Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Mặt cầu - Khối cầu có đáp án
-
962 lượt thi
-
82 câu hỏi
-
45 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Chọn A
Từ công thức tính diện tích của mặt cầu ta suy ra đáp án.
Câu 2:
Câu 3:
Chọn A.
Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có thể kẻ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu.
Câu 4:
Chọn C.
Đáy của hình hộp đứng không nội tiếp trong một đường tròn khi đáy của nó là hình bình hành (không phải các trường hợp đặc biệt như hình chữ nhật hay hình vuông) và khi đó hình hộp đứng không có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu 5:
Câu 8:
Chọn B.
Câu 9:
Chọn A.
Khối cầu có bán kính R. Khi đó khối cầu có bán kính
Từ giả thiết ta có
Do đó, thể tích khối cầu làCâu 10:
Câu 11:
Giả sử hình hộp chữ nhật là ABCD.A'B'C'D'. Dễ thấy điểm O là trung điểm của AC’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là R = OACâu 12:
Từ giả thiết ta có
Chứng minh tương tự ta cũng có
Do
Từ (1), (2) và (3) suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là mặt cầu đường kính SC nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm I của đoạn thẳng SC.
Câu 13:
Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là
Vì S.ABCD là hình chóp đều nên
Ta có
Vậy nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là (đvtt)
Câu 14:
Chứng minh tương tự như ví dụ 2 ta được kết quả
=> Ba đỉnh A, B, D đều nhìn cạnh SC dưới một góc vuông.
=> Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm SC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là
Ta có ABCD là hình vuông cạnh a
Xét tam giác SAC vuông tại A có
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD làCâu 15:
Ta có ABC, BCD đều cạnh bằng 2 nên cân tại C.
Gọi I là trung điểm
Lại có
Ta có
Từ (1) và (2) ta có ACB vuông cân tại
DIB vuông tại
Xét ADB có vuông tại B.
Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có đường kính là AD nên bán kính là
Câu 16:
Ta có
Suy ra hai điểm A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông. Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm SC, bán kính mặt cầu là
Ta có
Vậy R = 3a
Câu 17:
Trong tam giác vuông ABC có
Vì và hình chiếu của B lên mặt phẳng (ABC) là B nên góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AB' và AB, và bằng góc (vì tam giác AB'B vuông tại B). Do đó
Trong tam giác vuông AB'B có
Trong tam giác vuông AA'C có
Ta có và nên suy ra hay Mà suy ra hai điểm A, B cùng nhìn A'C dưới một góc vuông.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bằngCâu 18:
Gọi I là giao điểm của AM và SO.
Dễ thấy I là trọng tâm tam giác SAC và I, E, F thẳng hàng.
Lại có
Xét tam giác vuông SAD có là đường cao tam giác
Chứng minh tương tự ta có
Tam giác nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao tam giác
Ta có nên mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, E, M, F có tâm là trung điểm SA và bán kính bằng
Câu 19:
Gọi H là tâm của tam giác ABC, SH là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC, mặt phẳng trung trực của SA qua E là trung điểm của SA và cắt SH tại I. Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Xét trong tam giác SAH ta có
Xét hai tam giác đồng dạng SEI và SHA
Ta có
Suy ra thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằngCâu 20:
Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ => O1O2 là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.
Gọi I là trung điểm của
Suy ra trung điểm I của O1O2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Bán kính
Do đó diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a là
Câu 21:
Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, SA
Ta có tam giác ABC vuông tại A suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Qua M kẻ đường thẳng d sao cho là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực của đoạn SA, cắt d tại I
=> I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Dễ thấy tứ giác HAMI là hình chữ nhật.
Ta có
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
Câu 22:
Chọn C
Gọi O là tâm của hình vuông
Vậy SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
Trong (SAC) gọi (d) là trung trực của SA và I là giao điểm của (d) với SO
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bán kính mặt cầu làCâu 23:
Chọn A
Trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là SO. Mặt phẳng trung trực của SB cắt SO tại I, cắt SB tại K thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Gọi H là trung điểm BC thì
Xét tam giác vuông SHO, ta có
Từ đó suy ra
Ta có
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Câu 24:
Chọn B
Ta có Gọi
Mà S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên Nên SO là trục của hai đáy (ABCD) và (MNPQ).
Trong mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực d của đoạn thẳng AM cắt SA, SO tại H, I.
Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNPQ và bán kính là IA.
Ta có
Lại có
Mặt khác
Bán kính mặt cầu cần tìm làCâu 25:
Chọn A
Gọi I là giao điểm của AC và BC, qua I dựng đương thẳng d song song với
Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD, qua M kẻ đường thẳng d' vuông góc với mp(SAD), d' cắt d tại O => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính bằng
Với (r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB).
Lại có, SAD cân tại A, cạnh AD = a, đường cao suy ra tam giác SAD đều (R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD).
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng
Câu 26:
Chọn B
+) Gọi K, P lần lượt là trung điểm của AC và AB.
ACN vuông tại N => K là tâm đường tròn ngoại tiếp ACN.
ABM vuông tại M => P là tâm đường tròn ngoại tiếp ABM.
+) Hai mặt phẳng (SAB), (ABC) vuông góc và cắt nhau theo giao tuyến AB nên gọi d1 là trục của đường tròn ngoại tiếp ABM thì d1 qua và Tương tự, gọi d2 là trục của đường tròn ngoại tiếp ACN thì d2 qua và
+) Rõ ràng, trong mặt phẳng (ABC) thì d1d2 lần lượt là đường trung trực của các cạch AB, AC nên hai đường này cắt nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, bán kính R của mặt cầu này cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC.
+) Áp dụng định lí sin cho ABC ta được
Vây diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là
Câu 27:
Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng 1 là
Chọn D
Khối cầu nội tiếp hình lập phương có tâm trùng với tâm của hình lập phương và tiếp xúc với các mặt của hình lập phương tại tâm của các hình vuông là các mặt của hình lập phương.
Suy ra bán kính
Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương làCâu 28:
Chọn C.
Hình lập phương có thể tích bằng 64a3, suy ra cạnh hình lập phương là 4a.
Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính bằng cạnh hình lập phương
VậyCâu 29:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = 8, BC = 6. Biết SA = 6 và SA vuông góc với mp(ABC). Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC.
Chọn C
Gọi I và r lần lượt là tâm và bán kính của hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC.
Khi đó
Vậy
Câu 30:
Chọn B
Gọi H là hình chiếu của D trên mặt phẳng (P). Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có chu vi bằng 8cm.
Suy ra bán kính đường tròn
Suy ra cạnh của tam giác ABC bằng
Suy ra không đổi
Do đó thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất khi lớn nhất <=> D và O nằm cùng phía SO với mặt phẳng (P) và D, O, H thẳng hàng
Khi đóCâu 31:
Chọn C
Để có tứ diện ABCD thì AB và CD không đồng phẳng.
Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính của các mặt cầu và
Gọi K là trung điểm của CD và h là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Ta
Thể tích khối tứ diện ABCD là
Xét ICK vuông tại K có
Khi đó
Dấu “=” xảy raCâu 32:
Chọn C
Gọi M là trung điểm BC suy ra
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, vì tam giác ABC đều cạnh a nên suy ra
Mặt khác H trực tâm tam giác SBC nên tam giác BMH và tam giác SMC là hai tam giác đồng dạng nên
Do đó hay nên tam giác MHG và tam giác MAS đồng dạng suy ra
Vì H thuộc (SAM) cố định khi S thay đổi trên d và nên (C) là một phần của đường tròn đường kính GM do đó trong các mặt cầu chứa (C), mặt cầu có bán kính nhỏ nhất là mặt cầu nhận GM làm đường kính nên bán kính mặt cầu
Câu 33:
Chọn B
Gọi V0 là thể tích của viên bi.
Gọi R là bán kính của cái ly (không tính vỏ).
Theo bài ra ta có thể tích của cột nước dâng lên 1cm bằng thể tích viên bi nên ta có
Suy ra thể tích V của khối nước ban đầu trong ly
Câu 34:
Cho ba hình cầu tiếp xúc ngoài với nhau từng đôi một và cùng tiếp xúc với một mặt phẳng. Các tiếp điểm của các hình cầu trên mặt phẳng lập thành tam giác có các cạnh là 4, 2 và 3. Tích bán kính của ba hình cầu trên là
Chọn B
Gọi lần lượt là 3 hình cầu thỏa mãn. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của O1; O2; O3 trên mặt phẳng. Giả sử AB = 4, BC = 2, AC = 3
Ta có
Kẻ
Theo định lý Py-ta-go ta có
Tương tự ta có
VậyCâu 35:
Cho quả địa cầu có độ dài đường kinh tuyến 30° Đông là 40cm (tham khảo hình vẽ). Độ dài đường xích đạo là:
Chọn C
Đường xích đạo là đường vĩ tuyến lớn nhất. Độ dài đường xích đạo gấp hai lần đường kinh tuyến 30° Đông.
Vậy độ dài đường xích đạo là:Câu 36:
Chọn D
Vì thiết diện qua tâm là đường tròn có chu vi là 68,5cm, nên giả sử bán kính mặt cầu là R ta có
Diện tích mặt cầu:
Vì mỗi miếng da có diện tích 49,83cm2 nên để phủ kín được mặt của quả bóng thì số miếng da cần là Vậy phải cần 30 miếng da.
Câu 37:
Chọn D
Câu 38:
Chọn B
Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh là 2a
Câu 39:
Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ). Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị m2.
Chọn A
Gọi x là bán kính hình cầu.
Ta có
Thể tích của bể nước là
Diện tích xung quanh của bể nước là
Câu 42:
Chọn D
Câu 43:
Chọn A
Câu 44:
Chọn A
Câu 45:
Chọn A
Câu 46:
Chọn B
Câu 47:
Chọn B
Câu 48:
Chọn A
Câu 49:
Chọn D
Câu 50:
Chọn D
Câu 51:
Chọn C
Câu 52:
Chọn B
Câu 53:
Chọn A
Câu 54:
Chọn A
Câu 55:
Chọn A
Câu 56:
Chọn D
Câu 57:
Chọn A
Câu 58:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại gọi E là trung điểm của AD. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CDE theo a là
Chọn C
Câu 59:
Chọn B
Câu 60:
Cho hình chóp S.ABC có các tam giác ABC, SAB là các tam giác đều cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
Chọn D
Câu 61:
Chọn D
Câu 62:
Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có chiều cao là h và bán kính mặt cầu nội tiếp là r (h > 2r > 0). Giá trị của V là
Chọn C
Câu 63:
Chọn D
Câu 64:
Chọn A
Câu 65:
Chọn D
Câu 66:
Cho hình chóp đa giác đều có các cạnh bên bằng a và tạo với mặt đáy một góc 30°. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là
Chọn A
Câu 67:
Cho hình chóp SABC có SA = 3, AB = 1, AC = 2 và Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt cầu tâm O và qua A cắt các tia SB, SC lần lượt tại D và. Khi độ dài đoạn BC thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ADE là
Chọn A
Câu 68:
Chọn B
Câu 69:
Chọn C
Câu 70:
Chọn C
Câu 71:
Chọn D
Câu 72:
Chọn A
Câu 73:
Chọn B
Câu 74:
Chọn C
Câu 75:
Chọn D
Câu 76:
Chọn C
Câu 77:
Chọn B
Câu 78:
Chọn D
Câu 79:
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Đáy ABC nội tiếp trong đường tròn có đường kính AC = 4a. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC nội tiếp hình trụ T. Thể tích khối trụ T bằng
Chọn D
Câu 80:
Chọn A
Câu 81:
Chọn D
Câu 82:
Chọn B