25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian nâng cao (P7)

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (2; 5; 3) cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt A, B với chu vi tam giác IAB bằng 10 + $2 \sqrt{7}$ . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu (S)?

A. (x - 2)² + (y - 5)² + (z - 3)² = 100.

B. (x - 2)² + (y - 5)² + (z - 2)² = 7.

C. (x - 2)² + (y - 5)² + (z - 3)² = 25.

D. (x - 2)² + (y - 5)² + (z - 3)² = 28.

Xem đáp án

Chọn C

Gọi R là bán kính của mặt cầu, H là trung điểm của AB.

Chu vi tam giác IAB là

Mặt cầu (S) có tâm I (2; 5; 3), bán kính R = 5.

Phương trình mặt cầu (S) là:

nên phương trình có nghiệm duy nhất R=5.

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P): x - 2y + 2z - 5 = 0, A (-3;0;1), B (1;-1;3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.

Xem đáp án

Chọn D

Đường thẳng d đi qua A nên d (B; d) ≤ BA, do đó khoảng cách từ B đến d lớn nhất khi , với là vectơ chỉ phương của d.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} \{\begin{cases} x = 1 + t y = 2 - 2 t \\ z = - 3 - t \end{cases}$ và $d_{2} \{\begin{cases} x = 4 + 3 t y = 3 + 2 t \\ z = 1 - t \end{cases}$ . Trên đường thẳng d₁ lấy hai điểm A, B thỏa mãn AB=3. Trên đường thẳng d₂ lấy hai điểm C, D thỏa mãn CD=4. Tính thể tích V của tứ diện ABCD.

A. V=7

B. V=2 $\sqrt{21}$

C.V= $\frac{4 \sqrt{21}}{3}$

D.V= $\frac{5 \sqrt{21}}{6}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có d₁ đi qua điểm M (1;2;-3) và có vtcp

Đường thẳng d₂ đi qua điểm N (4;3;1) và có vtcp

nên hai đường thẳng đã cho luôn chéo nhau và

Câu 4:

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC = $60^{o}$ , BC = 2a. Gọi D là điểm thỏa mãn $3 \vec{S B} = 2 \vec{S D}$ . Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC sao cho BC = 4BH. Biết SA tạo với đáy một góc 60⁰. Góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng:

A. 60⁰.

B. 45⁰.

C. 90⁰.

D. 30⁰.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $A H^{2} = B H^{2} + B A^{2} - 2 B H . B A . \cos 60 °$

$= \frac{a^{2}}{4} + a^{2} - 2 . \frac{a}{2} . a . \frac{1}{2} = \frac{3 a^{2}}{4} \Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\hat{(S A; (A B C))} = \hat{S A H}$

Xét $∆ S A H$ vuông tại H, ta có: $\tan \hat{S A H} = \frac{S H}{A H} \Rightarrow S H = \tan \hat{S A H} . A H = \tan 60 ° . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3 a}{2}$

Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1;1;2). Mặt phẳng (P) qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Gọi là một véc tơ pháp tuyến của (P). Tính S = a³ - 2b.

A. S = 0.

B. S = -3.

C. S = 6.

D. S = -15/8

Xem đáp án

Chọn A

Mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C nên A (a;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c) (a, b, c>0).

Phương trình mặt phẳng

+ Mặt phẳng (P) qua M nên

+ Thể tích khối tứ diện OABC:

Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất khi suy ra a=3, b=3, c=6.

Vậy S = 0

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{1}$ và mặt phẳng (α): x+y-z-2=0. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (α), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d?

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình tham số của đường thẳng

I ∈ d => I (1+t;2+2t;3+t)

I ∈ (α) => 1 + t + 2 + 2t – (3 + t) -2 = 0 ó t = 1 => I (2;4;4).

Đường thẳng cần tìm qua điểm I (2;4;4), nhận một VTCP là nên có PTTS (*)

Kiểm tra , thấy A (5;2;5) thỏa mãn phương trình (*). Vậy chọn C.

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): 2x+y-2z-2=0, đường thẳng $d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z + 3}{2}$ và điểm $A (\frac{1}{2}; 1; 1)$ . Gọi Δ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α), song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

A. 7/2

B. $\sqrt{21} / 2$

C. 7/3

D. 3/2

Xem đáp án

Ta có: d ⊂ (α) nên d và ∆ song song với nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (α).

Câu 8:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD).

Xem đáp án

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó

Ta có mặt phẳng (ABCD) có vectơ pháp tuyến là , mặt phẳng (GMN) có vectơ pháp tuyến là

Gọi (α) là góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD), ta có

Gọi $φ$ là góc giữa (GMN) và (ABCD)

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M và N lên (ABCD). Suy ra E, F lần lượt là trung điểm của HC, HD.

Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Mà d ⊥ (SIH) nên góc giữa góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD) là

Câu 9:

#THPTTrong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α): x – z – 3 = 0 và điểm M (1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz. Gọi B là hình chiếu của A lên (α). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

A $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

B $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

C $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi A (0;0;a). Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) có phương trình

B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ

Tam giác MAB cân tại M nên

·Nếu a=-3 thì tọa độ A (0;0;-3) và B (0;0;-3) trùng nhau, loại.

·Nếu a=3 thì tọa độ A (0;0;3), B (3;0;0).

Diện tích tam giác MAB bằng

Câu 10:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A (2;-3;2), B (3;5;4). Tìm toạ độ điểm M trên trục Oz so cho MA²+MB² đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M (0;0;49)

B. M (0;0;67)

C. M (0;0;3)

D. M (0;0;0)

Xem đáp án

Chọn C

IA²+IB² không đổi nên MA²+MB² đạt giá trị nhỏ nhất khi MI đạt giá trị nhỏ nhất.

Suy ra M là hình chiếu của I trên trục Oz.

Suy ra M (0;0;3).

Câu 11:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M (2;0;0), N (1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua M, N cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B (0;b;0), C (0;0;c) (b > 0, c > 0). Hệ thức nào dưới đây là đúng?

A. bc=2 (b+c).

B. $bc = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

C. b+c=bc.

D. bc=b-c.

Xem đáp án

Câu 12:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A (0;0;-2) và đường thẳng $∆ : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 3}{2}$ . Phương trình mặt cầu tâm A, cắt Δ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8 là:

A. (S):x²+y²+ (z+2)²=16.

B. (S):x²+y²+ (z+2)²=25.

C. (S): (x+2)²+ (y-3)²+ (z+1)²=16.

D. (S): (x+2)²+y²+z²=25.

Xem đáp án

Câu 13:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A (1;0;-1), B (2;3;-1), C (-2;1;1). Phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là:

Xem đáp án

Chọn A

Ta có:

AB² = 10, BC² = 24, AC² = 14 => ∆ABC vuông tại A.

Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của BC => I (0;2;0).

Đường thẳng d cần tìm đi qua I (0;2;0) và nhận vectơ làm véc tơ chỉ phương nên phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{x}{3} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{5}$ .

Ta nhận thấy điểm M(3;1;5) thuộc vào đường thẳng trên nên phương trình chính tắc của đường thẳng d còn có thể viết dưới dạng là

Câu 14:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1;2;3), B (2;1;0), C (4;3;-2), D (3;4;1), E (1;1;-1). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm trên?

A. 1

B. 4.

C. 5

D. Không tồn tại.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có . Suy ra ABCD là hình bình hành.

Ta lại có

E. ABCD là hình chóp đáy là hình bình hành nên các mặt phẳng cách đều 5 điểm là

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên.

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của ED, EC, AD, BC.

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EC, EB, DC, AB.

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EA, EB, AD, BC.

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EA, ED, AB, DC.

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2;1;0) và đường thẳng $∆ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 1}$ .Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M, cắt và vuông góc với Δ là:

Xem đáp án

Gọi I = d ∩ ∆. Do I ∈ ∆ nên I (2t + 1; t – 1; -t). Suy ra

Suy ra , từ đó suy ra d có một vectơ chỉ phương là và đi qua M (2;1; 0) nên có phương trình:

Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)²+ (y+1)²+ (z-2)²= 16 và điểm A (1;2;3). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua I là tâm của mặt cầu (S) và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

A. 10π.

B. 38 π

C. 33 π

D. 36 π

Xem đáp án

Cho ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau (P), (Q), (R) tại I. Hạ AH, AD, AE lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng trên thì ta luôn có: IA²=AD²+AH²+AE².

Chứng minh:

Chọn hệ trục tọa độ với I (0;0;0), ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng (P), (Q), (R).

Khi đó A (a, b, c) thì IA²=a²+b²+c²=d² (A, (Iyz))+d² (A, (Ixz))+d² (A, (Ixy)) hay IA²=AD²+AH²+AE² #đpcm~.

Áp dụng:

Mặt cầu (S) có tâm I (1;-1;2) và có bán kính r=4 ;

Gọi và r_i là tâm và bán kính của các đường tròn i = {1;2;3}

Ta có tổng diện tích các đường tròn là

Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ Oyz cho điểm A (2;1;3) và mặt phẳng (P): x+my+ (2m+1)z-m-2=0, m là tham số. Gọi H (a;b;c) là hình chiếu vuông góc của điểm A trên (P). Tính a+b khi khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất?

A. $a + b = - \frac{1}{2}$

B. a+b=2

C. a+b=0

D. $a + b = \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có x + my + (2m + 1)z – m – 2 = 0 ó m(y + 2z – 1) + x + z – 2 = 0 (*)

Phương trình (*) có nghiệm với

Suy ra (P) luôn đi qua đường thẳng cố định

Đường thẳng d có VTCP

Câu 18:

#SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018~Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, BC = a $\sqrt{3}$ , SA=a và SA vuông góc với đáy ABCD. Tính sin α, với α là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC).

Xem đáp án

Đặt hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Khi đó, ta có A (0;0;0), B (a;0;0), D (0; a√3 ; 0), S (0;0;a).

Ta có , nên đường thẳng BD có vectơ chỉ phương là .

Như vậy, mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến là

Do đó, α là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC) thì

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2;3) và mặt phẳng (P): 2x+y-4z+1=0, đường thẳng d đi qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Xem đáp án

Chọn B

Gọi B (0;0;b) là giao điểm của đường thẳng d và trục Oz.

Vì đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên:

Phương trình tham số của d đi qua A(1;2;3) nhận $\vec{u} (1; 2; 1)$ làm VTCP là: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 3 + t \end{cases}$

Mặt khác ta thấy điểm M(0;0;2) thuộc vào d nên phương trình tham số của d còn có thể viết dưới dạng $\{\begin{cases} x = t \\ y = 2 t \\ z = 2 + t \end{cases}$

Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O và điểm I (0;1;1). Gọi S là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy), cách đường thẳng Δ một khoảng bằng 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi S.

A. 36π

B. 36 $\sqrt{2}$ π

C. 18 $\sqrt{2}$ π

D. 18 π

Xem đáp án

Vậy quỹ tích M trên (Oxy) là hình Elip với

Câu 21:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A (2;-3;2), B (3;5;4). Tìm toạ độ điểm M trên trục Oz sao cho MA²+MB² đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M (0;0;49)

B. M (0;0;67)

C. M (0;0;3)

D. M (0;0;0).

Xem đáp án

Chọn C

Gọi I là trung điểm của

Ta có:

IA²+IB² không đổi nên MA²+MB² đạt giá trị nhỏ nhất khi MI đạt giá trị nhỏ nhất.

=> M là hình chiếu của I trên trục Oz.

=> M (0;0;3).

Câu 22:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{1}$ và điểm M (2; -1; 0). Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với mp (Oxy) tại điểm M. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu thỏa mãn?

A. 2.

B. 1

C. 0.

D. Vô số.

Xem đáp án

Câu 23:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;-2;3). Gọi (S) là mặt cầu chứa A có tâm I thuộc tia Ox và bán kính bằng 7. Phương trình mặt cầu (S) là:

A. (x+5)²+y²+z²=49.

B. (x+7)²+y²+z²=49.

C. (x-3)²+y²+z²=49.

D. (x-7)²+y²+z²=49.

Xem đáp án

Chọn D

Vì tâm I thuộc tia Ox nên I (m;0;0) với m>0.

Vì (S) chứa A và có bán kính bằng 7 nên:

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ${(x - 7)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 49$

Câu 24:

Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ ; $d_{2} : \frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}$ ; $d_{3} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}$ ; $d_{4} : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ . Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

A. 0.

B. 2.

C. Vô số.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn D

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁ = (3;-1;-1) và có một véctơ chỉ phương là

Đường thẳng d₂ đi qua điểm M₂ = (0;0;1) và có một véctơ chỉ phương là

Do và M₁ ∉ d₁ nên hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau.

Gọi (α) là mặt phẳng chứa d₁ và d₂ khi đó (α) có một véctơ pháp tuyến là . Phương trình mặt phẳng (α) là x+y+z-1=0.

Do không cùng phương với nên đường thẳng AB cắt hai đường thẳng d₁ và d₂.

Vậy có 1 đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng trên

Câu 25:

Trong không gian Oxy, cho điểm M (-1;1;2) và hai đường thẳng $d : \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{1}$ , $d^{'} : \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{- 2}$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm M, cắt d và vuông góc với d' ?

Xem đáp án

Chọn B

Gọi đường thẳng cần tìm là Δ, A là giao của Δ và d.

Khi đó: A (2+3t;-3+2t;1+t),

Do Δ vuông góc với d' nên:

Khi đó , hay vectơ chỉ phương của Δ là (3;-1;0).

Vậy phương trình Δ: