25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao (P7)

Câu 1:

Nghiệm của phương trình log₅x = log₇(x + 2) là:

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Xem đáp án

Chọn C.

Điều kiện:

Đặt

Nhận thấy t = 1 là một nghiệm của phương trình (2).

Xét hàm số trên R

nghịch biến trên R và f(t) = f(1) khi và chỉ khi t = 1.

Thay t = 1 vào (1) suy ra x = 5.

Câu 2:

Gọi x₀ là nghiệm của phương trình $\frac{l g (\sqrt{x + 1} + 1)}{l g \sqrt[3]{x - 40}} = 3$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. x₀ là số chính phương

B. x₀> 50

C. x₀ là một số lẻ

D. 41< x₀< 50

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 3:

Biết phương trình $\log_{3} (3^{x + 1} - 1) = 2 x + \log_{3} 2$ có hai nghiệm x₁; x₂.

Tính tổng $S = 27^{x_{1}} + 27^{x_{2}}$ .

A. S = 8

B. S = 9

C. S = 1,5

D. S = 9/8

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 4:

Kí hiệu $x = - a b$ là một nghiệm của phương trình $1 + \log_{6} \frac{x - 1}{x + 7} = \frac{1}{2} \log_{6} {(x - 1)}^{2}$ với $a b$ là số tự nhiên có hai chữ số. Tính tổng a + 2b

A. 4

B. 5

C. 7

D. 9

Xem đáp án

Chọn B.

Câu 5:

Phương trình $1 + 2 \log_{x} 2 . \log_{4} (10 - x) = \frac{2}{\log_{4} x}$ có tổng hai nghiệm bằng

A. 12

B. 8

C. 10

D. 6

Xem đáp án

Chọn C.

Điều kiện: . Phương trình

Tương đương: log₄x + 2log_x2 . log₄x.log₄( 10 - x) = 2

Hay log₄x + log_x2.log₂x.log₄(10 - x) = 2

Suy ra: log₄x + log₄(10-x) = 2 nên log₄x [x(10 - x) ] = 2

Do đó; x(10 - x) = 16

Suy ra x = 2 hoặc x = 8 ( thỏa mãn)

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là 10.

Câu 6:

Phương trình $\log_{3} x + \log_{9} 3 x + \log_{27} x = \frac{5}{3}$ có nghiệm duy nhất $x_{0}$ được biểu diễn dưới dạng $m^{\frac{n}{11}}$ với m; n là các số nguyên. Tổng m + n bằng.

A. 11

B. 7

C. 10

D. 6

Xem đáp án

Chọn C.

Điều kiện x > 0.

Phương trình đã cho trở thành

Mà x₀ được biểu diễn dưới dạng suy ra

Câu 7:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình log₂( -x²- 3x – m + 10) = 3 có nghiệm thực phân biệt trái dấu.

A. m < 4

B. m > 2

C. m < 2

D. m > 4

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 8:

Cho phương trình sau:

$m . \log_{\frac{1}{2}}^{2} (x - 4) - 2 (m^{2} + 1) \log_{\frac{1}{2}} (x - 4) + m^{3} + m + 2 = 0$

Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 4 < x₁< x₂< 6 .

A. $m \in (0; + \infty)$

B. $m \in (0; + \infty) \ \{1\}$

C. $m \in (0; + \infty) \ \{2\}$

D. $m \in (0; + \infty) \ \{- 1\}$

Xem đáp án

Chọn B.

Điều kiện: x>4

Đặt $t = \log_{\frac{1}{2}} (x - 4)$ , phương trình có dạng: $m t^{2} - 2 (m^{2} + 1) t + m^{3} + m + 2 (1)$

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $4 < x_{1} < x_{2} < 6$

$\Rightarrow 0 < x_{1} - 4 < x_{2} - 4 < 2 \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}} (x_{1} - 4) > \log_{\frac{1}{2}} (x_{2} - 4) > \log_{\frac{1}{2}} 2 \Rightarrow t_{1} > t_{2} > - 1$

Với $m \neq 0$ ta có: $∆' = {(m^{2} + 1)}^{2} - m (m^{3} + m + 2) = m^{2} - 2 m + 1 = {(m - 1)}^{2} \geq 0 \forall m$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $t_{1} = \frac{m^{2} + 2 m + 2}{m}, t_{2} = m + 1$

Câu 9:

Phương trình log₃( 3^x - 6) = 3 - x có nghiệm duy nhất x₀. Biết rằng x₀ cũng là nghiệm của phương trình log₃( x + 7a) = 2log₂x. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. 1 < a < 2

B. 0 < a < 1

C. 2 < a < 4

D. $a \in (\frac{1}{2}; 2)$

Xem đáp án

Chọn D.

Phương trình

Mà x₀ là nghiệm của phương trình log₃( x + 7a) = 2log₂x nên suy ra

log₃( x + 7a) = 2log₂x tương đương log₃( x +7a) = 2

do đó; 7a + 2 = 3²

suy ra a = 1.

Câu 10:

Giải phương trình log₂x.log₃x + x.log₃x + 3 = log₂x + 3log₃x + x . Ta có tổng các nghiệm là

A. 35

B. 9

C. 5

D. 10

Xem đáp án

Chọn C.

Điều kiện x > 0

Phương trình tương đương:

log₂x( log₃x - 1) + x( log₃x - 1) - 3(log₃x - 1) = 0

Hay ( log₃x - 1) ( log₂ x + x - 3) = 0

Ta có đồng biến với x > 0

Suy ra (1) có nghiệm thì là nghiệm duy nhất, dễ thấy (1) có nghiệm x = 2

Suy ra

Câu 11:

Phương trình log₃(2x + 1) = 2log_2x+13 + 1 có hai nghiệm phân biệt . Giá trị biểu thức x₁+ x₂+ x₁.x₂ thuộc khoảng nào dưới đây

A. (0; 1)

B. (1; 2)

C. (2; 3)

D. (3; 4)

Xem đáp án

Chọn C.

Điều kiện:

.

Đặt t = log₃(2x + 1) suy ra

Khi đó, phương trình đã cho trở thành

Với t = -1 ta có log₃( 2x + 1) = -1 hay 2x + 1 = 3^-1 nên x = -1/3

Với t = 2 ta có log₃(2x + 1) = 2 hay 2x + 1 = 3² nên x = 4

Vậy giá trị biểu thức

Câu 12:

Phương trình $1 + \log_{27} (x^{\log_{27} x}) = \frac{10}{3} \log_{27} x$ có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3^a; x₂ = 3^b. Biết rằng x₁ < x₂, tính giá trị biểu thức P = b( 2x₁ - 3a) ^-1

A. 1

B. P = 1/3

C. P = 1/9

D. 3

Xem đáp án

Chọn D.

Điều kiện : x> 0

Ta có

và đặt t = log₂₇x

Khi đó, phương trình đã cho trở thành

Với t = 3, ta được log₂₇x = 3 nên x = 3⁹

Với t = 1/3 , ta được

Theo đề bài ra, ta có

Câu 13:

Một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là $\sqrt{\log_{2} x}$ và $\sqrt{\log_{2} (64 x)}$ . Biết rằng đường cao tương ứng với cạnh huyền của tam giác đó có độ dài bằng 2. Tìm x.

A. x = 8

B. x = 64

C. x = 2

D. x = 6

Xem đáp án

Chọn B.

Câu 14:

Phương trình log₂( 5^x - 1) log₂( 2.5^x - 2) = 2 có hai nghiệm phân biệt

Tỉ số $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ gần với giá trị nào sau đây nhất, biết rằng x₁ > x₂ > 0

A. 4

B. 3

C. 5

D. 2

Xem đáp án

Chọn C.

Điều kiện: 5^x – 1 > 0 hay x > 0

Phương trình đã cho tương đương:

log₂( 5^x - 1) [log₂( 5^x - 1) + 1] = 2

Đặt t = log₂(5^x - 1), khi đó phuơng trình trở thành: t(t + 1) = 2

Suy ra t = 1 hoặc t = -2

Với t =1 ta có log₂(5^x - 1) = 1 nên 5^x – 1 = 2; x = log₅3

Với t = -2ta có log₂(5^x - 1) = - 2 nên 5^x – 1 = 2^-2; x = log₅(5/4)

Mặt khác x₁ > x₂ suy ra

Câu 15:

Phương trình lg⁴(x - 1) ² + lg²(x - 1) ³ = 25 có bao nhiêu nghiệm ?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 16:

Tính tổng các nghiệm của phương trình $\log_{2}^{2} x + (x - 1) \log_{2} x = 6 - 2 x$ bằng

A. 9/4

B. 5/4

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Chọn A.

Điều kiện x > 0.

Đặt t = log₂x , phương trình trở thành : t² + (x - 1) t + 2x – 6 = 0

Hay t²– t – 6 + x(t + 2) = 0

(t + 2) (t - 3) + x(t + 2) = 0

Xét hàm số f(x) = log₂x + x - 3 với x > 0, có

Suy ra f(x) là hàm đồng biến trên khoảng

Khi đó phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng

Mà f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 9/4.

Câu 17:

Số nghiệm của phương trình $\log_{3} |x^{2} - \sqrt{2} x| = \log_{5} (x^{2} - \sqrt{2} x + 2)$ là

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Chọn B.

Điều kiện:

Đặt $x^{2} - \sqrt{2} x = t$ , khi đó phương trình trở thành

Đặt suy ra

+Với t = 3^a ta có

Xét hàm số , có

Suy ra f(x) là hàm số nghịch biến trên R.

Khi đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất $a = 1 \Leftrightarrow t = 3 \Leftrightarrow x^{2} - \sqrt{2} x = 3 \Leftrightarrow x^{2} - \sqrt{2} x - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

+Với t = -3^a ta có -3^a + 2 = 5^a hay 5^a + 3^a – 2 = 0 (2)

Xét hàm số g(a) = 5^a + 3^a - 2 có g’(a) = 5^aln5 + 3^aln3 > 0 mọi a.

Suy ra f(a) là hàm số đồng biến trên R.

Khi đó phương trình (2) có nghiệm duy nhất $a = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow x^{2} - \sqrt{2} x = - 1 \Leftrightarrow x^{2} - \sqrt{2} x + 1 = 0$ vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Câu 18:

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn $\log u_{1} + \sqrt{- 2 + \log u_{1} - 2 \log u_{8}} = 2 \log u_{10}$ và u_n+1= 10u_n Khi đó u₂₀₁₈ bằng

A.10²⁰⁰⁰

B. 10²⁰⁰⁸

C. 10²⁰¹⁸

D.10²⁰¹⁷

Xem đáp án

Chọn A.

Dễ thấy u_n là cấp số nhân với q = 10 Ta có: u₈= 10⁷. U₁; u₁₀= 10⁹. U₁

Do đó

Điều kiện log $u_{1}$ $\geq - 18$

Phương trình trên $\Leftrightarrow - 16 - \log u_{1} = {(\log u_{1} + 18)}^{2} \Leftrightarrow \log^{2} u_{1} + 37 \log u_{1} + 340 = 0$

$[\begin{matrix} \log u_{1} = - 17 (t h ỏ a m ã n) \\ \log u_{1} = - 20 (l o ạ i) \end{matrix}$

log u₁ = -17 nên u₁ = 10^-17

Nên u₂₀₁₈ = 10²⁰⁰⁰

Câu 19:

Tìm nghiệm thỏa mãn phương trình :2log₃cotx= log₂cosx

A. $x = \frac{π}{3} + k 2 π$

B. $x = - \frac{π}{3} + k 2 π$

C. Cả A và B đúng

D. Cả A và B sai

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt t = $\log_{2} \cos x \Rightarrow \cos x = 2^{t} \Rightarrow c o t^{2} x = \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} = \frac{\cos^{2} x}{1 - \cos^{2} x} = \frac{4^{t}}{1 - 4^{t}}$

$f' (t) = {(\frac{4}{3})}^{t} \ln (\frac{4}{3}) + 4^{t} \ln 4 > 0$

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định, nên phương trình f(t) = 0 có một nghiệm duy nhất

Mà f(-1)=0

Nên t = - 1 là nghiệm của phương trình f(t) = 0

$\Rightarrow \log_{2} \cos x = - 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{3} + k 2 π \end{matrix}, k \in Z$

Câu 20:

Tập nghiệm của bất phương trình $(l o g_{x} 8 + \log_{4} x^{2}) \log_{2} \sqrt{2 x} \geq 0$ là

A. $S = (0; \frac{1}{2}) \cup (1; + \infty)$

B. $S = (0; \frac{1}{2}] \cup (1; + \infty)$

C. $S = (0; + \infty)$

D. $S = [\frac{1}{2}; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B.

Câu 21:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $4^{x^{2}} - 3 . 2^{x^{2} + 1} + m - 3 = 0$ có 4 nghiệm phân biệt.

A. 4

B. 12

C. 9

D. 3

Xem đáp án

Chọn D.

Đặt khi đó phương trình tương đương với: t² - 6t + m – 3 = 0 (*)

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi (*) có 2 nghiệm dương phân biệt lớn hơn 1.

Câu 22:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{0, 7} (\log_{6} \frac{x^{2} + x}{x + 4}) < 0$ có dạng $(a; b) \cup (c; + \infty)$ với a; b; c là các số nguyên. Tính tổng S = a + b + c .

A. 1

B. -1

C. -7

D. 7

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 23:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{x} \frac{3 x + 2}{x + 2} > 1$ là

A. S = (0; 2)

B. S = (1; 2)

C. S = (0; 1)

D. $S = (2; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B.

Điều kiện:

+TH1: Với

+ TH2:

Kết hợp hai trường hợp, suy ta tập nghiệm của bất phương trình là S = (1; 2).

Câu 24:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của a để bất phương trình $2 \log_{\frac{1}{2}} a - 3 + 2 x . \log_{\frac{1}{2}} a - x^{2} < 0$ nghiệm đúng với mọi x.

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Xem đáp án

Chọn C.

Bất phương trình

Đặt , khi đó bất phương trình trở thành x²-2tx-2t+3> 0 (*)

Bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi

$\{\begin{cases} a = 1 > 0 \\ ∆' = t^{2} - (- 2 t + 3) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow t^{2} - (- 2 t + 3) < 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < t < 1$

$\Rightarrow - 3 < \log_{\frac{1}{2}} a < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < a < 8$

Mà $a \in Z \Rightarrow a \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}$

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 25:

Phương trình $\log_{3} (x + 2) + \frac{1}{2} \log_{3} {(x - 5)}^{2} + \log_{\frac{1}{3}} 8 = 0$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn C.