25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Số phức cơ bản, nâng cao có lời giải (P5)

Câu 1:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 2 + 3 i| + |z - 2 + i| = 4 \sqrt{5}$ .

Tính GTLN của $P = |z - 4 + 4 i|$

A. maxP= $4 \sqrt{5}$

B. maxP= $7 \sqrt{5}$

C. maxP= $5 \sqrt{5}$

D. maxP= $6 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án A

Cho số phức ,S(x;y) là điểm biểu diễn của z trên hệ trục tọa độ Oxy

Lấy các điểm A(2;-3),B(-2;-1)

Phương trình

Tập hợp các điểm S là đường elip (E) có tiêu điểm A(2;-3),B(-2;-1) và có độ dài trục lớn là

Lấy M(4;-4).

Dễ dàng kiểm tra được

Suy ra, M là một đỉnh và nằm trên trục lớn của elip (E).

Gọi I là trung điểm AB

I(0;-2) ,N là điểm đối xứng của M qua I.

Khi đó, với mọi điểm

khi và chỉ khi S trùng N

khi và chỉ khi S $\equiv$ N(-4;0)

z=-4

Câu 2:

Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức $z = \frac{(2 - 3 i) (4 - i)}{3 + 2 i}$

A. (-1;-4)

B. (1;4)

C. (1;-4)

D. (-1;4)

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có

Câu 3:

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $2 z^{2} - 3 z + 4 = 0$ .

Tính $w = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}} + i z_{1} z_{2}$ .

A. w= $- \frac{3}{4}$ +2i

B. w= $\frac{3}{4}$ +2i

C. w=2+ $\frac{3}{2}$ i

D. w= $\frac{3}{2}$ +2i

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có

Câu 4:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $z + 1 + 3 i - |z| i = 0$ .

Tính S=a+3b.

A. S= $\frac{7}{3}$

B. S=-5

C. S=5

D. S= $- \frac{7}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt ta có:

Câu 5:

Cho số phức $z_{1} = 2 + 3 i, z_{2} = - 4 - 5 i$ . Tính $z = z_{1} + z_{2}$ .

A. z=2-2i

B. z=-2-2i

C. z=2+2i

D. z=-2+2i

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Cách giải:

Câu 6:

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^{2} - z + 1 = 0$ là $z = a + b i, a, b \in ℝ$ . Tính $a + \sqrt{3} b$

A. 2

B. 1

C. -2

D. -1

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp :

Tìm nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình bằng MTCT.

Cách giải:

Sử dụng MTCT ta tính được nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình trên là

Câu 7:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = 2, |z_{2}| = \sqrt{3}$ .

Gọi M, N là các điểm biểu diễn cho $z_{1}$ và $i z_{2}$ .

Biết $\hat{M O N} = 30 °$ . Tính $S = |z_{1}^{2} + 4 z_{2}^{2}|$ ?

A. $\sqrt{5}$

B. $4 \sqrt{7}$

C. $3 \sqrt{3}$

D. $5 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp: Tìm các điểm biểu diễn và đưa về bài toán hình học.

Cách giải :

M, N là các điểm biểu diễn cho $z_{1}, z_{3}$

Gọi P là điểm biểu diễn cho $2 z_{3}$ và Q là điểm biểu diễn cho $- 2 z_{3}$

Ta có N là trung điểm của OP và P, Q đối xứng nhau qua O

Khi đó S=MP.MQ

Áp dụng định lí Cosin trong $∆ O M P$ có:

Câu 8:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1} + 1 - i| = 2$ và $z_{2} = i z_{1}$ .

Tìm giá trị lớn nhất m của biểu thức $|z_{1} - z_{2}|$ .

A. m=2

B. m= $2 \sqrt{2}$ +2

C. m= $2 \sqrt{2}$

D. m= $\sqrt{2}$ +1

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp : Đặt

tìm GTLN của

Cách giải : Đặt

Ta có :

Câu 9:

Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức z. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Phần thực là 3 và phần ảo là -4.

B. Phần thực là -4 và phần ảo là 3i.

C. Phần thực là -4 và phần ảo là 3.

D. Phần thực là 3 và phần ảo là -4i.

Xem đáp án

Đáp án A.

Phương pháp : Số phức z=a+bi có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M(a;b) trong đó a là phần thực và b là phần ảo.

Cách giải: M(3;-4)

$\Rightarrow$ Số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là -4.

Câu 10:

Kí hiệu $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} + z + 1 = 0$

Giá trị của biểu thức P= $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{1} z_{2}$ bằng:

A. P=2

B. P=-1

C. P=0

D. P=1

Xem đáp án

Đáp án C.

Phương pháp: Sử dụng định lí Vi-et.

Cách giải: $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} + z + 1 = 0$ nên theo định lí Vi-et ta có:

Câu 11:

Xét số phức z thỏa mãn $(1 + 2 i) |z| = \frac{\sqrt{10}}{z} - 2 + i$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\frac{3}{2} < |z| < 2$

B. $|z| > 2$

C. $|z| < \frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{2} < |z| < \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Phương pháp: Chuyển vế, lấy mođun hai vế.

Cách giải:

Câu 12:

Xét các số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $|z + y i| = |\bar{z} + 4 - 3 i|$ và $|z + 1 - i| + |z - 2 + 3 i|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị P=a+2b là:

A. P= $- \frac{61}{10}$

B. P= $- \frac{252}{50}$

C. P= $- \frac{41}{5}$

D. P= $- \frac{18}{5}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Phương pháp:

Từ tìm ra quỹ tích điểm M(x;y) biểu diễn cho số phức z=x+yi

Gọi điểm M(x;y) là điểm biểu diễn cho số phức z và A(-1;1) ;B(2;-3) ta có:

nhỏ nhất

Cách giải: Gọi z=x+ui ta có:

Gọi điểm M(x;y) là điểm biểu diễn cho số phức z và A(-1;1) ;B(2;-3) ta có:

nhỏ nhất.

Ta có:

Dấu bằng xảy ra

M thuộc trung trực của AB.

Gọi I là trung điểm của AB ta có

Phương trình đường trung trực của AB là

Để

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

Câu 13:

Tìm phần thực của số phức $z_{1}^{2} + z_{2}^{2}$ biết rằng $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 4 z + 5 = 0$

A. 4

B. 6

C. 8

D. 5

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp giải: Áp dụng định lí Vi-et của phương trình bậc hai.

Lời giải: Ta có

Câu 14:

Cho số phức $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ . Tìm số phức $w = 1 + z + z^{2}$

A. $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

B. 0

C. 1

D. 2- $\sqrt{3}$ i

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp giải: Bấm máy hoặc khai triển bằng tay tìm số phức w

Lời giải:

Câu 15:

Cho số phức 2-3i. Môđun của số phức w=(1+i)z bằng

A. $|w| = \sqrt{26}$

B. $|w| = \sqrt{37}$

C. $|w| = 5$

D. $|w| = 4$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

Câu 16:

Biết phương trình $z^{2} + a z + b = 0 (a, b \in ℝ)$ có một nghiệm là z=-2+i. Tính a+b

A. 9

B. 1

C. 4

D. -1

Xem đáp án

Đáp án A

Suy ra được nghiệm còn lại là

Câu 17:

Với hai số phức $z_{1}$ và $z_{2}$ thỏa mãn $z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ , tìm giá trị lớn nhất $P = |z_{1}| + |z_{2}|$ .

A. P= $4 \sqrt{6}$

B. P= $2 \sqrt{26}$

C. P=5+ $3 \sqrt{5}$

D. P=34+ $3 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Bổ đề. Cho hai số phức $z_{1}$ và $z_{2}$ , ta luôn có

(*)

Chứng minh. Sử dụng công thức và .

Khi đó

Áp dụng (*), ta được

Theo bất đằng thức Bunhiacopxki, ta được

Câu 18:

Số phức liên hợp $\bar{z}$ của số phức z=2-3i là

A. $\bar{z}$ =3-2i

B. $\bar{z}$ =2+3i

C. $\bar{z}$ =3+2i

D. $\bar{z}$ =-2+3i

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp: Số phức liên hợp $\bar{z}$ của số phức z=a+bi,a,b $\in$ R là $\bar{z}$ =a-bi

Cách giải: Số phức liên hợp $\bar{z}$ của số phức z=2-3i là $\bar{z}$ =2+3i

Câu 19:

Gọi $z_{1}$ và $z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} + 2 z + 10 = 0$ .

Giá trị của biểu thức $T = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}$ bằng

A. T= $\sqrt{10}$

B. T=10

C. T=20

D. T=2 $\sqrt{10}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp: Giải phương trình phức bậc hai, suy ra các nghiệm và tính tổng bình phương môđun của các nghiệm đó.

Sử dụng công thức:

Cách giải:

Câu 20:

Xét các số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $|z - 3 - 3 i| = 6$ .

Tính P=3a+b khi biểu thức $2 |z + 6 - 3 i| + 3 |z + 1 + 5 i|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. P= $\sqrt{20}$

B. P=2+ $\sqrt{20}$

C. P= $- \sqrt{20}$

D. P= $- 2 - \sqrt{20}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Cách giải:

Khi đó ta có:

Câu 21:

Số phức z=-4+3i được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ

A. M(4;-3)

B. M(-4;3)

C. M(3;-4)

D. M(4;3)

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Điểm biểu diễn của số phức là M(a;b)

Cách giải:

Số phức z=-4+3i được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ M(-4;3)

Câu 22:

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $3 z^{2} - z + 4 = 0$ . Khi đó P= $\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}}$ bằng

A. $- \frac{23}{12}$

B. $\frac{23}{12}$

C. $- \frac{23}{24}$

D. $\frac{23}{24}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Áp dụng định lí Vi –et, xác định tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Cách giải:

Xét phương trình $3 z^{2} - z + 4 = 0$ . Áp dụng định lý Vi-ét:

Câu 23:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - 1 - i| + |z + 1 + 3 i| = 6 \sqrt{5}$ .

Giá trị lớn nhất của $|z - 2 - 3 i|$ là

A. $4 \sqrt{5}$

B. $2 \sqrt{5}$

C. $6 \sqrt{5}$

D. $5 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

- Biểu diễn số phức và giải bài toán tìm GTLN trên mặt phẳng tọa độ.

Cách giải: Gọi I(1;1), J(-1;-3), A(2;3).

Xét số phức , có điểm biểu diễn là M(x;y)

M di chuyển trên đường elip có tiêu điểm I và J, độ dài trục lớn là $3 \sqrt{5}$

Tìm giá trị lớn nhất của tức là tìm độ dài lớn nhất của đoạn AM khi M di chuyển trên elip.

Ta có:

điểm A nằm trên trục lớn của elip.

AM đạt độ dài lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với B, là đỉnh của elip nằm trên trục lớn và khác phía A so với điểm I.

Gọi S là trung điểm của IJ

S(0;-1)

Độ dài đoạn AB=SA+SB

Vậy

Câu 24:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $(1 + i) z + (2 - i) \bar{z} = 13 + 2 i$ ?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

+) Đặt

, thay vào phương trình.

+) So sánh hai số phức

Cách giải: Đặt

, khi đó ta có:

Câu 25:

Trong các số phức z thỏa mãn $|z^{2} + 1| = 2 |z|$ , gọi $z_{1}$ và $z_{2}$ lần lượt là các số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất.

Khi đó môđun lớn nhất của số phức $w = z_{1} + z_{2}$ là:

A. $|w| = 2 \sqrt{2}$

B. $|w| = 2$

C. $|w| = \sqrt{2}$

D. $|w| = 1 + \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp : Sử dụng công thức

Cách giải :

Ta có

Dấu = xảy ra