25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tâp Nguyên Hàm, Tích phân cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải(P5)

Câu 1:

Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2^{x}, y = 0, x = 0 v à x = 2$ . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục Ox được xác định bởi công thức:

A. $V = π \int_{0}^{2} 2^{x + 1} d x$

B. $V = \int_{0}^{2} 2^{x + 1} d x$

C. $V = \int_{0}^{2} 4^{x} d x$

D. $V = π \int_{0}^{2} 4^{x} d x$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Công thức tính thể tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng $x = a, x = b (a < b)$ và các đồ thị hàm số ư

y = f(x), y = g(x) khi quay quanh trục Ox là: $V = π \int_{a}^{b} |f^{2} (x) - g^{2} (x)| dx$

Cách giải:

Ta có công thức tính thể tích hình phẳng đã cho là:

Câu 2:

Biết rằng $x e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số f(-x) trên khoảng $(- \infty, + \infty)$ . Gọi F(x) là một nguyên hàm của $f' (x) e^{x}$ thỏa mãn F(0) =1, giá trị của F(-1) bằng:

A. $\frac{7}{2}$

B. $\frac{5 - e}{2}$

C. $\frac{7 - e}{2}$

D. $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

+) $x e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số nên $(x e^{x})' = f (- x)$

+) Từ $f (- x) \Rightarrow f (x)$

+) F(x) là một nguyên hàm của $f' (x) e^{x} \Rightarrow F (x) = \int f' (x) e^{x} d x$

+) Tính F(x), từ đó tính F(-1)

Cách giải:

Vì $x e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (- x)$ nên $(x e^{x})' = f (- x)$

Câu 3:

Biết $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos^{2} x + \sin x \cos x + 1}{\cos^{4} x + \sin x \cos^{3} x} d x = a + b \ln 2 + c \ln (1 + \sqrt{3})$ ,

với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng:

A. 0

B. -2

C. -4

D. -6

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu của phân thức trong dấu tích phân cho $\cos^{2} x$ sau đó sử dụng phương pháp đổi biến, đặt $t = \tan x$

Cách giải:

Câu 4:

Cho $\int_{1}^{3} f (x) d x = 2$ . Tích phân $\int_{1}^{3} [2 + f (x)] d x$ bằng

A. 6

B. 8

C. 10

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 39

Phương pháp:

Sử dụng tính chất

Câu 5:

Cho $\int_{1}^{3} \frac{2 x + 1}{x^{2} + 3 x + x} d x = a \ln 2 + b \ln 3 + c \ln 5,$ với $a, b, c \in ℤ$ . Giá trị của a + b + c bằng:

A. -1

B. 4

C. 1

D. 7

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Tính tích phân bằng phương pháp tính tích phân của hàm số hữu tỉ rồi suy ra các giá trị của a, , b c rồi tính giá trị của biểu thức và chọn đáp án đúng.

Cách giải:

Ta có:

Câu 6:

Gọi (H) là phần in đậm trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y = 3 x^{2}, y = 4 - x$ và trục hoành. Diện tích của (H) bằng:

A. $\frac{11}{2}$

B. $\frac{9}{2}$

C. $\frac{13}{2}$

D. $\frac{7}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b (a<b) và các đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) là: $S = \int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x$

Cách giải:

Diện tích của hình (H) là:

Câu 7:

Cho hàm số $y = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ có đồ thị (C) . Biết rằng tiếp tuyến d của (C) tại điểm A có hoành độ bằng -1 cắt (C) tại B có hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (C) (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng:

A. $\frac{27}{4}$

B. $\frac{11}{2}$

C. $\frac{25}{4}$

D. $\frac{13}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Phương trình $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0} = 0$ có n nghiệm phân biệt x₁, x₂, ...,x_n được viết dưới dạng $a_{n} (x - x_{1}) (x - x_{2}) . . . (x - x_{n}) = 0$

Cách giải:

Gọi phương trình đường thẳng d:

Xét phương trình hoàng độ giao điểm

f(x) - g(x) = 0

Đường thẳng d cắt (C) tại điểm A có hoành độ -1 và điểm B có hoành độ bằng 2 .

Câu 8:

Cho $\int_{1}^{2} (x + 1) e^{x} d x = a e^{2} + b e + c$ với a,b,c là các số nguyên. Tính a + b + c.

A. 0

B. 1

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Thực hiện tích phân từng phần:

Đặt $\{\begin{cases} u = x + 1 \\ d v = e^{x} d x \end{cases}$ tính tích phân đã cho suy ra a,b,c và kết luận.

Vậy

Câu 9:

Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi elip có phương trình $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng I quanh trục Ox.

A. $\frac{160 π}{3}$

B. $\frac{320 π}{3}$

C. $\frac{160}{3}$

D. $\frac{320}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Cho hai hàm số y=f(x)và y=g(x) liên tục trên [a;b] Khi đó thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=f(x)và y=g(x) và hai đường thẳng x=a; x=b khi quay quanh trục Ox là:

$V = π \int_{a}^{b} |f^{2} (x) - g^{2} (x)| dx$

Cách giải:

Ta có:

Do tính đối xứng của (H) qua Ox nên thể tích khối tròn xoay cần tìm bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H') quanh Ox, trong đó (H') là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{25}}$ và trục Ox.

Xét phương trình hoành độ giao điểm

$4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{25}} = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{x^{2}}{25} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 25 \Leftrightarrow x = \pm 5$

Câu 10:

Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2 v à \int_{1}^{5} f (x) d x = - 8$ . Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{2} f (|2 x - 3|) d x .$

A. I = -8

B. I = -2

C. I = -4

D. I = -6

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Cách giải:

Câu 11:

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên $(0; + \infty)$ sao cho $x^{2} + x . f (e^{x}) + f (e^{x}) = 1$ với mọi $x \in (0; + \infty)$ Tính tích phân $I = \int_{\sqrt{e}}^{e} \frac{\ln x . f (x)}{x} d x .$

A. $I = - \frac{1}{8} .$

B. $I = - \frac{2}{3} .$

C. $I = \frac{1}{12} .$

D. $I = \frac{3}{8} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ t = ln x.

Cách giải:

Ta có:

Đặt

Khi đó :

Câu 12:

Cho một vật chuuyển động với gia tốc $a (t) = - 20 \cos (2 t + \frac{π}{4}) (m / s^{2})$ Biết vận tốc của vật vào thời điểm $t = \frac{π}{12} (s)$ là $15 \sqrt{2} (m / s)$ Tính vận tốc ban đầu của vật.

A. $5 \sqrt{2} (m / s) .$

B. $\sqrt{2} (m / s) .$

C. $0 (m / s) .$

D. $10 \sqrt{2} (m / s) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Câu 13:

Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên đoạn [0;2]. Biết rằng f(2) = -3 và $\int_{0}^{2} x f' (x) d x = - 4$ Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} f (x) d x$

A. I = 2.

B. I = 0.

C. I = -7.

D. I = -2.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Sử dụng công thức từng phần.

Cách giải:

Ta có :

Câu 14:

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = \sin (π - 2 x)$ thỏa mãn $F (\frac{x}{2}) = 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 15:

Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -2t + 10 (m/s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng

A. 55m.

B. 50m.

C. 25m.

D. 16m.

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 16:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f' (x) = (x + 1) e^{x}$ và f(0)=1. Tính f(2)

A. $f (2) = 4 e^{2} + 1$

B. $f (2) = 2 e^{2} + 1$

C. $f (2) = 3 e^{2} + 1$

D. $f (2) = e^{2} + 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 17:

Cho $\int_{0}^{4} f (x) d x = 2018$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} [f (2 x) + f (4 - 2 x)]$

A. I = 1009.

B. I = 0.

C. I = 2018.

D. I = 4036.

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 18:

Biết $\int \frac{x + 1}{(x - 1) (x - 2)} d x = a \ln |x - 1| + b \ln |x - 2 + C|, (a, b \in ℝ)$ . Tính giá trị của biểu thức

A. a+b =1

B. a+b =5

C. a+b =-5

D. a+b =-1

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 19:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} + \cos x + 2019$ là

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 20:

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6]. Nếu $\int_{1}^{5} f (x) d x = 2$ và $\int_{1}^{3} f (x) d x = 7$ thì $\int_{3}^{5} f (x) d x$ có giá trị bằng.

A. 5.

B. -5.

C. 9.

D. -9.

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 21:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa mãn f(1)=12, $\int_{1}^{4} f' (x) = 17$ . Tính giá trị của f(4)=?

A. f(4)=9.

B. f(4)=19.

C. f(4)=29.

D. f(4)=5.

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 22:

Nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = 2 x + \frac{1}{\sin^{2} x}$ thỏa mãn $F (\frac{π}{4}) = - 1$ là:

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 23:

Cho tích phân $I = \int_{1}^{2} \frac{\ln x}{x^{2}} d x = \frac{b}{c} + a \ln 2$ với a là số thực, b và c là các số nguyên dương, đồng thời $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức

P = 2a + 3b + c.

A. P=6

B. P=-6

C. P=5

D. P=4

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 24:

Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [-1;1] và $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 4$ . Kết quả $\int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x$

A. I=8

B. I=4

C. I=2

D. I= $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 25:

Cho $\int_{0}^{4} f (x) d x = 16$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} f (2 x) d x$ .

A. I=16

B. I=8

C. I=4

D. I=32

Xem đáp án

Đáp án B