40 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 255 Bài trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản nâng cao cực hay có lời giải (P3)

Câu 1:

Đặt $a = 2^{x}, b = 3^{y}$ Hãy biểu diễn $M = 2^{x^{3}} . 3^{\frac{1}{y^{2}}}$ qua a, b, x, y.

Đáp án D

Câu 2:

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm $\{\begin{cases} \log_{3} x^{2} + \log_{3} y^{4} = 2 m \\ \log_{3} x^{2} . \log_{3} y^{4} = m^{2} - 1 \end{cases}$

A. $- 1 \leq m \leq 1$

B. $m \geq 1$

C. $m \leq - 1$

D. $\forall m \in ℝ$

Xem đáp án

Đáp án D

$N g h i ệ m c ủ a h ệ t h ỏ a m ã n p h ư ơ n g t r ì n h T^{2} - 2 m T + m^{2} - 1 = 0 (*) H ệ c ó n g h i ệ m k h i P T (*) c ó n g h i ệ m \Leftrightarrow ∆' \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - m^{2} + 1 \geq 0 \Leftrightarrow 1 \geq 0 (l u ô n đ ú n g)$

KL: Hệ có nghiệm với mọi m

Câu 3:

Chọn mệnh đề đúng:

Xem đáp án

Đáp án B

Xét đáp án A

$3^{2 x^{2} + 1} \geq 9^{x \sqrt{3}} \Leftrightarrow 2 x^{2} + 1 \geq 2 x \sqrt{3} \Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 x \sqrt{3} + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} h o ặ c x \geq \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} (k h ô n g p h ả i v ớ i \forall x \in ℝ)$

Xét đáp án C:

$4^{x^{2} + 2017 x} = {(\sqrt{2})}^{m} \Leftrightarrow 2 (x^{2} + 2017 x) = \frac{m}{2} \Leftrightarrow 4 x^{2} + 8068 x - m = 0 (1) P T (1) c ó n g h i ệ m \Leftrightarrow ∆' \geq 0 \Leftrightarrow 4034^{2} + 4 m \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{- 4034^{2}}{4}$

Xét đáp án D

$T h e o B Đ T C a u c h y : \frac{a + b}{2} \geq a b v ớ i \forall a, b > 0 \Leftrightarrow \log_{2} (\frac{a + b}{2}) \geq \log_{2} (a b) = \log_{2} a + \log_{2} b \Rightarrow D s a i$

Câu 4:

Cho $y = \log_{2} (\frac{m - 3}{x - m})$ Tìm m để $y ↑ / (0; 1)$

A. $m < 3$

B. $2 \neq m < 3$

C. $1 \leq m < 3$

D. $m \leq 0$ và $1 \leq m < 3$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 5:

Cho $a > 0, b > 0$ tìm GTNN (MinF) của $F = a^{2} b^{2} (\frac{1}{a^{4}} + \frac{1}{b^{4}}) + \frac{24 a b}{a^{2} + b^{2} - a b}$

A. 19

B. 26

C. 21

D. 19

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 6:

Tìm điều kiện của m để phương trình $\log_{3} (x - x^{2}) = m$ có nghiệm

A. $m \geq 0$

B. $m \geq \log_{3} 4$

C. $m \leq \log_{\frac{1}{4}} 3$

D. $m \leq \log_{\frac{1}{3}} 4$

Xem đáp án

Đáp án D

$Đ K : x - x^{2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1 \log_{3} (x - x^{2}) = m \Leftrightarrow x - x^{2} - 3^{m} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - x + 3^{m} = 0 P T c ó n g h i ệ m \Leftrightarrow ∆ \geq 0 \Leftrightarrow 1 - 4 . 3^{m} \geq 0 \Leftrightarrow 3^{m} \leq \frac{1}{4} \Leftrightarrow m \leq \log_{3} (\frac{1}{4}) = \log_{\frac{1}{3}} 4$

Câu 7:

Đặt $t = 2^{\log_{3} x}$ thì:

A. $x = 2^{\log_{3} t}$

B. $x = 3^{\log_{t} 2}$

C. $x = 3^{\log_{2} t}$

D. $x = 2^{\log_{t} 3}$

Xem đáp án

Đáp án C

$t = 2^{\log_{3} x} \Leftrightarrow \log_{3} x = \log_{2} t \Leftrightarrow x = 3^{\log_{2} t}$

Câu 8:

Tìm các giá trị $x \in ℝ$ thỏa mãn hệ $\{\begin{cases} 5 y^{2} + \log_{3} x = \frac{10}{3} \\ 5 y^{2} . \log_{3} x = 1 \end{cases}$

A. x=27

B. $x = \sqrt[3]{3}$

C. $x = \sqrt[3]{3}$ hoặc x=27

D. $x = \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

$N g h i ệ m c ủ a h ệ t h ỏ a m ã n P T : T^{2} - \frac{10}{3} T + 1 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} T = 3 \\ T = \frac{1}{3} \end{cases} T H 1 : \{\begin{array}{l} 5 y^{2} = 3 \\ \log_{3} x = \frac{1}{3} \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y^{2} = \frac{3}{5} \\ x = \sqrt[3]{3} \end{cases} T H 2 : \{\begin{array}{l} 5 y^{2} = \frac{1}{3} \\ \log_{3} x = 3 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y^{2} = \frac{1}{15} \\ x = 27 \end{cases}$

Câu 9:

Tìm m để phương trình $e^{x^{2}} = \log_{\sqrt{2} - 1} m$ có nghiệm duy nhất

A. m=e

B. m=1

C. m= $\sqrt{2} - 1$

D. 1<m<e

Xem đáp án

Đáp án C

$e^{x^{2}} = \log_{\sqrt{2} - 1} m \Leftrightarrow x^{2} = \ln (\log_{\sqrt{2} - 1} m) P T c ó n g h i ệ m d u y n h ấ t \Leftrightarrow \ln (\log_{\sqrt{2} - 1} m) = 0 \Leftrightarrow \log_{\sqrt{2} - 1} m = 1 \Leftrightarrow m = \sqrt{2} - 1$

Câu 10:

Cho đồ thị (C): y=ln(sinx) với $x \in ℝ$ Khi đó

A. có TCN, không có TCĐ

B. có TCĐ, không có TCN

C. có cả TCN và TCĐ

D. không có TCN, không có TCĐ

Xem đáp án

Đáp án B

$Đ k : \sin x > 0 \Leftrightarrow k 2 π < x < π + k 2 π \Rightarrow Hàm số y = \ln (sinx) có TCĐ Mặt khác \lim_{x \to \infty} \ln (sinx) = \infty \Rightarrow Hàm số y = \ln (sinx) không có TCN$

Câu 11:

Phương trình ${(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{2}$ tương đương với phương trình nào dưới đây?

A. $3^{x} = \frac{1}{2}$

B. $3^{\frac{1}{x}} = 2$

C. $3^{x} = 2$

D. $\frac{1}{x} = \log_{2}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

${(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 3^{\frac{1}{x}} = 2$

Câu 12:

Cho $y = \log_{x + 1} x$ . Tính $y' (1)$ .

A. $y' (1) = \frac{1}{\ln 2}$

B. $y' (1) = 0$

C. $y' (1) = \frac{1}{2 \ln 2}$

D. $y' (1) = \frac{1}{{(\ln 2)}^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 13:

Cho hàm số y= $2^{x^{2} - 1}$ . Chọn phát biểu đúng.

Xem đáp án

Đáp án D

$T X Đ : D = ℝ y' = 2 x . 2^{x^{2} - 1} . \ln 2 y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 T a d ễ t h ấ y r ằ n g H S Đ B k h i x > 0 v à H S N B k h i x < 0$

Trong 4 đáp án ta thấy đáp án D là đúng vì khoảng (-3;0) nằm trong khoảng $(- \infty; 0)$

Câu 14:

Tìm tập giá trị G của hàm số $y = \log_{4} (x - x^{2})$ .

A. $G = (0; 1)$

B. $G = [- 1; 0)$

C. $G = (- \infty; - 1)$

D. $G = ℝ$

Xem đáp án

Đáp án C

$y = \log_{4} (x - x^{2}) . Đ K : x - x^{2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1 \Rightarrow T X Đ : D = (0; 1) y' = \frac{1 - 2 x}{(x - x^{2}) \ln 4} y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} T a c ó : \lim_{x \to 1} \log_{4} (x - x^{2}) = \lim_{x \to 0} \log_{4} (x - x^{2}) = - \infty v à f (\frac{1}{2}) = - 1 \Rightarrow T G T c ủ a h à m s ố G = (- \infty; - 1)$

Câu 15:

Phương trình ${[2^{{(x - 1)}^{2}}]}^{x + 1} . 3^{x - 1} = 1$ có bao nhiêu nghiệm thực?

A. Vô nghiệm

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

${[2^{{(x - 1)}^{2}}]}^{x + 1} . 3^{x - 1} = 1 \Leftrightarrow {[2^{{(x - 1)}^{2}}]}^{x + 1} = 3^{1 - x} \Leftrightarrow \log_{3} {[2^{{(x - 1)}^{2}}]}^{x + 1} = 1 - x \Leftrightarrow (x + 1) {(x - 1)}^{2} \log_{3} 2 + x - 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) [(x + 1) (x - 1) \log_{3} 2 + 1] = 0 \Leftrightarrow x = 1 hoặc (x + 1) (x - 1) \log_{3} 2 + 1 = 0 (*) (*) \Leftrightarrow x^{2} - 1 = \frac{- 1}{\log_{3} 2} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{- 1}{\log_{3} 2} + 1 Ta thấy \frac{- 1}{\log_{3} 2} + 1 < 0 nên (*) vô nghiệm KL : PT có nghiệm duy nhất x = 1$

Câu 16:

Tìm các giá trị $m \in ℝ$ để bất phương trình $2^{\sin^{2} x} + 3^{\cos^{2} x} \leq m . 3^{\sin^{2} x}$ nghiệm đúng .

A. $m \geq 4$

B. $m \leq 6$

C. $m \leq 1$

D. $m \geq 1$

Xem đáp án

Đáp án A

$Đ ặ t \sin^{2} x = t (t \in [0; 1]) B P T \Leftrightarrow 2^{t} + 3^{1 - t} \leq m . 3^{t} \Leftrightarrow 2^{t} + 3^{1 - t} - m . 3^{t} \leq 0 \Leftrightarrow {(\frac{2}{3})}^{t} + \frac{3}{{(3^{t})}^{2}} \leq m Đ ặ t f (t) = {(\frac{2}{3})}^{t} + \frac{3}{{(3^{t})}^{2}} = {(\frac{2}{3})}^{t} + \frac{3}{9^{t}} v ớ i 0 \leq t \leq 1 f' (t) = {(\frac{2}{3})}^{t} \ln \frac{2}{3} + 3 . {(\frac{1}{9})}^{t} . \ln (\frac{1}{9}) < 0 v ớ i \forall t T a c ó f (0) = 4; f (1) = 1 Đ ể B P T n g h ệ m đ ú n g t h ì \underset{t \in [0; 1]}{m a x f (t)} \leq m \Leftrightarrow 4 \leq m \Leftrightarrow m \geq 4$

Câu 17:

Tìm các giá trị $m \in ℝ$ để phương trình $5^{x^{2} + m x - 2} - 5^{2 x^{2} - m x - (m + 2)}$ = $x - m x - m$ có nghiệm $x \in [0; 1]$ .

A. $- 1 \leq m \leq 0$

B. $0 \leq m \leq \frac{1}{3}$

C. $m \leq - 1$ hoặc $m \geq 0$

D. $- 3 \leq m \leq - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 18:

Xét $(C) : y = \ln x - \ln (1 - x)$ . Chọn phát biểu đúng.

A. (C) có 2 TCĐ, 1 TCN

B. (C) có 2 TCĐ, 2 TCN.

C. (C) có 2 TCĐ, không có TCN.

D. (C) có 2 TCN, không có TCĐ.

Xem đáp án

Đáp án C

$y = lnx - \ln (1 - x) = \ln (\frac{x}{1 - x}) ĐK : \frac{x}{1 - x} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1 Xét : \lim_{x \to 0} \ln (\frac{x}{1 - x}) = - \infty \Rightarrow x = 0 là TCĐ \lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{1 - x}) = + \infty \Rightarrow x = 1 là TCĐ \lim_{x \to + \infty} \ln (\frac{x}{1 - x}) = + \infty và \lim_{x \to - \infty} \ln (\frac{x}{1 - x}) = - \infty \Rightarrow Hàm số không có TCN$

Câu 19:

Phương trình $2^{g_{(x)}} = {(\frac{1}{4})}^{f_{(x)}}$ tương đương với phương trình nào dưới đây?

A. $f (x) = {g_{(x)}}^{2}$

B. $g (x) = 2 f (x)$

C. $g (x) + 2 f (x) = 0$

D. $g (x) = \frac{1}{2 f (x)}$

Xem đáp án

Đáp án C

$2^{g (x)} = {(\frac{1}{4})}^{f (x)} \Leftrightarrow 2^{g (x)} = 2^{- 2 f (x)} \Leftrightarrow g (x) = - 2 f (x) \Leftrightarrow g (x) + 2 f (x) = 0$

Câu 20:

Tính tích $P = \log_{2} (\frac{1}{3}) . \log_{3} (\frac{1}{4}) . . . \log_{98} (\frac{1}{99})$

Xem đáp án

Đáp án B

Hướng dẫn: Dùng công thức: $\log_{a} b . \log_{b} c = \log_{a} c$

$P = \log_{2} (\frac{1}{3}) . \log_{3} (\frac{1}{4}) . . . \log_{98} (\frac{1}{99}) P = - \log_{2} 3 . (- \log_{3} 4) . . . (- \log_{98} 99) (c ó 97 t h ừ a s ố) \Rightarrow P = - \log_{2} 99 = \log_{2} (\frac{1}{99})$

Câu 21:

Xét phương trình $2 \log_{3} (c o t x) = \log_{2} (\cos x)$ . Đặt t= $\log_{2} (\cos x)$ . Tìm t.

A. -1

B. $\log_{2} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

C. 0

D. $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})$

Xem đáp án

Đáp án A

$2 \log_{3} (c o t x) = \log_{2} (\cos x) \Leftrightarrow \log_{3} (c o t^{2} x) = \log_{2} (\cos x) = t \Leftrightarrow c o t^{2} x = 3^{t} V ớ i t = \log_{2} (\cos x) \Leftrightarrow \cos x = 2^{t} \Leftrightarrow \cos^{2} x = {(2^{t})}^{2} \Leftrightarrow \frac{\cos^{2} x}{1 - \cos^{2} x} = \frac{{(2^{t})}^{2}}{1 - \cos^{2} x} \Leftrightarrow c o t^{2} x = \frac{{(2^{t})}^{2}}{1 - {(2^{t})}^{2}} = \frac{2^{2 t}}{1 - 2^{2 t}} \Rightarrow \frac{2^{2 t}}{1 - 2^{2 t}} = 3^{t} \Leftrightarrow 2^{2 t} = 3^{t} - 3^{t} . 2^{2 t} \Leftrightarrow 4^{t} - 3^{t} + 3^{t} . 4^{t} = 0 \Leftrightarrow 1 - {(\frac{3}{4})}^{t} + 3^{t} = 0 \Leftrightarrow 3^{t} = {(\frac{3}{4})}^{t} - 1 x é t 2 h à m s ố y = 3^{t} v à y = {(\frac{3}{4})}^{t} - 1 T a t h ấ y h à m s ố y = 3^{t} đ ồ n g b i ế n t r ê n R v à y = {(\frac{3}{4})}^{t} - 1 n g h ị c h b i ế n t r ê n R \Rightarrow P T c ó n g h i ệ m t h ì n g h i ệ m đ ó l à d u y n h ấ t T a c ó t = - 1 l à n g h i ệ m c ủ a P T \Rightarrow t = - 1 l à n g h i ệ m d u y n h ấ t$

Câu 22:

Cho bất phương trình $\sqrt{\log_{2} (x - 1)} \leq 10$ . Nghiệm bất phương trình là:

A. $x \leq 1 + 2^{10}$

B. $1 < x \leq 1 + 2^{100}$

C. $2 \leq x \leq 1 + 2^{100}$

D. $x \leq 10001$

Xem đáp án

Đáp án C

$Đ K : \log_{2} (x - 1) \geq 0 \Leftrightarrow x - 1 \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 2 \sqrt{\log_{2} (x - 1)} \leq 10 \Leftrightarrow \log_{2} (x - 1) \leq 100 \Leftrightarrow x - 1 \leq 2^{100} \Leftrightarrow x \leq 2^{100} + 1 K H Đ K t a đ ư ợ c 2 \leq x \leq 2^{100} + 1$

Câu 23:

Xác định các giá trị m $\in ℝ$ để bất phương trình $\log_{4} (x^{2} - 2 m x + 2)$ > $\log_{2} m$ đúng với mọi x $\in ℝ$ .

A. $1 < m < \sqrt{2}$

B. 0<m<1

C. -1<m<1

D. $\forall m \in ℝ$

Xem đáp án

Đáp án B

$Đ K : m > 0 \log_{4} (x^{2} - 2 m x + 2) > \log_{2} m \Leftrightarrow \frac{1}{2} \log_{2} (x^{2} - 2 m x + 2) > \log_{2} m \Leftrightarrow \log_{2} (x^{2} - 2 m x + 2) > \log_{2} m^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + 2 > m^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + 2 - m^{2} > 0 (*) Đ ể B P T c ó n g h i ệ m v ớ i m ọ i x t h ì (*) p h ả i c ó n g h i ệ m v ớ i m ọ i x \Rightarrow ∆' < 0 ∆' = m^{2} + m^{2} - 2 = 2 m^{2} - 2 \Rightarrow 2 m^{2} - 2 < 0 \Leftrightarrow 2 m^{2} - 2 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1 K ế t h ợ p Đ K : 0 < m < 1$

Câu 24:

Tìm $m \in ℝ$ để phương trình $9^{x} - (m + 1) . 3^{x} + m + 9 = 0$ có nghiệm trong khoảng (0;2)

Xem đáp án

Đáp án A

$Đ ặ t 3^{x} = t x \in (0; 2) \Rightarrow t \in (1; 9) P T \Leftrightarrow t^{2} - (m + 1) t + m + 9 = 0 (*) P T c ó n g h i ệ m k h i P T (*) c ó n g h i ệ m v ớ i 1 < t < 9 (*) \Leftrightarrow t^{2} - m t - t + m + 9 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - t + 9 = m (t - 1) \Leftrightarrow \frac{t^{2} - t + 9}{t - 1} = m Đ ặ t f (t) = \frac{t^{2} - t + 9}{t - 1} f' (t) = \frac{(2 t - 1) (t - 1) - (t^{2} - t + 9)}{{(t - 1)}^{2}} = \frac{t^{2} - 2 t - 8}{{(t - 1)}^{2}} f' (t) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = 4 (t m) \\ t = - 2 (L) \end{cases}$

BBT:

KL: Phương trình có nghiệm trong khoảng (0;2) khi $7 \leq m < \frac{81}{8}$

Câu 25:

Biết các số thực x, y thỏa mãn $\log_{x^{2} + 2 y^{2}} (2 x + y) \geq 1$ . Tìm GTLN của $S = 2 x + y$ .

A. 3

B. $\frac{9}{2}$

C. 6

D. $\frac{13}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 26:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \log_{1 - x} (2 x - x^{2})$ .

A. $D = (0; 2)$

B. $D = (1; 2)$

C. $D = (- \infty; 2) / \{1\}$

D. $D = (0; 2) / \{1\}$

Xem đáp án

Đáp án D

$Đ K : \{\begin{array}{l} 1 - x \neq 0 \\ 2 x - x^{2} > 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ 0 < x < 2 \end{cases}$

Câu 27:

Bất phương trình $\log_{5 - x} (35 - x^{3}) > 3$ tương đương bất phương trình nào dưới đây?

A. $x^{2} - x < 0$

B. $x^{2} - 5 x + 6 < 0$

C. $2^{x} > 1$

D. $x^{2} - 8 x + 12 < 0$

Xem đáp án

Đáp án B

$Đ K \{\begin{array}{l} 5 - x \neq 1 \\ 35 - x^{3} > 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x \neq 4 \\ x^{3} < 35 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 4 \\ x < \sqrt[3]{35} \approx 3, 27 \end{cases} K h i đ ó 5 - x > 0 B P T \Leftrightarrow 35 - x^{3} > {(5 - x)}^{3} \Leftrightarrow 35 - x^{3} > 125 - 75 x + 15 x^{2} - x^{3} \Leftrightarrow 15 x^{2} - 75 x + 90 < 0 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 < 0$

Câu 28:

Phương trình $4^{1 - cosπ x} = a$ có nghiệm khi và chỉ khi nào?

A. a>0

B. $1 \leq a \leq 16$

C. $\frac{1}{4} \leq a \leq 64$

D. $4 \leq a \leq 16$

Xem đáp án

Đáp án B

$4^{1 - cosπ x} = a \Leftrightarrow 1 - cosπ x = \log_{4} a \Leftrightarrow cosπ x = 1 - \log_{4} a P T c ó n g h i ệ m \Leftrightarrow - 1 \leq 1 - \log_{4} a \leq 1 \Leftrightarrow - 2 \leq - \log_{4} a \leq 0 \Leftrightarrow 2 \geq \log_{4} a \geq 0 \Leftrightarrow 16 \geq a \geq 1 \Leftrightarrow 1 \leq a \leq 16$

Câu 29:

Phương trình $\frac{2018^{2}}{2000} = {(\frac{1009}{1000})}^{x}$ có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

PT dạng $a^{x} = b$ chỉ có 1 nghiệm duy nhất $x = \log_{a} b$

Câu 30:

Tìm các giá trị m để phương trình $\log_{x} (m x) = 2$ có nghiệm duy nhất.

A. m<0 hoặc m=4

B. m=4

C. m=4 hoặc m<1

D. $0 < m \leq 4$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 31:

Phương trình $3^{\ln x} = 4^{\ln 4}$ tương đương với bất phương trình nào dưới đây?

A. $\ln x^{3} = \ln y^{4}$

B. $\ln x^{4} = \ln y^{3}$

C. $\frac{\ln x}{\ln 3} = \frac{\ln y}{\ln 4}$

D. $\frac{\ln x}{\ln 4} = \frac{\ln y}{\ln 3}$

Xem đáp án

Đáp án D

$3^{lnx} = 4^{lny} \Leftrightarrow \log_{3} 3^{lnx} = \log_{3} 4^{lny} \Leftrightarrow lnx = \log_{3} 4 . lny \Leftrightarrow \ln 3 . lnx = \ln 3 . \log_{3} 4 . lny \Leftrightarrow \ln 3 . lnx = \ln 3 . \log_{3} 4 . lny \Leftrightarrow \ln 3 . lnx = \ln 4 . lny \Leftrightarrow \frac{lnx}{lny} = \frac{\ln 4}{\ln 3} hay \frac{lnx}{\ln 4} = \frac{lny}{\ln 3}$

Câu 32:

Biết các số thực x, y thỏa mãn $3^{x} + 9^{y} = 1$ . Tìm GTLN của S = x+y (Max S).

A. Max S= $\log_{3} 2 - \frac{3}{2}$

B.Max S= $\log_{3} 2 - 1$

C. Max S= $\frac{1}{2}$

D. Max S= $1 - \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

$Đ ặ t \{\begin{cases} 3^{x} = a (a > 0) \\ 9^{y} = b (b > 0) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \log_{3} a \\ y = \log_{9} b \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a + b = 1 \\ S = \log_{3} a + \log_{9} b = \log_{3} a + \frac{1}{2} \log_{3} b \end{cases} T h a y b = 1 - a (0 < a < 1) t a c ó : S = \log_{3} a + \frac{1}{2} \log_{3} (1 - a) S' = \frac{1}{a \ln 3} + \frac{1}{2} . \frac{- 1}{(1 - a) \ln 3} = \frac{2 (1 - a) - a}{2 a (1 - a) \ln 3} = \frac{2 - 3 a}{2 a (1 - a) \ln 3} S' = 0 \Leftrightarrow a = \frac{2}{3} L ậ p B B T t a t h ấ y S m a x t ạ i a = \frac{2}{3} S (\frac{2}{3}) = \log_{3} (\frac{2}{3}) + \frac{1}{2} \log_{3} (1 - \frac{2}{3}) = \log_{3} 2 - 1 + \frac{1}{2} \log_{3} (\frac{1}{3}) = \log_{3} 2 - 1 - \frac{1}{2} = \log_{3} 2 - \frac{3}{2} \Rightarrow S_{m a x} = \log_{3} 2 - \frac{3}{2}$

Câu 33:

Tìm điều kiện của m để phương trình $4^{\sqrt{x - x^{2}}} = m$ có nghiệm.

A. m>0

B. $0 < m \leq 4$

C. $1 \leq m \leq 4$

D. $1 \leq m \leq \frac{9}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 34:

Đặt $M = a^{\log_{b} c}$ Đẳng thức nào dưới đây đúng với mọi a,b,c dương khác 1?

A. $M = b^{\log_{b} c}$

B. $M = c^{\log_{b} a}$

C. $M = {(\frac{1}{c})}^{\log_{b} (\frac{1}{a})}$

D. $M = {(\frac{1}{a})}^{\log_{\frac{1}{b}} (\frac{1}{c})}$

Xem đáp án

Đáp án B

$M = a^{\log_{b} c} \Leftrightarrow \log_{c} M = \log_{c} a . \log_{b} c = \log_{b} a \Leftrightarrow M = c^{\log_{b} a}$

Câu 35:

Phương trình $2 . 9^{\log_{2} (\frac{x}{2})} = x^{\log_{2} 6} - x^{2}$ ; đặt $t = \log_{2} x$ phương trình tương đương với

Xem đáp án

Đáp án B

$2 . 9^{\log_{2} (\frac{x}{2})} = x^{\log_{2} 6} - x^{2} \Leftrightarrow 2 . 9^{\log_{2} x - 1} = x^{\log_{2} 6} - x^{2} (*) V ớ i t = \log_{2} x \Leftrightarrow x = 2^{t} (*) \Leftrightarrow 2 . 9^{t - 1} = {(2^{t})}^{\log_{2} 6} - {(2^{t})}^{2} \Leftrightarrow 2 . \frac{9^{t}}{9} = 6^{t} - 4^{t} \Leftrightarrow 9^{t} = \frac{9}{2} (6^{t} - 4^{t})$

Câu 36:

Gọi S₁, S₂ lần lượt là tập nghiệm của các bất phương trình $\log_{x} (x^{3} + 1) . \log_{x + 1} x - 2 < 0$ và $x^{3} - 3 x < 0$ . Khi đó:

A. $S_{1} \subset S_{2}$

B. $S_{2} \subset S_{1}$

C. $S_{1} \subset S_{2} = \emptyset$

D. Tất cả đều sai

Xem đáp án

Đáp án A

$\log_{x} (x^{3} + 1) . \log_{x + 1} x - 2 < 0 \Leftrightarrow \log_{x + 1} (x^{3} + 1) - 2 < 0 (*) Đ K : \{\begin{cases} 0 < x \neq 1 \\ 0 < x + 1 \neq 1 \\ x^{3} + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 0 (*) \Leftrightarrow \log_{x + 1} (x^{3} + 1) < 2 \Leftrightarrow x^{3} + 1 < {(x + 1)}^{2} \Leftrightarrow (x + 1) [(x^{2} - x + 1) - (x + 1)] < 0 \Leftrightarrow (x + 1) (x^{2} - 2 x) < 0 G i ả i B P T t a đ ư ợ c S_{1} = (- \infty; - 1) \cup (0; 2) x^{3} - 3 x < 0 \Leftrightarrow x (x^{2} - 3) < 0 G i ả i r a t a c ó S_{2} = (- \infty; - \sqrt{3}) \cup (0; \sqrt{3}) T a t h ấ y S_{1} \subset S_{2}$

Câu 37:

Đặt: $y = \log_{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 4)$ . Chọn kết quả đúng dưới đây:

A. Max y=1

B. Min y=-2

C. Max y=-1

D. Min y=-3

Xem đáp án

Đáp án C

$y = \log_{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 4) T X Đ : D = ℝ y' = \frac{2 x - 2}{(x^{2} - 2 x + 4) \ln (\frac{1}{3})} y' = 0 \Leftrightarrow x = 1 D o (x^{2} - 2 x + 4) \ln (\frac{1}{3}) < 0 n ê n y' > 0 \Leftrightarrow x < 1 v à y' < 0 \Leftrightarrow x > 1 \Rightarrow H à m s ố đ ạ t C Đ t ạ i x = 1 \Rightarrow y_{m a x} = y (1) = - 1$

Câu 38:

Có $f (x) = \log_{\sqrt{2} - 1} (x^{2} - x)$ . Giải bất phương trình f(x) > 0

A. $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

B. x>1

C. $x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

D. $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$

Xem đáp án

Đáp án D

$f (x) > 0 \Leftrightarrow \log_{\sqrt{2} - 1} (x^{2} - x) > 0 (*) Đ k : x^{2} - x > 0 \Leftrightarrow x < 0 h o ặ c x > 1 (*) \Leftrightarrow x^{2} - x < 1 \Leftrightarrow x^{2} - x - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2} K ế t h ợ p Đ K t a đ ư ợ c \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0 h o ặ c \frac{1 + \sqrt{5}}{2} < x < 1$

Câu 39:

Phương trình $2^{x^{2} - 2 x} . 3^{x} = \frac{3}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

$2^{x^{2} - 2 x} . 3^{x} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 . 2^{x^{2} - 2 x} = \frac{3}{3^{x}} \Leftrightarrow 2^{x^{2} - 2 x + 1} = 3^{1 - x} \Leftrightarrow 2^{{(x - 1)}^{2}} = 3^{1 - x} \Leftrightarrow \log_{2} 2^{{(x - 1)}^{2}} = \log_{2} (3^{1 - x}) \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} = (1 - x) . \log_{2} 3 \Leftrightarrow (x - 1) [(x - 1) + \log_{2} 3] = 0 \Leftrightarrow x = 1 h o ặ c x = 1 - \log_{2} 3$

Câu 40:

Cho $f (x) = x - 3^{x}$ . Giải phương trình f'(x)=0

A. 0

B. ln3

C. $\log_{\frac{1}{3}} (\ln 3)$

D. $x = 3^{\ln 3}$

Xem đáp án

Đáp án C

$f (x) = x - 3^{x} f' (x) = 1 - 3^{x} \ln 3 f' (x) = 0 \Leftrightarrow 1 - 3^{x} \ln 3 = 0 \Leftrightarrow 3^{x} \ln 3 = 1 \Leftrightarrow 3^{x} = \frac{1}{\ln 3} \Leftrightarrow x = \log_{3} (\frac{1}{\ln 3}) = \log_{\frac{1}{3}} (\ln 3)$