Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: C

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x =  - 1\) và \(x = 1\). Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực đại.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 5;7} \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 2\) và hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng \(\left[ { - 5;7} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y =  - 1\).

Đáp án đúng là: D

Theo quy tắc hình hộp, ta có \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {B'A'}  + \overrightarrow {B'C'}  + \overrightarrow {B'B}  = \overrightarrow {B'D} \).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  - 7\overrightarrow k  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  + \left( { - 7} \right)\overrightarrow k \).

Suy ra \(\overrightarrow u  = \left( {2;3; - 7} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow u \), mà \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 6;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {OA}  = \left( {1; - 6;2} \right)\).

Suy ra tọa độ của điểm \(A\) là \(\left( {1; - 6;2} \right)\).

Đáp án đúng là: B

TXĐ của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y' =  - 3{x^2} + 6x - 6 =  - 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 3 =  - 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 3 < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). 

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) và hàm số không có cực trị.

Đáp án đúng là: D

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 24x\).

Trên khoảng \(\left( {0;9} \right)\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \sqrt 6 \).

\(f\left( 0 \right) =  - 1;\,f\left( {\sqrt 6 } \right) =  - 37;\,f\left( 9 \right) = 5\,588\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;9} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt 6 } \right) =  - 37\).

Đáp án đúng là: A

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} - x + 3}}{{2x + 1}} = x - 1 + \frac{4}{{2x + 1}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{4}{{2x + 1}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{4}{{2x + 1}} = 0\).

Vậy đường thẳng \(y = x - 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: A

Quan sát hình vẽ, ta thấy đây là dáng của đồ thị hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất, do đó ta loại phương án B và D.

Mặt khác, ta thấy đường thẳng \(x = 0\) (trục tung) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho, do vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow {A'C'}  = \overrightarrow {AC} \), suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {B'AC}\).

Lại có \(AC = AB' = CB' = a\sqrt 2  \cdot \sqrt 2  = 2a\) nên tam giác \(ACB'\) là tam giác đều, suy ra \(\widehat {B'AC} = 60^\circ \).

Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 60^\circ \).

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\). Vậy ý a) đúng.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Vậy ý b) sai. 

– Trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), ta có \(1 > y\), tuy nhiên không tồn tại giá trị của \(x\) để \(y = 1\) nên hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất trên khoảng này. Do đó, ý c) sai.

– Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\) nên ta có hệ sau: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{c}{b} = 2\\\frac{a}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c =  - 2b\\a = b\end{array} \right.\).

Khi đó, \(a + b + c = b + b + \left( { - 2b} \right) = 0\).

Vậy ý d) đúng.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x + 1}} =  - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

– Ta có \(y' = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0\) khi \(x =  - 2\) hoặc \(x = 0\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 0\), ; đạt cực tiểu tại \(x =  - 2\), \({y_{CT}} = 5\). 

Khi đó, điểm cực đại của đồ thị \(\left( C \right)\) là \(\left( {0;1} \right)\) thuộc trục tung. Vậy hai điểm cực trị của đồ thị \(\left( C \right)\) không thể nằm ở hai phía đối với trục tung. Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận:

+) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x =  - 1\).

+) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y =  - x + 2\).

Vậy ý c) đúng.

– Đồ thị \(\left( C \right)\) nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Với \(x =  - 1\) thì \(y =  - \left( { - 1} \right) + 2 = 3\).

Vậy điểm \(I\left( { - 1;3} \right)\) là tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right)\).

Do đó, ý d) đúng.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ tam giác đều nên \(\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {BB'} \).

Theo quy tắc ba điểm ta có: \(\overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CC'} \). Vậy ý a) đúng.

– Ta có \(ABB'A',\,\,BCC'B'\) là các hình chữ nhật có hai kích thước là \(a\) và \(a\sqrt 2 \).

Do đó, \(AB' = BC' = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = a\sqrt 3 \). Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB'} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC'} } \right| = \sqrt 3 \).

Vậy ý b) đúng.

– Ta có \(\overrightarrow {AB'}  \cdot \overrightarrow {BC'}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  \cdot \overrightarrow {CC'} \)

\( =  - AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {BAC} + 0 + 0 + B{B'^2}\)

\( =  - a \cdot a \cdot \cos 60^\circ  + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\)\( = \frac{{3{a^2}}}{2}\).

Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'}  \cdot \,\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right| \cdot \,\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3  \cdot a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}\). Do đó, \(\left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ \).

Vậy ý c) sai và ý d) đúng.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Ta có \(\overrightarrow {OA}  = \left( {3; - 2; - 4} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {OA}  = 3\overrightarrow i  + \left( { - 2} \right)\overrightarrow j  + \left( { - 4} \right)\overrightarrow k  = 3\overrightarrow i  - 2\overrightarrow j  - 4\overrightarrow k \).

Do đó, ý a) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - 3;0 - \left( { - 2} \right);5 - \left( { - 4} \right)} \right) = \left( { - 1;2;9} \right)\). Do đó, ý b) sai.

– Điểm \(B\left( {2;0;5} \right)\) có hoành độ \(x = 2 \ne 0\), tung độ \(y = 0\) và cao độ \(z = 5 \ne 0\) nên điểm \(B\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\). Do đó, ý c) đúng.

– Gọi tọa độ điểm \(C\) là \(\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\), ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {{x_C} - 3;{y_C} + 2;{z_C} + 4} \right)\).

Khi đó, \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow u \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - 3 = 1\\{y_C} + 2 = 3\\{z_C} + 4 =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4\\{y_C} = 1\\{z_C} =  - 11\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {4;1; - 11} \right)\).

Do đó, ý d) đúng.

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 9\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\).

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\); đạt cực tiểu tại \(x = 3\).

Suy ra \(a = 1,b = 3\). Vậy \(A = 2a + b = 5\).

Đáp số: \(5\).

Vận tốc tức thời của chất điểm là \(v = s' =  - \pi \sin \left( {2\pi t} \right)\).

Gia tốc tức thời của chất điểm là \(a = v' =  - 2{\pi ^2}\cos \left( {2\pi t} \right)\).

Ta có: \( - 1 \le \cos \left( {2\pi t} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow  - 2{\pi ^2} \le  - 2{\pi ^2}\cos \left( {2\pi t} \right) \le 2{\pi ^2}\) với mọi \(t\).

Tức là \( - 2{\pi ^2} \le a \le 2{\pi ^2}\). Vậy \({a_{\max }} = 2{\pi ^2} \approx 19,7\) với \(\cos \left( {2\pi t} \right) =  - 1 \Rightarrow t = \frac{1}{2} + k,\,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy gia tốc lớn nhất của chất điểm bằng khoảng \(19,7\) m/s2.

Đáp số: \(19,7\).

Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,BD\).

Khi đó, ta có \(\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{AF}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) (tính chất trọng tâm). Suy ra \(EF\,{\rm{//}}\,MN\) và \(EF = \frac{2}{3}MN\).

Vì hai vectơ \[\overrightarrow {EF} \] và \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {EF}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {MN} \). (1)

Lại có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,CD\) và \(MN = \frac{1}{2}CD\).

Vì hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {EF}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \). Do đó, \(a = 1,b = 3\). Vậy \(M = a - b =  - 2\).

Đáp số: \( - 2\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 3;4} \right),\,\,\overrightarrow {MC}  = \left( { - 2 - a;3 - b;3 - c} \right)\).

Tứ giác \(ABCM\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - a = 1\\3 - b =  - 3\\3 - c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 6\\c =  - 1\end{array} \right.\).

Suy ra \(P = {a^2} + {b^2} - {c^2} = {\left( { - 3} \right)^2} + {6^2} - {\left( { - 1} \right)^2} = 44\).

Đáp số: \(44\).

Tại thời điểm \[t\] (giờ) sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là \[d\]. Khi đó, tàu \[A\] đang ở vị trí \({A_1}\) và tàu \(B\) đang ở vị trí \({B_1}\) như hình vẽ trên.

Ta có: \({d^2} = AB_1^2 + AA_1^2 = {\left( {5 - B{B_1}} \right)^2} + AA_1^2 = {\left( {5 - 7t} \right)^2} + {\left( {6t} \right)^2}\).

Suy ra \(d = \sqrt {85{t^2} - 70t + 25} \).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \sqrt {85{t^2} - 70t + 25} \) với \(t > 0\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{170t - 70}}{{2\sqrt {85{t^2} - 70t + 25} }};\,\,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{7}{{17}}\).

Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( t \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) như sau:

Từ bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = \frac{{6\sqrt {85} }}{{17}}\) tại \(t = \frac{7}{{17}}\).

Vậy sau \(\frac{7}{{17}} \approx 0,4\) giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bé nhất.

Đáp số: \(0,4\).

Từ giả thiết, ta suy ra được:

\(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b ;\,\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {DAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\); \(\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Giả sử lực tổng hợp là \(\overrightarrow m \), tức là \(\overrightarrow m  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c \).

Khi đó, \({\overrightarrow m ^2} = {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)^2}\)\( = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} + 2\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + 2\overrightarrow b  \cdot \overrightarrow c  + 2\overrightarrow c  \cdot \overrightarrow a \)

\( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} + 0 + 2\left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \left| {\overrightarrow c } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) + 2\left| {\overrightarrow c } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow c ,\overrightarrow a } \right)\)

\( = {10^2} + {10^2} + {20^2} + 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} + 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

\( = 600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}\).

Suy ra \({\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\overrightarrow m ^2} = 600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}\). Do đó, \(\left| {\overrightarrow m } \right| = \sqrt {600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}}  \approx 32,6\).

Vậy độ lớn hợp lực của các lực \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c \) bằng khoảng \(32,6\) N.

Đáp số: \(32,6\).