x}$ là:

A. 2

B. -2

C. 1

D. -1

Xem đáp án

Ta có:

Khi đó phương trình tương đương với:

Đặt , khi đó phương trình trở thành

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 6:

Biết rằng tập hợp các giá trị của m để phương trình ${(\frac{1}{4})}^{x^{2}} - (m + 1) . {(\frac{1}{2})}^{x^{2}} - 2 m = 0$ có nghiệm, là $[- a + 2 \sqrt{b}; 0]$ với a, b là các số nguyên dương. Tính b – a.

A. 1

B. -11

C. -1

D. 11

Xem đáp án

Đặt thì phương trình trở thành

Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng y = m phải cắt đồ thị hàm số tại ít nhất một điểm

Xét trên (0;1] có

Ta có:

Vậy phương trình có nghiệm nếu hay

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 7:

Tìm tập nghiệm S của phương trình $3^{x - 1} . 5^{\frac{2 x - 2 - m}{x - m}} = 15$ , m là tham số khác 2.

A. $S = \{2; m \log_{3} 5\}$

B. $S = \{2; m + \log_{3} 5\}$

C. $S = \{2\}$

D. $S = \{2; m - \log_{3} 5\}$

Xem đáp án

Điều kiện: $x \neq m$

Phương trình

Lấy logarit cơ só 5 hai vế của (*), ta được:

Với

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{2; m - \log_{3} 5\}$

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 8:

Tìm các giá trị m để phương trình $2^{x +!} = m . 2^{x + 2} - 2^{x + 3}$ luôn thỏa, $\forall x \in R$

A. $m = \frac{5}{2}$

B. $m = \frac{3}{2}$

C. m=3

D. m=2

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 9:

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình ${(x - 3)}^{2 x^{2} - 5 x} = 1$

A. $T = \frac{17}{2}$

B. $T = 4$

C. $T = \frac{13}{2}$

D. $T = \frac{15}{2}$

Xem đáp án

Ta xét các trường hợp sau:

TH1: thỏa mãn phương trình

TH2: thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 10:

Cho $4^{x} + 4^{- x} = 7$ . Khi đó biểu thức $P = \frac{5 - 2^{x} - 2^{- x}}{8 + 4 . 2^{x} + 4 . 2^{- x}} = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ tối giản và $a, b \in Z$ . Tích a.b có giá trị bằng:

A. 10

B. -8

C. 8

D. -10

Xem đáp án

Vậy

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 11:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình $16^{x} - 2 . 12^{x} + (m - 2) . 9^{x} = 0$ có nghiệm dương?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Ta có:

Chia cả hai vế cho $9^{x}$

Đặt

Khi đó ta có phương trình

Để phương trình (1) có nghiệm dương thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn 1.

(*) có nghiệm

Với $m \leq 3$ thì (*) có nghiệm

Để (*) có nghiệm lớn hơn 1 thì:

Mà m nguyên dương nên $m \in \{1; 2\}$

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 12:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Biết $f (0) = \frac{7}{6}$ , giá trị lớn nhất của m để phương trình $e^{3 f^{3} (x) - \frac{13}{2} f^{2} (x) + 7 f (x) + \frac{3}{2}} = m$ có nghiệm trên đoạn [0;2] là:

A. $e^{4}$

B. $e^{3}$

C. $e^{\frac{15}{13}}$

D. $e^{5}$

Xem đáp án

Ta có:

Xét có:

Suy ra

Xét g(x) trên đoạn [0;2] :

+ Trong khoảng (0; 1) thì nên

hay g'(x)>0

+ Trong khoảng (1; 2) thì nên

hay g'(x)<0

Từ đó ta có bảng biến thiên của g (x) như sau:

Từ BBT ta thấy

Vậy yêu cầu bài toán thỏa nếu và chỉ nếu hay giá trị lớn nhất của m là

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 13:

Phương trình $2^{23 x^{3}} . 2^{x} - 1024^{x^{2}} + 23 x^{3} = 10 x^{2} - x$ có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây

A. 0,50

B. 0,35

C. 0,40

D. 0,45

Xem đáp án

Xét hàm số:

Theo vi-et cho phương trình bậc ba ta có:

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 14:

Phương trình $2^{\log_{5} (x + 3)} = x$ có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Điều kiện: x > - 3

Do nên để phương trình có nghiệm thì x > 0

Lấy logarit cơ số 2 của hai vế phương trình, ta được

Đặt

Chia hai vế phương trình cho $5^{x}$ , ta được

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 1 (hàm hằng) và đồ thị hàm số (hàm số này nghịch biến vì nó là tổng của hai hàm số nghịch biến)

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất. Nhận thấy t = 1 thỏa mãn phương trình

Với (tm)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 15:

Tìm m để phương trình $4^{\sqrt{x + 1} + \sqrt{3 - x}} - 14 . 2^{\sqrt{x + 1} + \sqrt{3 - x}} + 8 = m$ có nghiệm

A. $- 4 \leq m \leq 3$

B. $- 21 \leq m \leq 33$

C. $- 41 \leq m \leq - 32$

D. $m \geq 4$

Xem đáp án

Điều kiện:

Đặt . Ta có:

BBT:

Do đó

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm m để phương trình (*) có nghiệm với

Xét hàm số

Ta có:

Dựa vào BBT ta được giá trị m cần tìm là $- 41 \leq m \leq - 32$

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 16:

Tính S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình $4 . 2^{2 x} - 4 . 2^{x} + 4 . 2^{- 2 x} - 4 . 2^{- x} - 7 = 0$

A. S=1

B. S=-1

C. S=3

D. S=0

Xem đáp án

Đặt , suy ra

Ta có:

Phương trình trở thành

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 17:

Phương trình $x (2^{x - 1} + 4) = 2^{x + 1} + x^{2}$ có tổng các nghiệm bằng:

A. 7

B. 3

C. 5

D. 6

Xem đáp án

Xét hàm số trên R. Ta có:

Nên phương trình f(x)=0 có tối đa 1 nghiệm trong các khoảng $(- \infty; x_{0})$ và $(x_{0}; + \infty)$

Mà f(1)=f(2)=0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm x = 1 và x = 2

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 7.

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 18:

Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất $1 + [2 x^{2} - m (m + 1) x - 2] . 2^{1 + m x - x^{2}} = (x^{2} - m x - 1) . 2^{m x (1 - m)} + x^{2} - m^{2} x$

A. 0

B. 2

C. $- \frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Ta có:

Đặt . Phương trình trở thành:

+ Dễ dàng kiểm tra u = 0 hoặc v = 0 là nghiệm của (*)

+ Với

Xét hàm trên $R \ \{0\}$ ta thấy:

+ với t > 0 thì

+ với t < 0 thì

Do đó, f(t)>0 với mọi $t \neq 0$

Do đó phương trình vô nghiệm

Vậy

Hai phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt, tổng hai nghiệm ở mỗi phương trình là:

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho nhỏ nhất là: $- \frac{1}{4}$ khi $m = - \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 19:

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn $5^{x} + 25^{y} + 125^{z} = 2020$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2}$ là:

A. $\frac{1}{3} \log_{5} 2020$

B. $\frac{1}{6} \log_{5} 2018$

C. $\frac{1}{6} \log_{5} 2020$

D. $\frac{1}{2} \log_{5} 2018$

Xem đáp án

Đặt

với

Theo bài ra ta có:

Ta có:

Lấy (1) nhân với 2018 rồi trừ đi (2) ta được:

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 20:

Cho phương trình $\log_{3} x . \log_{5} x = \log_{3} x + \log_{5} x$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ và một nghiệm vô tỉ

B. Phương trình có một nghiệm duy nhất

C. Phương trình vô nghiệm

D. Tổng các nghiệm của phương trình là một số chính phương

Xem đáp án

Điều kiện x>0

Ta đặt:

Khi đó:

Do đó phương trình có 2 nghiệm 1, 15 và tổng hai nghiệm bằng 16 là một số chính phương.

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 21:

Phương trình ${(2 + \sqrt{2})}^{\log_{2} x} + x {(2 - \sqrt{2})}^{\log_{2} x}$ $= x^{2} + 1$ có nghiệm là:

A. $x = \frac{1}{2}$

B. x=1

C. x=2

D. x=4

Xem đáp án

Điều kiện: x > 0.

Đặt

Ta có:

Khi đó ta có phương trình đã cho trở thành:

Với

Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình.

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 22:

Tìm tập nghiệm của phương trình $\log_{3} x + \frac{1}{\log_{9} x} = 3$

A. $\{1; 2\}$

B. $\{\frac{1}{3}; 9\}$

C. $\{\frac{1}{3}; 3\}$

D. $\{3; 9\}$

Xem đáp án

Điều kiện x>0, $x \neq 1$

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 23:

Cho phương trình $2 \log_{4} (2 x^{2} - x + 2 m - 4 m^{2})$ $+ \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + m x - 2 m^{2}) = 0$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 1$

A. $[\begin{matrix} - 1 < m < \frac{1}{3} \\ \frac{2}{5} < m < \frac{1}{2} \end{matrix}$

B. $[\begin{matrix} - 1 < m < 0 \\ \frac{2}{5} < m < \frac{1}{2} \end{matrix}$

C. $[\begin{matrix} - 1 \leq m < 0 \\ \frac{1}{3} < m \leq \frac{2}{5} \end{matrix}$

D. $[\begin{matrix} m < 0 \\ m > \frac{2}{5} \end{matrix}$

Xem đáp án

ĐK:

Ta có:

Xét

Vì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ nên

Theo hệ thức Vi-et ta có

Ta có:

Lại có hai nghiệm của phương trình (*) là:

Thay vào điều kiện ban đầu (x-m)(x+2m)>0 ta được:

Kết hợp (1), (2) và (3) ta được:

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 24:

Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình $\log_{\sqrt{3}} (x - 2) + \log_{3} {(x - 4)}^{2} = 0$

A. $6 + \sqrt{2}$

B. 6

C. $3 + \sqrt{2}$

D. 9

Xem đáp án

ĐK $x > 2, x \neq 4$

Ta có

Vậy tổng các nghiệm là:

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 25:

Cho $0 \leq x \leq 2020$ và $\log_{2} (2 x + 2) + x - 3 y = 8^{y}$ . Có bao nhiêu cặp số (x,y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

A. 2019

B. 2018

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Ta có:

Xét hàm số có hàm số đồng biến trên R.

=> phương trình (*)

Do nên

Với mỗi giá trị y vừa tìm được đúng 1 giá trị x nguyên thỏa mãn

=> có 4 cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên.

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 26:

Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm $(x^{2} - 4) (\log_{2} 4 + \log_{3} x +$ $\log_{4} x + . . . + \log_{19} x + \log_{20}^{2} x = 0$

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

ĐKXĐ: x>0

Phương trình (*) có 3 nghiệm

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 27:

Cho hàm số $f (x) = \log_{2} (c o s x)$ . Phương trình f'(x)=0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $(0; 2020 π)$

A. 2020

B. 1009

C. 2010

D. 2019

Xem đáp án

ĐKXĐ: cosx>0

Ta có:

Với k chẵn, đặt , khi đó ta có

Với k lẻ, đặt , khi đó ta có

Kiểm tra ĐKXĐ:

: thỏa mãn

loại.

Suy ra nghiệm của phương trình là:

Theo bài ra ta có:

=> có 1009 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Vậy phương trình $f' (x) = 0$ có 1009 nghiệm khoảng $(0; 2020 π)$

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 28:

Có bao nhiêu số nguyên $a \in (- 2019; 2019)$ để phương trình $\frac{1}{\ln (x + 5)} + \frac{1}{3^{x} - 1} = x + a$ có hai nghiệm phân biệt?

A. 0

B. 2022

C. 2014

D. 2015

Xem đáp án

ĐKXĐ:

Ta có:

BBT:

Từ BBT suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm

Kết hợp ĐK: . Vậy có 2015 giá trị của a thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 29:

Cho phương trình $m \ln (x + 1) - x - 2 = 0$ . Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $0 < x_{1} < 2 < 4 < x_{2}$ là khoảng $(a; + \infty)$ A. Khi đó a thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (3,7;3,8)

B. (3,6;3,7)

C. (3,8;3,9)

D. (3,5;3,6)

Xem đáp án

ĐKXĐ: x > - 1

Ta có:

Dễ dàng kiểm tra x = 0 không phải nghiệm của phương trình trên.

Với $x \neq 0$ , phương trình (1)

Xét hàm số ta có:

Nhận xét: Trên , hàm số y=ln(x+1) đồng biến, hàm số nghịch biến.

(2) có tối đa 1 nghiệm trên $(1; + \infty)$

Mà => pt (2) có nghiệm duy nhất

Ta có BBT của f (x) trên 2 khoảng (0; 2) và $(4; + \infty)$ như sau:

Như vậy, để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn thì

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 30:

Cho phương trình $\log_{2} (x - \sqrt{x^{2} - 1}) . \log_{5} (x - \sqrt{x^{2} - 1})$ $= \log_{m} (x + \sqrt{x^{2} - 1})$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương khác 1 của m sao cho phương trình đã cho có nghiệm x lớn hơn 2?

A. Vô số

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Ta có:

Đặt

Ta có:

Với x>2 ta có:

Khi đó phương trình trở thành:

Để phương trình ban đầu có nghiệm x > 2 thì phương trình (*) có nghiệm $t \in (0; 2 - \sqrt{3})$

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 31:

Hỏi phương trình $2 \log_{3} (c o t x) = \log_{2} (\cos x)$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $(0; 2017 π)$

A. 1009

B. 1008

C. 2017

D. 2018

Xem đáp án

Điều kiện

Ta có:

Đặt

suy ra f(t)=1 có tối đa 1 nghiệm

Nhận thấy t = - 1 là nghiệm của phương trình

Ta có:

Do k nguyên nên k=0,1,...1008

Vậy phương trình có 1009 nghiệm

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 32:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $\log_{2} \frac{3 x^{2} + 3 x + m + 1}{2 x^{2} - x + 1} = x^{2} - 5 x + 2 - m$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

A. 3

B. Vô số

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Điều kiện: . Phương trình đã cho trở thành:

Xét hàm số trên

Do đó hàm số f (t) đồng biến trên D

Xét hàm số : trên R có:

Dựa vào BBT ta thấy: phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi và chỉ khi:

do

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 33:

Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong đoạn $[- 2017; 2017]$ để phương trình $\log m x = 2 \log (x + 1)$ có nghiệm duy nhất?

A. 2017

B. 4014

C. 2018

D. 4015

Xem đáp án

ĐK:

Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì có 2 TH:

TH1: Phương trình trên có nghiệm duy nhất:

Tuy nhiên giá trị m = 0 loại do khi đó nghiệm là x = - 1.

TH2: Phương trình trên có 2 nghiệm thỏa:

Nếu có , thay lại vô lí

Như vậy sẽ có các giá trị -2017;-2016;...;-1 và 4

Có 2018 giá trị

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 34:

Biết rằng phương trình ${[\log_{\frac{1}{3}} (9 x)]}^{2} + \log_{3} \frac{x^{2}}{81} - 7 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ . Tính $x_{1} . x_{2}$

A. $P = \frac{1}{9^{3}}$

B. $3^{6}$

C. $9^{3}$

D. $3^{8}$

Xem đáp án

Điều kiện: x > 0

Phương trình

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 35:

Tìm m để phương trình $m \ln (1 - x) - \ln x = m$ có nghiệm $x \in (0; 1)$

A. $m \in (0; + \infty)$

B. $m \in (1; e)$

C. $m \in (- \infty; 0)$

D. $m \in (- \infty; - 1)$

Xem đáp án

+ Cô lập m:

với 1>x>0

+ Nhận xét đáp án: ta thấy . Loại C và D

+ Tính giới hạn của khi x tiến dần tới 1 thì thấy y dần tiến tới 0. Loại B

Đáp án cần chọn là: A

Câu 36:

Cho tham số thực a. Biết phương trình $e^{x} - e^{- x} = 2 \cos a x$ có 5 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình $e^{x} - e^{- x} = 2 \cos a x + 4$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt

A. 5

B. 6

C. 10

D. 11

Xem đáp án

Ta có:

Giả sử $x_{0}$ là nghiệm của phương trình (*), thì $x_{0} \neq 0$ và $2 x_{0}$ là nghiệm của (1) và $- 2 x_{0}$ là nghiệm của (2) hoặc ngược lại.

Phương trình (*) có 5 nghiệm nên hai phương trình (1), (2) có 5 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình có 10 nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 37:

Giả sử m là số thực sao cho phương trình $\log_{3}^{2} x - (m + 2) \log_{3} x + 3 m - 2 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ phân biệt thỏa mãn $x_{1} . x_{2} = 9$ .

Khi đó m thỏa mãn tính chất nào sau đây?

A. $m \in (3; 4)$

B. $m \in (4; 6)$

C. $m \in (- 1; 1)$

D. $m \in (1; 3)$

Xem đáp án

Đặt $t = \log_{3} x$ suy ra phương trình trở thành

Để phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thì (*) cũng có hai nghiệm $t_{1}, t_{2}$

Phương trình (*)) có 2 nghiệm phân biệt $t_{1}, t_{2}$

Ta có:

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Suy ra $m \in (- 1; 1)$

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 38:

Cho phương trình $\log_{2}^{2} x - (5 m + 1) \log_{2} x + 4 m^{2} + m = 0$ . Biết phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} = 165$ . Giá trị của $|x_{1} - x_{2}|$ bằng:

A. 16

B. 119

C. 120

D. 159

Xem đáp án

ĐKXĐ: x > 0

Đặt $t = \log_{2} x$ , phương trình trở thành (*)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) cũng phải có 2 nghiệm phân biệt

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Theo bài ra ta có:

Đặt , phương trình trở thành

Vậy

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 39:

Cho phương trình $m \ln^{2} (x + 1)$ $- (x + 2 - m) \ln (x + 1) - x - 2 = 0 (1)$ . Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có các nghiệm, trong đó có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $0 < x_{1} < 2 < 4 < x_{2}$ là khoảng $(a; + \infty)$ . Khi đó, a thuộc khoảng

A. (3,8;3,9)

B. (3,7;3,8)

C. (3,6;3,7)

D. (3,5;3,6)

Xem đáp án

Điều kiện: x > - 1.

Ta có:

Với m = 0 thì phương trình (*) có nghiệm x=-2<-1 (1) nên không thỏa bài toán

Với $m \neq 0$ thì (*)

Xét có

Và nên ta có bảng biến thiên trên $(- 1; + \infty)$ như sau:

Để phương trình có nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa thì

Suy ra

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 40:

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn $\log_{2} \frac{3 x + 3 y + 4}{x^{2} + y^{2}}$ $= (x + y - 1) (2 x + 2 y - 1) - 4 (x y - 1)$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{5 x + 3 y - 2}{2 x + y + 1}$ bằng:

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Ta có:

Xét hàm số đặc trưng ta có:

=> hàm số y=f(t) luôn đồng biến trên $(0; + \infty)$

Do đó (*)

Ta có:

Kết hợp điều kiện đề bài ta có:

Xét biểu thức

Do

Vậy

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 41:

Số nghiệm của phương trình $\log_{3} |x^{2} - \sqrt{2} x| = \log_{5} (x^{2} - \sqrt{2} x + 2)$

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Đặt khi đó

Đặt

Xét (1):

nên hàm số đồng biến trên R.

Mặt khác, f(0)=2 do đó phương trình f(a)=f(0) có 1 nghiệm duy nhất

Suy ra: x(vô nghiệm)

Xét (2)

Đặt

Nên hàm số g (a) nghịch biến trên R do đó phương trình g(a)=1 có tối đa 1 nghiệm.

Mà g(a)=g(1) nên a = 1.

Suy ra có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 42:

Phương trình $\log_{3} \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x} + x^{2} + 1 = 3 x$ có tổng tất cả các nghiệm bằng:

A. 3

B. 5

C. $\sqrt{5}$

D. 2

Xem đáp án

Điều kiện:

Phương trình

Xét hàm số với t > 0. Ta có:

Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên $(0; + \infty)$

Nhận thấy (*) có dạng:

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 43:

Cho a, b, c là các số thực dương khác 1 thỏa mãn $\log_{a}^{2} b + \log_{b}^{2} c = \log_{a} \frac{c}{b} - 2 \log_{b} \frac{c}{b} - 3$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = \log_{a} b - \log_{b} c$ . Giá trị của biểu thức S=m-3M bằng:

A. S=-16

B. S=4

C. S=-6

D. S=6

Xem đáp án

Ta có:

Đặt

Phương trình

Ta có:

Phương trình (**) có nghiệm

Vậy

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 44:

Cho các số thực a, b, c thuộc khoảng $(1; + \infty)$ và thỏa mãn $\log_{\sqrt{a}}^{2} b + \log_{b} c . \log_{b} (\frac{c^{2}}{b})$ $+ 9 \log_{a} c = 4 \log_{a} b$ . Giá trị của biểu thức $\log_{a} b + \log_{b} c^{2}$ bằng:

A. 1

B. $\frac{1}{2}$

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Ta có:

Đặt ta có: (do a, b, c >1)

Khi đó phương trình (*) trở thành:

TH1: y=-4x loại do x, y > 0

TH2: . Khi đó ta có:

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 45:

Cho phương trình $4^{- |x - m|} . \log_{\sqrt{2}} (x^{2} - 2 x + 3)$ $+ 2^{2 x - x^{2}} . \log_{\frac{1}{2}} (2 |x - m| + 2) = 0$ với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là:

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Ta có:

Xét hàm đặc trưng ta có:

do đó hàm số đồng biến trên $[2; + \infty)$

Lại có

Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt

Dựa vào đồ thị hàm số ta có thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 46:

Cho các số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn $\log_{a}^{2} b + \log_{b}^{2} c + 2 \log_{b} \frac{c}{b} = \log_{a} \frac{c}{a^{3} b}$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \log_{a} a b - \log_{b} b c$ . Tính giá trị của biểu thức $S = 2 m^{2} + 9 M^{2}$

A. S=28

B. S=25

C. S=26

D. S=27

Xem đáp án

Ta có:

Đặt , khi đó ta có;

Thay x, y vào (1) ta có:

Để tồn tại các số a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (2) phải có nghiệm

Vậy:

Đáp án cần chọn là: D.