122 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số có đáp án

Câu 1:

Hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1$ đạt cực tiểu tại điểm

A. $x = - 1.$

B. $x = 3.$

C. $x = 1$

D. $x = - 3.$

Xem đáp án

Hàm số đã cho xác định trên R.

Ta có: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9.$

Từ đó: $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 3 \end{array} .$

Ta có: ${f^{'}}^{'} (x) = 6 x - 6$ . Khi đó: ${f^{'}}^{'} (- 1) = - 12 < 0; {f^{'}}^{'} (3) = 12 > 0.$

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=3

Câu 2:

Số điểm cực đại của hàm số $f (x) = - x^{4} + 8 x^{2} - 7$ là

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định trên R

Ta có: $f^{'} (x) = - 4 x^{3} + 16 x .$

Từ đó: $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow f (0) = - 7 \\ x = - 2 \Rightarrow f (- 2) = 9 \\ x = 2 \Rightarrow f (2) = 9 \end{array}$

Bảng biến thiên:

Số điểm cực đại của hàm số f(x)=-x^4+8x^2-7 là (ảnh 1)

Vậy hàm số có hai điểm cực đại.

Chọn C.

Câu 3:

Số cực trị của hàm số $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ là

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định trên $ℝ \ \{1\}$

Ta có: $f^{'} (x) = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \in ℝ \ \{1\}$ . Vậy hàm số không có cực trị.

Chọn D.

Câu 4:

Giá trị cực tiểu của hàm số $f (x) = \frac{- x^{2} + 2 x + 7}{x^{2} + x + 1}$ là

A. $x = - 5.$

B. $y = - \frac{4}{3} .$

C. $x = - \frac{1}{3} .$

D. $y = 8.$

Xem đáp án

Hàm số đã cho xác định trên R

Ta có: $f^{'} (x) = \frac{- 3 x^{2} - 16 x - 5}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}} .$

Từ đó: $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{1}{3} \\ x = - 5 \end{array} .$

Bảng xét dấu đạo hàm:

Giá trị cực tiểu của hàm số f(x)= -x^2+2x+7/x^2+x+1 là (ảnh 1)

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = - 5, y_{C T} = f (- 5) = - \frac{4}{3} .$

Chọn B

Câu 5:

Số cực trị của hàm số $f (x) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 x + 2}$ là

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định trên

Ta có: $f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 1}{\sqrt[3]{{(x^{3} - 3 x + 2)}^{2}}} .$

Từ đó: $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{3} - 3 x + 2 \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array} \\ \{\begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq - 2 \end{cases} \end{cases} \Leftrightarrow x = - 1$

( $f^{'} (x)$ không xác định tại điểm $x = 1$ và $x = - 2$ ).

Bảng biến thiên:

Số cực trị của hàm số f(x)= căn 3 của x^3-3x+2 là (ảnh 1)

Vậy hàm số có hai cực trị là $f (- 1) = \sqrt[3]{4}$ và $f (1) = 0.$

Chọn A.

Câu 6:

Giá trị cực đại của hàm số $f (x) = x - 2 \sqrt{x^{2} + 1}$ là số nào dưới đây?

A. $\frac{\sqrt{3}}{3} .$

B. $\sqrt{3} .$

C. $- \sqrt{3} .$

D. $- \frac{\sqrt{3}}{3} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định trên

Ta có: $f^{'} (x) = 1 - \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} .$

Từ đó: $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 1} = 2 x \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x \geq 0 \\ x^{2} + 1 = 4 x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{3} .$

Bảng biến thiên:

Giá trị cực đại của hàm số f(x)=x-2căn x^2+1 là số nào dưới đây? (ảnh 1)

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , giá trị cực đại của hàm số là $f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \sqrt{3} .$

Chọn C.

Câu 7:

Các điểm cực đại của hàm số $f (x) = x - 2 \sin x$ có dạng (với $k \in ℤ$ )

A. $x = - \frac{π}{3} + k 2 π .$

B. $x = \frac{π}{3} + k 2 π .$

C. $x = - \frac{π}{6} + k 2 π .$

D. $x = \frac{π}{6} + k 2 π .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định trên R

Ta có: $f^{'} (x) = 1 - 2 cosx$ . Khi đó $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow cosx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π, (k \in ℤ)$

${f^{'}}^{'} (x) = 2 \sin x$

Vì ${f^{'}}^{'} (\frac{π}{3} + k 2 π) = 2 \sin (\frac{π}{3} + k 2 π) = 2 \sin \frac{π}{3} > 0$ nên $x = \frac{π}{3} + k 2 π$ là điểm cực tiểu.

Vì nên ${f^{'}}^{'} (- \frac{π}{3} + k 2 π) = 2 \sin (- \frac{π}{3} + k 2 π) = 2 \sin (- \frac{π}{3}) = - 2 \sin \frac{π}{3} < 0$ là $x = - \frac{π}{3} + k 2 π$ điểm cực đại

Chọn A.

Câu 8:

Hàm số $y = {ax}^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực tiểu của hàm số f là

Hàm số y=ã^4+bx^2+c có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực tiểu của hàm số f là (ảnh 1)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu.

Chọn C.

Câu 9:

Hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số f trên khoảng $(- 3; 4)$ là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho có bốn điểm cực trị.

Chọn D.

Câu 10:

Hàm số $y = f (x)$ xác định trên R và có đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số f trên khoảng $(a; b)$ là

A. 5

B. 3

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Trong khoảng $(a; b)$ , đồ thị $f' (x)$ cắt (không tiếp xúc) trục hoành tại 5 điểm nên có 5 điểm cực trị trên $(a; b)$ .

Chọn A.

Câu 11:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm đến cấp hai trên R và có đồ thị hàm số $y = {f^{'}}^{'} (x)$ như hình vẽ dưới đây (đồ thị $y = {f^{'}}^{'} (x)$ chỉ có 3 điểm chung với trục hoành như hình vẽ). Số điểm cực trị tối đa của hàm số là

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên R và có đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ dưới đây (ảnh 1)

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f^{'} (x)$ như sau

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên R và có đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ dưới đây (ảnh 2)

Nhận thấy trục hoành cắt đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ tại tối đa 2 điểm nên $f^{'} (x) = 0$ có tối đa 2 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số $y = f (x)$ có tối đa 2 điểm cực trị.

Chọn D.

Câu 12:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số có hai điểm cực trị

B. Hàm số có hai cực trị.

C. Cực đại bằng – 1.

D. Cực tiểu bằng – 2.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Câu 13:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số có ba cực trị.

B. Hàm số có một cực tiểu.

C. $f (- 2) = f (2)$

D. $f (- 1) < f (2)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Câu 14:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = (x^{2} - 1) (x^{3} - 3 x + 2) (x^{2} - 2 x)$ .

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ là

A. 6

B. 2

C. 3

D.. 5

Xem đáp án

Ta có: $f^{'} (x) = (x - 2) {(x - 1)}^{3} x (x + 1) (x + 2)$ và $f^{'} (x) = 0$ có 5 nghiệm bội lẻ nên có 5 điểm cực trị.

Chọn D.

Câu 15:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{2} (x - 1) {(x - 4)}^{2}$ . Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = f (x^{2})$ .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: ${[f (x^{2})]}^{'} = 2 x^{2}) = 2 x^{5} (x^{2} - 1) {(x^{2} - 4)}^{2}$

Phương trình ${[f (x^{2})]}^{'} = 0$ có 3 nghiệm bội lẻ là $x = 0, x = \pm 1$ nên số điểm cực trị của hàm số $y = f (x^{2})$ là 3.

Chọn C.

Câu 16:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R, có $f^{'} (x) \geq 3 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{7}{2}, \forall x > 0$ .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có đúng một điểm cực trị trên R.

B. Hàm số có ít nhất một điểm cực trị trên

(0; + \infty)

.

C. Hàm số không có điểm cực trị nào trên

(0; + \infty)

.

D. Hàm số có đúng hai điểm cực trị trên R.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Với $\forall x > 0$ ta có: $f^{'} (x) \geq 3 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{7}{2} = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{7}{2} \geq 3 \sqrt[3]{{(\frac{3}{2})}^{2}} - \frac{7}{2} > 0$ .

Vậy hàm số không có cực trị trên $(0; + \infty)$ .

Chọn C.

Câu 17:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R, có đạo hàm $f^{'} (x) = (x^{2} - x - 2) (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6) g (x)$ với $g (x)$ là hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ dưới đây ( $g (x)$ đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và trên $(2; + \infty)$ . Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ là

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R, có đạo hàm f'(x)=(x^2-x-2)(x^3+6x^2+11x-6)g(x) với g(x) là hàm đa thức có đồ thị như hình (ảnh 1)

A. 5

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị, phương trình $g (x) = 0$ có 3 nghiệm bội lẻ là $x = 0, x = 1, x = 2$ và một nghiệm bội chẵn là $x = - 1$ .

Tóm lại, phương trình $y' = 0$ chỉ có $x = - 1, x = 0, x = 2$ và x=3 là nghiệm bội lẻ, nên hàm số có 4 điểm cực trị.

Chọn D.

Câu 18:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực tiểu của hàm số y=f(x) là

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương 1 lần nên có 1 điểm cực tiểu.

Câu 19:

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số y=f(x) là

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Chắc chắn hàm số có 3 điểm cực trị là $x = - 1, x = 2, x = 3$ .

Xét tại điểm x=0, đạo hàm đổi dấu, hàm số không có đạo hàm tại điểm x=0, nhưng theo đề bài, hàm số liên tục trên R nên f(0) xác định. Vậy hàm số có tổng cộng 4 điểm cực trị.

Chọn D.

Câu 20:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ \ \{1\}$ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây

$Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R\{-1} và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây Số điểm cực trị của hàm số y=f(x) là (ảnh 1)$

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ là

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Hàm số có 3 điểm cực trị là $x = - 2, x = 2, x = 3$ (hàm số không đạt cực trị tại điểm $x = 1$ vì hàm số không xác định tại điểm $x = 1$ ).

Chọn B.

Câu 21:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên của f'(x) như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số y=f(x) là

A. 4

B. 2

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên của f'(x) như hình vẽ dưới đây Số điểm cực trị của hàm số y=f(x) là (ảnh 2)

Dễ thấy phương trình $f^{'} (x) = 0$ có ba nghiệm bội lẻ nên hàm số có 3 điểm cực trị.

Chọn C.

Câu 22:

Hàm số $y = 2 x^{3} - x^{2} + 5$ có điểm cực đại là

A. $x = \frac{1}{3} .$

B. $x = 5.$

C. $x = 3.$

D. $x = 0.$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 23:

Hàm số $y = x^{4} - 4 x^{3} - 5$

A. nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu.

B. nhận điểm x = 0 làm điểm cực tiểu.

C. nhận điểm x = 0 làm điểm cực đại

D. nhận điểm làm điểm cực đại.

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 24:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục $[- 4; 3]$ trên đoạn $[- 4; 3]$ và có đồ thị trên đoạn như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-4,3] và có đồ thị trên đoạn [-4,3] như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực đại? (ảnh 1)

A. 0

B. 2

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 25:

Cho hàm số $f (x) = x^{4}$ . Hàm số $g (x) = f^{'} (x) - 3 x^{2} - 6 x + 1$ đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại $x_{1}$ , $x_{2}$ . Tìm $m = g (x_{1}) . g (x_{2})$ .

A. $m = 0$

D. $m = - \frac{371}{16}$

C. $m = \frac{1}{16}$

D. $m = - 11$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 26:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.

B. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và có một điểm cực tiểu.

C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.

D. Hàm số đã cho không có cực trị.

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 27:

Hàm số dạng $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ $(a \neq 0)$ có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 28:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm cấp hai liên tục trên R. Trên hình vẽ là đồ thị hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $(- \infty; a]$ (và hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên $(- \infty; - 2]$ ), đồ thị của hàm số $y = f^{'} (x)$ trên $[a; 1]$ đồ thị của hàm số $y = {f^{'}}^{'} (x)$ trên $[1; + \infty)$ (và hàm số $y = {f^{'}}^{'} (x)$ luôn đồng biến trên $[b; + \infty)$ ). Hàm số $y = f (x)$ có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên R. Trên hình vẽ là đồ thị hàm số y=f(x) trên đoạn ( - vô cùng, a] (ảnh 1)

A. 5

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 29:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R, có đạo hàm với có đồ thị như hình vẽ dưới đây $f^{'} ({x)=(x+1)}^{2} (x^{2} - 3 x + 2) (x - \sin x) g (x)$ ( $g (x)$ đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và trên $(2; + \infty)$ ). Hàm số $y = f (x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R, có đạo hàm với có đồ thị như hình vẽ dưới đây f'(x)=(x+1)^2(x^2-3x+2)(x-sinx)g(x)(g(x) (ảnh 1)

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 30:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm đến cấp 2 trên R và có đồ thị hàm số $y = {f^{'}}^{'} (x)$ như hình vẽ dưới đây (đồ thị $y = {f^{'}}^{'} (x)$ chỉ có 4 điểm chung với trục hoành như hình vẽ). Số điểm cực trị tối đa của hàm số là

Cho hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên R và có đồ thị hàm số y=f''(x) như hình vẽ dưới đây (ảnh 1)

A. 5

B. 3

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 31:

Tìm m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (m^{2} - 4) x + 3$ đạt cực đại tại điểm x = 3.

A. $m = - 1.$

B. $m = - 5.$

C. m=5

D. $m = 1.$

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 \Rightarrow {y^{'}}^{'} = 2 x - 2 m .$

Hàm số đạt cực đại tại x=3 thì $y^{'} (3) = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6 m + 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 5 \end{array} .$

· Với $m = 1, {y^{'}}^{'} (3) = 2.3 - 2.1 = 4 > 0$ suy ra $x = 3$ là điểm cực tiểu.

· Với $m = 5, {y^{'}}^{'} (3) = 2.3 - 2.5 = - 4 < 0$ suy ra $x = 3$ là điểm cực đại.

Chọn C.

Câu 32:

Hàm số

y = a x^{3} + x^{2} - 5 x + b

đạt cực tiểu tại x=1 và giá trị cực tiểu bằng 2, giá trị của

H = 4 a - b

là

A. $H = 1.$

B. $H = - 1.$

C. $H = - 2.$

D. $H = 3$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = 3 a x^{2} + 2 x - 5 \Rightarrow {y^{'}}^{'} = 6 a x + 2.$

+) Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1 \Rightarrow y^{'} (1) = 0 \Leftrightarrow a = 1.$

+) Thay $a = 1$ ta thấy ${y^{'}}^{'} (1) = 6 + 2 = 8 > 0$ nên $x = 1$ là điểm cực tiểu.

+) Mặt khác ta có: $y (1) = 2 \Leftrightarrow 1 + 1 - 5 + b = 2 \Leftrightarrow b = 5.$

Vậy $H = 4.1 - 5 = - 1.$

Chọn B.

Câu 33:

Hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ đạt cực tiểu tại điểm $x = 0, f (0) = 0$ và đạt cực đại tại điểm $x = 1, f (1) = 1$ . Giá trị của biểu thức $T = a + 2 b - 3 c + d$ là

A. $T = 2.$

B. $T = 3$

C. $T = 4$

D. $T = 0$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c .$

Do hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0, f (0) = 0$ và đạt cực đại tại điểm $x = 1, f (1) = 1$ nên ta có hệ phương trình

Chọn C.

Câu 34:

Giá trị của m để hàm số

y = x^{3} + m x - 1

có cực đại và cực tiểu là

A. $m \geq 0.$

B. $m \leq 0.$

C. $m > 0.$

D. $m < 0.$

Xem đáp án

Hàm số $y = x^{3} + m x - 1$ có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt hay $3 x^{2} + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Do đó $m < 0.$

Chọn D.

Câu 35:

Với giá trị nào của m thì hàm số $y = \frac{m}{3} x^{3} + x^{2} + x + 7$ có cực trị?

A. $m \in (1; + \infty) \cup \{0\} .$

B. $m < 1.$

C. $m \in (- \infty; 1) \ \{0\} .$

D. $m \leq 1.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = m x^{2} + 2 x + 1.$

+) Với $m = 0$ , hàm số trở thành $y = x^{2} + x + 7$ , đồ thị là một parabol nên hiển nhiên có cực trị.

Vậy $m = 0$ thỏa mãn yêu cầu.

+) Xét $m \neq 0$ , để hàm số có cực trị thì $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ^{'} > 0$

$\Leftrightarrow 1 - m > 0 \Leftrightarrow m < 1$ .

Hợp cả hai trưởng hợp, khi $m < 1$ thì hàm số có cực trị.

Chọn B.

Câu 36:

Tìm các giá trị của m để hàm số $y = m x^{3} - 3 m x^{2} - (m - 1) x + 2$ không có cực trị.

A. $0 < m < \frac{1}{4} .$

B. $0 \leq m < \frac{1}{4} .$

C. $0 \leq m \leq \frac{1}{4} .$

D. $0 < m \leq \frac{1}{4} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y = 3 m x^{2} - 6 m - m + 1$

+) Với $m = 0$ , hàm số trở thành $y = x + 2$ là hàm đồng biến trên $ℝ$ nên không có cực trị, nhận $m = 0$ .

+) Xét $m \neq 0$ , hàm số không có cực trị khi $y^{'} = 0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

$\Leftrightarrow Δ^{'} = 9 m^{2} - 3 m (1 - m) \leq 0 \Leftrightarrow 12 m^{2} - 3 m \leq 0 \Leftrightarrow 0 < m \leq \frac{1}{4} .$

Hợp cả hai trường hợp, $0 \leq m \leq \frac{1}{4}$ khi thì hàm số không có cực trị.

Chọn C.

Câu 37:

Số giá trị nguyên của tham số $m \in [- 20; 20]$ để hàm số $y = (\frac{m - 1}{3}) x^{3} + (m^{2} - 4) x^{2} + (m^{2} - 9) x + 1$

có hai điểm cực trị trái dấu là

A. 18

B. 17

C. 19

D. 16

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$y^{'} = (m - 1) x^{2} + 2 (m^{2} - 4) x + (m^{2} - 9) .$

Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi $y^{'} = 0$ có hai nghiệm trái dấu

$\Leftrightarrow (m - 1) (m^{2} - 9) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 3 \\ 1 < m < 3 \end{array} .$

Vậy $m \in \{- 20; - 19; ...; - 4; 2\}$ , có 18 giá trị của m.

Chọn A.

Câu 38:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $y = m x^{3} + m (m - 1) x^{2} - (m + 1) x - 1$ có hai điểm cực trị đối nhau?

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = 3 m x^{2} + 2 m (m - 1) x - (m + 1) .$

Hàm số có hai điểm cực trị đối nhau $\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có hai nghiệm đối nhau

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 m \neq 0 \\ Δ^{'} > 0 \\ S = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ m^{2} {(m - 1)}^{2} + 3 m (m + 1) > 0 \Leftrightarrow m = 1 \\ m - 1 = 0 \end{cases} .$

Chọn C.

Câu 39:

Giá trị của m để đồ thị hàm số $y = \frac{m}{3} x^{3} + (m - 1) x^{2} + (m + 2) x - 6$ có hai điểm cực trị có hoành độ dương là

A.. $m < \frac{1}{4} .$

B. $0 < m < \frac{1}{4} .$

D. $m < 0.$

D. $- \frac{1}{4} < m < 0.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = m x^{2} + 2 (m - 1) x + m + 2.$

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương $\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt dương

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(m - 1)}^{2} - m (m + 2) > 0 \\ \frac{- (m - 1)}{m} > 0 \\ \frac{m + 2}{m} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < \frac{1}{4} \\ 0 < m < 1 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{4} \\ [\begin{array}{l} m > 0 \\ m < - 2 \end{array} \end{cases} .$

Chọn B.

Câu 40:

Cho hàm số $y = x^{3} + (1 - 2 m) x^{2} + (2 - m) x + m + 2$ . các giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 là

A. $[\begin{array}{l} m < - 1 \\ \frac{5}{4} < m < \frac{7}{5} \end{array} .$

B. $[\begin{array}{l} m < - 1 \\ \frac{5}{4} < m < \frac{8}{5} \end{array} .$

C.. $[\begin{array}{l} m < - 1 \\ \frac{5}{4} < m < \frac{7}{5} \end{array} .$

D. $[\begin{array}{l} m < - 2 \\ \frac{3}{2} < m < \frac{5}{2} \end{array} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} + 2 (1 - 2 m) x + 2 - m$ .

Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ^{'} = {(1 - 2 m)}^{2} - 3 (2 - m) > 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} - m - 5 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > \frac{5}{4} \end{array} .$

Khi đó, giả sử $x_{1}$ , $x_{2}$ (với $x_{1} < x_{2}$ ) là hai nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ .

Cho hàm số y=x^3+(1-2m)x^2+(2-m)x+m+2. các giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, (ảnh 1)

Bảng biến thiên

Khi đó, yêu cầu bài toán trở thành: $x_{2} < 1 \Leftrightarrow \frac{2 m - 1 + \sqrt{4 m^{2} - m - 5}}{3} < 1 \Leftrightarrow \sqrt{4 m^{2} - m - 5} < 4 - 2 m$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 - 2 m \geq 0 \\ 4 m^{2} - m - 5 < 4 m^{2} - 16 m + 16 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq 2 \\ m < \frac{7}{5} \end{cases} \Leftrightarrow m < \frac{7}{5} .$

Kết hợp điều kiện có cực trị thì $m < - 1$ và $\frac{5}{4} < m < \frac{7}{5}$ thỏa mãn yêu cầu.

Chọn A.

Câu 41:

Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^{3} + x^{2} + m x - 1$ nằm bên phải trục tung.

A. $m < 0$

B. $0 < m < \frac{1}{3}$

C. $m < \frac{1}{3}$

D. Không tồn tại.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} + 2 x + m$ .

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khi phương trình $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ^{'} = 1 - 3 m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{3} (1) .$

Khi đó, giả sử $x_{1}$ , $x_{2}$ (với $x_{1} < x_{2}$ ) là hai nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ thì $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{2}{3} \\ x_{1} . x_{2} = \frac{m}{3} \end{cases} .$

Bảng biến thiên

Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y=x^3+x^2+mx-1 nằm bên phải trục tung. (ảnh 1)

Do $x_{1} + x_{2} = - \frac{2}{3} < 0$ nên điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^{3} + x^{2} + m x - 1$ nằm bên phải trục tung $\Leftrightarrow x_{1} . x_{2} < 0 \Leftrightarrow \frac{m}{3} < 0 \Leftrightarrow m < 0$ (2) .

Từ (1), (2) ta có $m < 0$

Chọn A.

Câu 42:

Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $y = 2 x^{3} + 3 (m - 1) x^{2} + 6 (m - 2) x$ có các điểm cực trị thuộc khoảng ?

A. 5

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Câu 43:

Giá trị của m để hàm số $= \frac{1}{3} x^{3} - (m - 2) x^{2} + (4 m - 8) x + m + 1$ có hai điểm cực trị $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < - 2 < x_{2}$ là

A. m < 2.

B. m < 2 hoặc m > 6.

C. $m < \frac{3}{2}$ hoặc m > 6.

D. $m < \frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = x^{2} - 2 (m - 2) x + (4 m - 8)$ .

Yêu cầu bài toán trở thành $(x_{1} + 2) (x_{2} + 2) < 0 \Leftrightarrow (4 m - 8) + 4 (m - 2) + 4 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}$

Chọn D.

Câu 44:

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{2}{3} x^{3} - m x^{2} - 2 (3 m^{2} - 1) x + \frac{2}{3}$ có hai điểm cực trị $x_{1}$ , $x_{2}$ sao cho $x_{1} . x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) = 1$ ?

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = 2 x^{2} - 2 m x - 2 (3 m^{2} - 1)$

Hàm số có hai điểm cực trị khi $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt hay

$Δ^{'} = m^{2} + 4 (3 m^{2} - 1) > 0 \Leftrightarrow 13 m^{2} - 4 > 0$ (*).

Theo định lí Vi-ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} . x_{2} = 1 - 3 m^{2} \end{cases}$

Suy ra $x_{1} . x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) = 1 \Rightarrow 1 - 3 m^{2} + 2 m = 1.$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = \frac{2}{3} \end{array}$

Thử lại với điều kiện (*), ta nhận được $m = \frac{2}{3}$ .

Chọn A.

Câu 45:

Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = (x - m) (x^{2} - 2 x - m - 1)$ có hai điểm cực trị $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa $|x_{1} . x_{2}| = 1$ . Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 2

B. -2

C. 4

D. 0

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 2 (m + 2) x + m - 1$ .

Hàm số có hai điểm cực trị khi $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ^{'} = m^{2} + m + 7 > 0$ (luôn đúng).

Theo định lí Vi-ét ta có:

$x_{1} . x_{2} = \frac{m - 1}{3} \Rightarrow |x_{1} . x_{2}| = 1 \Leftrightarrow |m - 1| = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 4 \\ m = - 2 \end{array}$ .

Vậy tổng cần tìm bằng $4 + (- 2) = 2$ .

Chọn A.

Câu 46:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [- 20; 20]$ để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + m x - 1$ có hai điểm cực trị $x_{1}$ , $x_{2}$ sao cho $|x_{1} - x_{2}| \geq 2 \sqrt{6}$ ?

A. 38

B. 35

C. 34

D. 37

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = x^{2} - 2 m x + m$ .

Hàm số có hai điểm cực trị khi $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ^{'} = m^{2} - m > 0$ (*).

Theo định lí Vi-ét ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m \\ x_{1} . x_{2} = m \end{cases}$ .

$|x_{1} - x_{2}| \geq 2 \sqrt{6} \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} . x_{2} \geq 24 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 4 m \geq 24 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq 3 \\ m \leq - 2 \end{array}$ Khi đó

(thỏa mãn(*)).

Do m nguyên và $m \in [- 20; 20]$ nên $m \in \{- 20; - 19; ...; - 2; 3; 4; ...; 20\}$ .

Vậy có 37 giá trị của m.

Chọn D

Câu 47:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 (m + 1) x^{2} + 9 x - m$ . Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn hàm số đạt cực trị tại hai điểm $x_{1}$ , $x_{2}$ sao cho $3 x_{1} - 2 x_{2} = m + 6$ là

A. 0

B. 1

C. -2

D. -3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 (m + 1) x + 9$

Hàm số có hai điểm cực trị khi $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ^{'} = 9 {(m + 1)}^{2} - 27 > 0 \Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} > 3$ (*).

Theo định lí Vi-ét ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m + 1) \\ x_{1} . x_{2} = 3 \end{cases}$ .

Từ $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m + 1) \\ 3 x_{1} - 2 x_{2} = m + 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = m + 2 \\ x_{2} = m \end{cases}$ thế vào $x_{1} . x_{2} = 3$ ta được

$m (m + 2) = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 3 \end{array}$ thỏa mãn (*).

Chọn C.

Câu 48:

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số

y = 2 x^{3} + 9 m x^{2} + 12 m^{2} x

có điểm cực đại

x_{C D}

,

x_{C T}

điểm cực tiểu

x_{C T}

thỏa mãn

x_{C D}^{2} = x_{C T}

?

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = 6 x^{2} + 18 m x + 12 m^{2} = 6 (x + m) (x + 2 m)$ .

Hàm số có hai điểm cực trị khi $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m \neq 0$ (*)

Trường hợp 1: m < 0 khi đó, lập bảng xét dấu đạo hàm dễ thấy

$x_{C D} = - m, x_{C T} = - 2 m$

Khi đó:

$x_{C D}^{2} = x_{C T} \Leftrightarrow m^{2} = - 2 m \Leftrightarrow m = - 2$ (thỏa mãn).

Trường hợp 2: m > 0 lập bảng xét dấu đạo hàm ta có $x_{C D} = - 2 m, x_{C T} = - m$ .

$x_{C D}^{2} = x_{C T} \Leftrightarrow 4 m^{2} = - m \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}$ , loại.

Vậy $m = - 2$ thỏa mãn đề bài.

Chọn A.

Câu 49:

Tìm m để đồ thị hàm số $y = x^{3} - (m + 1) x^{2} + 1$ có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành.

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 2 (m + 1) x$ .

Xét phương trình $y^{'} = 0$ ta có

$3 x^{2} - 2 (m + 1) x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{2 (m + 1)}{3} \end{array}$ .

Để đồ thị có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành $\Leftrightarrow y_{C T} . y_{C D} < 0$

Khi đó $y (0) . y (\frac{2 m + 2}{3}) < 0$

$\Leftrightarrow {(\frac{2 m + 2}{3})}^{3} - (m + 1) {(\frac{2 m + 2}{3})}^{2} + 1 < 0$ .

$\Leftrightarrow m > \sqrt[3]{\frac{27}{16}} - 1$

Câu 50:

Tìm m để đồ thị hàm số $y = (x - 1) (x^{2} + 2 m x + 1)$ có hai điểm cực trị nằm cùng phía với trục hoành.

Xem đáp án

Xét phương trình $(x - 1) (x^{2} + 2 m x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x^{2} + 2 m x + 1 = 0 (1) . \end{array}$

Để phương trình có nhiều nhất hai nghiệm thì:

Trường hợp 1: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm bằng 1. Ta có:

$\{\begin{cases} m^{2} - 1 > 0 \\ 1^{2} + 2 m + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - 1. \end{array} \\ m = - 1 \end{cases}$

Không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Trường hợp 2: Phương trình (1) có nghiệm kép. Ta có: $m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1.$

Trường hợp 3: Phương trình (1) vô nghiệm.

Ta có: $m^{2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1.$

Kết hợp với điều kiện ta có

\frac{1}{2} < m \leq 1.

Câu 51:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [- 18; 18]$ để đồ thị hàm số $y = (x - 1) (x^{2} + 2 m x + 1)$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành?

A. 34

B. 30

C. 25

D. 19

Xem đáp án

Bảng biến thiên của hàm số bậc ba khi có hai cực trị và hai điểm cực trị của đồ thị nằm về hai phía trục hoành là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [-18,18] để đồ thị hàm số y=(x-1)(x^2+2mx+1) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành? (ảnh 1)

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành thì $y = 0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow x^{2} + 2 m x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 1^{2} + 2 m .1 + 1 \neq 0 \\ Δ^{'} = m^{2} - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq - 1 \\ [\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - 1 \end{array} . \end{cases}$

Do m nguyên và $m \in [- 18; 18]$ nên $m \in \{- 18; - 17; ....; - 2; 2; 3; ....; 18\}$

Vậy có 34 giá trị của m thỏa mãn đề.

Chọn A.

Câu 52:

Cho hàm số $y = 2 x^{3} - 3 m x^{2} + x + m$ . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m trong khoảng $(- 10; 10)$ để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của đường thẳng $y = x - 6$ . Số phần tử của tập S là

A. 9

B. 12

C. 7

D. 11

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt $f (x) = 2 x^{3} - 3 m x^{2} + m + 6.$

Ta có $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow {(2 x^{3} - 3 m x^{2} + m + 6)}^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = m \end{array} .$

Xét $g (x) = g (x) - x + 6$ . Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị nằm về hai phía đường thẳng $y = x = 6$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ g (0) . g (m) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ (m + 12) (- m^{3} + 12) < 0 \end{cases} .$

Do $m \in ℤ$ và thuộc $(- 10; 10)$ nên $m \in \{3; 4; .......9\}$ .

Chọn C.

Câu 53:

Biết đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ có hai điểm cực trị là A, B. Diện tích tam giác OAB bằng

A. 4

B. 2

C. 8

D. 6

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow A (0; 4) \\ x = 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow B (2; 0) \end{array} .$

Do $A \in O x, B \in O y$ nên tam giác OAB vuông tại O.

Suy ra $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = 4.$

Chọn A.

Câu 54:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 4 m^{2} - 2$ có đồ thị (C) và điểm $C (1; 4)$ . Tổng các giá trị nguyên dương của m để (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4 là

A. 6

B. 5

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 m x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 m \end{array} .$

Đồ thị (C) luôn có hai điểm cực trị với mọi m nguyên dương (vì m là số nguyên dương nên phương trình $y^{'} = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt).

Khi đó $A (0; 4 m^{2} - 2), B (2 m; - 4 m^{3} + 4 m^{2} - 2)$

$\Rightarrow A B = \sqrt{4 m^{2} + 16 m^{6}} = 2 |m| \sqrt{4 m^{4} + 1} .$

$(A B) : \frac{x - 0}{2 m - 0} = \frac{y - (4 m^{2} - 2)}{- 4 m^{3}} \Leftrightarrow 2 m^{2} x + y - 4 m^{2} + 2 = 0.$

Thế tọa độ C vào phương trình đường thẳng (AB), dễ thấy $C \notin (A B)$ .

$d (C, A B) = \frac{|2 m^{2} + 4 - 4 m^{2} + 2|}{\sqrt{4 m^{4} + 1}} = \frac{2 |m^{2} - 3|}{\sqrt{4 m^{4} + 1}} .$

$S_{A B C} = \frac{1}{2} . A B . d (C, A B) = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{2} .2 |m| . \sqrt{4 m^{4} + 1} . \frac{2 |m^{2} - 3|}{\sqrt{4 m^{4} + 1}} = 4$

$\Leftrightarrow |m (m^{2} - 3)| = 2 \Leftrightarrow m^{6} - 6 m^{4} + 9 m^{2} - 4 = 0$

$\Leftrightarrow {(m^{2} - 1)}^{2} (m^{2} - 4) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \pm 1 \\ m = \pm 2 \end{array} .$

Do m nguyên dương nên ta nhận được $m = 1, m = 2$ . Tổng là 3.

Chọn C.

Câu 55:

Biết hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} - (2 m - 1) x$

có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 10 (x_{1} + x_{2})$ bằng

A. -12

B. -22

C. -18

D. -16

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = x^{2} - 2 (m + 1) x - (2 m - 1) .$

Hàm số có ai điểm cực trị nếu ${(m + 1)}^{2} + 2 m - 1 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 0 \\ m < - 4 \end{array} .$

Theo định lí Vi-ét: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 2 \\ x_{1} . x_{2} = - 2 m + 1 \end{cases} .$

Khi đó $P = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} . x_{2} - 10 (x_{1} + x_{2})$

$= {(2 m + 2)}^{2} - 10 (2 m + 2) - 2 (- 2 m + 1)$

$= 4 m^{2} - 8 m - 18$

$= {(2 m - 2)}^{2} - 22 \geq - 22$

Dấu “=” khi $m = 1$ (thỏa mãn $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt)

Chọn C.

Câu 56:

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + (m^{2} - 3) x$ có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ sao cho giá trị biểu thức $P = |x_{1} (x_{2} - 2) - 2 (x_{2} + 1)|$ đạt giá trị lớn nhất?

A. 2

B. 1

C.. 4

D. 3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = x^{2} - 2 x + m^{2} - 3.$

Hàm số có hai điểm cực trị khi $1 - (m^{2} - 3) > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.$

Theo định lí Vi-ét $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 \\ x_{1} . x_{2} = m^{2} - 3 \end{cases} .$

$P = |x_{1} (x_{2} - 2) - 2 (x_{2} + 1)| = |x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) - 2|$

$= |m^{2} - 3 - 2.2 - 2| = |m^{2} - 9| \leq 9.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m = 0$ (thỏa mãn).

Chọn B.

Câu 57:

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai điểm cực trị của $y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} m x^{2} - 4 x - 10$ . Giá trị lớn nhất của $S = (x_{1}^{2} - 1) (x_{2}^{2} - 16)$ là

A. 16

B. 32

C. 4

D. 0

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = x^{2} - m x - 4$ . Do $a = 1, c = - 4$ trái dấu nhau nên $y^{'} = 0$ luôn có hai nghiệm trái dấu hay hàm số luôn có hai điểm cực trị.

Theo định lí Vi-ét: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} . x_{2} = - 4 \end{cases} .$

Khi đó $S = {(x_{1} x_{2})}^{2} - (16 x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + 16 \leq {(x_{1} x_{2})}^{2} - 2 \sqrt{16 x_{1}^{2} . x_{2}^{2}} + 16 = 0.$

Dấu “=” xảy ra khi $16 x_{1}^{2} = x_{2}^{2} \Leftrightarrow x_{2} = - 4 x_{1} \Rightarrow m = \pm 3.$

Chọn D.

Câu 58:

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ đi qua điểm nào sau đây?

A. $(\frac{1}{2}; 5) .$

B. $(- \frac{1}{2}; 5) .$

C. $(2; 1) .$

D. $(2; - 1) .$

Xem đáp án

Ta có:

$y^{'} = 3 x^{2} - 12 x + 9.$

Xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow y = 4 \\ x = 3 \Rightarrow y = 0 \end{array} .$

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A (1; 4)$ và $B (3; 0)$ suy ra $(A B) : \frac{y - 0}{4 - 0} = \frac{x - 3}{1 - 3} \Leftrightarrow y = - 2 (x - 3) .$

Câu 59:

Tìm m để đồ thị hàm số $(C) : y = x^{3} + (m + 3) x^{2} - (2 m + 9) x + m + 6$ có hai điểm cực trị và khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng qua hai điểm cực trị đạt giá trị lớn nhất

A. $m \in \{- 6 + \frac{3}{\sqrt{2}}; - 6 - \frac{3}{\sqrt{2}}\} .$

B. $m \in \{- 3 - \frac{3}{\sqrt{2}}; - 3 + \frac{3}{\sqrt{2}}\} .$

C. $m \in \{- 3 - 6 \sqrt{2}; - 3 + 6 \sqrt{2}\} .$

D. $m \in \{- 6 - 6 \sqrt{2}; - 6 + 6 \sqrt{2}\} .$

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 2 (m + 3) x - 2 m - 9 = (3 x^{2} + 6 x - 9) + (2 m x - 2 m)$ $= (x - 1) (3 x + 9 + 2 m) .$

Hàm số có hai cực trị khi $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 3 + 9 + 2 m \neq 0 \Leftrightarrow m \neq - 6$

Một trong hai điểm cực trị là $A (1; 1)$ và $\vec{O A} = (1; 1) \Rightarrow O A = \sqrt{2}$ và $k_{(O A)} = 1.$

Đường thẳng d qua hai điểm cực trị có hệ số góc là $k_{d} = - [\frac{2}{3} (2 m + 9) + \frac{2}{9} {(m + 3)}^{2}]$

Ta có $d [O; d] \leq O A = \sqrt{2} .$

Dấu “=” xảy ra khi $d ⊥ O A \Leftrightarrow k_{d} . k_{(O A)} = - 1 \Leftrightarrow - [\frac{2}{3} (2 m + 9) + \frac{2}{9} {(m + 3)}^{2}] = - 1$

$\Leftrightarrow m = - 6 \pm \frac{3}{\sqrt{2}} .$

Chọn A.

Câu 60:

Giả sử A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ và đường thẳng (AB) đi qua gốc tọa độ. Giá trị lớn nhất $P_{\min}$ của $P = a b c + a b + c$ bằng

A. $P_{\min} = - 9.$

B. $P_{\min} = 1.$

C. $P_{\min} = - \frac{16}{25} .$

D. $P_{\min} = - \frac{25}{9} .$

Xem đáp án

Đường thẳng qua hai cực trị là $(A B) : y = (\frac{2}{3} b - \frac{2 a^{2}}{9}) x + c - \frac{a b}{9} .$

Do (AB) qua gốc O nên $c - \frac{a b}{9} = 0 \Leftrightarrow a b = 9 c .$

Khi đó $P = a b c + a b + c = 9 c^{2} + 10 c = {(3 c + \frac{5}{3})}^{2} - \frac{25}{9} \geq - \frac{25}{9}, \forall c \in ℝ .$

Vậy $P_{\min} = - \frac{25}{9}$ khi $\{\begin{cases} c = - \frac{5}{9} \\ a b = - 5 \end{cases} .$

Chọn D.

Câu 61:

Biết rằng đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 m x + 2$ có hai điểm cực trị A, B. Gọi M, N là hai giao điểm của đường thẳng (AB) và đường tròn $(C) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3$ . Biết MN lớn nhất. Khoảng cách từ điểm $E (3; 1)$ đến bằng $(A B)$

A. $\sqrt{3} .$

B. $\sqrt{2} .$

C. $2 \sqrt{3} .$

D. $2 \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 3 m .$

Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m > 0.$

Viết hàm số dưới dạng $y = \frac{x}{3} (3 x^{2} - 3 m) - 2 m x + 2 = \frac{x}{3} y^{'} - 2 m x + 2$

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là $(A B) : y = - 2 m x + 2.$

Đường thẳng $(A B)$ luôn đi qua điểm cố định là $M (0; 2) .$

Đường tròn $(C)$ tâm $I (1; 1)$ , bán kính $R = \sqrt{3}$ và $d [I; (A B)] \leq I M = 1 < \sqrt{3} = R$ nên đường thẳng luôn cắt đường tròn tại hai điểm M, N.

Giả sử $I (1; 1) \in (A B) \Rightarrow 1 = - 2 m + 2 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2} .$

Vậy khi $m = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn hàm số có hai điểm cực trị) thì (AB) qua $I (1; 1)$ , cắt đường tròn tại hai điểm M, N với $M N = 2 R$ là lớn nhất. Khi đó: $d [E (3; 1); (A B) : y + x - 2 = 0] = \sqrt{2} .$

Chọn B.

Câu 62:

Cho hàm số bậc ba có hai điểm cực trị là

x_{1} = 1

và

x_{2}

. Biết rằng đạo hàm cấp hai triệt tiêu tại điểm

x = \frac{2}{3}

. Giá trị của

x_{2}

bằng

A. $x_{2} = 2.$

B. $x_{2} = \frac{1}{3} .$

C. $x_{2} = \frac{4}{3} .$

D. $x_{2} = - \frac{1}{3} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$x_{2} = 2 x - x_{1} = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} .$

Chọn B.

Câu 63:

Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} - m x^{2} + (m^{2} - 1) x$ có hai điểm cực trị A và B sao cho A và B nằm khác phía và cách đều đường thẳng $y = 5 x - 9$ . Tổng các phần tử của S bằng

A. 0

B. 6

C. -6

D. 3

Xem đáp án

Đường thẳng $d : y = 5 x - 9$ cách đều hai điểm cực trị của đồ thị thì có hai khả năng sau:

Khả năng 1: Đường thẳng d song song với đường thẳng AB, khi đó A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d, trái với giả thiết.

Khả năng 2: Đường d đi qua điểm uốn của đồ thị hàm số (vì điểm uốn là trung điểm của A và B).

Ta có: $y^{'} = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = (x - m - 1) (x - m + 1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có hai cực trị.suy ra tọa độ điểm uốn là $U (m; \frac{m^{3}}{3} - m) .$

Khi đó: $U \in d \Rightarrow \frac{m^{3}}{3} - m = 5 m - 9 \Leftrightarrow m = 3.$

Chọn D.

Câu 64:

Cho hàm số bậc ba có hai điểm cực trị là $x_{1} = 1$ và $x_{2} = 5$ . Biết rằng đạo hàm cấp hai triệt tiêu tại điểm $x_{u}$ . Khi đó

bằng

A. 3

B. 6

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 65:

Có bao nhiêu giá trị của m thì đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} + 3 (m - 1) x^{2} + 6 (m - 2) x - 1$ có cực đại, cực tiểu thỏa mãn $|x_{C D} - x_{C T}| = 2 ?$

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 66:

Đường thẳng nối điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 2 x + m$ đi qua điểm $M (- 3; 7)$ . Khi đó m bằng

A. $m = 1.$

B. $m = - 1.$

C. $m = 3$

D. m=0

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 67:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x - m^{3}$ với m là tham số. Gọi $(C)$ là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng, khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị $(C)$ luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Hệ số góc k của đường thẳng d là

A. $k = - 3.$

B. $k = \frac{1}{3} .$

C. $k = 3.$

D. $k = - \frac{1}{3} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 68:

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 4 m^{3}$ có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$ ?

A.0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 69:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 m x^{2} + (m - 1) x + 2 m^{2} + 1$ (m là tham số). Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ $O (0; 0)$ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên là

A. $\frac{2}{9} .$

B. $\sqrt{3} .$

C. $2 \sqrt{3} .$

D. $\frac{\sqrt{10}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 70:

Biết đường thẳng qua hai cực trị của đồ thị hàm số $f (x) = x^{3} + c x + d$ là $y = - 6 x + 2020$ . Khi đó bằng $f (2)$

A. $f (2) = 2010.$

B. $f (2) = 2030.$

C. $f (2) = 2022.$

D. $f (2) = 2020.$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 71:

Biết đồ thị của hàm số

y = x^{3} - 3 a b x^{2} + b x + 3

có hai điểm cực trị và trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị đó thuộc đường thẳng

x = - 1

. Chọn khẳng định đúng

A. $a b^{2} > - 3.$

B. $a b^{2} < 3.$

C. $a b^{2} = - 1.$

D. $a . b^{2} = 0.$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 72:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x - m^{3} - m$ (m là tham số). Gọi A là điểm cực đại của đồ thị hàm số và điểm M thuộc đường tròn $(C) : {(x - 9)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 17$ . Giá trị nhỏ nhất của độ dài MA bằng

A. $\frac{\sqrt{17}}{2} .$

B. $\sqrt{17} .$

C. $\frac{3 \sqrt{17}}{4} .$

D. $\frac{1}{\sqrt{17}} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 73:

Biết điểm $M (2 m^{3}; - 1)$ tạo với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} - 3 (2 m + 1) x^{2} + 6 m (m + 1) x$ một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $m \in (- 1; 0) .$

B. $m \in (0; 1) .$

C. $m \in (1; 2) .$

D. $m \in (- 2; - 1) .$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 74:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in (- 2020; 2020]$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} - (2 m + 1) x^{2} + 3 m x - m$ có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành?

A. 4035

B. 4036

C. 4037

D. 4038

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 75:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành

y = x^{3} - 8 x^{2} + (m^{2} + 11) x - 2 m^{2} + 2

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 76:

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai điểm cực trị của hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m^{2} + 3) x^{2} + 8 x - m$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $A = (x_{1}^{3} - 1) (x_{2}^{3} - 8)$ là

A. 8

B. 1064

C. 392

D. 0

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 77:

Biết hàm số

y = (x + m) (x + n) (x + p)

không có cực trị. Giá trị nhỏ nhất của

F = m^{2} + 2 n - 4 p

là

A. $F_{\min} = - 2.$

B. $F_{\min} = - 1.$

C. $F_{\min} = 0.$

D. $F_{\min} = 1.$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 78:

Cho hàm số $f (x) = (x - a) (x - b) (x - c)$ không có điểm cực đại. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2} + 4 a + 5 b + 6 c$ là

A. $S_{\min} = - \frac{75}{8} .$

B. $S_{\min} = - \frac{25}{2} .$

C. $S_{\min} = - \frac{3}{2} .$

D. $S_{\min} = \frac{7}{3} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 79:

Cho hàm số $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 4$ . Biết rằng có hai giá trị $m_{1}, m_{2}$ của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tiếp xúc với đường tròn $(C) : {(x - m)}^{2} + {(y - m - 1)}^{2} = 5.$ . Giá trị của $m_{1} + m_{2}$ bằng

A. 0

B. 10

C. 6

D. -6

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 80:

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 m^{2}$ có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường phân giác của góc phần tư thứ nhất?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 81:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x - m^{3} - m$ , (m là tham số). Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tổng tất cả các số m để ba điểm $I (2; - 2)$ , A, B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{5}$ là

A. $\frac{4}{17} .$

B. $- \frac{2}{17} .$

C.. $\frac{20}{17} .$

D. $\frac{14}{17} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 82:

Có bao nhiêu số nguyên $m \in [- 20; 20]$ để đồ thị hàm số $y = m x^{4} + (m^{2} - 9) x^{2} + 1$ có ba điểm cực trị?

A. 20

B. 19

C. 18

D. 17

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = 4 m x^{3} + 2 (m^{2} - 9) x = 2 x [2 m x^{2} + (m^{2} - 9)]$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 2 m x^{2} + m^{2} - 9 = 0 \end{array}$ .

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $y^{'} = 0$ có ba nghiệm phân biệt hay có hai nghiệm phân biệt khác 0 . $\Leftrightarrow 2 m (m^{2} - 9) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 3 \\ 0 < m < 3 \end{array}$

Vậy có 19 giá trị của thỏa mãn đề bài.

Chọn B.

Câu 83:

Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{4} + 3 m x^{2} - 4$ có ba điểm cực trị phân biệt và hoành độ của chúng trong khoảng $(- 2; 2)$ là

A. $(- \frac{8}{3}; 0)$

B. $(0; \frac{8}{3})$

C. $(- \frac{3}{2}; 0)$

D. $(0; \frac{3}{2})$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} + 6 m x$ . Cho $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 2 x^{2} = - 3 m \end{array}$ .

Để thỏa mãn đề bài phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 0 và thuộc khoảng $(- 2; 2)$ $\Leftrightarrow 0 < - \frac{3 m}{2} < 4 \Leftrightarrow 0 > m > - \frac{8}{3}$ .

Chọn A.

Câu 84:

Biết rằng hàm số $y = x^{4} - 2 (m^{2} + 1) x^{2} + 2$ có điểm cực tiểu. Giá trị lớn nhất của cực tiểu là

A. 1

B. -1

C. 0

D. -2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$y^{'} = 4 x^{3} - 4 (m^{2} + 1) x \Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m^{2} + 1 \end{array}$ .

Rõ ràng phương trình $y^{'} = 0$ luôn có ba nghiệm phân biệt.

Lập bảng biến thiên, dễ thấy $x = \pm \sqrt{m^{2} + 1}$ là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Giá trị cực tiểu là $y_{C T} = 2 - {(m^{2} + 1)}^{2} = 1 - (m^{4} + 2 m^{2}) \leq 1$ (dấu $" = "$ xảy ra khi $m = 0$ ).

Chọn A.

Câu 85:

Với giá trị nào của k thì hàm số $y = k x^{4} + (k - 1) x^{2} + 1 - 2 k$ chỉ có một cực trị?

A. $0 < k \leq 1$

B. $0 \leq k \leq 1$

C. $[\begin{array}{l} k \geq 1 \\ k < 0 \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} k \geq 1 \\ k \leq 0 \end{array}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

+ Với $k = 0$ , hàm số trở thành $y = - x^{2} + 1$ có đồ thị là một parabol nên có đúng một cực trị. Do đó $k = 0$ thỏa mãn đề bài.

+ Với $k \neq 0$ . Ta có $y^{'} = 4 k x^{3} + 2 (k - 1) x = 2 x (2 k x^{2} + k - 1)$ .

Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì phương trình $2 k x^{2} + k - 1 = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm $x = 0 \Leftrightarrow k (k - 1) \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} k \geq 1 \\ k < 0 \end{array}$ .

Kết hợp hai trường hợp ta được các giá trị cần tìm là $k \geq 1$ hoặc $k \leq 0$ .

Chọn D.

Câu 86:

Giá trị của $m$ để hàm số $y = (m + 1) x^{4} - 2 m x^{2} + 2 m + m^{4}$ đạt cực đại tại x=2 là

A. $m = \frac{4}{3}$

B. $m = - \frac{4}{3}$

C. $m = - \frac{3}{4}$

D. $\emptyset$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = 4 (m + 1) x^{3} - 4 m x \Rightarrow y^{''} = 12 (m + 1) x^{2} - 4 m$ .

Để hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ thì $y^{'} (2) = 0 \Rightarrow 32 (m + 1) - 8 m = 0 \Rightarrow m = - \frac{4}{3}$ .

Với $m = - \frac{4}{3}$ thì $y^{''} (2) = 12 (- \frac{4}{3} + 1) {.2}^{2} - 4 (- \frac{4}{3}) < 0$ , suy ra $x = 2$ là điểm cực đại.

Chọn B.

Câu 87:

Cho hàm số $y = \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} m x^{2} + x$ có $x = m$ là một điểm cực trị. Tổng các giá trị của m là

A. 1

B. $- \frac{1}{2}$

C. -1

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$y^{'} = 2 x^{3} - 3 m x + 1 \Rightarrow y^{''} = 6 x^{2} - 3 m$ .

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x = m \Rightarrow y^{'} (m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - \frac{1}{2} \end{array}$ .

Với $m = 1$ , ta có: $y^{''} (1) = 6 - 3 > 0$ x=1 là điểm cực tiểu (cực trị) nên m=1 thỏa mãn.
Với $m = - \frac{1}{2}$ , ta có: $y^{''} (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} > 0$ $x = - \frac{1}{2}$ là điểm cực tiểu (cực trị) nên $m = - \frac{1}{2}$ thỏa mãn.

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn điều kiện trên là $1 + (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ .

Chọn D.

Câu 88:

Biết đồ thị hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có hai điểm cực trị là $A (0; 2)$ , $B (2; - 14)$

. Giá trị của $y (1)$ là

A. $y (1) = - 5$

B. $y (1) = - 4$

C. $y (1) = - 2$

D. $y (1) = 0$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = 4 a x^{3} + 2 b x$ .

Các điểm $A (0; 2)$ $B (2; - 14)$ , thuộc đồ thị hàm số nên $\{\begin{cases} c = 2 \\ 16 a + 4 b + c = - 14 \end{cases}$ (1) .

Mặt khác, hàm số đạt cực trị tại điểm x=2, suy ra $32 a + 4 b = 0$ (2).

Từ (1);(2) ta có $y = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ .

Dễ thấy hàm số có các điểm cực trị là $A (0; 2)$ , $B (2; - 14)$ nên $y = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ là hàm số cần tìm.

Khi đó $y (1) = - 5$ .

Chọn A.

Câu 89:

Các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = 2 x^{4} - 4 m x^{2} - 1$ có hai điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu bằng 8 là

A. $m = - 16$

B. $m = 16$

C. $m = \frac{25}{4}$

D. $m = - \frac{25}{4}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = 8 x^{3} - 8 m x$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m \end{array}$ .

Hàm số có ba điểm cực trị nên $m > 0$ .

Tọa độ hai điểm cực tiểu là

$B (\sqrt{m}; - 2 m^{2} - 1)$ , $C (- \sqrt{m}; - 2 m^{2} - 1)$ .

Khi đó $B C = 2 \sqrt{m} \Leftrightarrow 8 = 2 \sqrt{m} \Rightarrow m = 16$ .

Chọn B.

Câu 90:

Biết rằng đồ thị hàm số

y = x^{4} - 2 (m - 1) x^{2} + 3 m

có A là điểm cực đại và B, C là hai điểm cực tiểu. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = O A + \frac{12}{B C}

là

A. 9

B. 8

C. 12

D. 15

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} - 4 (m - 1) x$ . Cho $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m - 1 \end{array}$ .

Hàm số có ba điểm cực trị nên $m > 1$ .

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là $A (0; 3 m)$ , $B (\sqrt{m - 1}; 5 m - m^{2} - 1)$ và $C (- \sqrt{m - 1}; 5 m - m^{2} - 1)$ . Suy ra $O A = 3 m$ , $B C = 2 \sqrt{m - 1}$ .

Ta có $P = O A + \frac{12}{B C} = 3 m + \frac{6}{\sqrt{m - 1}} = [3 (m - 1) + \frac{3}{\sqrt{m - 1}} + \frac{3}{\sqrt{m - 1}}] + 3$

$\geq 3 + 3 \sqrt[3]{3 (m - 1) {(\frac{3}{\sqrt{m - 1}})}^{2}} = 12$ .

Dấu $" = "$ xảy ra khi $3 (m - 1) = \frac{3}{\sqrt{m - 1}} \Leftrightarrow m = 2$ .

Chọn C.

Câu 91:

Cho hai hàm đa thức $y = f (x)$ , $y = g (x)$ có đồ thị là hai đường cong như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số $y = f (x)$ có đúng một điểm cực trị là , đồ thị hàm số $y = g (x)$ có đúng một điểm cực trị là (với $x_{A} = x_{B}$ ) và $A B = \frac{7}{2}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in (- 10; 10)$ để hàm số $y = ||f (x) - g (x)| + m|$ có đúng bảy điểm cực trị?

Cho hai hàm đa thức y=f(x) , y=g(x) có đồ thị là hai đường cong như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số y=f(x) có đúng một (ảnh 1)

A. 5

B. 6

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi $x_{1}$ , $x_{2}$ với $x_{1} < x_{2}$ là hoành độ giao điểm của đồ thị $y = f (x)$ và $y = g (x)$ (dựa vào đồ thị đã cho, hai đồ thị chỉ có hai giao điểm đã kể trên, tức là

$f (x) - g (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{1} \\ x = x_{2} \end{array}$ .

Xét $h (x) = |f (x) - g (x)| + m$ .

Ta có: $h^{'} (x) = [f^{'} (x) - g^{'} (x)] . \frac{f (x) - g (x)}{|f (x) - g (x)|}$ .

Cho $h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = x_{A} = x_{B}$ . Ta có bảng biến thiên của như sau

Cho hai hàm đa thức y=f(x) , y=g(x) có đồ thị là hai đường cong như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số y=f(x) có đúng một (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên của $h (x)$ , yêu cầu bài toán trở thành $m < 0 < m + \frac{7}{2} \Leftrightarrow - \frac{7}{2} < m < 0$ .

Do m nguyên và $m \in (- 10; 10)$ nên $m \in \{- 3; - 2; - 1\}$ .

Chọn C.

Câu 92:

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị $y = x^{4} - 2 m^{2} x^{2} + 1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

A. $m = \pm 1$

B. $m = 0$

C. $m = \pm 2$

D. $m = 1$

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} - 4 m^{2} x$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m^{2} \end{array}$ .

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi $m \neq 0$ .

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là $A (0; 1)$ , $B (m; - m^{4} + 1)$ , $C (- m; - m^{4} + 1)$

$\Rightarrow \vec{A B} = (m; - m^{4})$ , $\vec{A C} = (- m; - m^{4})$ , dễ thấy $A B = A C$ .

Do đó tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$

$\Leftrightarrow - m^{2} + m^{8} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$ (do $m \neq 0$ ).

Chọn A.

Câu 93:

Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

y = x^{4} - 2 (m - 1) x^{2} + 3 m

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có góc bằng

60 °

thuộc khoảng nào sau đây?

A. $(\frac{5}{2}; \frac{13}{5})$

B. $(\frac{12}{5}; \frac{5}{2})$

C. $(2; \frac{11}{5})$

D. $(\frac{11}{5}; \frac{12}{5})$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} - 4 (m - 1) x$ . Xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m - 1 \end{array}$ (2) .

Hàm số có ba điểm cực trị khi $m > 1$ .

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là $A (0; 3 m)$ , $B (\sqrt{m - 1}; 5 m - m^{2} - 1)$ và $C (- \sqrt{m - 1}; 5 m - m^{2} - 1)$ .

Suy ra $A B^{2} = A C^{2} = (m - 1) + {(m - 1)}^{4}$ ; $B C = 2 \sqrt{m - 1}$ .

Tam giác ABC là tam giác cân tại A, có một góc bằng $60^{\circ}$ nên là tam giác đều $\Leftrightarrow A B = B C \Leftrightarrow (m - 1) + {(m - 1)}^{4} = 4 (m - 1) \Leftrightarrow m = 1 + \sqrt[3]{3}$ .

Chọn B.

Câu 94:

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = 2 x^{4} - 4 m x^{2} + 1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng $30^{\circ}$ ?

A..1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = 8 x^{3} - 8 m x$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m \end{array}$ .

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi $m > 0$ .

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là $A (0; 1)$ , $B (\sqrt{m}; - 2 m^{2} + 1)$ , $C (- \sqrt{m}; - 2 m^{2} + 1)$

$\Rightarrow A B^{2} = A C^{2} = m + 4 m^{4}$ , $B C = 2 \sqrt{m}$ .

Do đó tam giác ABC cân tại A.

+ Trường hợp 1: $\hat{B A C} = 30 °$ , ta có $\cos \hat{B A C} = \frac{2 A B^{2} - B C^{2}}{2 A B^{2}} \Leftrightarrow (2 - \sqrt{3}) A B^{2} = B C^{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (2 - \sqrt{3}) (m + 4 m^{4}) = 2 m \\ \Leftrightarrow 4 (2 - \sqrt{3}) m^{3} = \sqrt{3} \end{array}$ .

Phương trình này có đúng một nghiệm thực.

+ Trường hợp 2: $\hat{A B C} = 30 °$ , khi đó

$B C = \sqrt{3} . A B \Leftrightarrow 3 A B^{2} = B C^{2} \Leftrightarrow 3 m + 12 m^{4} = 4 m \Leftrightarrow 12 m^{3} = 1$ .

Phương trình này có đúng một nghiệm thực.

Chọn B.

Câu 95:

Biết đồ thị hàm số $y = 2 x^{4} - 4 m x^{2} + 1$ có ba điểm cực trị A (thuộc trục tung) và B,C . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{A B . A C}{B C^{4}}$ là

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{8}$

C. $\frac{3}{8}$

D. $\frac{3}{16}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Theo ví dụ 3 ta có:

$T = \frac{A B . A C}{B C^{4}} = \frac{m + 4 m^{4}}{16 m^{2}} = \frac{1}{16} (\frac{1}{m} + 4 m^{2}) = \frac{1}{16} (2. \frac{1}{2 m} + 4 m^{2}) \geq \frac{3}{16}$ .

Dấu $" = "$ xảy ra khi $\frac{1}{2 m} = 4 m^{2} \Rightarrow m = \frac{1}{2} > 0$ .

Chọn D.

Câu 96:

Cho đồ thị hàm số $(C) : y = x^{4} - 2 (m^{2} + 1) x^{2} + m^{4}$ . Gọi A,B , C là ba điểm cực trị của $(C)$ và $S_{1}$ , $S_{2}$ lần lượt là phần diện tích phía trên và phía dưới trục hoành của tam giác ABC. Có bao nhiêu giá trị của tham số sao cho $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{3}$ ?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 0

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} - 4 (m^{2} + 1) x$ .

Cho $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = m^{4} \\ x^{2} = m^{2} + 1 \Rightarrow y = - 2 m^{2} - 1 \end{array}$ .

Hàm số luôn có ba điểm cực trị với mọi tham số m.

Gọi $A (0; m^{4})$ , $B (\sqrt{m^{2} + 1}; - 2 m^{2} - 1)$ , $C (- \sqrt{m^{2} + 1}; - 2 m^{2} - 1)$ là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Ta có $O A = m^{4}$ , $h = d (A; (B C)) = m^{4} + 2 m^{2} + 1$

$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{S_{A B C} - S_{1}}{S_{1}} = 3 \Leftrightarrow \frac{S_{A B C}}{S_{1}} = 4 \Leftrightarrow {(\frac{h}{O A})}^{2} = 4 \Leftrightarrow \frac{m^{4} + 2 m^{2} + 1}{m^{4}} = 2$ .

$\Leftrightarrow m^{4} - 2 m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}}$

Vậy có hai giá trị của tham số thỏa mãn đề bài.

Chọn B.

Câu 97:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + m (m + 2) x - \frac{m^{3}}{3}$ có đồ thị $(C)$ với m là tham số. Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (C) và parabol $(P) : y = x^{2} - 2 m x + 8$ có chung một điểm cực trị. Tổng bình phương tất cả các phần tử của S là

A. 8

B. 10

C. 16

D. 18

Xem đáp án

+ $(P)$ có điểm cực trị là $M (m; - m^{2} + 8)$ .

+ $f^{'} (x) = x^{2} - 2 (m + 1) x + m (m + 2)$

. $\Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = m \Rightarrow A (m; m^{2}) \\ x = m + 2 \Rightarrow B (m + 2; y_{B}) \neq M \end{array}$

Vì hai đồ thị hàm số có chung một điểm cực trị nên $A \equiv M \Leftrightarrow m^{2} = - m^{2} + 8 \Leftrightarrow m = \pm 2$ .

Chọn A.

Câu 98:

Biết hai hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 2 x - 1$ và $g (x) = - x^{3} + b x^{2} - 3 x + 1$ có chung ít nhất một điểm cực trị. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |a| + |b|$ là

A. $\sqrt{30}$

B. $2 \sqrt{6}$

C. $3 + \sqrt{6}$

D. $3 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Giả sử điểm cực trị chung của $f (x)$ và $g (x)$ là $x_{0} \neq 0$ , suy ra .

$\{\begin{cases} f^{'} (x_{0}) = 0 \\ g^{'} (x_{0}) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 {x_{0}}^{2} + 2 a x_{0} + 2 = 0 \\ - 3 {x_{0}}^{2} + 2 b x_{0} - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} (- 3 x_{0} - \frac{2}{x_{0}}) \\ b = \frac{1}{2} (3 x_{0} + \frac{3}{x_{0}}) \end{cases}$

Khi đó $P = |a| + |b| = \frac{1}{2} (|3 x_{0} + \frac{2}{x_{0}}| + 3 |x_{0} + \frac{1}{x_{0}}|)$

$= \frac{1}{2} (6 |x_{0}| + \frac{5}{|x_{0}|}) \overset{A M - G M}{\geq} \frac{1}{2} .2 \sqrt{6 |x_{0}| . \frac{5}{|x_{0}|}} = \sqrt{30}$ .

Dấu $" = "$ xảy ra khi $6 |x_{0}| = \frac{5}{|x_{0}|} \Leftrightarrow |x_{0}| = \frac{\sqrt{30}}{6}$ .

Khi đó $|a| = \frac{9 \sqrt{30}}{20}$ và $|b| = \frac{11 \sqrt{30}}{20}$ .

Chọn A.

Câu 99:

Đồ thị của hàm số $y = x^{4} + 2 m x^{2} + 3 m^{2}$ có ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận $G (0; 2)$ làm trọng tâm khi và chỉ khi

A. $m = 1$

B. $m = - \sqrt{\frac{2}{7}}$

C. $m = - 1$

D. $m = - \sqrt{\frac{6}{15}}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 100:

Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + m$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng tâm là

A. $m = 1$

B. $m = \frac{3}{2}$

C. $m = \frac{1}{2}$

D. Không tồn tại m.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 101:

Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m^{2} x^{2} + m^{4} + 3$ có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp. Số phần tử của tập S bằng

A. 1

B. 3

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 102:

Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - m x^{2} - 3 m + 2$ có điểm cực trị nằm trên trục hoành?

A. 2

B. 0

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 103:

Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 (1 - m^{2}) x^{2} + m + 1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất?

A. $m = \frac{1}{3}$

B. $m = 0$

C. $m = \pm \frac{1}{2}$

D. $m = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 104:

Biết hai đồ thị của hai hàm số $(C_{1} ) : y = x^{4} - 2 x^{2} + 2$ và $(C_{2} ) : y = m x^{4} + n x^{2} - 1$ có chung ít nhất một điểm cực trị. Giá trị của $414 m + 115 n$ là

A. $- 368$

B. 368

C. -386

D. 386

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 105:

Với giá trị thực nào của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 (m - 1) x^{2} + m^{4} - 3 m^{2} + 20$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32?

A. $m = 4$

B. $m = 2$

C. $m = 5$

D. $m = 3$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 106:

Có bao nhiêu giá trị thực của $m$ để đồ thị hàm số $(C_{m} ) : y = x^{4} + 2 (m^{2} - 3 m + 2) x^{2} + 1$ có ba điểm cực trị nằm trên một parabol và điểm $M (5; - 3)$ thuộc parabol đó?

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 107:

Biết rằng đồ thị $(C ) : y = a x^{4} + b x^{2} + c$ luôn có ba điểm cực trị và $P (x)$ là parabol đi qua ba điểm cực trị đó. Giá trị nhỏ nhất của $b . P (c)$ là

A. -1

B. -2

C. $\frac{- 1}{4}$

D. $\frac{- 1}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 108:

Giá trị của m để hàm số $y = \frac{x^{2} + m x + 3 m - 1}{x}$ có cực trị là

A. $m > \frac{1}{3}$

B. $m \geq \frac{1}{3}$

C. $m < \frac{1}{3}$

D. $m \leq \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Điều kiện $x \neq 0$ . Ta có $y^{'} = \frac{x^{2} - 3 m + 1}{x^{2}}$ .

Hàm số có cực trị khi $x^{2} - 3 m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow 3 m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}$ .

Chọn A.

Câu 109:

Giá trị của m để hàm số $y = \frac{x^{2} + m x + 1}{x + m}$ đạt cực đại tại $x = 1$ là

A. $m = 2$

B. $m = - 1$

C. $m = - 2$

D. $m = 1$

Xem đáp án

Điều kiện: $x \neq - m$ .

Ta có $y^{'} = \frac{x^{2} + 2 m x + m^{2} - 1}{{(x + m)}^{2}}$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - m - 1 \\ x = - m + 1 \end{array}$ .

Bảng biến thiên

Giá trị của m để hàm số y=x^2+mx+1/x+m đạt cực đại tại x=1 là (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x = 1 \Leftrightarrow - m - 1 = 1 \Leftrightarrow m = - 2$ .

Chọn C.

Câu 110:

Cho hàm số

y = x + p + \frac{q}{x + 1}

(với p, q là tham số thực). Biết hàm số đạt cực đại tại

x = - 2

, giá trị cực đại bằng -2. Tổng

S = p + 2 q

bằng

A. $S = 2$

B. $S = 1$

C. $S = 0$

D. $S = 3$

Xem đáp án

Điều kiện: $x \neq - 1$ .

Ta có: $y^{'} = 1 - \frac{q}{{(x + 1)}^{2}}$ .

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = - 2$ , giá trị cực đại bằng -2 nên

$\{\begin{cases} 1 - q = 0 \\ - 2 + p - q = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} q = 1 \\ p = 1 \end{cases}$ .

Thử lại $p = q = 1$ thỏa mãn nên $S = 1 + 2 = 3$ .

Chọn D.

Câu 111:

Giá trị của m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + m x}{1 - x}$ bằng 10 là

A. $m = 10$

B. $m = 8$

C. $m = 4$

D. $m = 2$

Xem đáp án

Điều kiện: $x \neq 1$ .

Ta có $y^{'} = \frac{- x^{2} + 2 x + m}{{(1 - x)}^{2}}$ .

Hàm số có hai cực trị khi $- x^{2} + 2 x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$ , $x_{2}$ khác

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 + 2 + m \neq 0 \\ Δ^{'} = 1 + m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > - 1$ .

Khi đó theo định lý Vi-ét ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 \\ x_{1} . x_{2} = - m \end{cases}$ .

Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị là $(d) : y = - 2 x - m$ .

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị là $A (x_{1}; - 2 x_{1} - m)$ , $B (x_{2}; - 2 x_{2} - m)$

$\Rightarrow \vec{A B} = (x_{2} - x_{1}; 2 x_{1} - 2 x_{2})$ .

Theo yêu cầu của đề bài ta có

${(x_{1} - x_{2})}^{2} + 4 {(x_{1} - x_{2})}^{2} = 100 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} . x_{2} = 20$ .

$\Leftrightarrow 4 + 4 m = 20$

$\Leftrightarrow m = 4$

Chọn C.

Câu 112:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số $y = m x + \frac{1}{x}$ có hai điểm cực trị và tất cả các điểm cực trị đều thuộc hình tròn tâm O, bán kính 6?

A. 10

B. 9

C. 8

D. 7

Xem đáp án

Điều kiện: $x \neq 0$ . Ta có: $y^{'} = m - \frac{1}{x^{2}}$ .

Hàm số có hai điểm cực trị khi $m > 0$ . Khi đó $y^{'} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{\sqrt{m}} \\ x = - \frac{1}{\sqrt{m}} \end{cases}$ .

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị là $A (\frac{1}{\sqrt{m}}; 2 \sqrt{m})$ , $B (- \frac{1}{\sqrt{m}}; - 2 \sqrt{m})$ .

Theo đề bài ta có $O A^{2} = O B^{2} = \frac{1}{m} + 4 m \leq 36 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 36 m + 1 \leq 0$ .

Do $m \in ℤ$ , $m > 0$ nên $m \in \{1; 2; 3...; 8\}$ .

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Chọn B

Câu 113:

Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - |m| x + 4}{x - |m|}$ có hai điểm cực trị A, B và ba điểm A,B , $C (4; 2)$ phân biệt thẳng hàng?

A. 0

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x \neq |m|$ .

Ta có $y^{'} = \frac{x^{2} - 2 |m| x + m^{2} - 4}{{(x - |m|)}^{2}} = \frac{{(x - |m|)}^{2} - 4}{{(x - |m|)}^{2}}$ .

Cho $y^{'} = 0 \Leftrightarrow {(x - |m|)}^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = |m| + 2 \Rightarrow y = |m| + 4 \\ x = |m| - 2 \Rightarrow y = |m| - 4 \end{array}$ .

Do $|m| + 2 \neq |m| - 2$ , $\forall m$ nên $y^{'} = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt.

Do đó đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị là $(A B) : y = 2 x - |m|$ . Ba điểm A,B , $C (4; 2)$ phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi $\{\begin{cases} C (4; 2) \in (A B) \\ |m| + 2 \neq 4 \\ |m| - 2 \neq 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |m| = 6 \\ |m| \neq 2 \\ |m| \neq 6 \end{cases}$ .

Suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài.

Chọn A.

Câu 114:

Cho hàm số

(C) : y = \frac{x^{2} + 2 (m + 1) x + m^{2} + 4 m}{x + 2}

. Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị hàm số

(C)

có điểm cực đại, cực tiểu A,B sao cho tam giác

O A B

vuông?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Điều kiện: $x \neq - 2$ . Ta có $y^{'} = \frac{x^{2} + 4 x + 4 - m^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Ta có $x^{2} + 4 x + 4 - m^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = m - 2 \\ x = - m - 2 \end{array}$ .

Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi $m \neq 0$ .

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị là

$A (- m - 2; - 2)$ , $B (m - 2; 4 m - 2) \Rightarrow \vec{A B} = (2 m; 4 m)$

Dễ thấy $\vec{O A}$ , $\vec{O B}$ , $\vec{A B} \neq \vec{0}$ .

Trường hợp 1: Tam giác $O A B$ vuông tại O

$\Leftrightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = 0 \Leftrightarrow - m^{2} - 8 m + 8 = 0 \Leftrightarrow m = - 4 \pm 2 \sqrt{6}$ (thỏa mãn)

Trường hợp 2: Tam giác $O A B$ vuông tại A $\Leftrightarrow \vec{O A} . \vec{A B} = 0$

$\Leftrightarrow 2 m (- m - 2) - 2.4 m = 0 \Leftrightarrow - m - 2 - 4 = 0 \Leftrightarrow m = - 6$ (thỏa mãn)

Trường hợp 3: Tam giác $O A B$ vuông tại B $\Leftrightarrow \vec{O B} . \vec{A B} = 0$

$\Leftrightarrow 2 m (m - 2) + (4 m - 2) 4 m = 0 \Leftrightarrow m - 2 + 2 (4 m - 2) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}$ (thỏa mãn)

Vậy có bốn giá trị thực của m thỏa mãn đề bài.

Chọn A.

Câu 115:

Cho hàm số

(C) : y = \frac{x^{2} - m x - 1}{x^{2} + 1}

với m là tham số. Giá trị thực của m để đồ thị hàm số (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng

(A B)

đi qua điểm

M (- 1; 2)

là

A. $m = 8$

B. $m = 6$

C. $m = 4$

D. $m = 2$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D = R$ . Ta có $y^{'} = \frac{m x^{2} + 4 x - m}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $m x^{2} + 4 x - m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ Δ^{'} = 4 + m^{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \neq 0$ .

Đường cong qua hai điểm cực trị có phương trình là $y = \frac{2 x - m}{2 x}$ .

Ta viết phương trình đường cong dưới dạng $y = \frac{2 x - m + k (m x^{2} + 4 x - m)}{2 x}$ .

Ta chọn k sao cho nghiệm của mẫu là nghiệm của tử để có thể rút gọn thành hàm số bậc nhất. Vì $x = 0$ là nghiệm của mẫu, nên thế $x = 0$ vào tử ta được $- m + k (- m) = 0 \Rightarrow k = - 1$ .

Với : $k = - 1$ . $y = \frac{2 x - m - m x^{2} - 4 x + m}{2 x} = - \frac{m}{2} x - 1 \Rightarrow (A B) : y = - \frac{m}{2} x - 1$

Điểm $M (- 1; 2)$ $\in (A B) \Rightarrow 2 = \frac{m}{2} - 1 \Leftrightarrow m = 6$ (thỏa mãn) .

Chọn B.

Câu 116:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [- 10; 10]$ để hàm số $y = - 2 x + 2 + m \sqrt{x^{2} - 4 x + 5}$ có cực tiểu?

A. 7

B. 16

C. 8

D. 14

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trênR .

Ta có $y^{'} = - 2 + m . \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 5}}$ và $y^{''} = \frac{m}{\sqrt{{(x^{2} - 4 x + 5)}^{3}}}$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 2 \sqrt{{(x - 2)}^{2} + 1} = m (x - 2) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m (x - 2) > 0 \\ (m^{2} - 4) {(x - 2)}^{2} = 4 \end{cases}$ .

Hàm số có cực tiểu khi và chỉ khi (1) có nghiệm $\Rightarrow m^{2} - 4 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 2 \\ m < - 2 \end{array}$ .

Khi đó, $(1)$ có hai nghiệm phân biệt là $x_{1; 2} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{m^{2} - 4}}$ .

· Với $m > 2$ , thì $x_{1} = 2 + \frac{2}{\sqrt{m^{2} - 4}}$ thỏa mãn $y^{'} (x_{1}) = 0$ và $y^{''} (x_{1}) > 0$ , $\{\begin{cases} y^{'} = 0 \\ y^{''} > 0 \end{cases}$ suy ra $x_{1}$ là điểm cực tiểu, nhận $m > 2$ .

· Với $m < - 2$ , thì $x_{2} = 2 - \frac{2}{\sqrt{m^{2} - 4}}$ thỏa mãn $y^{'} (x_{2}) = 0$ và $y^{''} (x_{2}) < 0$ , suy ra $x_{2}$ là điểm cực đại, loại, do $m < - 2$ .

Do m nguyên, $m > 2$ và $m \in [- 10; 10]$ nên $m \in \{3; 4; ...; 9; 10\}$ .

Chọn C.

Câu 117:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y = x + m . \sqrt{x^{2} + 1}$ có điểm cực trị và tất cả các điểm cực trị thuộc hình tròn tâm O, bán kính $\frac{\sqrt{82}}{3}$ ?

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D = ℝ$ .

Ta có $y^{'} = 1 + m . \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

Cho $y^{'} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ , ( $x \neq 0$ ).

Xét $g (x) = - \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} \Rightarrow g^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} . \sqrt{x^{2} + 1}} > 0$ , $\forall x \neq 0$ .

Ta có $\lim_{x \to + \infty} g (x) = - 1$ ; $\lim_{x \to - \infty} g (x) = 1$ ; $\lim_{x \to 0^{+}} g (x) = - \infty$ ; $\lim_{x \to 0^{-}} g (x) = + \infty$ .

Bảng biến thiên:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y=x+m.cawn x^2+1 có điểm cực trị và tất cả các điểm (ảnh 1)

Hàm số có cực trị khi $m \in ℝ \ [- 1; 1]$ .

Gọi $A (a; b)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Khi đó $m = - \frac{\sqrt{a^{2} + 1}}{a}$ và $b = a - \frac{a^{2} + 1}{a} = - \frac{1}{a} \Rightarrow A (a; - \frac{1}{a})$ .

Ta có: $O A = \sqrt{a^{2} + \frac{1}{a^{2}}} \leq \frac{\sqrt{82}}{3} \Rightarrow \frac{1}{9} \leq a^{2} \leq 9$ .

Vậy $|m| = |\frac{\sqrt{a^{2} + 1}}{a}| = \sqrt{1 + \frac{1}{a^{2}}} \in [\frac{\sqrt{10}}{3}; \sqrt{10}]$ .

Kết hợp với các điều kiện $m \in ℤ$ , $m \in ℝ \ [- 1; 1]$ , ta được $m \in \{- 3; - 2; 2; 3\}$ .

Chọn A.

Câu 118:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y = 2 x + \frac{m x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ có điểm cực trị và tất cả các điểm cực trị thuộc hình tròn tâm O, bán kính $\sqrt{68}$ ?

A. 16

B. 10

C. 12

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D = ℝ$ .

Ta có: $y = 2 x + \frac{m x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ , $\Rightarrow y^{'} = 2 + \frac{2 m}{{(\sqrt{x^{2} + 2})}^{3}}$ $\forall x \in ℝ$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 2} = - \sqrt[3]{m}$ .

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi $- \sqrt[3]{m} > \sqrt{2} \Leftrightarrow m < - 2 \sqrt{2}$ .

Gọi $A (a; b)$ ( $a \neq 0$ ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số, khi đó:

$\sqrt{a^{2} + 2} = - \sqrt[3]{m}$ và $b = 2 a + \frac{m a}{\sqrt{a^{2} + 2}} = 2 a + \frac{m a}{- \sqrt[3]{m}} = a (2 - \sqrt[3]{m^{2}}) = a (- a^{2}) = - a^{3}$ .

Theo đề bài ta có $O A \leq \sqrt{68} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \leq \sqrt{68} \Leftrightarrow a^{2} + a^{6} \leq \sqrt{68} \Leftrightarrow a^{2} \leq 4$ .

Ta có:

$0 < a^{2} \leq 4 \Leftrightarrow \sqrt{2} < \sqrt{a^{2} + 2} \leq \sqrt{6} \Leftrightarrow \sqrt{2} < - \sqrt[3]{m} \leq \sqrt{6} \Leftrightarrow - 6 \sqrt{6} < m \leq - 2 \sqrt{2}$ .

Vì $m \in ℤ$ và $- 6 \sqrt{6} < m \leq - 2 \sqrt{2}$ nên $m \in \{- 14; - 13; ...; - 4; - 3\}$ .

Vậy có 12 giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài.

Chọn C.

Câu 119:

Biết rằng tồn tại các số thực a, b, c sao cho hàm số $f (x) = x^{6} + a x^{4} + b x^{2} + 3 x + c$ đạt cực trị tại điểm $x = 2$ . Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f (x)$ tại điểm có hoành độ x=-2 là

A. 0

B. -3

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Ta có: $f^{'} (x) = 6 x^{5} + 4 a x^{3} + 2 b x + 3$ .

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x = 2$ nên $f^{'} (2) = 0 \Rightarrow {6.2}^{5} + 4. a {.2}^{3} + 4 b + 3 = 0$ .

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x=-2 là

$f^{'} (- 2) = 0 \Rightarrow - {6.2}^{5} - 4. a {.2}^{3} - 4 b + 3 = 3 - ({6.2}^{5} + 4. a {.2}^{3} + 4 b) = 6$ .

Chọn D.

Câu 120:

Biết rằng tồn tại các số thực a, b , c sao cho hàm số $f (x) = a . \sin^{2} x - b . \cos 3 x + x + c$ đạt cực trị tại điểm $x = - \frac{π}{6}$ . Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f (x)$ tại điểm có hoành độ $x = \frac{π}{6}$ là

A. 0

B. -1

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $f^{'} (x) = a . \sin 2 x + 3 b . \sin 3 x + 1$ .

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x = - \frac{π}{6}$ , suy ra $f^{'} (- \frac{π}{6}) = 0 \Rightarrow - a . \sin \frac{π}{3} - 3 b . \sin \frac{π}{2} + 1 = 0$ .

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f (x)$ tại điểm có hoành độ $x = \frac{π}{6}$ là

$f^{'} (\frac{π}{6}) = a . \sin \frac{π}{3} + 3 b . \sin \frac{π}{2} + 1 = 2$ .

Chọn C.

Câu 121:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y = x^{8} + (m - 4) x^{5} - (m^{2} - 16) x^{4} + 1

đạt cực tiểu tại điểm x=0?

A. 8

B. vô số

C. 7

D. 9

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = 8 x^{7} + 5 (m - 4) x^{4} - 4 (m^{2} - 16) x^{3}$ $= x^{3} [8 x^{4} + 5 (m - 4) x - 4 (m^{2} - 16)] = x^{3} . g (x)$

· Với $g (x) = 8 x^{4} + 5 (m - 4) x - 4 (m^{2} - 16)$ . Ta xét các trường hợp sau:

- Nếu $m^{2} - 16 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 4$ .

+ Khi $m = 4$ ta có $y^{'} = 8 x^{7} \Rightarrow x = 0$ là điểm cực tiểu.

+ Khi $m = - 4$ ta có $y^{'} = x^{4} (8 x^{3} - 40) \Rightarrow x = 0$ không là điểm cực tiểu.

- Nếu $m^{2} - 16 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 4 \Rightarrow g (0) \neq 0$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$

Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm $x = 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \lim_{x \to 0^{-}} g (x) > 0 \\ \lim_{x \to 0^{+}} g (x) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} g (x) > 0$

$\Leftrightarrow - 4 (m^{2} - 16) > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 16 < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 4 \Rightarrow m \in \{- 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3\}$ .

Tổng hợp các trường hợp ta có: $m \in \{- 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4\}$ .

Vậy có tám giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.

Chọn A.

Câu 122:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{8} + (m - 2) x^{5} - (m^{2} - 4) x^{4} + 1$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ ?

A. 3

B. 5

C. 4

D. Vô số

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = 8 x^{7} + 5 (m - 2) x^{4} - 4 (m^{2} - 4) x^{3} = x^{3} . h (x)$ với $h (x) = 8 x^{4} + 5 (m - 2) x - 4 (m^{2} - 4)$ .

Ta xét các trường hợp sau:

· Nếu $m^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2$ .

- Khi $m = 2$ thì $y^{'} = 8 x^{7} \Rightarrow x = 0$ là điểm cực tiểu nên $m = 2$ thỏa mãn.

- Khi $m = - 2$ thì $y^{'} = x^{4} (8 x^{3} - 20) \Rightarrow x = 0$ không là điểm cực tiểu.

· Nếu $m^{2} - 4 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 2 \Rightarrow h (0) \neq 0$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0 khi và chỉ khi giá trị đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x=0.

Do đó $\{\begin{cases} \lim_{x \to 0^{-}} h (x) > 0 \\ \lim_{x \to 0^{+}} h (x) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} h (x) > 0$

$\Rightarrow - 4 (m^{2} - 4) > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \Rightarrow m \in \{- 1; 0; 1\}$ .

Tổng hợp các trường hợp ta có $m \in \{- 1; 0; 1; 2\}$ .

Vậy có bốn giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.

Chọn C.