40 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 255 Bài trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản nâng cao cực hay có lời giải (P4)

Câu 1:

Có bao nhiêu cặp số tự nhiên x, y $(x \leq 10; y \leq 10)$ thỏa mãn $1 + \log_{2} \frac{x}{y} = 2^{y} - 4^{x}$

A. 5

B. 10

C. 25

D. 100

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 2:

Đặt: $F = a^{\log_{b} c}$ . Đẳng thức nào dưới đây đúng với $\forall a, b, c \in (\frac{1}{10}; \frac{1}{9})$

A. $F = b^{\log_{b} c}$

B. $F = c^{\log_{b} a}$

C. $F = b^{\log_{c} a}$

D. $F = c^{\log_{a} b}$

Xem đáp án

Câu 3:

Cho $y = \log_{2} (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ . Tính y' .

Xem đáp án

Đáp án D

$y = \log_{2} (\sqrt{x^{2} + 1} + x) y' = \frac{(\sqrt{x^{2} + 1} + x)'}{(\sqrt{x^{2} + 1} + x) \ln 2} = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}{(\sqrt{x^{2} + 1} + x) \ln 2} = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} (\sqrt{x^{2} + 1} + x) \ln 2} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} . \ln 2}$

Câu 4:

Tìm tập giá trị G của hàm số $y = \log_{9} (2 x - 3 x^{2})$

Xem đáp án

Đáp án B

$Đ K : 2 x - 3 x^{2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{2}{3} y' = \frac{2 - 6 x}{(2 x - 3 x^{2}) . \ln 9} y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} (T M) T a c ó f (\frac{1}{3}) = \frac{- 1}{2} \lim_{x \to 0} \log_{9} (2 x - 3 x^{2}) = \lim_{x \to \frac{2}{3}} \log_{9} (2 x - 3 x^{2}) = - \infty \Rightarrow T G T G = (- \infty; \frac{1}{2}]$

Câu 5:

Tìm điều kiện của m để phương trình: $3 . 4^{x} - (9 m + 1) . 2^{x} + 3 m \leq 0$ có nghiệm.

A. $\forall m \in ℝ$

B. $0 < m \leq \frac{1}{3}$

C. $m \leq \frac{1}{3}$

D. $m > 0$

Xem đáp án

Đáp án A

$Đ ặ t t = 2^{x} (t > 0) B P T t r ở t h à n h 3 t^{2} - (9 m + 1) t + 3 m \leq 0 \Leftrightarrow 3 t^{2} - 9 m t - t + 3 m \leq 0 \Leftrightarrow (3 t - 1) (t - 3 m) \leq 0 T a t h ấ y B P T l u ô n c ó n g h i ệ m T M Đ K k h i t \geq \frac{1}{3} h o ặ c t \leq \frac{1}{3} \Rightarrow B P T l u ô n c ó n g h ệ m v ớ i m ọ i m \in ℝ$

Câu 6:

Cho $F = \log_{a} \frac{1}{x^{4}} . \log_{\frac{1}{b^{2}}}$ $c . \log_{\frac{1}{a}} b . \log_{c} \frac{1}{a^{3}}$ Đẳng thức nào dưới đây với $\forall a, b, c, d, x$ thỏa mãn: 0<a<b<c<d<x<1

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 7:

Cho $f (x) = \frac{1}{1 + 2017^{x}}$

Tính tổng $S$ =f(-1999)+f(-1998)+...+f(0)+f(1)+f(2)+...+f(1999)

A. 2000

B. 1999

C. $\frac{3999}{2}$

D. 2017

Xem đáp án

Đáp án C

$H D : T a c h ứ n g m i n h v ớ i f (x) = \frac{1}{1 + c^{x}} k h i a + b = 0 t h ì f (a) + f (b) = 1 T a c ó : f (a) = \frac{1}{1 + c^{a}} f (b) = \frac{1}{1 + c^{b}} = \frac{1}{1 + c^{- a}} \Rightarrow f (a) + f (b) = \frac{1}{1 + c^{a}} + \frac{1}{1 + c^{- a}} = \frac{1}{1 + c^{a}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{c^{a}}} = \frac{1}{1 + c^{a}} + \frac{c^{a}}{1 + c^{a}} = \frac{1 + c^{a}}{1 + c^{a}} = 1 T h e o Đ B : f (x) = \frac{1}{1 + 2017^{x}} \Rightarrow S = f (- 1999) + f (- 1998) + . . . + f (0) + f (1) + f (2) + . . . + f (1999) = 1 + 1 + . . . + 1 + f (0) = 1 \times 1999 + \frac{1}{2} = \frac{3999}{2}$

Câu 8:

Tìm các giá trị $a, b \in ℝ$ để hệ phương trình $\{\begin{cases} |\frac{x^{y} - 1}{x^{y} + 1}| = a \\ x^{2} + y^{2} = b \end{cases}$ (x>0) có nghiệm duy nhất.

A. a=0;b=1

B. a=1,b=2

C. a=0; $0 < b \leq 1$

D. a=0;b=2

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 9:

Giải phương trình $3^{- x} = 1 - \sqrt{2}$

A. Giải phương trình vô nghiệm

B. $\log_{3} (\sqrt{2} - 1)$

C. $- \log_{3} (1 - \sqrt{2})$

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

$3^{- x} = 1 - \sqrt{2} \Leftrightarrow 3^{x} = \frac{1}{1 - \sqrt{2}} \Leftrightarrow x = \log_{3} (\frac{1}{1 - \sqrt{2}}) = - \log_{3} (1 - \sqrt{2})$

Câu 10:

Cho $f (x) = 4^{1 - x} . \ln 4$ . Tính f'(x).

Xem đáp án

Đáp án B

$f (x) = 4^{1 - x} . \ln 4 f' (x) = - \ln 4 . 4^{1 - x} = 4^{1 - x} . \ln (\frac{1}{4})$

Câu 11:

Tìm tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2 - \sqrt{3}} (x - 1) \geq 0$

A. $[2; + \infty)$

B. (1;+ $\infty$ )

C. (1;2)

D. (1;2]

Xem đáp án

Đáp án D

ĐK: x > 1

$\log_{2 - \sqrt{3}} (x - 1) \geq 0 \Leftrightarrow x - 1 \leq 1 \Leftrightarrow x \leq 2 K H Đ K : 1 < x \leq 2$

Câu 12:

Tìm tập nghiệm của bất phương trình $9^{x} - 5 . 3^{x} + 6 < 0$

Xem đáp án

Đáp án A

$9^{x} - 5 . 3^{x} + 6 < 0 \Leftrightarrow 2 < 3^{x} < 3 \Leftrightarrow \log_{3} 2 < x < 1$

Câu 13:

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $3^{x^{2} - x} = 4^{x}$

Xem đáp án

Đáp án C

$3^{x^{2} - x} = 4^{x} \Leftrightarrow x = \log_{4} (3^{x^{2} - x}) \Leftrightarrow x = (x^{2} - x) \log_{4} 3 \Leftrightarrow x [1 - (x - 1) \log_{4} 3] = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ (x - 1) \log_{4} 3 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = \frac{1}{\log_{4} 3} + 1 = \log_{3} 4 + 1 \end{cases}$

Câu 14:

Cho $f (x) = \ln \frac{x}{x + 1}$ xét $x \in (0; + \infty)$ . Tính f'(x)

Xem đáp án

Đáp án B

$f (x) = \ln (\frac{x}{x + 1}) f' (x) = (\frac{x}{x + 1})' . \frac{1}{\frac{x}{x + 1}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} . \frac{x + 1}{x} = \frac{1}{x (x + 1)}$

Câu 15:

Với $\forall a > 0, b > 0$ . Chọn phép biến đổi đúng dưới đây

Xem đáp án

Đáp án D

$\log_{6} (a^{2} . \sqrt{b}) = \log_{6} a^{2} + \log_{6} \sqrt{b} = 2 \log_{6} a + \frac{1}{2} \log_{6} b = 2 (\log_{6} a + \frac{1}{4} \log_{6} b) = 2 (\log_{6} a + \log_{6} \sqrt[4]{b}) = 2 \log_{6} (a . \sqrt[4]{b})$

Câu 16:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \log_{2} (\log_{\frac{1}{2}} x)$

A. $(0; + \infty)$

B. $(1; + \infty)$

C. (0;1)

D. $(\frac{1}{2}; 1)$

Xem đáp án

Đáp án C

$Đ K : \{\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} x > 0 \\ x > 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x < 1 \\ x > 0 \end{array} \Leftrightarrow 0 < x < 1$

Câu 17:

Tìm điều kiện của m để phương trình $2^{\sin^{2} x} + 3^{\cos^{2} x} = m . 3^{\sin^{2} x}$ có nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án D

$2^{\sin^{2} x} + 3^{\cos^{2} x} = m . 3^{\sin^{2} x} (*) Đặt \sin^{2} x = t (0 \leq t \leq 1) \Rightarrow 2^{t} + 3^{1 - t} = m . 3^{t} \Leftrightarrow {(\frac{2}{3})}^{t} + 3^{1 - 2 t} = m Đặt f (t) = {(\frac{2}{3})}^{t} + 3^{1 - 2 t} f' (t) = {(\frac{2}{3})}^{t} \ln (\frac{2}{3}) - 2 . 3^{1 - 2 t} \ln 3 < 0 với \forall t \in [0; 1] \Rightarrow Hàm f (t) NB trên đoạn [0; 1] Ta có f (0) = 4 và f (1) = 1 KL : PT (*) có nghiệm khi 1 \leq m \leq 4$

Câu 18:

Tập nghiệm S của phương trình $\log_{1 - 3 x} (1 - 2 x) = - 1$ là:

A. $\{\frac{5}{6}\}$

B. $\{0\}$

C. $\{0; \frac{5}{6}\}$

D. $\emptyset$

Xem đáp án

Đáp án D

$Đ K : \{\begin{array}{l} 1 - 3 x \neq 1 \\ 1 - 2 x > 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ x < \frac{1}{2} \end{cases} \log_{1 - 3 x} (1 - 2 x) = - 1 \Leftrightarrow 1 - 2 x = {(1 - 3 x)}^{- 1} \Leftrightarrow (1 - 2 x) (1 - 3 x) = 1 \Leftrightarrow 6 x^{2} - 5 x = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 (L) \\ x = \frac{5}{6} (L) \end{cases}$

Câu 19:

Giải bất phương trình ${(\frac{1}{5})}^{x^{2} - 4 x} > 1$

A. x>4

B. x<0

C. 0<x<4

D. $\forall x \in ℝ$

Xem đáp án

Đáp án C

${(\frac{1}{5})}^{x^{2} - 4 x} > 1 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 4$

Câu 20:

Cho $f (x) = \log_{3} (1 - 3 x)$ . Tính f '(x) .

Xem đáp án

Đáp án A

$f' (x) = \frac{(1 - 3 x)'}{(1 - 3 x) \ln 3} = \frac{- 3}{(1 - 3 x) \ln 3} = \frac{3}{(3 x - 1) \ln 3}$

Câu 21:

Tìm tập xác định D của $f (x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1)}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

$Đ K : \log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1) \geq 0 \Leftrightarrow 0 < 5 x - 1 \leq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{5} < x \leq \frac{2}{5}$

Câu 22:

Xét bất đẳng thức $(4 x + 1) (\frac{1}{2^{x + 1}} + \frac{1}{8^{x}})$ $\leq \frac{x + 1}{2^{x}} + \frac{3 x}{2^{3 x - 1}}$ (1)

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 23:

Phương trình $\log_{3} {(5 - 2 x)}^{2} = 2 x$ tương đương với phương trình nào dưới đây?

A. $5 - 2 x = 3^{x}$

B. $5 - 2 x = x^{3}$

C. $|5 - 2 x| = {(\sqrt{3})}^{2}$

D. $|2 x - 5| = 3^{x}$

Xem đáp án

Đáp án D

$\log_{3} {(5 - 2 x)}^{2} = 2 x \Leftrightarrow {(5 - 2 x)}^{2} = 3^{2 x} \Leftrightarrow |5 - 2 x| = 3^{x} \Leftrightarrow |2 x - 5| = 3^{x}$

Câu 24:

Giải phương trình $3^{1 - 2 x} = 2$

Xem đáp án

Đáp án A

$3^{1 - 2 x} = 2 \Leftrightarrow 1 - 2 x = \log_{3} 2 \Leftrightarrow x = \frac{1 - \log_{3} 2}{2}$

Câu 25:

Giải bất phương trình $\log_{0, 5} (4 x - 3) \geq - 1$

A. $x > \frac{3}{4}$

B. $x \geq \frac{5}{4}$

C. $\frac{3}{4} < x \leq 1$

D. $\frac{3}{4} < x \leq \frac{5}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

$Đ K : 4 x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{4} \log_{0, 5} (4 x - 3) \geq - 1 \Leftrightarrow 4 x - 3 \leq 2 \Leftrightarrow x \leq \frac{5}{4} K H Đ K : \frac{3}{4} < x \leq \frac{5}{4}$

Câu 26:

Tìm điều kiện của m để phương trình $9^{x} - (m - 3) 3^{x} - 3 m = 0$ có nghiệm.

A. $\forall m \in ℝ$

B. $\forall m \neq 3$

C. $m \leq 3$

D. m>0

Xem đáp án

$9^{x} - (m - 3) . 3^{x} - 3 m = 0 \Leftrightarrow (3^{x} - m) (3^{x} + 3) = 0 (1)$

Vậy PT có nghiệm khi phương trình $3^{x} = m$ có nghiệm

$\Rightarrow m > 0$

Câu 27:

Cho $f (x) = \log_{5} (\cos x)$ . Xét $x \in (0; \frac{π}{2})$ . Tính f'(x)

Xem đáp án

Đáp án C

$f (x) = \log_{5} (\cos x) \Rightarrow f' (x) = \frac{- \sin x}{\cos x . \ln 5} = \frac{- \tan x}{\ln 5}$

Câu 28:

Giải bất phương trình $4^{x} . {(\sqrt{2})}^{x - 1}$ $\leq 1$ . Gọi tập nghiệm là S. Ta có:

A. $(- \infty; \frac{1}{5}]$

B. $(1; + \infty)$

C. $[0; 1]$

D. $[0; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

$4^{x} . {(\sqrt{2})}^{x - 1} \leq 1 \Leftrightarrow 2^{2 x} \leq \frac{1}{2^{\frac{1}{2} (x - 1)}} \Leftrightarrow 2^{2 x} \leq 2^{\frac{- 1}{2} (x - 1)} \Leftrightarrow 2 x \leq \frac{- 1}{2} (x - 1) \Leftrightarrow 4 x \leq 1 - x \Leftrightarrow x \leq \frac{1}{5}$

Câu 29:

Tìm GTNN (min) của $T = 9^{x} . 3^{x^{2} - 2 x}$

A. 9

B. 3

C. 1

D. $\frac{1}{27}$

Xem đáp án

Câu 30:

Cho $f (x) = \log_{\frac{1}{4}} (2 x - 1)$ . Chọn khẳng định đúng.

A. f(x) nghịch biến trên R

B. f(x) đồng biến trên $(1; + \infty)$

C. f(x) đồng biến trên $(\frac{1}{2}; 1)$

D. f(x) nghịch biến trên $(\frac{1}{2}; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

$Đ k : x > \frac{1}{2} f' (x) = \frac{2}{(2 x - 1) \ln (\frac{1}{4})} < 0 v ớ i \forall x > \frac{1}{2} \Rightarrow f (x) n g h ị c h b i ế n t r ê n (\frac{1}{2}; + \infty)$

Câu 31:

Có bao nhiêu khẳng định đúng

${(2 - \sqrt{3})}^{x} > 0 \forall x \in ℝ (1) {(2 - \sqrt{3})}^{x} \geq 1 \forall x \geq 0 (2) {(2 - \sqrt{3})}^{x} > 2 - \sqrt{3} \forall x < 1 (3) {(2 - \sqrt{3})}^{x} < 4 \Leftrightarrow x > 2 (4) {(2 - \sqrt{3})}^{x} > 2 + \sqrt{3} \Leftrightarrow x < - 1 (5)$

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

$N X : h à m y = {(2 - \sqrt{3})}^{x} l à h à m n g h ị c h b i ế n t r ê n ℝ T a t h ấ y k h ẳ n g đ ị n h (1), (3), (4) đ ú n g (5) đ ú n g v ì : {(2 - \sqrt{3})}^{x} > 2 + \sqrt{3} = {(2 - \sqrt{3})}^{- 1} \Leftrightarrow x < - 1 (2) s a i v ì {(2 - \sqrt{3})}^{x} \geq 1 \Leftrightarrow x \leq 0$

Câu 32:

Đẳng thức nào dưới đây đúng với $\forall a > 0, b > 0$ ?

Xem đáp án

Đáp án A

$\log_{4} (\frac{\sqrt{a}}{b^{2}}) = \log_{4} \sqrt{a} - \log_{4} b^{2} = \frac{1}{2} \log_{4} a - 2 \log_{4} b = \frac{1}{2} \log_{4} a - \frac{1}{2} . 4 \log_{4} b = \log_{4^{2}} a - 4 \log_{4^{2}} b = \log_{16} a - 4 \log_{16} b$

Câu 33:

Tổng các nghiệm của phương trình $3^{x^{2} - 6 x} = {(\frac{1}{27})}^{3}$ là:

A. 0

B. 6

C. 3

D. $\log_{3} (\frac{1}{6})$

Xem đáp án

Đáp án B

$3^{x^{2} - 6 x} = {(\frac{1}{27})}^{3} \Leftrightarrow 3^{x^{2} - 6 x} = 3^{- 3} \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{6} \Rightarrow Tổng các nghiệm của PT là 6$

Câu 34:

Đẳng thức nào dưới đây đúng với $\forall x \in ℝ$ ?

A. $2^{x^{3}} = 8^{x}$

B. $2^{x^{3}} = \frac{2^{x^{4}}}{2^{x}}$

C. $2^{x^{3}} = {(2^{x})}^{3}$

D. $2^{x^{3}} = 8^{x} . {(2^{x})}^{x^{2} - 3}$

Xem đáp án

Đáp án D

$A v à C s a i v ì 2^{x^{3}} \neq {(2^{x})}^{3} = 8^{x} B s a i v ì \frac{2^{x^{4}}}{2^{x}} = 2^{x^{4} - x} \neq 2^{x^{3}} D đ ú n g v ì 8^{x} . {(2^{x})}^{x^{2} - 3} = 2^{3 x} . 2^{x^{3} - 3 x} = 2^{3 x + x^{3} - 3 x} = 2^{x^{3}}$

Câu 35:

Tìm điều kiện của m để phương trình $\log_{6} (\cos x) = m$ có nghiệm

A. $\forall m$

B. $m \leq 0$

C. $\frac{1}{6} < m \leq 0$

D. $\frac{1}{6} < m \leq 1$

Xem đáp án

Đáp án B

$\log_{6} (\cos x) = m . Đ K : \cos x > 0 \Leftrightarrow \cos x = 6^{m} P T c ó n g h i ệ m \Leftrightarrow 0 < 6^{m} \leq 1 \Leftrightarrow m \leq 0$

Câu 36:

Giải bất phương trình $\log_{7} x . \log_{\frac{4}{5}} x > 0$ . Gọi tập nghiệm là S. Khi đó:

A. Rỗng

B. $(0; 1)$

C. $(1, + \infty)$

D. $(1; + \infty) / \{1\}$

Xem đáp án

Câu 37:

Tìm GTLN (max) của hàm số $y = \log_{3} (4 + 2 x - x^{2})$

A. $\log_{3} 4$

B. $\log_{3} 5$

C. $\sqrt[3]{5}$

D. $1 + \sqrt{3}$

Xem đáp án

Câu 38:

Cho hàm số $y = {(2 - \sqrt{3})}^{x^{2} - 1}$ . Hãy chọn khẳng định đúng

Xem đáp án

Đáp án D

$y = {(2 - \sqrt{3})}^{x^{2} - 1} T X Đ : D = ℝ y' = 2 x . {(2 - \sqrt{3})}^{x^{2} - 1} . \ln (2 - \sqrt{3}) y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 D ễ t h ấ y 2 . {(2 - \sqrt{3})}^{x^{2} - 1} . \ln (2 - \sqrt{3}) < 0 v ớ i m ọ i x \Rightarrow y' > 0 k h i x < 0 v à y' < 0 k h i x > 0 \Rightarrow y ↑ / (- \infty; 0) v à y ↓ / (0; + \infty)$

Câu 39:

Phương trình nào dưới đây có nghiệm?

Xem đáp án

$X é t đ á p á n A : 2^{x^{2}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x^{2} = \log_{2} (\frac{1}{3}) = - \log_{2} 3 T a t h ấ y - \log_{2} 3 < 0 n ê n P T x^{2} = - \log_{2} 3 V N X é t đ á p á n B : \log_{4} (3 x + 1) = 2 - \sqrt{3} . Đ K : x > \frac{- 1}{3} \Leftrightarrow 3 x + 1 = 4^{2 - \sqrt{3}} \Leftrightarrow x = \frac{4^{2 - \sqrt{3}} - 1}{3} (T M Đ K) X é t đ á p á n C : \log_{3} (4 + |x|) = 0, 7 \Leftrightarrow 4 + |x| = 3^{0, 7} \Leftrightarrow |x| = 3^{0, 7} - 4 (*) V ì 3^{0, 7} - 4 < 0 n ê n (*) V N X é t đ á p á n D : 5^{x} = \log_{5} (1 - x^{2}) . Đ K : 1 - x^{2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1 T a d ễ t h ấ y P T V N$

Câu 40:

Đặt $a = \log_{2} 3, b = \log_{5} 6$ . Tính $\log_{15} 6$ theo a, b

Xem đáp án

Đáp án A

$\log_{15} 6 = \frac{\log_{2} 6}{\log_{2} 15} = \frac{1 + \log_{2} 3}{\log_{2} 3 + \log_{2} 5} (*) Ta có b = \log_{5} 6 \Leftrightarrow b = \log_{5} 3 + \log_{5} 2 \Leftrightarrow b = \frac{\log_{2} 3}{\log_{2} 5} + \log_{5} 2 \Leftrightarrow b = \frac{a}{\log_{2} 5} + \frac{1}{\log_{2} 5} = \frac{a + 1}{\log_{2} 5} \Rightarrow \log_{2} 5 = \frac{a + 1}{b} thay vào (*) \Rightarrow \log_{15} 6 = \frac{1 + a}{a + \frac{a + 1}{b}} = \frac{b (1 + a)}{ab + a + 1} = \frac{b (1 + a)}{a (b + 1) + 1}$