25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao (P2)

Câu 1:

Rút gọn $A = \frac{1}{\log_{2} x} + \frac{1}{\log_{3} x} + \frac{1}{\log_{4} x} + . . . + \frac{1}{\log_{2011} x}$

A. log_x2012!

B.log_x1002!

C.log_x2011!

D. log_x2011.

Xem đáp án

Chọn C.

= log_x( 2.3.4....2011) = log_x( 2011!)

Câu 2:

Kết quả rút gọn của biểu thức $C = \sqrt{\log_{a} b + \log_{b} a + 2} (\log_{a} b - \log_{a b} b) \sqrt{\log_{a} b}$ là:

A. log_ab

B. $\sqrt{\log_{a} b}$

C. $\log_{a}^{2} b$

D. ${(\sqrt{\log_{a} b})}^{3}$

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 3:

Cho a; b > 0, Nếu viết $\log_{5} {(\frac{a^{10}}{\sqrt[6]{b^{5}}})}^{- 0, 2} = x \log_{5} a + y \log_{5} b$ thì xy bằng bao nhiêu ?

A. -1/3

B. 1/3

C. 3

D. - 3

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có :

Câu 4:

Thu gọn biểu thức $A = \frac{1}{\log_{a} b} + \frac{1}{\log_{a^{2}} b} + \frac{1}{\log_{a^{3}} b} + . . . + \frac{1}{\log_{a^{n}} b}$ ta được:

A. $A = \frac{n (n + 1)}{\log_{a} b}$

B. $A = \frac{n + 1}{2 \log_{a} b}$

C. $A = \frac{n (n + 1)}{2 \log_{a} b}$

D. $A = \frac{n (n - 1)}{\log_{a} b}$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có:

Do đó

Câu 5:

Cho các số thực a; b; c thỏa mãn: $a^{\log_{3} 7} = 27, b^{\log_{7} 11} = 49, c^{\log_{11} 25} = \sqrt{11}$ . Giá trị của biểu thức $A = a^{{(\log_{3} 7)}^{2}} + b^{{(\log_{7} 11)}^{2}} + c^{{(\log_{11} 25)}^{2}}$ là:

A. 519

B. 729

C. 469

D. 129

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có

Câu 6:

Tính giá trị của biểu thức $P = \ln (\tan 1 °) + \ln (\tan 2 °) + \ln (\tan 3 °) + . . . + \ln (\tan 89 °)$

A. P = 1

B. P = 1/2

C. P = 0

D. P = 2

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 7:

Cho x; y là các số thực lớn hơn thoả mãn x²+ 9y²= 6xy . Tính $M = \frac{1 + \log_{12} x + \log_{12} y}{2 \log_{12} (x + 3 y)}$

A. M = 1/4.

B. M = 1.

C. M = 1/2.

D. M = 1/3.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có x²+ 9y²= 6xy tương đương (x - 3y) ²= 0 hay x = 3y.

Khi đó

Câu 8:

Cho f(1) = 1; f(m + n) = f(m) + f( n) + m.n với các số nguyên dương m; n .Khi đó giá trị của biểu thức $T = \log (\frac{f (2017) - f (2016) - 17}{2})$ là

A. 3

B. 4

C. 6

D. 9

Xem đáp án

Chọn A.

Áp dụng hệ thức f(m + n) = f( m) + f( n) + mn

f(2017)= f(2016+1)=f(2016) + f(1) + 2016.1 = f(2016) + 1 + 2016 = f(2016) + 2017

$\Rightarrow T = \log (\frac{f (2017) - f (2016) - 17}{2}) = \log (\frac{f (2016) + 2017 - f (2016) - 17}{2}) = \log 1000 = 3$

Câu 9:

Xét các số thực a; b thỏa mãn a > b > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P của biểu thức $P = \log_{\frac{a}{b}}^{2} a^{2} + 3 \log_{b} \frac{a}{b}$

A. 19.

B. 13.

C. 14.

D. 15.

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

Đặt t = log_ba – 1 > log_bb – 1 = 0; khi đó:

Ta có:

Và f’(t) = 0 khi 3t³- 8( t + 1) = 0 hay t = 2.

Suy ra P_min= f(2) = 15

Câu 10:

Cho log₉x = log₁₂y = log₁₆(x + y). Giá trị của tỉ số x/y là:

A. $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

B. $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

C. $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

D. $\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$

Xem đáp án

Chọn C.

Điều kiện xác định: $\{\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \\ x + y > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases}$

Đặt $\log_{9} x = \log_{12} y = \log_{16} (x + y) = t$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = 9^{t} \\ y = 12^{t} \\ x + y = 16^{t} \end{cases} \Rightarrow 9^{t} + 12^{t} = 16^{t} \Leftrightarrow {(\frac{3}{4})}^{2 t} + {(\frac{3}{4})}^{t} = 1 (*)$

Mà $\frac{x}{y} = {(\frac{3}{4})}^{t} > 0$ , khi đó

$(*) \Leftrightarrow {(\frac{x}{y})}^{2} + \frac{x}{y} - 1 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} (t h ỏ a m ã n đ k) \\ \frac{x}{y} = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} (l o ạ i) \end{matrix}$

Vậy $\frac{x}{y} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

Câu 11:

Cho x; y > 0 thỏa mãn log₂x + log₂y = log₄( x + y) Tìm x; y để biểu thức P = x²+ y²đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $x = y = \sqrt[3]{2}$

B. $x = \sqrt[3]{2}; y = 2$

C. x = y= 1

D. $y = \sqrt[3]{2}; x = 2 \sqrt[3]{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

Theo đầu bài ta có : 2log₂xy = log₂(x + y) hay x + y = (xy) ²

Đặt u = x + y và v = xy ta có điều kiện u²- 4v ≥ 0 ; u > 0; v > 0.

Mà u = v² nên v⁴- 4v ≥ 0 suy ra

Ta có P = v⁴- 2v = g(v) với

Đạo hàm g’(v) = 4v³-2 > 0 với mọi

Do đó hàm số g(v) đồng biến trên $[\sqrt[3]{4}; + \infty)$

nên $m i n P = g (\sqrt[3]{4}) = {(\sqrt[3]{4})}^{4} - 2 \sqrt[3]{4} = 2 \sqrt[3]{4}$ khi $v = \sqrt[3]{4} \Rightarrow u = \sqrt[3]{16}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + y = \sqrt[3]{16} \\ x . y = \sqrt[3]{4} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \sqrt[3]{2} \\ y = \sqrt[3]{2} \end{cases}$

Câu 12:

Cho $m = \log_{a} \sqrt{a b}$ với b> a > 1 và P = log²_ab + 54log_ba. Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $\log_{a} b > \log_{a} a = 1$ (vì b > a)

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số ta được:

Suy ra P_min= 27 khi

Khi đó

Câu 13:

Cho a; b; c lần lượt là độ dài của hai cạnh góc vuông và cạnh huyền của một tam giác vuông, trong đó c - b và c + b khác 1. Khi đó log_c+ba + log_c-ba bằng:

A.-2log_c+ba.log_c-ba.

B. 3log_c+ba.log_c-ba.

C.2log_c+ba.log_c-ba.

D. Tất cả sai

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: a²+ b²= c².

Câu 14:

Cho hai số thực a; b với 1< a< b. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. log_ab < 1 < log_ba

B. b < loga1 < log ba

C. log_ab < log_ba < 1

D. log_ba < 1 < log_ab

Xem đáp án

Chọn D.

Từ giả thiết 1 < a < b ta có 0 < log_aa < log_ab hay 1 < log_ab .

Áp dụng công thức đổi cơ số thì vì log_ba > 1 nên ta có: log_ba < 1 < log_ab.

Câu 15:

Cho a; b > 0 thỏa mãn a²+ b ²= 7ab. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. 3log(a+b) = $\frac{1}{2}$ (loga+logb)

B. $\log \frac{a + b}{3} = \frac{1}{2} (\log a + \log b)$

C. 2( loga + logb) = log( 7ab) .

D. log(a+b) = $\frac{3}{2}$ (loga+logb)

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có a²+ b ²= 7ab tương đương ( a + b) ²= 9ab

Câu 16:

Cho x; y; z là các số thực dương tùy ý khác 1 và xyz khác 1. Đặt a = log_xy; b = log_zy. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\log_{x y z} (y^{3} z^{2}) = \frac{3 a b + 2 a}{a + b + 1}$

B. $\log_{x y z} (y^{3} z^{2}) = \frac{3 a b + 2 b}{a b + a + b}$

C. $\log_{x y z} (y^{3} z^{2}) = \frac{3 a b + 2 a}{a b + a + b}$

D. $\log_{x y z} (y^{3} z^{2}) = \frac{3 a b + 2 b}{a + b + 1}$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: log_xyz( y³z²) = 3log_xyzy + 2log_xyzz

Câu 17:

Cho các số dương a; b thõa mãn 4a²+ 9b²= 13ab . Chọn câu trả lời đúng.

A. log $\sqrt{2 a + 3 b}$ =log $\sqrt{a}$ +2log $\sqrt{b}$

B. $\frac{1}{4}$ log(2a+3b)=3log a+2logb

C. log $(\frac{2 a + 3 b}{5})$ = $\frac{1}{2}$ (loga+logb)

D. log $(\frac{2 a + 3 b}{4})$ = $\frac{1}{2}$ (loga+logb)

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: 4a²+ 9b²= 13ab hay (2a + 3b) ²= 25ab

Suy ra:

Suy ra

Câu 18:

Cho x; y > 0 và x²+ 4y²= 12xy . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. log₂_{$(\frac{x + 2 y}{4})$}=log₂x-log₂y

B. log2(x+2y)=2+ $\frac{1}{2}$ (log₂x+log₂y)

C. log₂(x + 2y) = log₂x+log₂y+1

D. 4log₂( x + 2y) = log₂x + log₂y.

Xem đáp án

Chọn B.

Vì x²+ 4y²= 12xy nên (x + 2y)²= 16xy hay log₂( x + 2y) ²= log₂16xy

Do đó: 2log₂(x + 2y) = 4 + log₂x + log₂y

Vậy

Câu 19:

Cho a; b; c> 0 đôi một khác nhau và khác 1, khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $\log_{\frac{a}{b}}^{2} \frac{c}{b} . \log_{\frac{b}{c}}^{2} \frac{a}{c} . \log_{\frac{c}{a}}^{2} \frac{b}{a} = 1$

B. $\log_{\frac{a}{b}}^{2} \frac{c}{b} . \log_{\frac{b}{c}}^{2} \frac{a}{c} . \log_{\frac{c}{a}}^{2} \frac{b}{a} > 1$

C. $\log_{\frac{a}{b}}^{2} \frac{c}{b} . \log_{\frac{b}{c}}^{2} \frac{a}{c} . \log_{\frac{c}{a}}^{2} \frac{b}{a} > - 1$

D. $\log_{\frac{a}{b}}^{2} \frac{c}{b} . \log_{\frac{b}{c}}^{2} \frac{a}{c} . \log_{\frac{c}{a}}^{2} \frac{b}{a} < 1$

Xem đáp án

Chọn A.

+ log_ab.log_bc.log_ca = 1 khi log_ab.log_ba = log_aa = 1 .

+ Từ 2 kết quả trên ta có

Câu 20:

Cho a; b là các số thực dương thoả mãn a²+ b²= 14ab . Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. $\ln \frac{a + b}{4} = \frac{\ln a + \ln b}{2}$

B. 2log₂(a + b) = 4 + log₂a + log₂b.

C. 2log₄(a + b) = 4 + log₄a + log₄b.

D. $2 \log \frac{a + b}{4} = \log a + \log b$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có a²+ b²= 14ab nên (a + b)²= 16ab hay

+ Nên ta có vậy A đúng

+ 2log₂( a + b) = log₂ (a + b) ²= log₂( 16ab) = 4 + log₂a + log₂b.

vậy B đúng

+ 2log₄(a + b) = log₄( a + b)²= log₄(16ab) = 2 + log₄a + log₄b . vậy C sai

+ vậy D đúng.

Câu 21:

Với giá trị nào của m thì biểu thức $f (x) = \log_{\sqrt{5}} (x - m)$ xác định với mọi $x \in (- 3; + \infty)$ ?

A. m > -3

B. m < 3

C. $m \leq - 3$

D. $m \geq - 3$

Xem đáp án

Chọn C.

Biểu thức f(x) xác định khi x - m > 0 hay x > m.

Để f(x) xác định với mọi thì m ≤ - 3.

Câu 22:

Biểu thức ln( x²- 2mx + 4) có nghĩa với mọi x khi

A. m = 2

B. -2 < m < 2

C.

D. m < 2

Xem đáp án

Chọn B.

+ Biểu thức ln( x²- 2mx + 4) có nghĩa với mọi x khi và chỉ khi x²- 2mx + 4 > 0 với mọi x.

Câu 23:

Tìm x để ba số ln2; ln( 2^x- 1); ln( 2^x + 3) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

A. 1

B. 2

C. log₂5

D. log₂3

Xem đáp án

Chọn C.

Để ba số ln2; ln( 2^x- 1); ln( 2^x + 3) theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì 2.ln( 2^x- 1) = ln2 + ln( 2^x+ 3)

Suy ra: ( 2^x-1) ²= 2( 2^x+ 3)

Câu 24:

Biểu thức T = log₂( ax²- 4x + 1) có nghĩa với mọi x khi

A. 0 < a < 4

B. a > 0

C. a > 4

D. $a \in \emptyset$

Xem đáp án

Chọn C.

Biểu thức đã cho có nghĩa với mọi x khi và chỉ khi ax²- 4x + 1 > 0 mọi x.

Câu 25:

Với giá trị nào của m thì biểu thức T = 34 + ln( 4m - x) xác định với mọi $x \in (- \infty; - 1)$ ?

A. m > -4

B. m $\geq$ -1/4

C. m < -4

D. m > -1/4

Xem đáp án

Chọn B.

Biểu thức T xác định khi và chỉ khi 4m – x > 0 hay x < 4m.

Để T xác định với mọi $x \in (- \infty; - 1) \Leftrightarrow - 1 \leq 4 m \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{4}$