25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 100 câu trắc nghiệm Số phức nâng cao (P3)

Câu 1:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 2| + |z + 2| = 10.

A. Đường tròn ( x - 2) ²+ ( y + 2) ²= 100.

B. Elip

C. Đường tròn ( x -2) ²+ ( y + 2) ²= 10.

D. Elip

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, x, y ∈ R

Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2

Gọi B là điểm biểu diễn số phức -2

Ta có: |z – 2| + |z + 2| = 10 ⇔ MB + MA = 10.

Ta có AB = 4.

Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2 tiêu điểm là A(2; 0), B( -2; 0) tiêu cự AB = 4 = 2c, độ dài trục lớn là 10 = 2a , độ dài trục bé là

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 2| + |z + 2| = 10 là elip có phương trình

Câu 2:

Cho số phức z thỏa mãn |z + 2| + |z – 2| = 8. Trong mặt phẳng phức tập hợp những điểm M biểu diễn cho số phức z là?

C. ( x + 2) ²+ ( y - 2) ²= 64.

D. ( x + 2) ²+ ( y - 2) ²= 8.

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi M(x; y) , F₁= ( -2; 0) và F₂( 2; 0).

Ta có |z + 2| + |z – 2| = 8

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x + 2)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - 2)}^{2} + y^{2}} = 8$

Hay MF₁+ MF₂= 8.

Do đó điểm M(x; y) nằm trên elip (E ) có 2a = 8 nên a = 4

ta có F₁F₂= 2c nên 4 = 2c hay c = 2

Ta có b²= a²- c²= 16 - 4 = 12

Vậy tập hợp các điểm M là elip

Câu 3:

Tìm nghiệm của phương trình:

B. Không có z thỏa mãn

Xem đáp án

Chọn B.

Điều kiện: z $\neq$ 3i

Đặt . Phương trình đã cho trở thành: t²- 3t – 4 = 0

Suy ra: t = 4 hoặc t = -1

Với t = 4 thì

Hay iz + 3 = 4( z – 3i)

$\Leftrightarrow (- 4 + i) z = - 12 i - 3 \Leftrightarrow z = \frac{- 12 i - 3}{- 4 + i} = 3 i$

Không thỏa mãn.

Với t = -1 thì

Suy ra: iz + 3 = -1 ( z - 3i)

( 1 + i) z = -3 + 3i hay z = 3i (không thỏa mãn)

Vậy không có z thỏa mãn.

Câu 4:

Tìm nghiệm của phương trình: ( z + 3 - i)²- 6( z + 3 - i) + 13 = 0

A. z = 3i; z = 1 - 2i

B. z = - i; z = 3i + 4

C. z = 3i + 4; z = 3i

D. z = 3i; z = -i

Xem đáp án

Chọn D.

Đặt t = z + 3 - i. Phương trình đã cho trở thành: t²- 6t + 13 = 0

Suy ra : t = 3 + 2i hoặc t = 3 - 2i

Với t = 3+ 2i thì z + 3 – i = 3 + 2i hay z = 3i

Với t = 3- 2i thì z + 3 – i = 3 -2i hay z = - i

Câu 5:

Tìm nghịch đảo của số phức z, biết z thỏa mãn | z - 2i| =| $\bar{z}$ + 2 + 4i| và $\frac{z - i}{\bar{z} + i}$ là số thuần ảo.

Xem đáp án

Chọn C.

Giả sử z = a+ bi thì khi và chỉ khi a = b - 4 (1)

Với a ≠ 0 hoặc b ≠ 1, ta có:

Vì là số thuần ảo nên a²- ( b - 1) ²= 0 khi và chỉ khi a = b - 1 hoặc a = 1 - b

Kết hợp (1) ta có a = -3/2 và b = 5/2.

Nên số phức đó là

Vậy $\frac{1}{z} = - \frac{3}{17} - \frac{5}{17} i$ .

Câu 6:

Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức z thỏa mãn là đường tròn C. Diện tích S của đường tròn C bằng bao nhiêu?

A. S = 4π.

B. S = 2π.

C. S = 3π.

D. S = π.

Xem đáp án

Chọn D.

+ Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Từ giả thiết ta có:

x²+ y²+ x + yi + x - yi = 0

Hay x²+ y²+ 2x = 0

$\Leftrightarrow (x^{2} + 2 x + 1) + y^{2} = 1 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$

⇒ Tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện đầu bài là đương tròn tâm I (-1; 0) và bán kính R = 1.

Nên diện tích cần tìm là S = πR²= π.

Câu 7:

Tính giá trị của biết z₁; z₂; z₃; z₄ là nghiệm phức của phương trình ( 5z²- 6iz - 2)( -3z²+ 2iz) = 0.

A. 12/25

B. 13/45

C. 11/23

D. 26/7

Xem đáp án

Chọn B.

Phương trình đã cho tương đương với -3z²+ 2iz = 0 ( 1) hoặc 5z²- 6iz - 2 = 0 ( 2)

Giải (2): ta có

Suy ra

Do đó:

Câu 8:

Tính mô-đun của số phức z, biết và z có phần thực dương.

A. 2

B. 1

C.3

D. $\sqrt{5}$

Xem đáp án

Chọn D.

Giả sử z = x + yi (x, y $\in$ R); từ giả thiết :

Nên ( x + yi) ³+ 12i = x - yi

Hay x³- 3xy²+ ( 3x²y - y³+12) i = x - yi

Ta có hệ phương trình là x³- 3xy² = x (1) và 3x²y - y³+ 12 = - y ( 2)

Do x > 0 nên từ (1) x²= 3y²+ 1. Thế vào (2) ta được:

3( 3y²+ 1) y - y³+ 12 = -y

Hay 2y³+ y + 3 = 0 (3)

Giải phương trình (3) ta được y = -1; x²= 4. Do x > 0 nên x = 2.

Vậy z = 2 - i và

Câu 9:

Giải phương trình sau: ( z²+ z) ²+ 4( z²+ z) - 12 = 0

A. z = -1; z = 2

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt t = z² + z; Phương trình đã cho trở thành

Với

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Câu 10:

Giải phương trình sau: ( z²+ 3z + 6) ²+ 2z( z²+ 3z + 6) - 3z² = 0

D. Cả A và C đúng

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: ( z²+ 3z + 6) ²+ 2z( z²+ 3z + 6) - 3z² = 0

Hay ( z²+ 3z + 6) ²+ 2z( z²+ 3z + 6) + z² – 4z²= 0

$\Leftrightarrow$ [(z²+ 3z + 6) + z]²- ( 2z)²= 0

$\Leftrightarrow$ [z²+ 4z + 6 ]²- ( 2z)²= 0

Suy ra: (z²+ 4z + 6 - 2z) (z²+ 4z + 6 + 2z) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là:

Câu 11:

Cho phương trình: ( z²- z) ( z + 3) (z + 2) = 10 .Tính tổng tất cả các phần thực của các nghiệm phương trình trên.

A. -1

B. -2

C. -3

D. -4

Xem đáp án

Chọn D.

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

z( z + 2) ( z - 1) ( z + 3) = 10

Hay ( z²+ 2z) ( z²+ 2z - 3) = 10

Đặt t = z²+ 2z. Khi đó phương trình trở thành: t²- 3t – 10 = 0.

Vậy phương trình có các nghiệm:

Tổng tất cả các phần thực của các nghiệm phương trình đã cho là:

-1+ ( -1) + (-1) + ( -1) = -4.

Câu 12:

Cho A; B; C tương ứng là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z₁= 1 + 2i; z₂= -2 + 5i ; z₃= 2 + 4i . Số phức z biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là

A. -1 + 7i.

B. 5 + i.

C. 1 + 5i.

D. 3 + 5i.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có A(1 ;2) ; B(-2 ; 5),C(2 ;4).

Gọi D(x ; y).

Ta có

Để ABCD là hình bình hành thì

Vậy z = 5 + i.

Câu 13:

Cho 3 điểm A ; B ;C lần lượt biểu diễn cho các số phức z₁; z₂; z₃ .Biết | z₁| = | z₂| = | z₃| và z₁+ z₂= 0 . Khi đó tam giác ABC là tam giác gì?

A. Tam giác ABC đều.

B. Tam giác ABC vuông tại C.

C. Tam giác ABC cân tại C.

D. Tam giác ABC vuông cân tại C.

Xem đáp án

Chọn B.

Vì z₁+ z₂= 0 nên z₁; z₂ là hai số phức đối nhau, do đó hai điểm A: B đối xứng qua gốc O ( tức O là trung điểm của đoạn thẳng AB).

Lại có | z₁| = | z₂| = | z₃|

Vậy tam giác ABC có độ dài đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền nên vuông tại C.

Câu 14:

Xét số phức z thỏa mãn 2|z - 1 | + 3| z - i | $\leq 2 \sqrt{2}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Chọn D.

Giả sử z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x; y).

Số phức z - 1 có điểm biểu diễn A(x - 1; y) và z - i có điểm biểu diễn là B(x; y - 1).

Ta có

Mà 2OA + 3OB = 2OA + 2OB + OB ≥ 2 AB + OB (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2AB + OB ≤ 2AB khi và chỉ khi B và O trùng nhau

Khi đó: x = 0 và y = 1.

Khi đó z = i ⇒ |z| = 1.

Câu 15:

Đẳng thức bằng

A. z₁/z₂

B. z₁z₂

C. z₁+ z₂

D. z₁- z₂

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có

Suy ra:

Câu 16:

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện: là hình gì?

A. Một đường thẳng.

B. Một đường Parabol.

C. Một đường Elip.

D. Một đường tròn.

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt z = a + bi

Theo giả thiết ⇔ 2|a + (b – 1)i| = |2(b + 1)i|

Hay a²+ ( b - 1) ²= ( b + 1)²

Suy ra: a²= 4b

Quỹ tích các số phức z là một đường Parabol.

Câu 17:

Cho số phức z = m - 2 + ( m²- 1) i với m là số thực. Gọi (C) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và Ox.

A. 1.

B. 4/3.

C. 32/3.

D. 8/3.

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z.

Ta có:

Diện tích cần tìm: $S = \int_{- 3}^{- 1} |x^{2} + 4 x + 3| d x = \frac{4}{3}$

Câu 18:

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 3| z + i| = | 2 $\bar{z}$ - z + 3i | . Tập hợp tất cả những điểm M như vậy là

A. một parabol.

B. một đường thẳng.

C. một đường tròn.

D. một elip.

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x; y) trên mặt phẳng tọa độ:

Theo đề bài ta có:

⇔ |3(x + yi) + 3i| = |2(x – yi) – (x + yi) + 3i|

⇔ |3x + (3y + 3)i| = |x + (3 – 3y)i|

Hay 9x²+ ( 3y + 3) ²= x²+ ( 3 - 3y) ²

Suy ra: 8x²+ 36y = 0 hay y = -2/9 x²

Vậy tập hợp các điểm M(x; y) biểu diễn số phức z theo yêu cầu của đề bài là parabol

Câu 19:

Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

A. Là đường Hyperbol y = -1/x

B. Là đường Hyperbol y = 1/x

C. Là đường tròn tâm O bán kính R = 4.

D. Là hai đường Hyperbol y = -1/x và y = 1/x

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có:

Câu 20:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn và z² là số thuần ảo.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt z = x + yi

Ta có:

Mặt khác: z²= ( x + yi) ²= x²- y²+ 2xyi là số thuần ảo nên x²- y²= 0

Ta có hệ:

Vậy các số phức cần tìm là: z = 1+ i; z = 1 - i; z = -1 + i và z = -1 - i.

Câu 21:

Tính tổng phần ảo các số phức z thỏa mãn |z| = 5 và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo.

A. 0

B. 1

C. 2

D.3

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi số phức cần tìm là z = x + yi.

Ta có:

hay x²+ y²= 25 (*)

Mặt khác: Số phức có phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo nên x = 2y

thay vào phương trình (*) ta được: 5y²= 25 hay

Vậy số phức cần tìm là:

Do đó tổng các phần ảo là: $\sqrt{5} + (- \sqrt{5}) = 0$

Câu 22:

Cho số phức z thỏa mãn ( 1 - 3i) z là số thực và . Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi số phức cần tìm là z = a + bi.

Ta có ( 1 - 3i) z = ( 1 - 3i) ( a + bi)

= a + 3b - 3ai + bi = a + 3b + ( b - 3a) i

+ Do ( 1 - 3i) z là số thực nên b - 3a = 0 hay b = 3a

+ ta có ⇔|a – 2 + (-b + 5)i| = 1

Hay ( a - 2) ²+ ( 5 - 3a) ²= 1

(thỏa mãn)

Vậy có hai số phức z thỏa mãn là z = 2 + 6i và $z = \frac{7}{5} + \frac{21}{5} i$

Câu 23:

Tìm số phức z biết |iz + 1 | = $\sqrt{2}$ và ( 1 + i) z + 1 – 2i là số thuần ảo.

A. z = 1

B. z = 1 + 2i

C. z = - 1 và z = 1+ 2i

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt và khi đó ta có:

Số phức này là số ảo, do đó ta có:

Thay vào (*) ta có z = -1 và z = 1+ 2i.

Câu 24:

Biết z₁; z₂ là hai số phức thỏa điều kiện: . Tính z₁+ z₂

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi số phức z = a+ bi.

Từ giả thiết suy ra:

2( a - bi + 1) + a + bi - 1= ( 1- i) ( a²+ b²)

Tương đương: ( 3a + 1) – bi = a²+ b²- i( a²+ b²)

Có hai số phức cần tìm z₁= i;

Suy ra:

Câu 25:

Biết z₁; z₂ là số phức thỏa mãn:.

Tính

A. -111/4 + i

B. -111 + i

C. -111+ 4i

D. -44 + i

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi z = a+ bi

Ta được: ( a+ bi+ 1) ²+|a + bi – 1|² + 10i = a - bi + 3

Tương đương: ( 2a²- a - 1) + ( 2ab + 3b + 10) i = 0

Vậy z = 1 - 2i và z = $- \frac{1}{2}$ - 5i.

Suy ra