25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian nâng cao (P3) - vietjack.online

200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian NC

200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian nâng cao (P3)

8962 lượt thi
25 câu hỏi
25 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1; 1; 2), B (-1; 0; 4), C (0; -1; 3) và điểm M thuộc mặt cầu (S): x²+ y²+ (z - 1)²= 1. Khi biểu thức MA²+ MB²+ MC² đạt giá trị nhỏ nhất thì độ đài đoạn AM bằng:

A. $\sqrt{2}$

B. $\sqrt{6}$

C. 6

D. 2

Chọn A

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có G (0; 0; 3) và G ∉ (S)

Khi đó:

Ta lại có, mặt cầu (S) có bán kính R = 1 tâm I (0;0;1) thuộc trục Oz, và (S) qua O.

Mà G ∈ Oz nên MG ngắn nhất khi M = Oz ∩ (S). Do đó M (0;0;2). Vậy MA = √2

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 1), B (2; -1; 3). Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho $M A^{2} - 2 M B^{2}$ lớn nhất.

$A . M (\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; 0)$

$B . M (\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}; 0)$

C. M (0; 0; 5)

D. M (3; -4; 0)

Câu 3:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng cạnh đáy. Đường thẳng MN (M ∈ A'C, N ∈ BC') là đường vuông góc chung của A'C và BC'. Tỷ số NB/NC' bằng:

A. $\sqrt{5} / 2$

B. 3/2

C. 2/3

D. 1

Chọn B

* Kết quả bài toán sẽ không thay đổi nếu ta xét lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng 2.

* Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (O là trung điểm của BC).

Ta có:

* Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của A'C và BC' nên:

Câu 4:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y -2z + m = 0 và mặt cầu (S): x²+ y²+ z²- 2x + 4y -6z - 2= 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi bằng 4π√3

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Chọn C

(S) có tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 4

Gọi H là hình chiếu của I lên (P).

(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi bằng 4π√3

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (0; 8; 2), B (9; -7; 23) và mặt cầu (S) có phương trình (S): (x - 5)²+ ( $y + 3$ )²+ (z - 7)²= 72. Mặt phẳng (P): x + by + cz + d = 0 đi qua điểm A và tiếp xúc với mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Giá trị của b + c + d khi đó là

A. b + c + d = 2

B. b + c + d = 4

C. b + c + d = 3

D. b + c + d = 1

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm M (1; 2; 1); N (-1; 0; -1). Có bao nhiêu mặt phẳng (P) qua M, N cắt trục Ox, trục Oy lần lượt tại A, B (A ≠ B) sao cho AM = √3BN

A. 1

B. 2

C. 3

D. Vô số.

Chọn B

Gọi là vectơ pháp tuyến của (P) thỏa yêu cầu bài toán.

(P) qua N (-1; 0; -1) nên phương trình mặt phẳng có dạng:

A(x+1) + By + C(z+1) = 0 <=> Ax + By + Cz + A + C = 0

• (P) qua M (1;2;1) suy ra

A + 2B + C + A + C = 0 <=> A + B + C = 0 => A + C = - B (1)

• (P) cắt trục Ox tại A(a; 0; 0) suy ra A.a + A + C = 0 => A.a - B = 0 => a = B/A

(Do nếu A = 0 => B = 0 => C = 0 nên A ≠ 0). Suy ra A(B/A; 0; 0)

• (P) cắt trục Oy tại B (0; b; 0) suy ra B.b + A + C = 0 => B.b - B = 0 => B = 0 hoặc b = 1

TH1: B = 0 => A + C = 0. Chọn C = 1 => A = -1

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x - z = 0 => A ≡ B ≡ O (0;0;0) => không thỏa yêu cầu.

TH2: b = 1 => B (0;1;0), ; BN = $\sqrt{3}$

· B/A = -1 => B = -A => C = 0. Chọn A = 1 => B = -1

Phương trình mp (P): x - y + 1 = 0

· B/A = 3 => B = 3A => C = -4A. Chọn A = 1 => B = 3 => C = -4.

Phương trình mp (P): x + 3y - 4z - 3 = 0

Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (-2; 2; -2); B(3; -3; 3). Điểm M trong không gian thỏa mãn MA/MB = 2/3. Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng:

A. 6 $\sqrt{3}$

B. 12 $\sqrt{3}$

C. $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

D. 5 $\sqrt{3}$

Chọn B

Gọi M (x; y; z)

Như vậy, điểm M thuộc mặt cầu (S) tâm I(-6;6;-6) và bán kính R = √108 = 6√3. Do đó OM lớn nhất bằng

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 2}{2}$ và điểm A(3;2;0). Điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là:

A. (-1; 0; 4)

B. (7; 1; -1)

C. (2; 1; -2)

D. (0; 2; -5)

Chọn A

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.

Phương trình của mặt phẳng (P) là:

1(x - 3) + 2 (y - 2) + 2(z - 0) = 0 <=> x + 2y + 2z - 7 = 0

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d, khi đó H = d ∩ (P)

Suy ra H ∈ d => H (-1 + t; -3 + 2t; -2 + 2t)

mặt khác H ∈ (P) => -1 + t - 6 +4t -4 + 4t - 7 = 0 => t = 2. Vậy H (1;1;2)

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d, khi đó H là trung điểm của AA' suy ra A' (-1; 0; 4)

Câu 9:

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1; 2; 3), B (1; 0; -1), C (2; -1; 2). Điểm D thuộc tia Oz sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện ABCD bằng $\frac{3 \sqrt{30}}{10}$ có tọa độ là:

A. (0; 0 ; 1)

B. (0; 0 ; 3)

C. (0; 0 ; 2)

D. (0; 0 ; 4)

Chọn B

Mặt phẳng (ABC) đi qua B (1; 0; -1) và có một véctơ pháp tuyến là:

Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D (0; 0; d) của tứ diện ABCD bằng d(D, (ABC))

Theo bài ra ta có:

Do D thuộc tia Oz nên D (0; 0; 3).

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (-1; 0; 1), B (3; 2; 1), C (5; 3; 7). Gọi M (a; b; c) là điểm thỏa mãn MA = MB và MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P = a + b + c

A. P = 4

B. P = 0

C. P = 2

D. P = 5

Chọn D

Gọi I là trung điểm của AB, suy ra I (1;1;1);

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB: (α): 2x + y -3 = 0.

Vì (2.3 + 1.2 - 3). (2.5 + 1.3 - 3) = 50 > 0 nên B, C nằm về một phía so với (α), suy ra A, C nằm về hai phía so với (α).

Điểm M thỏa mãn MA = MB khi M ∈ (α).

Khi đó MB + MC = MA + MC ≥ AC.

MB + MC nhỏ nhất bằng AC khi M = AC ∩ (α)

Phương trình đường thẳng AC:

do đó tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

Do đó M (1; 1; 3), a + b + c = 5

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{1}$ , mặt phẳng (P): x + y - 2z + 5 = 0 và A (1; -1; 2). Đường thẳng Δ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Một vectơ chỉ phương của Δ là:

$A . \vec{u} = (2; 3; 2)$

$B . \vec{u} = (1; - 1; 2)$

$C . \vec{u} = (- 3; 5; 1)$

$D . \vec{u} = (4; 5; - 13)$

Vậy một vecto chỉ phương của $∆$ có tọa độ là (2; 3; 2).

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (0; 2; 2), B (2; -2; 0). Gọi I₁ (1; 1; -1) và I₂ (3; 1; 1) là tâm của hai đường tròn nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và có chung một dây cung AB. Biết rằng luôn có một mặt cầu (S) đi qua cả hai đường tròn ấy. Tính bán kính R của (S).

$A . R = \frac{\sqrt{219}}{3}$

B. R = 2 $\sqrt{2}$

$C . R = \frac{\sqrt{129}}{3}$

D. R = 2 $\sqrt{6}$

Chọn C

Gọi d₁ là đường thẳng đi qua I₁ và vuông góc với mặt phẳng (ABI₁), khi đó d₁ chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm I₁; d₂ là đường thẳng đi qua I₂ và vuông góc với mặt phẳng (ABI₂), khi đó d₂ chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm I₂.

Do đó, mặt cầu (S) đi qua cả hai đường tròn tâm (I₁) và (I₂) có tâm I là giao điểm của d₁ và d₂ và bán kính R = IA

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{- 2}$ , $d_{2} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y}{- 2} = \frac{z + 4}{- 1}$ và $d_{3} : \frac{x + 3}{4} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{6}$ .Đường thẳng song song d₃, cắt d₂ và d₁ có phương trình là:

$A . \frac{x - 3}{4} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{6}$

$B . \frac{x - 3}{- 4} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{- 6}$

$C . \frac{x + 1}{4} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 4}{6}$

$D . \frac{x - 1}{4} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 4}{6}$

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (3; 0; 0), B (1; 2; 1) và C (2; -1; 2). Biết mặt phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là (10; a; b). Tổng a + b là:

A. -2

B. 2

C. 1

D. -1

Chọn B

Gọi tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC là I (x; y; z). Ta có phương trình (OBC): x - z = 0. Phương trình mặt phẳng (ABC): 5x + 3y + 4z - 15 = 0. Tâm I cách đều hai mặt phẳng (OBC) và (ABC) suy ra:

d(I; (OBC)) = d(I; (ABC))

$\Leftrightarrow \frac{|x - z|}{\sqrt{2}} = \frac{|5 x + 3 y + 4 z - 15|}{5 \sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} y + 3 z - 5 = 0 (α) \\ 10 x + 3 y - z - 15 = 0 (β) \end{matrix}$

Nhận xét: hai điểm A và O nằm về cùng phía với (α) nên loại (α). Hai điểm A và O nằm về khác phía (β) nên nhận (β). Thấy ngay một vectơ pháp tuyến là (10; a; b) thì a = 3, b = -1. Vậy a + b = 2

Câu 15:

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng $∆_{1} : \{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 + t \\ z = - t \end{matrix}, ∆_{2} : \{\begin{matrix} x = 4 + t \\ y = 3 - 2 t \\ z = 1 - t \end{matrix}$ .Gọi (S) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂. Bán kính mặt cầu (S).

$A . \frac{\sqrt{10}}{2}$

$B . \frac{\sqrt{11}}{2}$

C. 3/2

D. $\sqrt{2}$

Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ có đường kính bằng độ dài đoạn AB nên có bán kính r = AB/2 = √11/2

Câu 16:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M (3; 4; 5) và mặt phẳng (P): x - y + 2z - 3 = 0. Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là:

A. H (1; 2; 2)

B. H (2; 5; 3)

C. H (6; 7; 8)

D. H (2; -3; -1)

Chọn B

Phương trình đường thẳng Δ đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) là .

Tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy H (2; 5; 3)

Câu 17:

Cho khối cầu tâm O bán kính 6 cm. Mặt phẳng (P) cách O một khoảng x cắt khối cầu theo một hình tròn (C). Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn (C). Biết khối nón có thể tích lớn nhất, giá trị của x bằng:

A. 2 cm.

B. 3 cm.

C. 4 cm.

D. 0 cm.

Ta có bán kính đường tròn đáy của hình nón , chiều cao khối nón h = 6 + x

Thể tích khối nón:

Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{4}$ và mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$ . Hai mặt phẳng (P), (Q) chứa d và tiếp xúc với (S). Gọi M và N là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng MN bằng?

A. 2 $\sqrt{2}$

$B . \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

$C . \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

D. 4

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 6z -1 = 0 và hai điểm A (1; -1; 0), B (-1; 0; 1). Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bao nhiêu?

$A . \sqrt{\frac{255}{61}}$

$B . \sqrt{\frac{237}{41}}$

$C . \sqrt{\frac{137}{41}}$

$D . \sqrt{\frac{155}{61}}$

với H là hình chiếu của B lên (P).

Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M (1; 3; -2), cắt các tia Ox, Oy, OZ lần lượt tại A, B, C sao cho $\frac{O A}{1} = \frac{O B}{2} = \frac{O C}{4}$

$A . 2 x - y - z - 1 = 0$

$B . x + 2 y + 4 z + 1 = 0$

$C . 4 x + 2 y + z + 1 = 0$

$D . 4 x + 2 y + z - 8 = 0$

Chọn D

Phương trình mặt chắn cắt tia Ox tại A (a; 0; 0), cắt tia Oy tại B (0; b; 0), cắt tia Oz tại C (0; 0; c) có dạng là (với a > 0, b > 0, c > 0).

Vì M (1; 3; -2) nằm trên mặt phẳng (P) nên ta có:

Khi đó a = 2, c = 8.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:

Câu 21:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (-1; -2; 0), B (0; -4; 0), C (0; 0; -3). Phương trình mặt phẳng (P) nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?

$A . (P) : 2 x - y + 3 z = 0$

$B . (P) : 6 x - 3 y + 5 z = 0$

$C . (P) : 2 x - y - 3 z = 0$

$D . (P) : - 6 x + 3 y + 4 z = 0$

Câu 22:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P): x - 2y + 2z -5 = 0, A (-3; 0; 1), B (1; -1; 3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.

$A . \frac{x + 3}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$

$B . \frac{x + 3}{3} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{2}$

$C . \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{2}$

$D . \frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{- 7}$

Câu 23:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

Trên đường thẳng d₁ lấy hai điểm A, B thỏa mãn AB = 3 . Trên đường thẳng d₂lấy hai điểm C, D thỏa mãn CD = 4. Tính thể tích của tứ diện ABCD.

A. V = 7

B. V = 2√21

C. $V = \frac{4 \sqrt{21}}{3}$

D. $V = \frac{5 \sqrt{21}}{6}$

Câu 24:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\hat{A B C} = 60^{o}$ . Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC sao cho BC = 4 BH. Biết SA tạo với đáy một góc 60⁰. Lấy D thuộc tia SB sao cho 2SD = 3SB. Góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng:

A. 60⁰

B. 45⁰

C. 90⁰

D. 30⁰

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 1; 2). Mặt phẳng (P) qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Gọi $\vec{n} = (1; a; b)$ là một véc tơ pháp tuyến của (P). Tính S = a³- 2b

A. S = 0

B. S = - 3

C. S = 6

D. S = -15/8

Chọn A

Mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C nên A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0 ; c) (a, b, c > 0). Phương trình mặt phẳng

Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất khi suy ra a = 3, b = 3, c = 6.

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương