25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Số phức cơ bản, nâng cao có lời giải (P3)

Câu 1:

Cho các số phức w,z thỏa mãn $|w + i| = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ và 5w=(2+i)(z-4).

Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z - 1 - 2 i| + |z - 5 - 2 i|$ bằng

A. $6 \sqrt{7}$

B. $4 + 2 \sqrt{13}$

C. $2 \sqrt{53}$

D. $4 \sqrt{13}$

Xem đáp án

Đáp án C

HD: Ta có

Tập hợp điểm M(z) là đường tròn tâm I(3;-2), R=3.

Gọi A(1;2), B(5;2) và E(3;2) là trung điểm của AB suy ra P=MA+MB

Lại có

P lớn nhất ME lớn nhất.

Mà

Vậy

Câu 2:

Cho số phức z=2+4i. Tính hiệu phần thực và phần ảo của z.

A. 2

B. $2 \sqrt{5}$

C. -2

D. 6

Xem đáp án

Đáp án C.

z=2+4i có phần thực a=2 và phần ảo a=4 nên a-b= 2-4 = -2

Câu 3:

Cho biết có hai số phức z thỏa mãn $z^{2} = 119 - 120 i$ , kí hiệu là $z_{1}$ và $z_{2}$ .

Tính ${|z_{1} - z_{2}|}^{2}$ .

A. 169

B. 114244

C. 338

D. 676

Xem đáp án

Đáp án D.

Giải hệ ta tìm được

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 12 v à y = 5 \\ x = 12 v à y = - 5 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} z_{1} = - 12 + 5 i \\ z_{2} = 12 - 5 i \end{cases} \Rightarrow z_{1} - z_{2} = - 24 + 10 i \Rightarrow |z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(- 24)}^{2} + 10^{2}} = 26 \Rightarrow {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 26^{2} = 676$

Câu 4:

Cho w là số phức thay đổi thỏa mãn $|w| = 2$ .

Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn số phức z=3w+1-2i chạy trên đường nào?

A. Đường tròn tâm I(1;-2), bán kính R=6

B. Đường tròn tâm I(-1;2), bán kính R=2

C. Đường tròn tâm I(1;-2), bán kính R=2

D. Đường tròn tâm I(-1;2), bán kính R=6

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

Xét:

Câu 5:

Cho ba số phức $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ thỏa mãn

$\{\begin{cases} |z_{1}| = |z_{2}| = |z_{3}| = 1 \\ z_{1}^{2} = z_{2} . z_{3} \\ |z_{1} - z_{2}| = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \end{cases}$

Tính giá trị của biểu thức $M = |z_{2} - z_{3}| - |z_{3} - z_{1}|$ .

A. $- \sqrt{6} - \sqrt{2} - \sqrt{3}$

B. $- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3}$

C. $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 2}{2}$

D. $\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2} + 2}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Cách 1: Đại số

Từ (1) .

Thế vào (2) ta được: (3)

Từ (1) và (3): .

Cách 2: Hình học

Ta có:

(1)

Gọi $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ là 3 điểm biểu diễn $z_{1}, z_{2}, z_{3}$

Dễ dàng có:

(2)

Từ (1) và (2):

Cách 3: Chuẩn hóa chọn $z_{1} = 1$ .

Câu 6:

Cho số phức z= 3+i. Tính $|\bar{z}|$ .

A. $|\bar{z}| = 2 \sqrt{2}$

B. $|\bar{z}| = 2$

C. $|\bar{z}| = 4$

D. $|\bar{z}| = \sqrt{10}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 7:

Điểm M trong hình vẽ dưới đây biểu thị cho số phức

A. 3-2i

B. -2+3i

C. 2-3i

D. 3+2i

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào hình vẽ ta thấy M biểu thị cho số phức -2+3i

Câu 8:

Cho $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $2 z^{2} + 1 = 0$ (trong đó số phức $z_{1}$ có phần ảo âm). Tính $z_{1} + 3 z_{2}$ .

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Đáp án A

Hai nghiệm của phương trình (do $z_{1}$ có phần ảo âm).

Vậy

Câu 9:

Có bao nhiêu số phức thỏa mãn $z + {|z|}^{2} . i - 1 - \frac{3}{4} i = 0$

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Đáp án A

Đăt

Thay vào biểu thức của bài toán ta có:

Vậy chỉ có đúng một số phức thỏa mãn bài toán

Câu 10:

Cho số phức z=1+i. Biết rằng tồn tại các số phức $z_{1} = a + 5 i, z_{2} = b$

(trong đó $a, b \in ℝ, b > 1$ ) thỏa mãn $\sqrt{3} |z - z_{1}| = \sqrt{3} |z - z_{2}| = |z_{1} - z_{2}|$ .

Tính b-a.

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt lần lượt là các điểm biểu thị cho các số phức $z, z_{1}, z_{2}$

Vậy

Từ giả thiết cho ta tam giác MNP cân tại M có

(nhân chéo vế với vế của hai phương trình).

Tìm được Thay vào (1) thì thấy chỉ có thỏa mãn. Lúc này do

Do

Vậy

Câu 11:

Phần ảo của số phức $\frac{1}{1 + i}$ là

A. $\frac{1}{2}$

B. $- \frac{1}{2}$

C. $- \frac{1}{2} i$

D. $- 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{1 - i^{2}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

Câu 12:

Cho phức z thỏa mãn $z - |z| = - 2 - 4 i$ . Môđun của z là

A. 3

B. 25

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi z = a + bi (a,b

$z - |z| = - 2 - 4 i \Leftrightarrow a + b i - \sqrt{a^{2} + b^{2}} = - 2 - 4 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} a - \sqrt{a^{2} + b^{2}} = - 2 \\ b = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = - 4 \end{cases}$

$\Rightarrow |z| = \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}} = 5$

Câu 13:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: $|z - 10 + 2 i| = |z + 2 - 14 i|$ và $|z - 1 - 10 i| = 5$ ?

A. Vô số

B. Một

C. Không

D. Hai

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi M(x;y) biểu diễn cho z, ta có hệ

Để ý đường thẳng tiếp xúc với đường tròn , nên chỉ có một số phức.

Câu 14:

Cho số phức z thỏa điều kiện $|z + 2| = |z + 2 i|$ .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z - 1 - 2 i| + |z - 3 - 4 i| + |z - 5 - 6 i|$ được viết dưới dạng $\frac{(a + b \sqrt{17})}{\sqrt{2}}$ với a, b là các hữu tỉ.

Giá trị của a + b là

A. 4

B. 2

C. 7

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Cách 1

· Đặt biểu diễn cho số phức z.

· Từ giả thiết, ta có M thuộc đường trung trực của đoạn EF và P=AM+BM+CM

· Ta chứng minh điểm M chính là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng $∆$ .

- Với M’ tùy ý thuộc $∆$ , M’ khác M. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua $∆$ . Nhận thấy rằng ba điểm A’, M, C thẳng hàng.

- Ta có

Mà

Lại có Do đó

Cách 2

· Gọi Từ giả thiết , dẫn đến y=x .

Khi đó z=x+xi.

·

· Sử dụng bất đẳng thức

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

· Mặt khác

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= $\frac{7}{2}$

· Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của P là .

Khi đó a+b=3.

Câu 15:

Gọi $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ là bốn nghiệm phân biệt của phương trình $z^{4} + 3 z^{2} + 4 = 0$ trên tập số phức.

Tính giá trị của biểu thức $T = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} + {|z_{3}|}^{2} + {|z_{4}|}^{2}$

A. T=8

B. T=6

C. T=4

D, T=2

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt

Câu 16:

Cho số phức $z = {(1 + i)}^{2} (1 + 2 i)$ .Số phức z có phần ảo là

A. 2

B. 4

C. -2

D. 2i

Xem đáp án

Đáp án A

z có phần ảo là 2.

Câu 17:

Cho các số phức z, w thỏa mãn $|z - 5 + 3 i| = 3, |i w + 4 + 2 i| = 2$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = |3 i z + 2 w|$

A. $\sqrt{554} + 5$

B. $\sqrt{578} + 13$

C. $\sqrt{578} + 5$

D. $\sqrt{554} + 13$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi A và B lần lượt là điểm biểu diễn của 3iz và -2w

A, B lần lượt thuộc các đường tròn tâm O(9;15) bán kính bằng 9 và đường tròn tâm I(4;-8) bán kính bằng 4

OI= $\sqrt{554}$

Khi đó

Yêu cầu bài toán trở thành tìm $A B_{m a x}$

Câu 18:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1| = 5$ . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w xác định bởi $w = (2 + 3 i) . \bar{z} + 3 + 4 i$ là một đường tròn bán kính R. Tính R

A. R= $5 \sqrt{17}$

B. R= $5 \sqrt{10}$

C. R= $5 \sqrt{5}$

D. R= $5 \sqrt{13}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm (5;7) bán kính $5 \sqrt{13}$

Câu 19:

Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A, B như hình vẽ bên. Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức

A. -1+2i

B. $- \frac{1}{2} + 2 i$

C. 2-i

D. $2 - \frac{1}{2} i$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

+ Số phức được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trên mặt phẳng xOy.

+ Tọa độ trung điểm I của AB là:

Cách giải:

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Câu 20:

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là các nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 8 z + 25 = 0$ .

Giá trị của $|z_{1} - z_{2}|$ bằng

A. 6

B. 5

C. 8

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

+) Giải phương trình bậc hai ẩn z trên tập số phức.

+) Cho số phức

Cách giải:

Ta có:

Câu 21:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện $z^{2} = {|z|}^{2} + \bar{z}$ ?

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Gọi z=x+yi thay vào giải thiết và so sánh hai số phức

Cách giải:

Do đó có 3 số phức z thỏa mãn bài toán.

Câu 22:

Giả sử $z_{1}, z_{2}$ là hai trong số các số phức z thỏa mãn $|i z + \sqrt{2} - i| = 1$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Giá trị lớn nhất của bằng

A. 3

B. $2 \sqrt{3}$

C. $3 \sqrt{2}$

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

+) Từ giả thiết , tìm ra đường biểu diễn (C) của các số phức z.

+) Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của

vị trí của AB đối với đường tròn (C).

+) Sử dụng công thức trung tuyến tính $O A^{2} + O B^{2}$

+) Sử dụng BĐT Bunhiascopsky tìm GTLN của OA+OB

Cách giải:

Ta có:

với

M(x;y) biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I( $1; \sqrt{2}$ )bán kính R=1.

Lại có:

Mặt khác theo công thức trung tuyến ta có:

Theo BĐT Bunhiascopsky ta có:

Câu 23:

Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biễu diễn của số phức $z = (1 + i) (2 - i)$ ?

A. P

B. M

C. N

D. Q

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

số phức z biểu diễn Q(3;1)

Câu 24:

Cho số phức z, biết rằng các điểm biễu diễn hình học của các số phức z, iz và z+iz tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18. Modun của số phức bằng

A. $2 \sqrt{3}$

B. $3 \sqrt{2}$

C. 6

D. 9

Xem đáp án

Đáp án C