25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Số phức cơ bản, nâng cao có lời giải (P4)

Câu 1:

Cho số phức thỏa mãn $|z - 2 i| \leq |z - 4 i|$ và $|z - 3 - 3 i| = 1$

Giá trị lớn nhất của $P = |z - 2|$ là

A. $\sqrt{13} + 1$

B. $\sqrt{10} + 1$

C. $\sqrt{13}$

D. $\sqrt{10}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp: Gọi là số phức cần tìm. Sử dụng giả thiết để đưa ra một hệ điều kiện đẳng thức, bất đẳng thức cho a,b. Sử dụng điều kiện trên để đánh giá và tìm giá trị lớn nhất của P.

Lời giải chi tiết.

Giả sử số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng Khi đó ta có

Từ giả thiết ta suy ra

Do đó

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Chú ý. Đối với bài toán liên quan tới cực trị học sinh thường mắc phải sai lầm là quên tìm giá trị để cực trị xảy ra. Điều này có thể dẫn tới việc tìm sai giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Câu 2:

Trong tập các số phức, cho phương trình $z^{2} - 6 z + m = 1, m \in ℝ$ (1). Gọi $m_{0}$ là một giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1} \bar{z_{1}} = z_{2} \bar{z_{2}}$ Hỏi trong khoảng (0;20) có bao nhiêu giá trị m ?

A. 13

B. 11

C. 12

D. 10

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp

Biện luận để tìm trực tiếp nghiệm $z_{1}, z_{2}$ . Sử dụng giả thiết để tìm ra giá trị $m_{0}$

Lời giải chi tiết.

Viết lại phương trình đã cho thành

Nếu $m_{0} = 9 \Rightarrow z = 3$ Hay phương trình chỉ có một nghiệm. (Loại)

Nếu $m_{0} < 9$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực

Nếu $m_{0} > 9$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức liên hợp là

Khi đó

Do đó $m_{0} > 9$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do bài toán đòi hỏi $m_{0} \in (0; 20)$ nên

Vậy có 10 giá trị thỏa mãn.

Câu 3:

Gọi số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $|z - 1| = 1$ và $(1 + i) (\bar{z} - 1)$ có phần thực bằng 1 đồng thời z không là số thực. Khi đó a.b bằng

A. ab=-2

B. ab=2

C. ab=1

D. ab=-1

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp

Gọi số phức đã cho có dạng . Sử dụng giả thiết để đưa ra một hệ cho a, b giải trực tiếp hệ này để tìm a, b

Lời giải chi tiết.

Ta có:

Do z không là số thực nên ta phải có $b \neq 0$ (2)

Ta lại có

Từ (1), (2), (3) ta có hệ

Câu 4:

Cho số phức z thỏa mãn z(2-i)+13i=1. Tính mô đun của số phức z.

A. $|z| = 34$

B. $|z| = \sqrt{34}$

C. $|z| = \frac{\sqrt{34}}{3}$

D. $|z| = \frac{5 \sqrt{34}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp

Từ giả thiết ta biến đổi để tìm được công thức của z. Dùng định nghĩa để tìm $|z|$

Lời giải chi tiết.

Ta có:

Do đó

Câu 5:

Cho số phức z thỏa mãn $\frac{1 + i}{z}$ là số thực và $|z - 2| = m$ với $m \in ℝ$

Gọi $m_{0}$ là một giá trị của m để có đúng một số phức thỏa mãn bài toán.

Khi đó

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp.Sử dụng giả thiết để tìm được

Thay vào và sử dụng yêu cầu bài toán để biện luận và tìm giá trị của $m_{0}$

Lời giải chi tiết.
Giả sử . Khi đó ta có

Thay vào Ta nhận được

Để có đúng một nghiệm phức thỏa mãn bài toán thì phương trình (1) phải có duy nhất một nghiệm a.

Khi đó phương trình (1) phải thỏa mãn

Kết hợp với điều kiện ta suy ra giá trị cần tìm là

Sai lầm.Một bộ phận nhỏ học sinh vẫn có thể quên đưa ra điều kiện nên hai nghiệm là

Câu 6:

Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức ${(z - \bar{z})}^{2}$ với $z = a + b i (a, b \in ℝ, b \neq 0)$

Chọn kết luận đúng

A. M thuộc tia Ox.

B. M thuộc tia Oy

C. M thuộc tia đối của tia Ox.

D. M thuộc tia đối của tia Oy.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp.

Tính trực tiếp

Lời giải chi tiết.

Ta có

Do

Do đó M có phần thực âm, phần ảo bằng 0, nên thuộc tia đối của tia Ox.

Câu 7:

Trong tập các số phức, gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2} - z + \frac{2017}{4} = 0$ với $z_{2}$ có thành phần ảo dương. Cho số phức z thỏa mãn $|z - z_{1}| = 1$ . Giá trị nhỏ nhất của $P = |z - z_{2}|$ là

A. $\sqrt{2016} - 1$

B. $\frac{\sqrt{2017} - 1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{2016} - 1}{2}$

D. $\sqrt{2017} - 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp.

Giả sử Giả phương trình ban đầu để tìm được nghiệm $z_{1}, z_{2}$ Sử dụng giả thiết để đánh giá cho cho b. Đưa về một hàm cho b và sử dụng ước lượng cho b ở phần trước để tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Lời giải chi tiết.

Tính toán ta tìm được hai nghiệm

Giả sử . Từ ta suy ra

Áp dụng (1) ta nhận được

Do đó giá trị nhỏ nhất của là $\sqrt{2016} - 1$

Đạt được khi và chỉ khi

Câu 8:

Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi $m \in S$ có đúng một số phức thỏa mãn $|z - m| = 6$ và $\frac{z}{z - 4}$ là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S.

A. 10

B. 0

C. 16

D. 8

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp.

Gọi . Sử dụng giả thiết để tìm a, bsuy ra giá trị của z. Sử dụng kết quả này để tìm giá trị của m và kết luận.

Lời giải chi tiết.

Giả sử Khi đó ta có

Để là số thuần ảo thì ta phải có

$a (a - 4) + b^{2} = 0 \Leftrightarrow a^{2} - 4 a + b^{2} = 0 (1)$

Từ (1) suy ra thay vào (2) ta nhận được

Nếu m=2 thì (3) vô nghiệm

Nếu m $\neq$ 2 thì từ (3) suy ra

Vì nên để có duy nhất một số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho thì b=0

Ta nhận được a=0 hoặc a=4

với a=4 thì z=a+bi=4. Loại vì là số thuần ảo

vậy a=b=0 $\Rightarrow$ z=0. Khi đó

Tổng các phần tử của S là 6+(-6)=0

Câu 9:

Tìm số phức z thỏa mãn $|z - 2| = |z|$ và $(z + 1) (\bar{z} - i)$ là số thực

A. z=1+2i

B. z=-1-2i

C. z=2-i

D. z=1-2i

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp.

Gọi . Sử dụng giả thiết để tìm a, bsuy ra giá trị của z.

Lời giải chi tiết.

Giả sử .Khi đó ta có

Vậy z=a+bi=1-2i

Sai lầm.Một số học sinh có thể nhớ nhầm $i^{2} = - 1$ thành $i^{2} = 1$ do đó quá trình tính toán kết quả sẽ bị sai.

Câu 10:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 + 3 i$ và $z_{2} = - 3 - 5 i$ .

Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức $w = z_{1} + z_{2}$ .

A. 3

B. 0

C. -1-2i

D. -3

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

Câu 11:

Cho số phức z thỏa mãn $z + 4 \bar{z} = 7 + i (z - 7)$ . Khi đó, môđun của z bằng bao nhiêu

A. $|z| = 5$

B. $|z| = \sqrt{3}$

C. $|z| = \sqrt{5}$

D. $|z| = 3$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt

Ta có

Câu 12:

Cho số phức z thỏa mãn $(1 + 3 i) z - 5 = 7 i$ .

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. $|z| = \frac{37}{5}$

B. $|z| = \sqrt{\frac{37}{5}}$

C. $|z| = \frac{\sqrt{5}}{37}$

D. $|z| = \frac{\sqrt{37}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án D

$\Rightarrow |z| = |\bar{z}| = \sqrt{{(\frac{13}{5})}^{2} + {(\frac{4}{5})}^{2}} = \frac{\sqrt{37}}{5}$

Câu 13:

Cho số phức z và w thỏa mãn z+w=3+4i và $|z - w| = 9$ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = |z| + |w|$ .

A. maxT= $\sqrt{176}$

B. maxT=14

C. maxT=4

D. maxT= $\sqrt{106}$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt theo giả thiết ta có:

Tổng quát: Với 2 số thực $z_{1}, z_{2}$ thõa mãn

Khi đó

Câu 14:

Cho số phức z=2-3i. Số phức liên hợp của z là:

A. $\bar{z} = - 2 - 3 i$

B. $\bar{z} = - 2 + 3 i$

C. $\bar{z} = 2 + 3 i$

D. $\bar{z} = 2 - 3 i$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp: Số phức z=a+bi có số phức liên hợp $\bar{z} = a - b i$

Cách giải: Số phức liên hợp của z=2-3i là $\bar{z} = 2 + 3 i$

Câu 15:

Cho số phức $z = 1 - \frac{1}{3} i$ . Tìm số phức $w = \bar{i z} + 3 z$ được

A. w= $\frac{8}{3}$

B. w= $\frac{10}{3}$

C. w= $\frac{8}{3}$ +i

D. w= $\frac{10}{3}$ +i

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp: Sử dụng công thức cộng, nhân các số phức.

Cách giải:

$w = i \bar{z} + 3 z = i (1 + \frac{1}{3} i) + 3 (1 - \frac{1}{3} i) = i - \frac{1}{3} + 3 - i = \frac{8}{3}$

Câu 16:

Cho số phức z thỏa mãn ${(1 + 2 i)}^{2} z + \bar{z} = 4 i - 20$ . Mô đun của z là:

A. $|z|$ =3

B. $|z|$ =4

C. $|z|$ =5

D. $|z|$ =6

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp: Đặt tính toán và rút gọn, so sánh hai số phức.

Cách giải:Gọi ta có:

Câu 17:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - 1| = \sqrt{2}$ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = |z + i| + |z - 2 - i|$

A. maxT= $8 \sqrt{2}$

B. maxT=8

C. maxT= $4 \sqrt{2}$

D. maxT=4

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp: Đưa biểu thức T về dạng biểu thức vector bằng cách tìm các vecto biểu diễn cho các số phức.

Cách giải:

Tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện là đường tròn (C) tâm I(1;0) bán kính R= $\sqrt{2}$

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z, A(0;-1) là điểm biểu diễn cho số phức -i, B(2;1) là điểm biểu diễn cho số phức 2+i

Dễ thấy A,B $\in$ C và

AB là đường kính của đường tròn (C)

vuông tại M

Đặt

Xét hàm số trên ta có:

Vậy maxT=4

Câu 18:

Cho số phức z có biểu diễn hình học là điểm M ở hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. z=-3+2i

B. z=3+2i

C. z=-3-2i

D. z=3-2i

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp: Số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trên mặt phẳng phức.

Cách giải: Ta có: M(3;-2) $\Rightarrow$ z=3-2i

Câu 19:

Cho số phức z=1+i. Số phức nghịch đảo của z là

A. $\frac{1 - i}{\sqrt{2}}$

B. 1-i

C. $\frac{1 - i}{2}$

D. $\frac{- 1 + i}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp giải:

Câu 20:

Cho i là đơn vị ảo. Gọi S là tập hợp các số nguyên dương n có 2 chữ số thỏa mãn $i^{n}$ là số nguyên dương. Số phần tử của S là

A. 22

B. 23

C. 45

D. 46

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp giải:

Để $i^{n}$ là số nguyên dương thì n là số nguyên dương chia hết cho 4

Lời giải:

Xét n=2k khi đó là số nguyên dương khi k chẵn.

Kết hợp với suy ra và là số chẵn.

Với mỗi bộ số có 2 số k thỏa mãn, có 3 số k thỏa mãn.

Vậy có tất cả 2.5+3.4=22 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 21:

Cho số phức z=-3+4i. Môđun của z là

A. 4

B. 7

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp giải: Số phức z=a+bi có môđun là

Lời giải: Ta có

Câu 22:

Cho số phức z=(1+2i)(5-i), z có phần thực là

A. 5

B. 7

C. 3

D. 9

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp: Số phức có phần thực là a, phần ảo là b.

Cách giải:

z có phần thực là 7.

Câu 23:

Số phức z thỏa mãn $|z| = \sqrt{5}$ và số phức $w = (1 + i) \bar{z}$ Tìm $|w|$

A. $\sqrt{10}$

B. $\sqrt{2} + \sqrt{5}$

C. 5

D. $2 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp: Cho $z_{1}, z_{2}$ là hai số phức bất kì, khi đó

Cách giải: Ta có:

Câu 24:

Trong các số phức: ${(1 + i)}^{2}, {(1 + i)}^{8}, {(1 + i)}^{3}, {(1 + i)}^{5}$ số phức nào là số thực?

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng

Cách giải:

Như vậy, chỉ có số phức là số thực

Câu 25:

Xét số phức z thỏa mãn $(1 + 2 i) |z| = \frac{\sqrt{10}}{z} - 2 + i$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\frac{3}{2} < |z| < 2$

B. $|z| > 2$

C. $|z| < \frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{2} < |z| < \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Chuyển vế, lấy mođun hai vế.

Cách giải: