10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số có đáp án (P2) (Vận dụng)

Câu 1:

Có bao nhiêu số nguyên $m \leq 100$ để hàm số $y = 6 \sin x - 8 \cos x + 5 m x$ đồng biến trên $ℝ$ ?

A. 100 số

B. 99 số

C. 98 số

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số hàm số $y = 6 \sin x - 8 \cos x + 5 m x$

Tập xác định: $ℝ$

Ta có $y^{'} = 6 \cos x + 8 \sin x + 5 m$

Hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ \Leftrightarrow y^{'} \geq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow 5 m \geq - 6 \cos x - 8 \sin x, \forall x \in ℝ (1)$

Cách 1:

Ta lại có:

${(- 6 \cos x - 8 \sin x)}^{2} \leq ({(- 6)}^{2} + {(- 8)}^{2}) (\sin^{2} x + \cos^{2} x) = 100, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow - 10 \leq - 6 \cos x - 8 \sin x \leq 10, \forall x \in ℝ$

Do đó $(1) \Leftrightarrow 5 m \geq 10 \Leftrightarrow m \geq 2$

Kết hợp với điều kiện $m \leq 100$ ta được $2 \leq m \leq 100$

Vì m là số nguyên nên có 99 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Cách 2:

Ta có: $- 6 \cos x - 8 \sin x = - 10 [\sin (x + α)]$

Mà $- 1 \leq \sin (x + α) \leq 1, \forall x \in ℝ$

Suy ra: $- 10 \leq - 10 [\sin (x + α)] \leq 10, \forall x \in ℝ$

Hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ \Leftrightarrow y^{'} \geq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow 5 m \geq \max_{ℝ} (- 6 \cos x - 8 \sin x)$

$\Leftrightarrow 5 m \geq 10 \Leftrightarrow m \geq 2$

Kết hợp với điều kiện $m \leq 100$ ta được $2 \leq m \leq 100$

Vậy có 99 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Câu 2:

Cho hàm số $y = (m + 2) \frac{x^{3}}{3} - (m + 2) x^{2} + (m - 8) x + m^{2} - 1$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên $ℝ$

A. $m < - 2$

B. $m > - 2$

C. $m \leq - 2$

D. $m \geq - 2$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = (m + 2) x^{2} - 2 (m + 2) x + m - 8$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y' \leq 0, \forall x \in ℝ$ ( $y' = 0$ có hữu hạn nghiệm):

TH1 ● $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$ , khi đó $y' = - 10 \leq 0, \forall x \in ℝ$ (thỏa mãn).

TH2 ●

$\{\begin{cases} a = m + 2 < 0 \\ Δ' = {(m + 2)}^{2} - (m + 2) (m - 8) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m + 2 < 0 \\ 10 (m + 2) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m < - 2$

Hợp hai trường hợp ta được $m \leq - 2.$

Câu 3:

Giá trị của m để hàm số $y = \frac{m x + 1}{x + m}$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định là:

A. $- 1 < m < 1.$

B. $- 2 < m \leq - 1.$

C. $- 2 \leq m \leq 2.$

D. $- 2 \leq m \leq 1.$

Xem đáp án

Đáp án A

Tập xác định $D = ℝ \ \{- m\}$

Tính đạo hàm $y' = \frac{m^{2} - 1}{{(x + m)}^{2}}$

Để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $\Leftrightarrow y' < 0 \Leftrightarrow m^{2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1$

Câu 4:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = (3 - x) (x^{2} - 1) + 2 x, \forall x \in ℝ$ . Hỏi hàm số $g (x) = f (x) - x^{2} - 1$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $(3; + \infty)$

B. $(- \infty; 1)$

C. $(1; 2)$

D. $(- 1; 0)$

Xem đáp án

Đáp án C

$g^{'} (x) = f^{'} (x) - 2 x = (3 - x) (x^{2} - 1) + 2 x - 2 x = (3 - x) (x^{2} - 1) g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = \pm 1 \end{array}$

Bảng xét dấu g'(x):

Từ bảng xét dấu trên ta thấy hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1;2)

Câu 5:

Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số $y = (m - 1) x^{3} + (m - 1) x^{2} - (2 m + 1) x + 5$ nghịch biến trên tập xác định

A. $- \frac{5}{4} \leq m \leq 1$

B. $- \frac{2}{7} \leq m < 1$

C. $- \frac{7}{2} \leq m < 1$

D. $- \frac{2}{7} \leq m \leq 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Tập xác định: $D = ℝ$

Ta có $y^{'} = 3 (m - 1) x^{2} + 2 (m - 1) x - (2 m + 1)$

Xét $m = 1$ , Ta có $y^{'} = - 3 < 0 \forall x \in ℝ$ nên hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Xét $m \neq 1$ . Hàm số trên nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi

$\{\begin{cases} m - 1 < 0 \\ Δ^{'} = {(m - 1)}^{2} + 3 (m - 1) (2 m + 1) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 1 \\ 7 m^{2} - 5 m - 2 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - \frac{2}{7} \leq m < 1$

Vậy với $- \frac{2}{7} \leq m \leq 1$ thì hàm số $y = (m - 1) x^{3} + (m - 1) x^{2} - (2 m + 1) x + 5$ nghịch biến trên tập xác định.

Câu 6:

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{x - m}{x + 1}$ đồng biến trên các khoảng xác định của nó

A. $m \in [- 1; + \infty)$

B. $m \in (- \infty; - 1)$

C. $m \in (- 1; + \infty)$

D. $m \in (- \infty; - 1]$

Xem đáp án

Đáp án C

Tập xác định: $D = ℝ \ \{- 1\}$

Ta có: $y^{'} = \frac{1 + m}{{(x + 1)}^{2}}$

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó khi

$y^{'} > 0, \forall x \in D \Leftrightarrow \frac{1 + m}{{(x + 1)}^{2}} > 0, \forall x \in D \Leftrightarrow 1 + m > 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Câu 7:

Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số $y = \frac{m x - 8}{x - 2 m} (1)$ đồng biến trên khoảng là

A. $[- 2; 2]$

B. $(- 2; 2)$

C. $(- 2; \frac{3}{2}]$

D. $[- 2; \frac{3}{2}]$

Xem đáp án

Đáp án C

TXĐ : $D = ℝ \ \{2 m\}$

Ta có: $y^{'} = \frac{- 2 m^{2} + 8}{{(x - 2 m)}^{2}}$ . Để hàm số (1) đồng biến trên $(3; + \infty)$ thì:

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y^{'} > 0 \forall x \in (3; + \infty) \\ 2 m \notin (3; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 m^{2} + 8 > 0 \\ m \leq \frac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow - 2 < m \leq \frac{3}{2}$

Câu 8:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ . Đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình bên. Đặt $g (x) = 2 f (x) + x^{2} + 3$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = g(x) đạt cực tiểu tại x = 1

B. Hàm số $y = g (x)$ đồng biến trên $(- 3; 1)$

C. Hàm số $y = g (x)$ nghịch biến trên $(0; 3)$

D. Hàm số $y = g (x)$ đạt cực tiểu tại $x = 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $g^{'} (x) = 2 f^{'} (x) + 2 x$

Phương trình $g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = - x$ (1).

Ta vẽ đồ thị $y = f^{'} (x)$ và đường thẳng $y = - x$ trên cùng một hệ trục tọa độ (như hình vẽ).

Nghiệm của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên.

Xét trên khoảng $(- 3; 3)$ ta có:

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 3 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{array}$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra được hàm số $y = g (x)$ đạt cực tiểu tại $x = 1$

Câu 9:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = f (|12 x + 1| + m)$ có đúng ba điểm cực trị?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y = f (|12 x + 1| + m) = f (\sqrt{{(12 x + 1)}^{2}} + m)$

Suy ra

$y^{'} = \frac{2. (12 x + 1) .12}{2 |12 x + 1|} . f^{'} (\sqrt{{(12 x + 1)}^{2}} + m) = \frac{12 (12 x + 1)}{|12 x + 1|} . f^{'} (|12 x + 1| + m)$

+) y' không xác định tại $x = \frac{- 1}{12}$ và đổi dấu qua $x = \frac{- 1}{12}$ ; hàm số $y = f (|12 x + 1| + m)$ xác định tại $x = \frac{- 1}{12}$ nên hàm số đã cho có một điểm cực trị tại $x = \frac{- 1}{12}$ .

$+) y^{'} = 0 \Leftrightarrow f^{'} (|12 x + 1| + m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} |12 x + 1| + m = - 1 \\ |12 x + 1| + m = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} |12 x + 1| = - 1 - m \\ |12 x + 1| = 1 - m \end{array}$

Hàm số đã cho có đúng ba điểm cực trị khi và chỉ khi $\{\begin{cases} - m - 1 \leq 0 \\ - m + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \geq - 1 \\ m < 1 \end{cases} \Leftrightarrow - 1 \leq m < 1$ .

Do m nguyên nên $m \in \{- 1; 0\}$

Câu 10:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ , có đạo hàm $f^{'} (x) = x {(x - 1)}^{2} (x - 2)$ . Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số $y = f (\frac{x + 2}{x + m})$ đồng biến trên khoảng $(10; + \infty)$ .Tính tổng các phần tử của S

A. -9

B. -3

C. -5

D. -7

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $g (x) = f (\frac{x + 2}{x + m})$ ,

${[g (x)]}^{'} = {(\frac{x + 2}{x + m})}^{'} . f^{'} (\frac{x + 2}{x + m}) = \frac{m - 2}{{(x + m)}^{2}} . \frac{x + 2}{x + m} . {(\frac{x + 2}{x + m} - 1)}^{2} . (\frac{x + 2}{x + m} - 2) = \frac{m - 2}{{(x + m)}^{2}} . \frac{x + 2}{x + m} . {(\frac{2 - m}{x + m})}^{2} . (\frac{2 - x - 2 m}{x + m}) = \frac{x + 2}{{(x + m)}^{4}} . {(\frac{2 - m}{x + m})}^{2} . (2 - m) (x + 2 m - 2)$

Hàm số $y = g (x)$ đồng biến trên $(10; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \geq - 10 \\ g^{'} (x) \geq 0, \forall x \in (10; + \infty) \end{cases}$

Xét $g^{'} (x)$ trên $(10; + \infty)$

TH 1: $m = 2 \Rightarrow g^{'} (x) = 0, \forall x \neq - m$ loại.

TH 2: $m > 2, g^{'} (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2 - 2 m$ loại.

TH 3: $m < 2, g^{'} (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2 - 2 m$ . Hàm số $y = g (x)$ đồng biến trên $(10; + \infty)$ khi và chỉ khi $\{\begin{cases} m \geq - 10 \\ 2 - 2 m \leq 10 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq - 4$

Vậy các giá trị m cần tìm là $- 4 \leq m < 2$

Mà $m \in ℤ$ nên $S = \{- 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1\}$

Vậy tổng các phần tử của S là $(- 4) + (- 3) + (- 2) + (- 1) + 0 + 1 = - 9$