25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian nâng cao (P6)

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)²+ (y-2)²+ (z-3)²=9 và đường thẳng $∆ : \frac{x - 6}{- 3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 2}{2}$ . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (4;3;4) song song với đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:

A.x - 2y + 2z - 1 = 0.

B.2x + 2y + z - 18 = 0.

C.2x - y - 2z - 10 = 0.

D.2x + y + 2z - 19 = 0.

Xem đáp án

Chọn D

Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là , a²+b²+c²>0.

Phương trình mặt phẳng (P): a(x-4)+b (y-3)+c (z-4)=0.

Do (P) // Δ nên -3a+2b+2c=0 => 3a = 2 (b + c)

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên

Thay 3a=2 (c+b ) vào (*) ta được:

TH1: 2b-c=0, chọn b=1; c=2 => a = 2 => (P): 2x+y+2z-19=0 (thỏa).

TH2: b-2c=0, chọn c=1; b=2 => a = 2 => (P): 2x+2y+z-18=0 (loại do Δ ⊂ (P))

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M (2;2; -3) và N (-4; 2; 1). Gọi Δ là đường thẳng đi qua M, nhận vecto $\vec{u} = (a, b, c)$ làm vectơ chỉ phương và song song với mặt phẳng (P): 2x + y + z = 0 sao cho khoảng cách từ N đến Δ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết |a|, |b| là hai số nguyên tố cùng nhau. Khi đó |a| + |b| + |c| bằng:

A. 15

B. 13

C. 16

D. 14

Xem đáp án

Chọn A

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua M (2;2; -3) và song song với mặt phẳng (P).

Suy ra (Q):2x + y + z - 3 = 0.

Do Δ // (P) nên Δ ⊂ (Q).

d(N, Δ) đạt giá trị nhỏ nhất ó Δ đi qua N', với N' là hình chiếu của N lên (Q).

Gọi d là đường thẳng đi qua N và vuông góc (P),

Ta có N’ ∈ d => N' (-4 + 2t; 2 + t; 1 + t); N’ ∈ (Q) => t = $\frac{4}{3}$

cùng phương

Do |a|, |b| nguyên tố cùng nhau nên chọn

Vậy |a| + |b| + |c| = 15.

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1;0;0), B (0;0;2) và mặt cầu (S): x²+y²+z²-2x-2y+1=0. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng chứa hai điểm A, B và tiếp xúc với (S).

A.3.

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Gọi (P) là mặt phẳng thỏa mãn bài toán.

Ta có A (1; 0; 0) ∈ (S) => nếu tồn tại (P) thì (P) tiếp xúc với (S) tại A.

Ta thấy B (0; 0 ; 2) ∈ (P)

Nên có duy nhất một mặt phẳng (P) thỏa mãn bài toán.

Ghi chú: Bài toán dạng này thường thì sẽ có hai mặt phẳng thỏa mãn, nhưng với số liệu của bài này thì chỉ có một mặt phẳng thỏa mãn bài toán.

Câu 4:

Trong không gian Oxyz cho A (1;2;-1), B (3;1;-2), C (2;3;-3) và mặt phẳng (P): x-2y+2z-3=0. M (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức MA²+MB²+MC² có giá trị nhỏ nhất. Xác định a+b+c.

A. -3

B. -2

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn D

Gọi G (2;2;-2) là trọng tâm tam giác ABC, khi đó

Ta có:

đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (P). Khi đó tọa độ của M (a;b;c) và vecto cùng phương với vecto pháp tuyến n (1;-2;2) thỏa mãn hệ

Vậy a+b+c=3.

Câu 5:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho A (1; 1; -1), B (2; 3; 1), C (5; 5; 1). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt mặt phẳng (Oxy) tại M (a; b; 0). Tính 3b-a.

A. 6.

B. 5.

C. 3.

D. 0.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có AB=3, AC=6. Gọi I (x; y; z) là điểm thuộc cạnh BC sao cho AI là phân giác trong của góc A

Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z=0.

Giao điểm của đường thẳng AI với mặt phẳng (Oxy) là M (2; 7/3; 0)

Vậy 3b-a=5.

Câu 6:

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 5x + my + 4z + n = 0 đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α): 3x - 7y + z - 3 = 0 và (β): x - 9y - 2z + 5 = 0. Tính m + n.

A. 6.

B. -16.

C. -3.

D. -4.

Xem đáp án

Chọn B

VTPT của ( $α$ ),( $β$ ),(P) lần lượt là $\vec{n_{1}}$ =(3; -7; 1) , $\vec{n_{2}}$ =(1; -9; -2), $\vec{n}$ =(5; m ; 4)

Gọi $∆ = (α) \cap (β) \Rightarrow V T C P \vec{u_{∆}} = [\begin{matrix} \vec{n_{1}}; & \vec{n_{2}} \end{matrix}] = (23; 7; - 20)$

Đường thẳng $∆$ đi qua điểm $A (\frac{1}{7}; 0; \frac{18}{7})$

$∆ \subset (P) \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{u_{∆} .} \vec{n} = 0 \\ A \in (P) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 5 \\ n = - 11 \end{cases} \Rightarrow m + n = - 16$

Câu 7:

Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D', gọi M và N lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD và DCC'D'. Mặt phẳng (A'MN) chia khối lập phương trình hai phần có thể tích là V₁ và V₂ (V₁ < V₂). Tính tỷ số V₂/V₁

A. 5/2

B. 5/3

C. 3/2

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Vậy thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (A'MN) là hình bình hành A'EFG.

Ta có:

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x -1)²+ (y + 2)² + (z - 3)² = 27. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua hai điểm A (0; 0; -4), B (2; 0; 0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón đỉnh là tâm của (S) và đáy là là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết rằng (α): ax + by - z + c = 0, khi đó a - b + c bằng:

A. -4.

B. 8.

C. 0.

D. 2.

Xem đáp án

Mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;3) và bán kính R= 3√3.

Vì (α): ax + by - z + c = 0 đi qua hai điểm A (0; 0; -4), B (2; 0; 0) nên c = -4 và a = 2.

Suy ra (α): 2x + by - z - 4 = 0.

Gọi H là hình chiếu của I lên ( $α$ )

Đặt IH = x, với 0 < x < 3√3 ta có

Thể tích khối nón là

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2;-1;-6) và hai đường thẳng

$d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{1}, d_{2} : \frac{x + 2}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Đường thẳng đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng d₁, d₂ tại hai điểm A, B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

A. √38

B. 2√10

C. 8

D. 12

Xem đáp án

Chọn A

Vì A thuộc nên A (1+2t;1-t;-1+t).

Vì B thuộc nên B (-2+3t';-1+t';2+2t').

Thay vào (3) ta được t=1, t'=2 thỏa mãn.

Khi đó A(3; 0; 0) và B(4; 1; 6)

Vậy AB = $\sqrt{38}$

Câu 10:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (1;0;-1) và cắt mặt phẳng (P): 2x+y-2z-16=0 theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3. Phương trình của mặt cầu (S) là:

A. (x-1)²+y²+ (z+1)²=25.

B.(x+1)²+y²+ (z-1)²=25

C. (x-1)²+y²+ (z+1)²=9.

D.(x+1)²+y²+ (z-1)²=9.

Xem đáp án

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x+y+2z+1=0 và điểm M(4;2;1). Khi đó điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (P) là:

A. M'(-4;0;-3).

B. M'(-4;-4;-1).

C. M'(4;2;1).

D. M'(-2;0;5).

Xem đáp án

Chọn A

Phương trình đường thẳng d qua M vuông góc với (P) là

Gọi H = d ∩ (P) => H (0; 1; -1).

M' đối xứng với M qua (P) nên H là trung điểm MM' => M’ (-4; 0; -3)

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A (3;-2;4), B (5; 3;-2), C (0;4;2), đường thẳng d cách đều ba điểm A, B, C có phương trình là:

$A . \{\begin{cases} x = \frac{8}{3} + 26 t y = \frac{5}{3} + 22 t \\ z = \frac{4}{3} + 27 t \end{cases}$

$B . \{\begin{cases} x = 4 + 26 t y = 2 + 22 t \\ z = \frac{9}{4} + 27 t \end{cases}$

$C . \{\begin{cases} x = \frac{11}{6} y = \frac{1}{6} + 22 t \\ z = 27 t \end{cases}$

$D . \{\begin{cases} x = 4 + 26 t y = 2 + 38 t \\ z = \frac{9}{4} + 27 t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi I là trung điểm của AB suy ra và (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Mặt phẳng (P) đi qua I và nhận làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:

Gọi J là trung điểm của AC suy ra và (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AC

Mặt phẳng (Q) đi qua J và nhận làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:

Khi đó d = (P) ∩ (Q)

Ta có d có vectơ chỉ phương và đi qua M là nghiệm của hệ , ta chọn x = 4 suy ra y = 2 và z = 9/4. Vậy

Phương trình tham số của d là:

Câu 13:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z}{2}$ , mặt phẳng (α): x+y-z+3=0 và điểm A (1;2;-1). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A cắt d và song song với mặt phẳng (α).

Xem đáp án

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+y+z-1=0 và hai điểm A (1;-3;0), B (5;-1;-2). Điểm M (a;b;c) nằm trên (P) và |MA – MB| lớn nhất. Giá trị abc bằng:

A. 1

B. 12

C. 24.

D. -24.

Xem đáp án

Thay tọa độ điểm A và B vào vế trái của phương trình mặt phẳng (P) ta có:

1+ (-3)+0-1=-3<0 và 5+ (-1)+ (-2)-1=1>0

Nên suy ra A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).

Gọi là điểm đối xứng với B qua (P). Ta có:

|MA – MB| = |MA – MB’| ≤ AB’.

Do đó |MA – MB| lớn nhất là bằng AB' khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng AB' với mặt phẳng (P).

Ta có nên đường thẳng AB' có véc-tơ chỉ phương . Phương trình đường thẳng AB' là

Tọa độ điểm M là nghiệm hệ

Như vậy M (6;-1;-4) => abc = 6 (-1).(-4) = 24.

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x}{10} = \frac{y + 2}{8} = \frac{z - 1}{1}$ và mặt cầu (S): x²+y²+z²+2x-6y+4z-15=0. Mặt phẳng chứa d, tiếp xúc với (S) và cắt trục Oz tại điểm có cao độ lớn hơn 3 có phương trình là:

A. 2x-3y+4z-10=0.

B. 2x-3y+4z-12=0.

C. 3x-4y+2z-12=0.

D. 3x-4y+2z-10=0.

Xem đáp án

Chọn D

Mặt cầu (S) có tâm I (-1;3;-2) và bán kính R = √29.

Mặt phẳng (P) chứa d có dạng m (4x-5y-10)+n (y-8z+10)=0

ó 4mx + (n – 5m)y – 8nz + 10n – 10m = 0 với m²+n²>0.

(P) tiếp xúc với (S) nên d (I, (P)) = R

Trường hợp 1: m = -n, phương trình mặt phẳng (P): 2x - 3y + 4z - 10 = 0.

Khi đó giao điểm của (P) và Oz có tọa độ là (0; 0; $\frac{5}{2}$ ) (loại vì $\frac{5}{2} < 3$ )

Trường hợp 2: m = -3n, phương trình mặt phẳng (P): 3x - 4y + 2z - 10 = 0.

Khi đó giao điểm của (P) và Oz có tọa độ là (0; 0; 5) (nhận vì 5 > 3).

Câu 16:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, AA'=b. Gọi M là trung điểm của cạnh CC'. Tính theo a và b thể tích V của khối tứ diện BDA'M

Xem đáp án

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có phương trình là $\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1} v à \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{3}$ .Đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d₁, d₂ và song song với đường thẳng $∆ : \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 7}{4} = \frac{z - 3}{- 2}$ có phương trình là:

Xem đáp án

Chọn B

Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng d₁ và d₂

Khi đó (P) đi qua M (0;-1;0) và có cặp véctơ chỉ phương

Gọi là VTPT của (P). Khi đó

Phương trình (P): -8x+3y+2z+3=0

Gọi H là giao điểm của đường thẳng d₂ và (P):

Đường thẳng d đi qua H và có VTCP có phương trình:

Câu 18:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d : \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z}{2}$ , mặt phẳng (α): x+y-z+3=0 và điểm A (1;2;-1). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A cắt d và song song với mặt phẳng (α).

Xem đáp án

Chọn C

Gọi giao điểm của Δ và d là B nên ta có: B (3+t;3+3t;2t)

Vì đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (α) nên:

Phương trình đường thẳng Δ đi qua A và nhận

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau $d : \frac{x - 3}{- 4} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{1}$ và $d^{'} : \frac{x}{- 6} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d'?

Xem đáp án

Vậy phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d' là

Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A (3;0;0), B (0;6;0), C (0;0;6). Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Xem đáp án

Chọn B

Ta có H (a;b;c) là trực tâm tam giác ABC nên ta có

Đường thẳng đi qua trực tâm H (2;1;1) của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có vecto chỉ phương có phương trình là

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 25 và hai điểm A (3;-2;6), B (0;1;0). Mặt phẳng (P): ax + by + cz - 2 = 0 chứa đường thẳng AB và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức M = 2a + b - c.

A. M = 2.

B. M = 3.

C. M = 1.

D. M = 4.

Xem đáp án

Chọn C

* Ta có: VTPT của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (a; b; c)$ trong đó a;b;c không đồng thời bằng 0. Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) và bán kính R=5.

Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB nên ta có:

* Bán kính đường tròn giao tuyến là trong đó

Để bán kính đường tròn nhỏ nhất điều kiện là d lớn nhất lớn nhất lớn nhất.

Coi hàm số là một phương trình ẩn c ta được

5mc²-2 (4m+1)c+ (8m-3)=0,

phương trình có nghiệm c lớn nhất

<=> c = 1 => a = 0 => M = 2a + b – c = 1

Câu 22:

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 9 và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z + 3 = 0. Gọi M (a; b; c) là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất. Khi đó:

A. a + b + c = 8.

B. a + b + c = 5.

C. a + b + c = 6.

D. a + b + c = 7.

Xem đáp án

Mặt (S) cầu có tâm I (1;2;3), R=3.

mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn

Gọi M (a;b;c) là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất.

Khi M thuộc đường thẳng Δ đi qua I và vuông góc với (P)

Vậy M (3;0;4). Khi đó a + b + c = 7.

Câu 23:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (-2;-2;1), A (1;2;-3) và đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z}{- 1}$ .Tìm véctơ chỉ phương $\vec{u}$ của đường thẳng Δ đi qua M, vuông góc với đường thẳng d, đồng thời cách điểm A một khoảng lớn nhất.

Xem đáp án

Chọn A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên Δ, ta có d (A; Δ) = AH.

Mặt khác, vì M ∈ Δ nên AH ≤ AM. Do đó,

Khi đó, đường thẳng Δ đi qua M, vuông góc với đường thẳng d và vuông góc với đường thẳng AM nên có véctơ chỉ phương là

Câu 24:

Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;3;-2). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho OA = OB = OC ≠ 0.

A. 1.

B. 2.

C. 4

D. 3.

Xem đáp án

Chọn D

Gọi A (a;0;0), B (0;b;0); C (0;0;c). Ta có OA = |a|; |OB| = b; |OC| = |c|.

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là

Theo giả thiết ta có điểm

Vì OA=OB=OC => |a| = |b| = |c| nên ta có hệ phương trình

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn.

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 5}{- 1}$ và mặt phẳng (P):2x-3y+z-6=0. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với (d)?

Xem đáp án

Chọn A

Phương trình tham số của

Gọi M = d ∩ (P) nên 2(2 + 3t) -3(-1 + t) -5 - t - 6 = 0 $\Leftrightarrow$ t = 2 => M (8 ; 1 ; -7)

VTCP của Δ là $\vec{u} = [\vec{u_{d}}; \vec{n_{(P)}}] = (- 2; - 5; - 11) = - 1 (2; 5; 11)$

Δ đi qua M có VTCP có tọa độ là (2; 5; 11) nên có phương trình: $\frac{x - 8}{2} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 7}{11}$